Ellipse Questions in Hindi

(A) शंकु $S=0$ के लिए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है।
दिया गया दीर्घवृत्त: $S = x^2+4y^2-2x+20y = 0$.
मध्य-बिंदु $(x_1, y_1) = (2, -4)$.
$T = x(x_1) + 4y(y_1) - (x+x_1) + 10(y+y_1) = 0$.
$(x_1, y_1) = (2, -4)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2x + 4y(-4) - (x+2) + 10(y-4) = 2x - 16y - x - 2 + 10y - 40 = x - 6y - 42$.
$S_1 = (2)^2 + 4(-4)^2 - 2(2) + 20(-4) = 4 + 64 - 4 - 80 = -16$.
$T = S_1$ रखने पर:
$x - 6y - 42 = -16$.
$x - 6y = 42 - 16$.
$x - 6y = 26$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $P$ को $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ माना जा सकता है। यहाँ $a^2=9$ और $b^2=4$ है,इसलिए $a=3, b=2$ है। अतः $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ है।
सहायक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 = 9$ है। $P$ के संगत सहायक वृत्त पर बिंदु $Q$ का मान $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ है।
$P(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर दीर्घवृत्त का अभिलंब $\frac{3x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 5$ है।
$Q(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ पर वृत्त का अभिलंब $x \sin \theta - y \cos \theta = 0$ है।
$R = (h, k)$ मानते हुए,दोनों समीकरणों को हल करने पर हमें $\cos \theta = \frac{h}{5}$ और $\sin \theta = \frac{k}{5}$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$h^2 + k^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$R$ का बिंदु पथ $x^2 + y^2 = 25$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ हैं।
माना $PQ$ का मध्यबिंदु $(x, y)$ है। अतः,
$x = \frac{a(\cos \theta - \sin \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2x}{a} = \cos \theta - \sin \theta$
$y = \frac{b(\sin \theta + \cos \theta)}{2} \Rightarrow \frac{2y}{b} = \sin \theta + \cos \theta$
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\frac{2x}{a})^2 + (\frac{2y}{b})^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2 + (\sin \theta + \cos \theta)^2$
$\frac{4x^2}{a^2} + \frac{4y^2}{b^2} = 2$
$\frac{x^2}{a^2/2} + \frac{y^2}{b^2/2} = 1$
इसकी तुलना $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ से करने पर,$\alpha = \frac{a}{\sqrt{2}}$ और $\beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a+b}{\alpha+\beta} = \frac{a+b}{\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$.

