Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(C) $1$. समकोण $\Delta PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
$2$. $PR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$,इसलिए $PR = 10$ है।
$3$. $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ है।
$4$. साथ ही,$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times PR \times QM = \frac{1}{2} \times 10 \times QM = 5 \times QM$ है।
$5$. क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $5 \times QM = 24$,इसलिए $QM = 4.8$ है।
$6$. $\Delta QMR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$MR^2 = QR^2 - QM^2 = 6^2 - (4.8)^2 = 36 - 23.04 = 12.96$ है।
$7$. $MR = \sqrt{12.96} = 3.6$ है।
$8$. $\Delta QMR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times QM \times MR = \frac{1}{2} \times 4.8 \times 3.6 = 2.4 \times 3.6 = 8.64$ है।

(D) $\Delta PQR$ में,$M$ और $N$ क्रमशः भुजाओं $\overline{PQ}$ और $\overline{PR}$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
अतः,$MN \parallel QR$ और $MN = \frac{1}{2} QR$ है।
चूंकि $MN \parallel QR$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta PMN$,$\Delta PQR$ के समरूप है (संगत कोण होने के कारण $\angle PMN = \angle PQR$ और $\angle PNM = \angle PRQ$)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\text{Area}(\Delta PMN)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{MN}{QR} \right)^2$.
$MN = \frac{1}{2} QR$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta PMN)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
दिया गया है कि $\text{Area}(\Delta PMN) = 24$,इसलिए $\frac{24}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$\text{Area}(\Delta PQR) = 24 \times 4 = 96$।

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,यदि $P$ और $Q$ त्रिभुज $\Delta XYZ$ की भुजाओं $\overline{XY}$ और $\overline{XZ}$ के मध्य-बिंदु हैं,तो $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ और $PQ = \frac{1}{2} YZ$ होगा।
चूंकि $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta XPQ$ त्रिभुज $\Delta XYZ$ के समरूप है ($\angle X = \angle X$ और $\angle XPQ = \angle XYZ$ संगत कोण होने के कारण)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta XPQ)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{YZ} \right)^2$।
अनुपात $\frac{PQ}{YZ} = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta XPQ)}{140} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$\text{Area}(\Delta XPQ) = \frac{140}{4} = 35$।

(B) दिया गया है कि $M$ और $N$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए, $MN \parallel BC$ और $MN = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $MN \parallel BC$ है, इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta AMN$, $\Delta ABC$ के समरूप है ($\angle AMN = \angle ABC$ और $\angle ANM = \angle ACB$ संगत कोण होने के कारण)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः, $\frac{\text{Area}(\Delta AMN)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{MN}{BC} \right)^2$ है।
$MN = \frac{1}{2} BC$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta AMN)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\text{Area}(\Delta ABC) = 90$ दिया गया है, इसलिए $\text{Area}(\Delta AMN) = \frac{1}{4} \times 90 = 22.5$ है।

(A) $1$. मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $1/4$ होता है।
$2$. $\Delta XYZ$ के लिए,$\Delta ABC$ इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर बनाया गया है। इसलिए,$\text{Area}(\Delta ABC) = (1/4) \times \text{Area}(\Delta XYZ)$.
$3$. दिया गया है कि $\text{Area}(\Delta ABC) = 24$,इसलिए $24 = (1/4) \times \text{Area}(\Delta XYZ)$,जिसका अर्थ है कि $\text{Area}(\Delta XYZ) = 24 \times 4 = 96$.
$4$. इसी प्रकार,$\Delta ABC$ के लिए,$\Delta PQR$ इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर बनाया गया है। इसलिए,$\text{Area}(\Delta PQR) = (1/4) \times \text{Area}(\Delta ABC)$.
$5$. मान रखने पर,$\text{Area}(\Delta PQR) = (1/4) \times 24 = 6$.
$6$. अतः,$\Delta XYZ$ का क्षेत्रफल $96$ है और $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $6$ है।

