यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) की नियत रेखाओं (directrices) के बीच की दूरी उसकी नाभियों (foci) के बीच की दूरी की तीन गुनी है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

मूलबिंदु पर केंद्र वाले एक दीर्घवृत्त में,यदि दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाइयों का अंतर $10$ है और नाभियों में से एक $(0, 5\sqrt{3})$ पर है,तो इसके नाभिलंब की लंबाई क्या है?

$c$ के किस मान के लिए रेखा $y = 4x + c$ वक्र $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ को स्पर्श करती है? $c$ के संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

एक दीर्घवृत्त,जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है,की उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है। यदि इसकी एक नियता $x = -4$ है,तो $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ पर इसके अभिलंब का समीकरण क्या है?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{4 a^{2}}=1$ की स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल $kab$ है,तो $k$ का मान ..... है।

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b)$ के नाभिलंब की लंबाई $30$ है। यदि इसकी उत्केंद्रता फलन $f(t)=-\frac{3}{4}+2t-t^{2}$ का अधिकतम मान है,तो $(a^{2}+b^{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।