Ellipse Questions in Gujarati

(D) બિંદુ $P(8, 27)$ માટે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ના સ્પર્શક જીવા $QR$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{8x}{4} + \frac{27y}{9} = 1 \Rightarrow 2x + 3y = 1$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $Q, R$ ને જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ ઉપવલયના સમીકરણને સ્પર્શક જીવા વડે સમઘાત બનાવીને મળે છે:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = (2x + 3y)^{2}$.
$9x^{2} + 4y^{2} = 36(4x^{2} + 12xy + 9y^{2})$.
$135x^{2} + 432xy + 320y^{2} = 0$.
$ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 135, h = 216, b = 320$.
ખૂણો $\theta = \tan^{-1} \left| \frac{2\sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right| = \tan^{-1} \left( \frac{48 \sqrt{6}}{455} \right)$.

(A) આપેલ વક્ર $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + y = k$ છે,જેને $y = -x + k$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = -1$ અને $c = k$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $k^{2} = 16(-1)^{2} + 9$ મળે છે.
$k^{2} = 16 + 9 = 25$.
$k = \pm 5$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $x + y = 5$ અને $x + y = -5$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{18}=1$ છે,જ્યાં $a^{2}=32$ અને $b^{2}=18$ છે.
$m = -\frac{3}{4}$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times (-\frac{3}{4})^{2} + 18}$.
$y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times \frac{9}{16} + 18} = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{18 + 18} = -\frac{3}{4}x \pm 6$.
ધન અંતઃખંડ લેતા,સમીકરણ $y = -\frac{3}{4}x + 6$ મળે છે,જે $3x + 4y = 24$ થાય છે.
$y=0$ અને $x=0$ લેતા અંતઃખંડ મળે છે:
$y=0$ માટે,$3x=24 \Rightarrow x=8$,તેથી $A = (8, 0)$.
$x=0$ માટે,$4y=24 \Rightarrow y=6$,તેથી $B = (0, 6)$.
$\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $5x^{2} + 9y^{2} = 45$ છે. $45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^{2} = 9$ અને $b^{2} = 5$.
રેખા $4x - 3y + k = 0$ ને $y = \frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{4}{3}$ અને $c = \frac{k}{3}$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{k}{3})^{2} = 9(\frac{4}{3})^{2} + 5$.
$\frac{k^{2}}{9} = 9(\frac{16}{9}) + 5 = 16 + 5 = 21$.
$k^{2} = 9 \times 21 = 189$.
$k = \pm \sqrt{189} = \pm 3\sqrt{21}$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ના કોઈ પણ અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \phi - by \operatorname{cosec} \phi = a^{2} - b^{2}$ છે.
આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a \sec \phi}{\cos \alpha} = \frac{-b \operatorname{cosec} \phi}{\sin \alpha} = \frac{a^{2} - b^{2}}{p}$
$\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામ $p^{2} (a^{2} \sec^{2} \alpha + b^{2} \operatorname{cosec}^{2} \alpha) = (a^{2} - b^{2})^{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$CD$ એ અર્ધ-અનુબદ્ધ વ્યાસ હોવાથી,$D$ ના યામ $(a \cos(\theta + \frac{\pi}{2}), b \sin(\theta + \frac{\pi}{2})) = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ થશે.
હવે,$CP^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta$.
અને $CD^{2} = (-a \sin \theta)^{2} + (b \cos \theta)^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$CP^{2} + CD^{2} = a^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$.
કારણ કે $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,તેથી $CP^{2} + CD^{2} = a^{2} + b^{2}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 288$ છે. $288$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ મળે. અહીં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 18$ છે.
$m$ ઢાળવાળી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
સ્પર્શક અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -1$ થાય. તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + y = c$ થાય.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે. કિંમતો મૂકતા:
$c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$.
તેથી,$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |c| |c| = \frac{1}{2} c^2 = \frac{1}{2} (50) = 25$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{6}$ આપેલું છે,તેથી $\pi ab = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $ab = \frac{1}{6}$.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $C$ માટે,સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \frac{1}{2}$ અને $b^2 = \frac{1}{9} \implies b = \frac{1}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x = 4 \cos \theta$ અને $y = 3 \sin \theta$ છે.
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું ઉપવલય દર્શાવે છે, જ્યાં $a = 4$ અને $b = 3$ છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા, આપણને $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ ચોરસ એકમ મળે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે।
તેથી,$a = 2$ અને $b = 3$ મળે।
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે।
કિંમતો મૂકતા,$A = \pi \times 2 \times 3 = 6 \pi$ મળે।
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં લખતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$.
અહીં,$a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{3}$ છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ ચોરસ એકમ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે, જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a = 4$ અને $b = 3$ છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા, આપણને $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ મળે છે.
આમ, ઉપવલય દ્વારા આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $12 \pi$ ચોરસ એકમ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ છે,જ્યાં $a^{2}=4$ અને $b^{2}=1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે,જ્યાં $m=4$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ને સ્પર્શવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=4(4)^{2}+1$ મળે છે.
$c^{2}=4(16)+1=64+1=65$.
તેથી,$c=\pm \sqrt{65}$.
$c$ માટે બે શક્ય મૂલ્યો હોવાથી,રેખા $c$ ના $2$ મૂલ્યો માટે વક્રને સ્પર્શે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{2-\lambda} - \frac{y^{2}}{\lambda-5} = 1$ છે.
આ સમીકરણ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે તે $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $a^{2} > 0$ અને $b^{2} > 0$ હોય.
સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\frac{x^{2}}{2-\lambda} + \frac{y^{2}}{5-\lambda} = 1$.
ઉપવલય માટે,બંને છેદ ધન હોવા જોઈએ:
$2 - \lambda > 0 \implies \lambda < 2$
$5 - \lambda > 0 \implies \lambda < 5$
આ બંને શરતોનો છેદ લેતા,આપણને $\lambda < 2$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2+3y^2=12$
$12$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું ઉપવલય છે,જ્યાં $a^2 = 12$ અને $b^2 = 4$.
તેથી,$a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ અને $b = 2$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈ $= \frac{2 \times 4}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ એકમ.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$
$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 25$ અને $b^{2} = 9$ મળે છે.
તેથી,$a = 5$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ છે. તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=16$ અને $b^{2}=4$ મળે,તેથી $a=4$ અને $b=2$.
ધારો કે બિંદુ $P(2, \sqrt{3})$ નો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ છે.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રચલિત યામ $x = a \cos \theta$ અને $y = b \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = 4 \cos \theta$ અને $y = 2 \sin \theta$ મળે.
આપેલ બિંદુ $(2, \sqrt{3})$ માટે:
$2 = 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{3} = 2 \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આમ,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{2}$ બંને $\theta = \frac{\pi}{3}$ માટે સાચા છે,તેથી ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\frac{\pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=36$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a=6$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરોનો સરવાળો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
તેથી,$PS + PS^{\prime} = 2a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$PS + PS^{\prime} = 2 \times 6 = 12$ મળે છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi a^{2}$.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $= \pi ab$.
પ્રશ્ન મુજબ,સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉપવલયના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું છે:
$\pi a^{2} = 2(\pi ab)$
$a^{2} = 2ab$
$a = 2b \Rightarrow b = \frac{a}{2}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચે મુજબ છે:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{(a/2)^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}/4}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) આપેલ વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે. બિંદુ $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$ મળે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{t} = -\frac{b}{a}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $bx + ay = \sqrt{2}ab$ છે.
$x$-અક્ષ $(y=0)$ માટે,$x = \sqrt{2}a$. તેથી,પ્રથમ શિરોબિંદુ $A(\sqrt{2}a, 0)$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = \frac{a}{b}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $ax - by = \frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{2}}$ છે.
$x$-અક્ષ $(y=0)$ માટે,$x = \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}$. તેથી,બીજું શિરોબિંદુ $B\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \left|\sqrt{2}a - \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}\right| \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^{2}+b^{2})}{4a}$.