(B) शांकव का दिया गया समीकरण:
$a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2(a^2 + b^2 - y^2)$
$\Rightarrow a^2 x^2 + y^2(a^2 + b^2) = a^2(a^2 + b^2)$
$\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
यह एक दीर्घवृत्त है जिसकी उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
शांकव की परिभाषा के अनुसार,$SP = e \cdot PM$ होता है।
अतः,$PM = \frac{1}{e} SP$।
इस प्रकार,$K = \frac{1}{e} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ है,जहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है।
किसी बिंदु $(\sqrt{2}\cos \theta, \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $A$ पर काटती है जहाँ $y=0$,अतः $A = (\frac{\sqrt{2}}{\cos \theta}, 0)$।
स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को बिंदु $B$ पर काटती है जहाँ $x=0$,अतः $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$।
माना $(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $h = \frac{\sqrt{2}}{2 \cos \theta}$ और $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
इससे,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2k}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{1}{2k})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}h})^2 = 1$ मिलता है।
इसका सरल रूप $\frac{1}{4k^2} + \frac{1}{2h^2} = 1$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A\left(\frac{a}{\cos \theta}, 0\right)$ पर और $y$-अक्ष को $B\left(0, \frac{b}{\sin \theta}\right)$ पर काटती है।
मान लीजिए $(x, y)$ $AB$ का मध्य बिंदु है। तब:
$x = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2x}$
$y = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2y}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{b}{2y}\right)^2 + \left(\frac{a}{2x}\right)^2 = 1$
$\frac{b^2}{4y^2} + \frac{a^2}{4x^2} = 1$
$\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$.
अतः,मध्य बिंदु का बिंदुपथ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$,इसलिए $a = 2$ और $b = \sqrt{3}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
तीसरे चतुर्थांश में नाभिलंब के सिरे के निर्देशांक $(-ae, -\frac{b^2}{a}) = (-2 \times \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) = (-1, -\frac{3}{2})$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(x_1, y_1) = (-1, -\frac{3}{2})$,$a^2 = 4$,और $b^2 = 3$ रखने पर:
$\frac{4x}{-1} - \frac{3y}{-3/2} = 4 - 3$ $\Rightarrow -4x + 2y = 1$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$y = 2x + \frac{1}{2}$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ में रखने पर:
$3x^2 + 4(2x + \frac{1}{2})^2 = 12$ $\Rightarrow 3x^2 + 4(4x^2 + 2x + \frac{1}{4}) = 12$ $\Rightarrow 19x^2 + 8x - 11 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(19x - 11) = 0$।
हल $x = -1$ (बिंदु $L_1^{\prime}$) और $x = \frac{11}{19}$ (बिंदु $P$) हैं।
अतः,$a = \frac{11}{19}$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ और रेखा $y = x + 1$ दी गई है।
$y = x + 1$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{4} + (x + 1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{4} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{5x^2}{4} + 2x = 0$
$x(\frac{5x}{4} + 2) = 0$
अतः,$x_1 = 0$ और $x_2 = -\frac{8}{5}$.
संगत $y$ मान $y_1 = 1$ और $y_2 = -\frac{3}{5}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(0, 1)$ और $Q(-\frac{8}{5}, -\frac{3}{5})$ हैं।
जीवा $PQ$ की लंबाई $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
लंबाई $= \sqrt{(-\frac{8}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \sqrt{\frac{128}{25}} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=4$ है।
अतः,$a=3$ और $b=2$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
धनात्मक $X$-अक्ष पर नाभि $S = (ae, 0) = (\sqrt{5}, 0)$ है।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ है।
नाभीय दूरी के सूत्र $SP = a - ex$ के अनुसार,$SP = 3 - (\frac{\sqrt{5}}{3})(3 \cos \theta) = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$ है।
$SP = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 3 - \sqrt{5} \cos \theta$।
$\sqrt{5} \cos \theta = 2$।
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(C) दिया गया वक्र $4x^2 + 9y^2 = 36$ है। $36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का दीर्घवृत्त है जहाँ $a^2 = 9$ $(a = 3)$ और $b^2 = 4$ $(b = 2)$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ होते हैं।
बिंदु $\theta$ पर दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $ax \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = a^2 - b^2$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 3$,$b = 2$,और $\theta = \frac{7\pi}{4}$ रखने पर:
$3x \sec(\frac{7\pi}{4}) - 2y \operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = 9 - 4$
चूँकि $\sec(\frac{7\pi}{4}) = \sqrt{2}$ और $\operatorname{cosec}(\frac{7\pi}{4}) = -\sqrt{2}$:
$3x(\sqrt{2}) - 2y(-\sqrt{2}) = 5$
$3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 5$
अतः,अभिलंब का समीकरण $3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y - 5 = 0$ है।

(A) हम जानते हैं कि दो शांकव $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ और $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि $a_1^2-b_1^2 = a_2^2-b_2^2$,जिसे $a_1^2-a_2^2 = b_1^2-b_2^2$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
दिए गए वक्र $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ हैं।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त लागू करने पर:
$a^2-25 = b^2-16$
$a^2-b^2$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a^2-b^2 = 25-16$
$a^2-b^2 = 9$
अतः,सही मान $9$ है।

