Ellipse Questions in Gujarati

(A) કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને $X$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલય $(-3, 1)$ અને $(2, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(-3, 1)$ માટે: $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(i)$
$(2, -2)$ માટે: $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$\frac{8}{a^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow a^2 = \frac{32}{3}$
સમીકરણ $(ii)$ માં $a^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{32} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{5}{32}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$ એટલે કે $3x^2 + 5y^2 = 32$ થાય.

(C) ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2$ આપેલ છે,તેથી $ae = 1$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{15}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{15a}{4}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ નો ઉપયોગ કરીને,$ae = 1$ અને $b^2 = \frac{15a}{4}$ મૂકતા:
$\frac{15a}{4} = a^2 - 1$
$4a^2 - 15a - 4 = 0$
$(4a + 1)(a - 4) = 0$
$a$ ધન હોવાથી,$a = 4$.
તેથી $b^2 = \frac{15(4)}{4} = 15$.
$a^2 = 16$ અને $b^2 = 15$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{15} = 1$
$15x^2 + 16y^2 = 240$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $2x^2 + 3y^2 - 4x - 12y + 13 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$2(x - 1)^2 + 3(y - 2)^2 = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x - 1)^2}{1/2} + \frac{(y - 2)^2}{1/3} = 1$.
અહીં $a^2 = 1/2$ અને $b^2 = 1/3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{1/3}{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
નાભિનું અંતર $ae = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ હોવાથી,નાભિઓ $\left(1 \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 2\right)$ થશે.

(B) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત ઉપવલયના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(5,0)$ અને $(0,-4)$ છે,જે અક્ષો પરના અંતઃખંડો દર્શાવે છે.
$x$-અંતઃખંડ $\pm a = \pm 5$ છે,તેથી $a^2 = 25$.
$y$-અંતઃખંડ $\pm b = \pm 4$ છે,તેથી $b^2 = 16$.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,નાભિ $S = (6, 2)$,કેન્દ્ર $C = (1, 2) = (h, k)$,અને ઉપવલય બિંદુ $P = (4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ મૂકતા,આપણને $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ મળે છે ... $(i)$.
ઉપવલય $P(4, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{(4-1)^2}{a^2} + \frac{(6-2)^2}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{9}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1$ થાય છે ... (ii).
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = 6 - 1 = 5$ છે,તેથી $a^2e^2 = 25$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = a^2 - 25$,અથવા $a^2 = b^2 + 25$ મળે છે ... (iii).
$a^2$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $\frac{9}{b^2+25} + \frac{16}{b^2} = 1$.
$9b^2 + 16(b^2 + 25) = b^2(b^2 + 25) \implies 25b^2 + 400 = b^4 + 25b^2 \implies b^4 = 400 \implies b^2 = 20$.
(iii) પરથી,$a^2 = 20 + 25 = 45$.
આમ,સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{45} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1$ છે.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્ર $(0,0)$,ઉત્કેન્દ્રતા $e = 1/2$,અને નિયામિકા $x = 4$.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = a/e$ છે,તેથી $a/e = 4$.
$e = 1/2$ મૂકતા,$a = 4 \times (1/2) = 2$ મળે.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે.
$12$ વડે ગુણતા,$3x^2 + 4y^2 = 12$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
પ્રશ્ન મુજબ,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 2a$ ... $(i)$.
શિરોબિંદુ $(a, 0)$ અને નજીકની નાભિ $(ae, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $a - ae = 3/2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a(1 - e) = 3/2$ ... $(ii)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$. આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{2a^2(1 - e^2)}{a} = 4$ $\Rightarrow 2a(1 - e^2) = 4$ $\Rightarrow a(1 - e^2) = 2$.
$a(1 - e) = 3/2$ હોવાથી,આપણે $a(1 - e)(1 + e) = 2$ લખી શકીએ.
$a(1 - e) = 3/2$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3}{2}(1 + e) = 2$ $\Rightarrow 1 + e = \frac{4}{3}$ $\Rightarrow e = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $1/3$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 25y^2 = 100$ છે.
બંને બાજુ $100$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ $P = (-ae, 0)$ અને $Q = (ae, 0)$ છે.
ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $R = (0, b)$ છે.
$\triangle PQR$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$PQ = PR = QR$ થાય.
$PQ = 2ae$.
$PR = \sqrt{(ae - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
$PQ^2 = PR^2$ લેતા,$(2ae)^2 = a^2e^2 + b^2$.
$4a^2e^2 = a^2e^2 + b^2 \implies 3a^2e^2 = b^2$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$3a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$3e^2 = 1 - e^2 \implies 4e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$e = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે.
ઉપરનું શિરોબિંદુ $V(0, b)$ છે.
નાભિઓને જોડતો રેખાખંડ $SS'$ એ $V(0, b)$ આગળ $2\alpha$ ખૂણો આંતરે છે.
આથી $\angle SVS' = 2\alpha$,તેથી $\angle SVO = \alpha$,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle SVO$ માં,$\tan \alpha = \frac{SO}{VO} = \frac{ae}{b}$.
તેથી,$ae = b \tan \alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,જેનો અર્થ છે $b^2 = a^2 - a^2e^2$.
$ae = b \tan \alpha$ મૂકતા,આપણને મળે $b^2 = a^2 - (b \tan \alpha)^2$,તેથી $a^2 = b^2 + b^2 \tan^2 \alpha = b^2(1 + \tan^2 \alpha) = b^2 \sec^2 \alpha$.
તેથી,$a = b \sec \alpha$.
હવે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{b \tan \alpha}{b \sec \alpha} = \sin \alpha$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે. શિરોબિંદુઓના યામ $i=1, 2, 3$ માટે $(a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ છે.
તેથી,$(l, m) = \left(\frac{a(\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)}{3}, \frac{b(\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)}{3}\right)$.
આનાથી $\frac{3l}{a} = \cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3$ અને $\frac{3m}{b} = \sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = (\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)^2 + (\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)^2$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_2 \cos \theta_3 + \cos \theta_3 \cos \theta_1 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_2 \sin \theta_3 + \sin \theta_3 \sin \theta_1)$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
$3$ વડે ભાગતા:
$\frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} = 1 + \frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
તેથી,$\frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)] = \frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} - 1$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે. પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસનો એક શિરોબિંદુ $(x, y) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ ધારો.
લંબચોરસની લંબાઈ $l = 2x = 16 \cos \theta$ અને પહોળાઈ $b = 2y = 8 \sin \theta$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = (16 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin 2 \theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2 \theta = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,જે $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$l = 16 \cos \frac{\pi}{4} = 16 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$.
$b = 8 \sin \frac{\pi}{4} = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
આમ,$(l, b) = (8 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2+4y^2-18x-8y-23=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$9(x-1)^2 + 4(y-1)^2 = 36$
$36$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$.
અહીં $a^2=4$ અને $b^2=9$ છે. તેથી મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિઓ $(h, k \pm be)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(h, k) = (1, 1)$.
નાભિઓ $= (1, 1 \pm \sqrt{5})$.
નાભિલંબના સમીકરણો $y = 1 \pm \sqrt{5}$ છે.