(D) રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 4$ ને $y = -x \cot \alpha + 4 \operatorname{cosec} \alpha$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$m = -\cot \alpha$,$c = 4 \operatorname{cosec} \alpha$,$a^2 = 25$,અને $b^2 = 9$ છે.
શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$16 \operatorname{cosec}^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$\operatorname{cosec}^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$16(1 + \cot^2 \alpha) = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$16 + 16 \cot^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$9 \cot^2 \alpha = 7 \implies \cot^2 \alpha = 7/9$.
તેથી,$\tan^2 \alpha = 9/7$,જે દર્શાવે છે કે $\tan \alpha = 3/\sqrt{7}$.
આમ,$\alpha = \tan^{-1}(3/\sqrt{7})$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે $(\alpha, \beta)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_{1}=T^{2}$ દ્વારા મળે છે.
જો સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય,તો $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
આ શરતનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left(\frac{1}{a^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\alpha^{2}}{a^{4}} + \left(\frac{1}{b^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\beta^{2}}{b^{4}} = 0$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\beta^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{a^{2}} + \frac{\alpha^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = 0$
$\alpha^{2} + \beta^{2} = a^{2}b^{2}\left(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}\right) = a^{2} + b^{2}$
આમ,$(\alpha, \beta)$ નો બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ છે,જેને નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવામાં આવે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે.
ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$\triangle S P S^{\prime}$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |ae(b \sin \theta - 0) + a \cos \theta(0 - 0) + (-ae)(0 - b \sin \theta)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |aeb \sin \theta + aeb \sin \theta| = |abe \sin \theta|$.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\triangle S P S^{\prime}$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $abe$ થાય.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય એ સમતલના એવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (જેને નાભિ કહેવાય છે) થી તેમના અંતરનો સરવાળો અચળ રહે છે.
તેથી,આવા બિંદુનો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=36$ અને $b^{2}=16$ મળે છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e=\sqrt{1-\frac{16}{36}}$.
$e=\sqrt{\frac{36-16}{36}}=\sqrt{\frac{20}{36}}$.
$e=\frac{\sqrt{20}}{6}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નું ક્ષેત્રફળ $\pi |ab|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ પરથી,$a^{2} = 25$ અને $b^{2} = \lambda^{2}$ મળે છે.
તેથી,$a = 5$ અને $b = |\lambda|$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $20 \pi$ ચોરસ એકમ આપેલ છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\pi \times 5 \times |\lambda| = 20 \pi$.
બંને બાજુ $5 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $|\lambda| = 4$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \pm 4$.