(B) माना नाभियाँ $F_1 = (ae, 0)$ और $F_2 = (-ae, 0)$ हैं और लघु अक्ष का सिरा $B = (0, b)$ है।
रेखाओं $BF_1$ और $BF_2$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $y$-अक्ष के साथ कोण $30^{\circ}$ होगा।
अतः,$\frac{ae}{b} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इससे,$b = ae\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
संबंध $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर:
$e^2 = 1 - \frac{3a^2e^2}{a^2} = 1 - 3e^2$.
$4e^2 = 1 \Rightarrow e = \frac{1}{2}$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है।
इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=25$ और $b^{2}=9$ प्राप्त होता है,अतः $a=5$ और $b=3$ है।
लघु अक्ष के सिरे $B(0, 3)$ और $B^{\prime}(0, -3)$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभियाँ $S$ और $S^{\prime}$ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ हैं।
अतः,$S(4, 0)$ और $S^{\prime}(-4, 0)$ हैं।
समचतुर्भुज $SBS^{\prime}B^{\prime}$ के विकर्ण $SS^{\prime}$ और $BB^{\prime}$ हैं।
विकर्ण $SS^{\prime}$ की लंबाई $= 4 - (-4) = 8$ है।
विकर्ण $BB^{\prime}$ की लंबाई $= 3 - (-3) = 6$ है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $T(-ae, 0)$ हैं।
$B(0, b)$ लघु अक्ष का अंतिम बिंदु है।
चूँकि $\triangle STB$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $SB = ST = TB$ होगा।
$ST = ae - (-ae) = 2ae$.
$SB = \sqrt{(ae-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2}e^{2} + b^{2}}$.
चूँकि $SB = ST$,इसलिए $SB^{2} = ST^{2}$ होगा।
$a^{2}e^{2} + b^{2} = (2ae)^{2} = 4a^{2}e^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
संबंध $b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करने पर:
$a^{2}(1-e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2}$.
$4e^{2} = 1$.
$e^{2} = \frac{1}{4}$.
$e = \frac{1}{2}$ (चूँकि उत्केंद्रता $e > 0$)।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $3x^{2} + 4y^{2} = 48$ है।
$48$ से भाग देने पर,$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 12$,अतः $a = 4$ और $b = 2\sqrt{3}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \frac{1}{2}$.
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब के सिरे $P$ के निर्देशांक $(ae, \frac{b^{2}}{a}) = (4 \times \frac{1}{2}, \frac{12}{4}) = (2, 3)$ हैं।
माना $P$ का उत्केंद्र कोण $\theta$ है। तब $P = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (4 \cos \theta, 2\sqrt{3} \sin \theta)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$ और $2\sqrt{3} \sin \theta = 3 \Rightarrow \sin \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{25}=1$ है।
यहाँ,$a^{2}=144$ और $b^{2}=25$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 12 \times \frac{\sqrt{119}}{12}, 0) = (\pm \sqrt{119}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, \sqrt{2})$ है और यह नाभियों $(\pm \sqrt{119}, 0)$ से होकर गुजरता है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(0, \sqrt{2})$ और नाभि $(\sqrt{119}, 0)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(\sqrt{119}-0)^{2} + (0-\sqrt{2})^{2}}$
$r = \sqrt{119 + 2} = \sqrt{121} = 11$.

(C) दिया गया है कि दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी नाभिलंब की लंबाई के बराबर है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ है।
अतः,$2ae = \frac{2b^2}{a} \implies ae = \frac{b^2}{a} \implies b^2 = a^2e$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
इस समीकरण में $b^2 = a^2e$ रखने पर,हमें $a^2e = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।
$a^2$ से भाग देने पर,$e = 1 - e^2$ मिलता है।
इससे द्विघात समीकरण $e^2 + e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि उत्केंद्रता $e$ धनात्मक होनी चाहिए $(0 < e < 1)$,इसलिए $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$।

(B) माना $P(\sqrt{10} \cos \theta, \sqrt{8} \sin \theta)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{8}=1$ पर स्थित एक बिंदु है।
दिया गया है कि केंद्र $(0,0)$ से $P$ की दूरी $3$ इकाई है।
अतः,$OP^2 = 3^2 = 9$.
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $9 = 9(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$ लिख सकते हैं।
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$\tan^2 \theta = 1$.
चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $16x^2 + 25y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर: $\text{लंबाई} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$ इकाई।