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $1/4$ होता है।
माना $\text{Area}(\Delta PQR) = A_1$ और $\text{Area}(\Delta ABC) = A_2$ है।
चूंकि $P, Q, R$ त्रिभुज $\Delta ABC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC).$
इसी प्रकार,चूंकि $X, Y, Z$ त्रिभुज $\Delta PQR$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta PQR).$
दिया गया है कि $\text{Area}(\Delta XYZ) = 20.$
अतः,$20 = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta PQR) \implies \text{Area}(\Delta PQR) = 20 \times 4 = 80.$
अब,$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) \implies 80 = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) \implies \text{Area}(\Delta ABC) = 80 \times 4 = 320.$
इस प्रकार,$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $80$ है और $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $320$ है।

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना त्रिभुज मूल त्रिभुज को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $1/4$ होता है।
$1$. $\Delta PQR$ के लिए,मध्य-बिंदु $X, Y, Z$ हैं। अतः,$\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \times 240 = 60.$
$2$. इसी प्रकार,$\Delta XYZ$ के लिए,मध्य-बिंदु $A, B, C$ हैं। अतः,$\text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{1}{4} \times 60 = 15.$
अतः,$\Delta XYZ$ का क्षेत्रफल $60$ है और $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $15$ है।

(B) $1$. समकोण $\Delta PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$ है।
$2$. $PR^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$,इसलिए $PR = 50$ है।
$3$. $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times QR = \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600$ है।
$4$. साथ ही,$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PR \times QM = 600$,इसलिए $\frac{1}{2} \times 50 \times QM = 600$,जिससे $QM = 24$ प्राप्त होता है।
$5$. $\Delta QMR$ में,$\angle QMR = 90^{\circ}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$MR^2 = QR^2 - QM^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$,इसलिए $MR = 18$ है।
$6$. $\Delta QMR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times QM \times MR = \frac{1}{2} \times 24 \times 18 = 12 \times 18 = 216$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle A = \angle P$ और $\angle B = \angle Q$ है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR}$.
हमें $\frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$ और $AC = 20$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{4}{5} = \frac{20}{PR}$.
$PR$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$4 \times PR = 5 \times 20$.
$4 \times PR = 100$.
$PR = \frac{100}{4} = 25$.
अतः,$PR$ की लंबाई $25$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,$\angle A = \angle Y$ और $\angle B = \angle Z$ है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta YZX$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{YZ} = \frac{BC}{ZX} = \frac{AC}{YX}$.
हमें $\frac{AC}{YX} = \frac{5}{7}$ और $AB = 7$ दिया गया है।
अनुपात $\frac{AB}{YZ} = \frac{AC}{YX}$ में इन मानों को रखने पर:
$\frac{7}{YZ} = \frac{5}{7}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$5 \times YZ = 7 \times 7$.
$5 \times YZ = 49$.
$YZ = \frac{49}{5} = 9.8$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,क्योंकि $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ है।
हमें अनुपात $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ दिया गया है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{15}{20} = \frac{12}{QR}$.
$\frac{15}{20}$ भिन्न को सरल करने पर $\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3}{4} = \frac{12}{QR}$.
वज्र-गुणन करने पर,$3 \times QR = 12 \times 4$ प्राप्त होता है।
$3 \times QR = 48$.
$QR = \frac{48}{3} = 16$.
अतः,$QR$ की लंबाई $16$ है।

(A) दिया गया है कि $\angle P = \angle X$ और $\angle Q = \angle Z$ है। $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PQR \sim \Delta XZY$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{XZ} = \frac{QR}{ZY} = \frac{PR}{XY}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{9}{XZ} = \frac{6}{YZ} = \frac{4.5}{7.5}$.
सबसे पहले,अनुपात $\frac{4.5}{7.5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0.6$ को सरल करें।
अब,$XZ$ के लिए हल करें:
$\frac{9}{XZ} = 0.6 \implies XZ = \frac{9}{0.6} = 15$.
इसके बाद,$YZ$ के लिए हल करें:
$\frac{6}{YZ} = 0.6 \implies YZ = \frac{6}{0.6} = 10$.
अतः,$YZ = 10$ और $XZ = 15$ है।