(A) એકમના $4^{th}$ મૂળ $1, -1, i, -i$ છે. વાસ્તવિક બીજ $\alpha=1, \beta=-1$ છે અને અન્ય બીજ $\gamma=i, \delta=-i$ છે.
પ્રથમ શાંકવ $|z-1|+|z+1|=4$ માટે,આ એક ઉપવલય દર્શાવે છે જેના નાભિ $(\pm 1, 0)$ પર છે અને મુખ્ય અક્ષ $2a=4$ છે,તેથી $a=2$. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_1=2$ છે,તેથી $e_1=\frac{1}{2}$.
બીજા શાંકવ $|z-i|+|z+i|=6$ માટે,આ એક ઉપવલય દર્શાવે છે જેના નાભિ $(0, \pm 1)$ પર છે અને મુખ્ય અક્ષ $2a=6$ છે,તેથી $a=3$. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_2=2$ છે,તેથી $e_2=\frac{1}{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતાનો સરવાળો $e_1+e_2 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ થાય.

(B) ધારો કે ગતિ કરતા બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) થી બિંદુના અંતરનો સરવાળો અચળ $(2a)$ હોય છે.
આપેલ શરત $\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x + ae)^2 + y^2} = 2a$ છે.
આ સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - ae)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + ae)^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$x^2 - 2aex + a^2e^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$-4aex - 4a^2 = -4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$ex + a = \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$e^2x^2 + 2aex + a^2 = x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2$.
$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$.
$a^2(1 - e^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2(1 - e^2)}{a^2(1 - e^2)} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,આપણને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{(x+2)^2+y^2}=4$.
ધારો કે $P = (x, y)$,$A = (2, 0)$,અને $B = (-2, 0)$.
આ સમીકરણ બિંદુ $P$ થી બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે,જે $PA + PB = 4$ છે.
બિંદુ $A(2, 0)$ અને $B(-2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ છે.
કારણ કે $PA + PB = AB$,બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોવું જોઈએ.
શરત $-2 < x < 2$ અને $y=0$ આપેલ હોવાથી,આ $x$-અક્ષ પર $x = -2$ અને $x = 2$ ની વચ્ચેનો રેખાખંડ દર્શાવે છે.
આમ,સમીકરણ એક રેખાખંડ દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે. સમસ્યા મુજબ,$P$ થી $F_1(0, 2)$ અને $F_2(0, -2)$ સુધીના અંતરનો સરવાળો $6$ છે.
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} = 6$
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 6 - \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 36 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$-8y - 36 = -12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$2y + 9 = 3\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$4y^2 + 36y + 81 = 9(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$4y^2 + 36y + 81 = 9x^2 + 9y^2 + 36y + 36$
$9x^2 + 5y^2 = 45$