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
दिया गया है कि कोण $\angle SBS' = 90^{\circ}$ है।
चूँकि त्रिभुज $\triangle SBS'$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,$B$ से $SS'$ पर डाला गया लंब कोण $\angle SBS'$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,$\angle OBS = 45^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle OBS$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$।
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,हमें $1 = \frac{b}{ae}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = ae$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = a^2e^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं।
लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
$SB$ की ढाल $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ है।
$S^{\prime}B$ की ढाल $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ है।
चूँकि $\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ है,ढालों का गुणनफल $-1$ होगा,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2 e^2} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $a^2(1 - e^2) = a^2 e^2$ प्राप्त होता है।
$1 - e^2 = e^2$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}$.
चूँकि उत्केंद्रता $e > 0$ होती है,इसलिए $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+2y^{2}=4$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=4$,अतः $a=2$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ का सहायक वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,सहायक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=4$ है।
उत्केंद्र कोण $\theta$ के संगत सहायक वृत्त पर स्थित बिंदु के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है कि $\theta = 60^{\circ}$ और $a=2$,अतः निर्देशांक $(2 \cos 60^{\circ}, 2 \sin 60^{\circ})$ होंगे।
मान रखने पर,हमें $(2 \times \frac{1}{2}, 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $16 x^{2}+25 y^{2}+32 x-100 y=284$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$16(x^{2}+2 x)+25(y^{2}-4 y)=284$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$16(x^{2}+2 x+1)+25(y^{2}-4 y+4)=284+16+100$ प्राप्त होता है।
$16(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=400$।
$400$ से भाग देने पर,$\frac{(x+1)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2}=25$ है। दीर्घवृत्त $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ का सहायक वृत्त $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$ होता है।
अतः,सहायक वृत्त का समीकरण $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ है।
विस्तार करने पर,$x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y+4=25$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-20=0$।

(A) माना जीवा $AB$ का समीकरण $lx + my = 1$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के समीकरण को जीवा के समीकरण $lx + my = 1$ की सहायता से समघात बनाने पर:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = (lx + my)^2$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = l^2x^2 + m^2y^2 + 2lmxy$
$x^2(\frac{1}{a^2} - l^2) + y^2(\frac{1}{b^2} - m^2) - 2lmxy = 0$
चूंकि $AB$ मूलबिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$(\frac{1}{a^2} - l^2) + (\frac{1}{b^2} - m^2) = 0$
$l^2 + m^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
अतः,$\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ का मान $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण दिया गया है: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ और रेखा $y = 2t^2$ है।
$y = 2t^2$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{9} + \frac{(2t^2)^2}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + \frac{4t^4}{4} = 1$
$\frac{x^2}{9} + t^4 = 1$
$x^2 = 9(1 - t^4)$
प्रतिच्छेदन बिंदुओं के वास्तविक होने के लिए,$x^2 \geq 0$ होना चाहिए:
$9(1 - t^4) \geq 0$
$1 - t^4 \geq 0$
$t^4 \leq 1$
$(t^2 - 1)(t^2 + 1) \leq 0$
चूंकि सभी वास्तविक $t$ के लिए $t^2 + 1 > 0$,इसलिए $t^2 - 1 \leq 0$ होना चाहिए।
$t^2 \leq 1$
$|t| \leq 1$

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $T$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $x = \frac{a}{\cos \theta}$। अतः,$OT = \frac{a}{\cos \theta}$।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड $T_1$ के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y = \frac{b}{\sin \theta}$। अतः,$OT_1 = \frac{b}{\sin \theta}$।
गुणनफल $(OT)(OT_1) = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,$\sin 2\theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\frac{2ab}{\sin 2\theta}$ का न्यूनतम मान $2ab$ होगा।

(C) माना कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
स्पर्शरेखा और नियता के बीच का भाग नाभि पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करता है,जो दीर्घवृत्त का एक मानक गुण है।

(B, D) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$8x + 18yy' = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y' = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$।
रेखा $8x = 9y$ की ढाल $y = \frac{8}{9}x$ से $m = \frac{8}{9}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएं रेखा के समानांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए: $-\frac{4x}{9y} = \frac{8}{9}$।
इसे सरल करने पर $-4x = 8y$ या $x = -2y$ प्राप्त होता है।
$x = -2y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $4(-2y)^{2} + 9y^{2} = 1$।
$4(4y^{2}) + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 16y^{2} + 9y^{2} = 1$ $\Rightarrow 25y^{2} = 1$।
अतः,$y^{2} = \frac{1}{25}$,जिससे $y = \pm \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
यदि $y = \frac{1}{5}$ है,तो $x = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$।
यदि $y = -\frac{1}{5}$ है,तो $x = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$।
अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ और $\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)$ हैं।