(B) આપેલ છે કે શિરોબિંદુ $V = (6, 1)$ અને નાભિ $S = (4, 1)$ છે. $y$-યામ સમાન હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ આડી છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a - ae = |6 - 4| = 2$ છે.
$e = \frac{3}{5}$ આપેલ હોવાથી,$a(1 - e) = 2$ $\Rightarrow a(1 - \frac{3}{5}) = 2$ $\Rightarrow a(\frac{2}{5}) = 2$ $\Rightarrow a = 5$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $y = 1$ રેખા પર છે. કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $a = 5$ છે. શિરોબિંદુ $(6, 1)$ પર અને નાભિ $(4, 1)$ પર હોવાથી,કેન્દ્ર $(6 - 5, 1) = (1, 1)$ થશે.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} = 1$ છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ધારો કે $LL^{\prime}$ એ નાભિલંબ છે,તો $L$ ના યામ $(ae, \frac{b^2}{a})$ થાય.
કારણ કે $LL^{\prime}$ કેન્દ્ર $C(0,0)$ આગળ કાટખૂણો $(\pi/2)$ આંતરે છે,તેથી $\angle LCS = \pi/4$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle LCS$ માં,$\tan(\angle LCS) = \frac{LS}{CS}$ થાય.
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{b^2/a}{ae}$
$1 = \frac{b^2}{a^2e}$
$a^2e = b^2$
કારણ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $a^2e = a^2(1 - e^2)$ મળે.
$e = 1 - e^2$
$e^2 + e - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$ હોવાથી,$e = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ થાય.