(B) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 25y^2 - 90x - 150y + 225 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 10x) + 25(y^2 - 6y) = -225$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 - 10x + 25) + 25(y^2 - 6y + 9) = -225 + 225 + 225$.
$9(x - 5)^2 + 25(y - 3)^2 = 225$.
$225$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ મળે.
આ ઉપવલય (ellipse) નું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$ થાય.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2+2y^2-4x+12y+14=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x^2-4x) + 2(y^2+6y) = -14$
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2-4x+4) + 2(y^2+6y+9) = -14+4+18$
$(x-2)^2 + 2(y+3)^2 = 8$
$8$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $7x^2 + 16y^2 = 112$ છે.
$112$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 7$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ નું નાભિ $S$ થી અંતર અને નિયામિકા $L$ થી અંતરનો ગુણોત્તર એ ઉત્કેન્દ્રતા $e$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{SP}{PM} = e = \frac{3}{4}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $(x, y) = (2 \cos \theta-3, 3 \sin \theta-4)$ છે.
આથી,$\cos \theta = \frac{x+3}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{y+4}{3}$ મળે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y+4}{3})^2 = 1$
$\frac{x^2+6x+9}{4} + \frac{y^2+8y+16}{9} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે $36$ વડે ગુણતા:
$9(x^2+6x+9) + 4(y^2+8y+16) = 36$
$9x^2 + 54x + 81 + 4y^2 + 32y + 64 = 36$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 145 - 36 = 0$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 109 = 0$.

(A) $1$. ઉપવલય માટે,નાભિ $(x_1, y_1)$ થી નિયામિકા $ax + by + c = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. અહીં,નાભિ $(1, -2)$ છે અને નિયામિકા $3x + 4y - 15 = 0$ છે.
$3$. $d = \frac{|3(1) + 4(-2) - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 - 15|}{5} = \frac{|-20|}{5} = 4$.
$4$. નાભિથી નિયામિકાના અંતરનું સૂત્ર $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e}$ છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
$5$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,તેથી $b^2 = 2a$.
$6$. આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $2a = a^2(1 - e^2) \implies 2 = a(1 - e^2)$.
$7$. સ્ટેપ $3$ અને $4$ પરથી,$\frac{a(1 - e^2)}{e} = 4$. $a(1 - e^2) = 2$ મૂકતા,આપણને $\frac{2}{e} = 4 \implies e = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$8$. વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ માં $e$ મેળવવા માટે વપરાયેલ સાચું સૂત્ર આપે છે,તેથી $(A)$ અને $(R)$ સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે,જ્યાં $b < 2$.
અહીં,$a^2 = 4$,તેથી $a = 2$.
નાભિઓ $F(c, 0)$ અને $F'(-c, 0)$ છે અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\triangle FBF'$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2c) \times b = bc$ થાય.
આપેલ છે કે $bc = \sqrt{3}$,તેથી $b^2 c^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 = \frac{3}{b^2}$.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2 - c^2 = 4 - c^2$,એટલે કે $c^2 = 4 - b^2$.
$c^2 = \frac{3}{b^2}$ ને $c^2 = 4 - b^2$ માં મૂકતા:
$\frac{3}{b^2} = 4 - b^2$ $\Rightarrow 3 = 4b^2 - b^4$ $\Rightarrow b^4 - 4b^2 + 3 = 0$.
$t = b^2$ લેતા,$t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t - 1)(t - 3) = 0$.
તેથી,$b^2 = 1$ અથવા $b^2 = 3$.
કિસ્સો $1$: $b^2 = 1$. તો $c^2 = 4 - 1 = 3$,તેથી $c = \sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કિસ્સો $2$: $b^2 = 3$. તો $c^2 = 4 - 3 = 1$,તેથી $c = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\frac{1}{2}$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $16x^2 + 25y^2 = 400$.
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા: $\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ મળે છે.
તેથી,$a = 5$ અને $b = 4$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$.

(D) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $SP + S^{\prime}P = 2a$. આપેલ છે કે $SP + S^{\prime}P = 2$,તેથી $2a = 2$,એટલે કે $a = 1$.
નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ વચ્ચેનું અંતર $SS^{\prime} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
$SS^{\prime} = 2ae$ હોવાથી,$2ae = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર એ નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
મુખ્ય અક્ષ એ $S$ અને $S^{\prime}$ માંથી પસાર થતી રેખા પર છે. મુખ્ય અક્ષની દિશામાં કેન્દ્રથી $a=1$ અંતરે અંત્યબિંદુઓ આવેલા છે.
કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ હોવાથી,$x_1$ અને $x_2$ એ કેન્દ્રના $x$-યામની આસપાસ સમાન અંતરે હશે.
તેથી,$x_1 + x_2 = 2 \times (\text{કેન્દ્રનો } x\text{-યામ}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
અહીં,$a^2=25$ અને $b^2=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે.
નાભિ $F(3,0)$ અને બિંદુ $A(0,3)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ $x + y - 3 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+3y^2=6$ છે,જેને $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે બિંદુનો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ છે. ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે,જ્યાં $a^2=6$ અને $b^2=2$.
તેથી,યામ $(\sqrt{6} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી આ બિંદુનું અંતર $2$ એકમ છે.
તેથી,$(\sqrt{6} \cos \theta)^2 + (\sqrt{2} \sin \theta)^2 = 2^2$.
$6 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta = 4$.
$6 \cos^2 \theta + 2(1 - \cos^2 \theta) = 4$.
$4 \cos^2 \theta + 2 = 4$ $\Rightarrow 4 \cos^2 \theta = 2$ $\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\frac{3\pi}{4}$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,આ શિરોલંબ ઉપવલય છે જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $a^2 = b^2(1 - e^2)$ $\Rightarrow 4 = 9(1 - e^2)$ $\Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિઓ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{5})$ છે.
બિંદુ $P = \left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ માટે નાભિ અંતરો $PS$ અને $PS'$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PS = 2$ અને $PS' = 4$ મળે છે.