(C) दीर्घवृत्त $E_1: 3x^2 + 5y^2 = 32$ के लिए,बिंदु $(3,5)$ की स्थिति की जाँच करें: $3(3)^2 + 5(5)^2 = 27 + 125 = 152$। चूँकि $152 > 32$ है,बिंदु $(3,5)$ दीर्घवृत्त $E_1$ के बाहर स्थित है। अतः,$E_1$ पर $2$ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
दीर्घवृत्त $E_2: 25x^2 + 9y^2 = 450$ के लिए,बिंदु $(3,5)$ की स्थिति की जाँच करें: $25(3)^2 + 9(5)^2 = 225 + 225 = 450$। चूँकि परिणाम $450$ है,बिंदु $(3,5)$ दीर्घवृत्त $E_2$ पर स्थित है। अतः,$E_2$ पर केवल $1$ स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या $2 + 1 = 3$ है।

(C) रेखा का समीकरण $y=x+\lambda$ है।
इसे $y=mx+c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m=1$ और $c=\lambda$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^{2}+3y^{2}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1/2} + \frac{y^{2}}{1/3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^{2}=\frac{1}{2}$ और $b^{2}=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है,तो स्पर्शरेखा की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ है।
मान रखने पर,$\lambda^{2} = \frac{1}{2}(1)^{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$।
अतः,$\lambda = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $\lambda = \sqrt{\frac{5}{6}}$ है।

(A) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ के लिए,$a^{2}=9$ और $b^{2}=5$ है,अतः $a=3$ और $b=\sqrt{5}$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{2}{3}, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं।
नाभिलंब के सिरे $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(2)}{9} + \frac{y(5/3)}{5} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ या $2x + 3y = 9$ हो जाता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(\frac{9}{2}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 3)$ पर काटती है।
चारों स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है। चतुर्भुज का क्षेत्रफल $4 \times \text{Area}(\Delta OAB) = 4 \times (\frac{1}{2} \times OA \times OB) = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = 27 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष हैं। रेखाखंड के सिरे $A(0, m)$ और $B(n, 0)$ हैं।
रेखाखंड की लंबाई $AB = \sqrt{m^2 + n^2} = a + b$ है,इसलिए $m^2 + n^2 = (a + b)^2$.
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखाखंड $AB$ पर एक बिंदु है जो इसे $a$ और $b$ लंबाई के भागों में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$P$,$AB$ को $b : a$ के अनुपात में विभाजित करता है (क्योंकि $AP = a$ और $PB = b$)।
अतः,$h = \frac{b(0) + a(n)}{a + b} = \frac{an}{a + b} \Rightarrow n = \frac{(a + b)h}{a}$.
और $k = \frac{b(m) + a(0)}{a + b} = \frac{bm}{a + b} \Rightarrow m = \frac{(a + b)k}{b}$.
इन मानों को $m^2 + n^2 = (a + b)^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{(a + b)k}{b}\right)^2 + \left(\frac{(a + b)h}{a}\right)^2 = (a + b)^2$.
$(a + b)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{k^2}{b^2} + \frac{h^2}{a^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो एक दीर्घवृत्त है।

(B) माना नाभि $F(0, 0)$ है और नियता $x = 4$ है। माना लघु अक्ष का सिरा $B(h, k)$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,नाभि से बिंदु $B$ की दूरी,$B$ से नियता की दूरी की $e$ गुना होती है।
$BF = e \cdot BM$
$BF = \sqrt{h^2 + k^2}$ और $BM = |4 - h|$.
अतः,$\sqrt{h^2 + k^2} = e(4 - h)$.
दीर्घवृत्त के लिए,केंद्र से नाभि की दूरी $ae$ है और केंद्र से नियता की दूरी $a/e$ है। नाभि $(0,0)$ पर है और नियता $x=4$ है,इसलिए उनके बीच की दूरी $a/e - ae = 4$ है।
लघु अक्ष के सिरे के लिए,केंद्र से नाभि की दूरी $ae$ है,इसलिए $h = -ae$ और $k = b$ है।
$a/e - ae = 4$ से,हमें $a(1 - e^2) = 4e$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2/a = 4e$,इसलिए $b^2 = 4ae$ है।
$h = -ae$ और $k = b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k^2 = 4(-h) = -4h$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = -4x$ है,जो एक परवलय है।