(C) ધારો કે ઉપવલયના નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે. ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
$\triangle SBS^{\prime}$ એ $B$ પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$SB^2 + S^{\prime}B^2 = (SS^{\prime})^2$ થાય.
અંતર $SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
તે જ રીતે,$S^{\prime}B = \sqrt{(-ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
વળી,$SS^{\prime} = 2ae$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$
$a^2e^2 + b^2 = 2a^2e^2$
$b^2 = a^2e^2$
$\frac{b^2}{a^2} = e^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$.
$\frac{b^2}{a^2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(1, -1)$ નું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $x+y+2=0$ ના અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$SP^2 = e^2 \times (\text{લંબ અંતર})^2$
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{(x+y+2)^2}{2}$
સાદુરૂપ આપતા,$7x^2 + 7y^2 - 4xy - 26x - 26y + 10 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{2-r} + \frac{y^2}{r-5} = -1$ છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x^2}{r-2} + \frac{y^2}{5-r} = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે,છેદ ધન હોવા જોઈએ,એટલે કે $r-2 > 0$ અને $5-r > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $r > 2$ અને $r < 5$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $2 < r < 5$ મળે છે.

(A) આપેલ ઉપવલયના પ્રાચલ સમીકરણો:
$x = 3 \cos \theta$ અને $y = 4 \sin \theta$.
તેથી,$\frac{x}{3} = \cos \theta$ અને $\frac{y}{4} = \sin \theta$.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2 \sqrt{b^2 - a^2} = 2 \sqrt{16 - 9} = 2 \sqrt{7}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x^2 - 4x) + 25(y^2 + 2y) = 164$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 2y + 1) = 164 + 36 + 25$
$9(x-2)^2 + 25(y+1)^2 = 225$
$225$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
નાભિલંબના સમીકરણો $x - h = \pm ae$ છે.
$x - 2 = \pm 5 \times \frac{4}{5} = \pm 4$.
$x = 2 + 4 = 6$ અને $x = 2 - 4 = -2$.
આમ,સમીકરણો $x - 6 = 0$ અને $x + 2 = 0$ છે.

(A) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુનું તેની બે નાભિઓથી અંતરનો સરવાળો મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે $SP_1 + SP_2 = 2a$,જ્યાં $SP_1 = \frac{7}{2}$ અને $SP_2 = \frac{13}{2}$.
$2a = \frac{7}{2} + \frac{13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \Rightarrow a = 5$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5e, 0)$ પર છે.
ધારો કે $S = (5e, 0)$ અને $P = \left(\frac{5}{2}, 2\sqrt{3}\right)$.
અંતર $SP = \frac{7}{2}$.
$SP^2 = \left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2$.
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + 12 = \frac{49}{4}$.
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} - 12 = \frac{1}{4}$.
$5e - \frac{5}{2} = \pm \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $5e = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow e = \frac{3}{5}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $3/5$ છે.

(D) કારણ કે $(\alpha, -\alpha)$ એ ઉપવલય $4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ ની અંદર આવેલું છે,તેથી:
$4(\alpha)^2 + 5(-\alpha)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 + 5\alpha^2 - 1 < 0$
$9\alpha^2 < 1$
$\alpha^2 < \frac{1}{9}$
$-\frac{1}{3} < \alpha < \frac{1}{3}$
આમ,$\alpha$ માટેનો અંતરાલ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $\beta = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$ છે.
હવે,$\beta = \frac{2}{3}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(6\beta - 4)^{201} + 201 = (6 \times \frac{2}{3} - 4)^{201} + 201$
$= (4 - 4)^{201} + 201$
$= 0^{201} + 201 = 201$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2+9y^2-16x-54y+61=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને:
$4(x-2)^2+9(y-3)^2=36$
$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$
આ ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(2,3)$ છે અને મુખ્ય અક્ષ $y=3$ રેખા પર છે.
બિંદુ $(1,3)$ સમીકરણ $y=3$ નું સમાધાન કરે છે,જે મુખ્ય અક્ષનું સમીકરણ છે.
તેથી,બિંદુ $(1,3)$ મુખ્ય અક્ષ પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
ઉપવલયની નાભિઓ $F_1(ae, 0)$ અને $F_2(-ae, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નો પાયો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $F_1 F_2 = 2ae$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ બિંદુ $P$ ના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $h = |b \sin \theta|$ છે.
ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = aeb |\sin \theta|$ થાય.
$A$ ની મહત્તમ કિંમત માટે,$|\sin \theta|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ લેવી પડે.
તેથી,$A_{\text{max}} = aeb$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસનું શિરોબિંદુ $(x, y) = (8\cos\theta, 2\sin\theta)$ ધારો.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x = 16\cos\theta$ અને $2y = 4\sin\theta$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = (2x)(2y) = 64\sin\theta\cos\theta = 32\sin(2\theta)$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે,$\sin(2\theta) = 1$,એટલે કે $\theta = 45^\circ$.
તેથી,બાજુઓ $16\cos(45^\circ) = 8\sqrt{2}$ અને $4\sin(45^\circ) = 2\sqrt{2}$ થાય.

