यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी बिंदु $P$ पर अभिलंब,दीर्घ और लघु अक्ष को क्रमशः $G$ और $g$ पर काटता है,और $C$ दीर्घवृत्त का केंद्र है,तो:

यदि $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a < b)$ दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ $S$ और $S'$ हैं और $P(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित एक बिंदु है,तो $SP + S'P = \dots$

दीर्घवृत्तों के संग्रह $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ और आयतों के संग्रह $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ में अंतर्निहित सबसे बड़े क्षेत्रफल का दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत।
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $E_{18}$ और $E_{19}$ की उत्केंद्रता समान नहीं है
$(2)$ $E_9$ में केंद्र से नाभि की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E_9$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं और एक नियता $5x = 36$ है।

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ पर किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $Q$ पर काटती है। मान लीजिए $R$,$y=x$ के सापेक्ष $Q$ का प्रतिबिंब है। यदि $S$ एक वृत्त है जिसका व्यास $QR$ है,तो वह निश्चित बिंदु जिससे वृत्त $S$ गुजरता है,है

दीर्घवृत्त $9x^2 + 5y^2 = 45$ के बिंदु $(0, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण क्या है?