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। लघु अक्ष का धनात्मक सिरा $P(0, b)$ है।
माना $(h, k)$ एक जीवा का मध्यबिंदु है जो $(0, b)$ और दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से होकर गुजरती है।
अतः,$h = \frac{x_1 + 0}{2} \Rightarrow x_1 = 2h$ और $k = \frac{y_1 + b}{2} \Rightarrow y_1 = 2k - b$.
चूँकि $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ है।
$x_1$ और $y_1$ के मान रखने पर,हमें $\frac{(2h)^2}{a^2} + \frac{(2k - b)^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{4h^2}{a^2} + \frac{4(k - b/2)^2}{b^2} = 1$ में सरल हो जाता है,जिसे $\frac{h^2}{(a/2)^2} + \frac{(k - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{(a/2)^2} + \frac{(y - b/2)^2}{(b/2)^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(D) मान लीजिए दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(x_0, y_0)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_0}{2} + y y_0 = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $y=0$ और $x=0$ रखकर प्राप्त किए जाते हैं।
$y=0$ के लिए,$x = \frac{2}{x_0}$. $x=0$ के लिए,$y = \frac{1}{y_0}$.
मान लीजिए कटे हुए भाग का मध्य बिंदु $(h, k)$ है। तब $h = \frac{1}{x_0}$ और $k = \frac{1}{2 y_0}$.
इससे $x_0 = \frac{1}{h}$ और $y_0 = \frac{1}{2 k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x_0, y_0)$ दीर्घवृत्त $\frac{x_0^2}{2} + y_0^2 = 1$ पर स्थित है,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{(1/h)^2}{2} + (1/2k)^2 = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+4y^{2}=4$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$ प्राप्त होता है।
लघु अक्ष का धनात्मक सिरा $B(0, 1)$ है।
माना जीवा $BP$ का मध्य-बिंदु $M(h, k)$ है,जहाँ $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।
तब,$(h, k) = \left(\frac{0+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$।
इसका अर्थ है $h = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2h$ और $k = \frac{1+y}{2} \Rightarrow y = 2k-1$।
चूँकि $P(x, y)$ दीर्घवृत्त $x^{2}+4y^{2}=4$ पर स्थित है,$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(2h)^{2} + 4(2k-1)^{2} = 4$
$4h^{2} + 4(4k^{2} - 4k + 1) = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k + 4 = 4$
$4h^{2} + 16k^{2} - 16k = 0$
$4$ से भाग देने पर,हमें $h^{2} + 4k^{2} - 4k = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^{2} + 4(y^{2} - y) = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^{2} + 4(y^{2} - y + \frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$।
$x^{2} + 4(y - \frac{1}{2})^{2} = 1$।
$1$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{1} + \frac{(y - 1/2)^{2}}{1/4} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(0, 1/2)$,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a=1$ और अर्ध-लघु अक्ष $b=1/2$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ है।
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=9$ और $b^{2}=1$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ हैं।
मान लीजिए $P(h, k)$ एक बिंदु है जहाँ नाभियाँ $F_{1}(2\sqrt{2}, 0)$ और $F_{2}(-2\sqrt{2}, 0)$ समकोण बनाती हैं।
अतः,$PF_{1}$ और $PF_{2}$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा।
$\frac{k-0}{h-2\sqrt{2}} \times \frac{k-0}{h+2\sqrt{2}} = -1$.
$\frac{k^{2}}{h^{2}-8} = -1$.
$h^{2}+k^{2} = 8$.
अतः,$P$ का बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}=8$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^{2}+9y^{2}=9$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $x+y=1$ और $3y=x+3$ का प्रतिच्छेदन: $x=1-y$ को $3y=x+3$ में रखने पर,$3y=(1-y)+3$ $\Rightarrow 4y=4$ $\Rightarrow y=1$. अतः $x=0$. बिंदु $P$ $(0, 1)$ है।
$2$. $x+y=1$ और $x^{2}+9y^{2}=9$ का प्रतिच्छेदन: $x=1-y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर,$(1-y)^{2}+9y^{2}=9$ $\Rightarrow 10y^{2}-2y-8=0$ $\Rightarrow 5y^{2}-y-4=0$ $\Rightarrow (5y+4)(y-1)=0$. अतः $y=1$ ($P(0,1)$ देता है) या $y=-4/5$. यदि $y=-4/5$,तो $x=1-(-4/5)=9/5$. बिंदु $R$ $(9/5, -4/5)$ है।
$3$. $3y=x+3$ और $x^{2}+9y^{2}=9$ का प्रतिच्छेदन: $y=(x+3)/3$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर,$x^{2}+(x+3)^{2}=9$ $\Rightarrow 2x^{2}+6x=0$ $\Rightarrow 2x(x+3)=0$. अतः $x=0$ ($P(0,1)$ देता है) या $x=-3$. यदि $x=-3$,तो $y=0$. बिंदु $Q$ $(-3, 0)$ है।
$\triangle PQR$ के शीर्ष $P(0, 1)$,$Q(-3, 0)$ और $R(9/5, -4/5)$ हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - (-4/5)) + (-3)(-4/5 - 1) + (9/5)(1 - 0)| = \frac{1}{2} |27/5 + 9/5| = \frac{18}{5}$.