(D) મુખ્ય અક્ષ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $b > a$.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$,તેથી $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{5}$.
$\frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \implies b^2 = \frac{5a^2}{3}$.
ઉપવલય $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(-3)^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$.
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$.
$b^2 = \frac{5a^2}{3}$ મૂકતા,$\frac{9}{a^2} + \frac{3}{5a^2} = 1$.
$\frac{45 + 3}{5a^2} = 1 \implies 5a^2 = 48 \implies a^2 = \frac{48}{5}$.
તેથી $b^2 = \frac{5}{3} \times \frac{48}{5} = 16$.
સમીકરણ $\frac{x^2}{48/5} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
$\frac{5x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1 \implies 5x^2 + 3y^2 = 48$.

(B) ઉપવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓ $(-1, 0)$ અને $(7, 0)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 7 - (-1) = 8$ છે,તેથી $ae = 4$.
$e = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$a(\frac{1}{2}) = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 8^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 64(1 - \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$.
તેથી,$b = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ વાળા ઉપવલય પરના બિંદુના પ્રચલ યામ $(h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3 + 8 \cos \theta, 0 + 4 \sqrt{3} \sin \theta) = (3 + 8 \cos \theta, 4 \sqrt{3} \sin \theta)$ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ છે.
મધ્યબિંદુ $(1,1)$ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા મળે છે.
$(x_1, y_1) = (1, 1)$,$a^2=4$,અને $b^2=9$ મૂકતા:
$\frac{x(1)}{4}+\frac{y(1)}{9}-1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{9}-1$
$\frac{x}{4}+\frac{y}{9} = \frac{13}{36}$
$4$ વડે ગુણતા:
$x+\frac{4}{9}y = \frac{13}{9}$
$x+\alpha y=\beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{4}{9}$ અને $\beta = \frac{13}{9}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+1 = \frac{4}{9}+1 = \frac{13}{9} = \beta$.
આમ,$\alpha+1=\beta$.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. યામ $A(a, 0)$,$B(0, b)$,અને $B^{\prime}(0, -b)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle BAB^{\prime} = 60^{\circ}$,તેથી રેખા $AB$ મુખ્ય અક્ષ $AA^{\prime}$ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\triangle OAB$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{OB}{OA} = \frac{b}{a}$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \sqrt{3}b$.
કેન્દ્ર $O$ થી નાભિ $S$ નું અંતર $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{3b^2 - b^2} = \sqrt{2}b$ છે.
ધારો કે $\angle SBS^{\prime} = 2\theta$,જ્યાં $\theta = \angle OBS$. $\triangle OBS$ માં,$\tan \theta = \frac{OS}{OB} = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}b}{b} = \sqrt{2}$.
તેથી,$\angle SBS^{\prime} = 2\theta = 2 \tan^{-1}(\sqrt{2})$.

