વક્ર $x^2 - y^2 = a^2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી છે?

જો $(a - 2)x^2 + ay^2 = 4$ એ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવતું હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

જો અતિવલય (hyperbola) નું નાભિલંબ (latus rectum) તેના કેન્દ્ર આગળ $120^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

એક અતિવલયના નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{3}{2}$ છે. અતિવલય પર પ્રથમ ચરણમાં આવેલા એક બિંદુએ રેખા $2x + 3y = 6$ ને લંબ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે. જો સ્પર્શક દ્વારા $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ હોય,તો $|6a| + |5b|$ ની કિંમત $..........$ થાય.

અતિવલય $x^2 - 2y^2 - 2\sqrt{2}x - 4\sqrt{2}y - 6 = 0$ ની એક શાખા ધ્યાનમાં લો જેનું શિરોબિંદુ $A$ છે. ધારો કે $B$ એ તેના નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ છે. જો $C$ એ બિંદુ $A$ ની સૌથી નજીકનું અતિવલયનું નાભિ હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

અતિવલય $x^2 - 4y^2 = 36$ ના તે સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો જે રેખા $x - y + 4 = 0$ ને લંબ હોય.