(D) दिया गया है कि $f$,$\mathbb{R}$ पर एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
समीकरण $\frac{x^2}{f(a^2+5a+3)} + \frac{y^2}{f(a+15)} = 1$ के $y$-अक्ष पर मुख्य अक्ष वाला दीर्घवृत्त होने के लिए,$y^2$ पद का हर $x^2$ पद के हर से बड़ा होना चाहिए।
अतः,$f(a+15) > f(a^2+5a+3)$।
चूंकि $f$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है,$f(x_1) > f(x_2)$ का अर्थ है $x_1 < x_2$।
इसलिए,$a+15 < a^2+5a+3$।
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2+4a-12 > 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(a+6)(a-2) > 0$ प्राप्त होता है।
इस असमानता को हल करने पर,हमें $a < -6$ या $a > 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ के लिए अंतराल $(-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ है।

(B) दिया गया केंद्र $C = (1, -2)$,नाभि $F_1 = (3, -2)$,और शीर्ष $A_1 = (5, -2)$ है।
चूंकि $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए मुख्य अक्ष क्षैतिज है।
केंद्र से शीर्ष की दूरी $a = |5 - 1| = 4$ है।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = |3 - 1| = 2$ है।
अतः,$e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 4^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{4} = \frac{24}{4} = 6$ है।

(B) $E_1$ के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8$ है। दिया गया है $e = \frac{4}{5}$,इसलिए $2a(\frac{4}{5}) = 8 \Rightarrow a = 5$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$.
नाभिलंब की लंबाई $\ell_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$.
$E_2$ के लिए,$A < B$,इसलिए उत्केंद्रता का सूत्र $A^2 = B^2(1 - e^2) = B^2(1 - \frac{16}{25}) = \frac{9}{25}B^2$ है,जो $A = \frac{3}{5}B$ देता है।
नाभिलंब की लंबाई $\ell_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(9/25)B^2}{B} = \frac{18}{25}B$.
दिया गया है $2\ell_1^2 = 9\ell_2$,इसलिए $2(\frac{18}{5})^2 = 9(\frac{18}{25}B) \Rightarrow 2 \times \frac{324}{25} = \frac{162}{25}B$.
$B$ के लिए हल करने पर,$B = \frac{2 \times 324}{162} = 4$.
$E_2$ की नाभियों के बीच की दूरी $2Be = 2 \times 4 \times \frac{4}{5} = \frac{32}{5}$ है।

(C) मान लीजिए वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ पर स्थित बिंदु $(h, k)$ को $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया गया है।
मान लीजिए बिंदु $(x, y) = (2h + 1, 3k + 2)$ है।
$h = 2 \cos \theta$ और $k = 2 \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = 4 \cos \theta + 1$ और $y = 6 \sin \theta + 2$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\cos \theta = \frac{x - 1}{4}$ और $\sin \theta = \frac{y - 2}{6}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{x - 1}{4})^2 + (\frac{y - 2}{6})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह $a = 6$ और $b = 4$ अर्ध-अक्षों वाले एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{36} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ है।
अतः,$\frac{5}{e^2} = \frac{5}{5/9} = 9$।

(C) फलन $f(t) = -t^{2} + 2t - \frac{3}{4}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(t) = -(t-1)^{2} + \frac{1}{4}$.
अधिकतम मान $e = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $e^{2} = \frac{1}{16}$.
दीर्घवृत्त के लिए,$e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,इसलिए $\frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \Rightarrow b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 30$ है,इसलिए $b^{2} = 15a$.
$b^{2}$ के व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{15}{16}a^{2} = 15a$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $\frac{a}{16} = 1 \Rightarrow a = 16$.
तब $b^{2} = 15(16) = 240$.
अतः,$a^{2} + b^{2} = 16^{2} + 240 = 256 + 240 = 496$.