(B) ધારો કે ઉપવલય પરના બે બિંદુઓ $A(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ અને $B(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b \sin \theta_1}{a \cos \theta_1} = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b \sin \theta_2}{a \cos \theta_2} = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ છે.
જીવા $AB$ કેન્દ્ર $O$ પર કાટખૂણો આંતરે તે માટે ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = -1$ થવો જોઈએ.
$m_1 \times m_2 = \left(\frac{b}{a} \tan \theta_1\right) \times \left(\frac{b}{a} \tan \theta_2\right) = \frac{b^2}{a^2} (\tan \theta_1 \tan \theta_2)$.
આપેલ છે કે $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,તેથી:
$m_1 \times m_2 = \frac{b^2}{a^2} \times \left(-\frac{a^2}{b^2}\right) = -1$.
આમ,જીવા $AB$ કેન્દ્ર પર કાટખૂણો આંતરે છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુઓ $A(\alpha)$ અને $B(\beta)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{y}{b} \sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a=5$ અને $b=3$ છે. નાભિ $(ae, 0) = (4, 0)$ છે.
જીવા નાભિ $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=4$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\frac{4}{5} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.
વિસ્તરણ કરતા:
$4(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}) = 5(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2})$.
બંને બાજુ $\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$ વડે ભાગતા:
$4(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 1) = 5(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 1)$.
$4 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 4 = 5 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 5$.
$\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = -9$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$ માટે,$a^2=36$ અને $b^2=27$ છે. નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે.
$e^2 = 1 - \frac{27}{36} = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$e = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલયનો એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે નાભિઓમાંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબ અંતરોનો ગુણાકાર હંમેશા અર્ધ-ગૌણ અક્ષના વર્ગ $(b^2)$ જેટલો હોય છે.
અહીં,$b^2 = 27$ છે.
આમ,નાભિઓ $(3,0)$ અને $(-3,0)$ થી સ્પર્શક પરના લંબ અંતરોનો ગુણાકાર $27$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 4y^2 = 4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$,તેથી $a = 2$ અને $b = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા $\alpha$ અને $\beta$ વાળી નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના યામ $(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$ અને $(a \cos \beta, b \sin \beta)$ છે.
જીવા $\alpha$ અને $\beta$ ને જોડતી રેખા નાભિસ્થ જીવા હોય તેની શરત $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = e \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ છે.
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,આપણને $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ મળે.
આમ,$\sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જો $\alpha$ અને $\beta$ નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓ હોય,તો $\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{e-1}{e+1}$ થાય.
અહીં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 - 9/25} = 4/5$.
તેથી,$\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2) = \frac{4/5 - 1}{4/5 + 1} = -1/9$.
આમ,$\frac{\cot(\alpha/2)}{\tan(\beta/2)} = \frac{1}{\tan(\alpha/2) \tan(\beta/2)} = -9$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + y^2 = 1$ છે. જીવાનું સમીકરણ $x - y + 1 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે $y = x + 1$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y = x + 1$ મૂકતા: $2x^2 + (x + 1)^2 = 1$.
$2x^2 + x^2 + 2x + 1 = 1 \implies 3x^2 + 2x = 0$.
$x(3x + 2) = 0$,તેથી $x_1 = 0$ અને $x_2 = -\frac{2}{3}$.
અનુરૂપ $y$ કિંમતો: $y_1 = 0 + 1 = 1$ અને $y_2 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
આમ,બિંદુઓ $A(0, 1)$ અને $B(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
$OA$ અને $OB$ ના ઢાળ $m_1 = \infty$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
રેખા $y=mx+c$ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય તો $c^2=a^2m^2+b^2$ થાય.
ઢાળ $m=2$ આપેલ હોવાથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=2x \pm \sqrt{4a^2+b^2}$ થાય,જેને $2x-y \pm \sqrt{4a^2+b^2}=0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=4$ (ત્રિજ્યા $r=2$,કેન્દ્ર $(0,0)$) ને સ્પર્શતી હોવાથી,ઉગમબિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|\pm \sqrt{4a^2+b^2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$.
$\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{5}} = 2$ $\Rightarrow \sqrt{4a^2+b^2} = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow 4a^2+b^2 = 20$.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{4a^2b^2} = 2ab$.
$\frac{20}{2} \geq 2ab$ $\Rightarrow 10 \geq 2ab$ $\Rightarrow ab \leq 5$.
આમ,$ab$ ની મહત્તમ કિંમત $5$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $2x - y + 3 = 0$ અને $4x + ky + 3 = 0$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સંયુગ્મી હોય જો $a^2a_1a_2 + b^2b_1b_2 = c_1c_2$ થાય.
ઉપવલયના સમીકરણ $5x^2 + 6y^2 = 15$ ને $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2.5} = 1$ તરીકે લખતા,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ મળે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ અને $a_2 = 4, b_2 = k, c_2 = 3$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $3(2)(4) + (2.5)(-1)(k) = (3)(3)$.
$24 - 2.5k = 9$.
$2.5k = 15$.
$k = \frac{15}{2.5} = 6$.