(D) ધારો કે નાભિઓ $S_1(-ae, 0)$ અને $S_2(ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $A(0, b)$ છે.
ખૂણો $\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ છે.
$\Delta S_1 A S_2$ માં,$\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ હોવાથી,કર્ણ $S_1 S_2$ પરની મધ્યગા $AO$ એ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
$AO = \frac{1}{2} S_1 S_2$
$b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,આપણને મળે:
$(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2 e^2 = a^2 - a^2 e^2$
$2a^2 e^2 = a^2$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^2=36$ અને $b^2=20$ મળે છે,તેથી $a=6$ થાય.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય: $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{20}{36}} = \sqrt{\frac{16}{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
જ્યારે $a > b$ હોય ત્યારે ઉપવલયની નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \pm \frac{6}{2/3} = \pm 9$ મળે છે.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર આ બે કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત છે: $|9 - (-9)| = 18$.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a}$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $= 2b$.
આપેલ શરત મુજબ,નાભિલંબ એ ગૌણ અક્ષના અડધા જેટલું છે:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} (2b) = b$.
બંને બાજુ $b$ વડે ભાગતા,$\frac{2b}{a} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{b^2}{a^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) આપેલ છે કે,મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 6 \Rightarrow a = 3$ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \Rightarrow b = 1$.
મુખ્ય અક્ષ $x-y+1=0$ રેખા પર છે. ગૌણ અક્ષ મુખ્ય અક્ષને લંબ છે અને કેન્દ્ર $(5,6)$ માંથી પસાર થાય છે.
મુખ્ય અક્ષનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે. તેથી,ગૌણ અક્ષનો ઢાળ $m_2 = -1$ થાય.
ગૌણ અક્ષનું સમીકરણ $y - 6 = -1(x - 5) \Rightarrow x + y - 11 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(h,k) = (5,6)$ વાળા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(\text{મુખ્ય અક્ષથી અંતર})^2}{b^2} + \frac{(\text{ગૌણ અક્ષથી અંતર})^2}{a^2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,મુખ્ય અક્ષ $x-y+1=0$ થી અંતર $\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}$ છે.
ગૌણ અક્ષ $x+y-11=0$ થી અંતર $\frac{|x+y-11|}{\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$\frac{(\frac{x-y+1}{\sqrt{2}})^2}{1^2} + \frac{(\frac{x+y-11}{\sqrt{2}})^2}{3^2} = 1$
$\frac{(x-y+1)^2}{2} + \frac{(x+y-11)^2}{18} = 1$
$18$ વડે ગુણતા:
$9(x-y+1)^2 + (x+y-11)^2 = 18$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 25y^2 = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,$\frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ મળે,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ છે.
નાભિઓના યામ $(\pm ae, 0)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ મળે છે.

(D) અંતર્ગત ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ માટે,લંબચોરસ $R$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, \pm 2)$ છે.
કારણ કે $E_2: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એ લંબચોરસ $R$ ને પરિગત છે,તે $R$ ના શિરોબિંદુઓ જેવા કે $(3, 2)$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.
$E_2$ ના સમીકરણમાં $(3, 2)$ મૂકતા: $\frac{3^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
આપેલ છે કે $E_2$ એ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1$,જે $b^2 = 16$ આપે છે,તેથી $b = 4$.
$b^2 = 16$ ને સમીકરણ $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{16} = 1$ માં મૂકતા:
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{4} = 1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = 12$ $\Rightarrow a = 2\sqrt{3}$.
આમ,$a = 2\sqrt{3}$ અને $b = 4$.

(D) ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ધ્યાનમાં લો.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 3$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 4$.
ઉપવલય માટે,$a, b,$ અને $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $a^2 = b^2 + c^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$,તેથી $a = 5$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$e = \frac{3}{5}$.