(D) रेखा का समीकरण $\alpha x+4y-\sqrt{7}=0$ है। यह रेखा दीर्घवृत्त $3x^{2}+4y^{2}=1$ को स्पर्श करती है।
स्पर्श रेखा के प्रतिबंध $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\alpha = \pm 3$ प्राप्त होता है।
प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ के लिए,स्पर्श रेखा $3x+4y=\sqrt{7}$ है।
स्पर्श बिंदु $P$ के निर्देशांक $(\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}})$ प्राप्त होते हैं।
दीर्घवृत्त के लिए उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
नाभीय दूरियाँ $a \pm ex_{1}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती हैं,जो $\frac{1}{\sqrt{3}} \pm \frac{1}{2\sqrt{7}}$ हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a=5$ और $b=3$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{4}{5}$ है।
नाभियाँ $S(4, 0)$ और $S^{\prime}(-4, 0)$ हैं।
चूंकि $P(\alpha, \beta)$ दीर्घवृत्त पर है,$SP+S^{\prime}P=10$।
दिए गए समीकरण $(SP)^2+(S^{\prime}P)^2-SP \cdot S^{\prime}P=37$ को $(SP+S^{\prime}P)^2-3SP \cdot S^{\prime}P=37$ के रूप में लिखने पर,
$100-3SP \cdot S^{\prime}P=37 \Rightarrow SP \cdot S^{\prime}P=21$।
$SP \cdot S^{\prime}P = a^2-e^2\alpha^2 = 25-\frac{16}{25}\alpha^2 = 21$।
$\frac{16}{25}\alpha^2 = 4 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{25}{4}$।
$\frac{\alpha^2}{25}+\frac{\beta^2}{9}=1$ में मान रखने पर,$\beta^2=\frac{27}{4}$।
अतः $\alpha^2+\beta^2 = \frac{25}{4}+\frac{27}{4} = 13$।

(B) रेखा का समीकरण $y = x + 1$ है। इसे दीर्घवृत्त के समीकरण $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{2} + (x+1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{2} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{3x^2}{2} + 2x = 0$
$x(\frac{3x}{2} + 2) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = -\frac{4}{3}$.
यदि $x = 0$,तो $y = 1$,अतः $A = (0, 1)$.
यदि $x = -\frac{4}{3}$,तो $y = -\frac{4}{3} + 1 = -\frac{1}{3}$,अतः $B = (-\frac{4}{3}, -\frac{1}{3})$.
दीर्घवृत्त का केंद्र $O(0, 0)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \infty$ है (ऊर्ध्वाधर रेखा,कोण $\frac{\pi}{2}$ है)।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{1}{4}$ है।
कोण $\angle AOB = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$।

(A) दी गई नियता $x = a/e = 9$ और उत्केंद्रता $e = 1/3$ से,हमें $a = 9 \times (1/3) = 3$ प्राप्त होता है।
नाभि $P$ बिंदु $(ae, 0) = (3 \times 1/3, 0) = (1, 0)$ पर है,इसलिए $\alpha = 1$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ है,जहाँ $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 1/9) = 8$ है।
अतः,दीर्घवृत्त $x^2/9 + y^2/8 = 1$ है।
दीर्घवृत्त $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ के लिए $(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली जीवा के मध्य बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $xh/a^2 + yk/b^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2$ है।
चूँकि जीवा $(1, 0)$ से गुजरती है,मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $xh/9 + yk/8 = h^2/9 + k^2/8$ है।
इस समीकरण में $(x, y) = (1, 0)$ रखने पर,हमें $h/9 = h^2/9 + k^2/8$ प्राप्त होता है।
$72$ से गुणा करने पर,$8h = 8h^2 + 9k^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $9k^2 = 8h(1 - h)$ मिलता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $9y^2 = 8x(1 - x)$ है।