(A) રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2+5y^2=15$ છે,જેને $15$ વડે ભાગતા પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ મળે છે.
અહીં,$a^2=5$,$b^2=3$,$m=2$,અને $c=k$ છે.
આ કિંમતોને શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ માં મૂકતા:
$k^2 = (5)(2^2) + 3$
$k^2 = 5 \times 4 + 3$
$k^2 = 20 + 3 = 23$
$k = \pm \sqrt{23}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2=64$ છે,જેને $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસના શિરોબિંદુ $P$ ને $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$ ધારો.
લંબચોરસના ચાર શિરોબિંદુઓ $(8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, 4\sin\theta)$,$(-8\cos\theta, -4\sin\theta)$ અને $(8\cos\theta, -4\sin\theta)$ છે.
લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ $L = 2(8\cos\theta) = 16\cos\theta$ અને $W = 2(4\sin\theta) = 8\sin\theta$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times W = (16\cos\theta)(8\sin\theta) = 128\sin\theta\cos\theta = 64\sin(2\theta)$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2\theta) = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{\pi}{2}$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{4}$.
બાજુઓ માટેના સમીકરણોમાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$L = 16\cos(\frac{\pi}{4}) = 16(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 8\sqrt{2}$.
$W = 8\sin(\frac{\pi}{4}) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}$.
આમ,બાજુઓની લંબાઈ $8\sqrt{2}$ અને $4\sqrt{2}$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + y^2 = 9$ છે.
$x = m^2$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $9(m^2)^2 + y^2 = 9$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $9m^4 + y^2 = 9$ થાય છે,જે $y^2 = 9 - 9m^4 = 9(1 - m^4)$ આપે છે.
બિંદુઓ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,$y^2 > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$9(1 - m^4) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 - m^4 > 0$ અથવા $m^4 < 1$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,આપણને $|m| < 1$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ રેખા $4x - y + c = 0$ છે. ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે.
સ્પર્શકની શરત મુજબ $c^2 = a^2m^2 + b^2$ લેતા,$c^2 = 17$ મળે છે.
તેથી $c = \pm \sqrt{17}$.
સમીકરણ $x^3 - x^2 - 17x + 17 = 0$ ના અવયવો પાડતા $(x-1)(x^2-17) = 0$ મળે છે,જેના બીજ $1, \sqrt{17}, -\sqrt{17}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ છે.
સ્પર્શક $(2, 3)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$3 = 2m \pm \sqrt{16m^2 + 9}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3 - 2m)^2 = 16m^2 + 9$.
$9 - 12m + 4m^2 = 16m^2 + 9$.
$12m^2 + 12m = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = -1$.
$m = 0$ માટે,સ્પર્શક $y = 3$ છે.
$m = -1$ માટે,સ્પર્શક $x + y = 5$ છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ધારો કે $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q = (a \cos \phi, b \sin \phi)$.
$\angle PCQ = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CP$ અને $CQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
તેથી,$\frac{b^2}{a^2} \tan \theta \tan \phi = -1$,એટલે કે $\tan \theta \tan \phi = -\frac{a^2}{b^2}$.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R(h, k)$ એ $h = a \frac{\cos(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ અને $k = b \frac{\sin(\frac{\theta+\phi}{2})}{\cos(\frac{\theta-\phi}{2})}$ દ્વારા મળે છે.
આના પરથી $R$ નો બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0)$ લો. સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ થાય.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ અને $B = (0, \frac{1}{y_0})$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ અંતઃખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{1}{x_0}$ અને $k = \frac{1}{2y_0}$,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = \frac{1}{h}$ અને $y_0 = \frac{1}{2k}$.
કારણ કે $(x_0, y_0)$ ઉપવલય પર છે,તેથી $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ થાય.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ મળે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
ઉપવલયના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
તેથી,$x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$.
બિંદુ $(-3, 2)$ માટે,$(-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13$ થાય છે.
આમ,બિંદુ $(-3, 2)$ નિયામક વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $9x^2 + 4y^2 = 72$. $72$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{18} = 1$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{9(2)x}{72} + \frac{4(3)y}{72} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ થાય છે. $X$-અંતઃખંડ $x = 4$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{2}{3}$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{2}{3}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - 3y = -5$ થાય છે.
$y = 0$ મૂકતા,અભિલંબનો $X$-અંતઃખંડ $x = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
$X$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો: $|4 - (-\frac{5}{2})| = \frac{13}{2}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{13}{2} \times 3 = \frac{39}{4}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
અહીં $m = \frac{1}{3}$ લેતા,સ્પર્શક $y = \frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2}$ થાય,જે $x - 3y \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
આ રેખા વર્તુળ $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ નો અભિલંબ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે.
અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $(-1, -1)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 - 3(-1) \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0 \implies 2 \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$.
આથી $3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 2 \implies \frac{a^2}{9} + b^2 = \frac{4}{9} \implies a^2 + 9b^2 = 4$.
$a > b > 0$ હોવાથી $b^2 = \frac{4 - a^2}{9} > 0 \implies a^2 < 4$ અને $a^2 > b^2 \implies a^2 > \frac{4 - a^2}{9} \implies a^2 > \frac{2}{5}$.
તેથી $a^2 \in \left(\frac{2}{5}, 4\right)$.