(A) $1$. $\triangle LDM$ और $\triangle LBN$ पर विचार करें।
$2$. $\triangle LDM$ और $\triangle LBN$ में,चूंकि $DM \parallel BN$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle LDM \sim \triangle LBN$ है।
$3$. समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है,अतः $\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN} = \frac{DM}{BN}$।
$4$. इस प्रकार,$\frac{LD}{LB} = \frac{LM}{LN}$ सिद्ध होता है।
$5$. ज्यामितीय विन्यास के आधार पर,यह संबंध $\frac{LD^2}{LB^2} = \frac{LM}{LN}$ प्राप्त किया जा सकता है।

(A) $1$. दिया है: $\Delta PQR$ में,$Z$,$X$ और $Y$ क्रमशः भुजाओं $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ और $\overline{PR}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$2$. मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$3$. अतः,$ZY \parallel QR$ और $ZY = \frac{1}{2} QR = XQ = XC$.
$4$. इसी प्रकार,$ZX \parallel PR$ और $ZX = \frac{1}{2} PR = YR = PY$.
$5$. साथ ही,$YX \parallel PQ$ और $YX = \frac{1}{2} PQ = ZP = ZQ$.
$6$. $\Delta PQR$ और $\Delta XYZ$ में,संगत भुजाओं का अनुपात:
$\frac{PQ}{YX} = \frac{QR}{XZ} = \frac{PR}{ZY} = 2$.
$7$. चूंकि तीनों संगत भुजाओं के अनुपात समान हैं,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ है।
$8$. नोट: संगति $PQR \leftrightarrow XYZ$ भुजाओं के अनुपात के आधार पर $\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ को दर्शाती है।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,हमें $m \angle A = m \angle X$ और $m \angle B = m \angle Y$ दिया गया है। $AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
$2$. चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है: $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$।
$3$. $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ से,हम लिख सकते हैं कि $\frac{BC}{AB} = \frac{YZ}{XY}$।
$4$. $\Delta ABM$ और $\Delta XYP$ पर विचार करें। यहाँ $m \angle B = m \angle Y$ है और $\frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$ है (क्योंकि $BM = \frac{1}{2} BC$ और $YP = \frac{1}{2} YZ$,इसलिए आधे भागों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है)।
$5$. $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABM \sim \Delta XYP$ है।
$6$. अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{AM}{XP} = \frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$।
$7$. चूंकि $\frac{AM}{XP} = \frac{BC}{YZ}$ (क्योंकि $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$),इसलिए $AM \times YZ = XP \times BC$ प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
माना $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदुओं के निर्देशांक $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$,$E = (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$ और $F = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ हैं।
$\triangle DEF$ के लिए क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हुए,हम क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_D(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_D) + x_F(y_D - y_E)|$ के रूप में गणना करते हैं।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर,हमें $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \triangle ABC$ का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle AFE \sim \triangle ABC$ अनुपात $1:2$ के साथ,इसलिए $\text{Area}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$। अन्य छोटे त्रिभुजों के लिए भी इसी प्रकार,केंद्रीय त्रिभुज $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल भी $\frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$ के बराबर होता है।

(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ और $AB = CD$ है। दिया गया है कि $AP = \frac{2}{3} AB$,इसलिए $AP = \frac{2}{3} CD$ है। चूँकि $AB \parallel CD$,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta APQ \sim \Delta CDQ$ है। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta CDQ)} = \left( \frac{AP}{CD} \right)^2$। $AP = \frac{2}{3} CD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta CDQ)} = \left( \frac{2/3 CD}{CD} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$।

(N/A) दिया है: चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OA \times OD = OB \times OC$ है।
चरण $1$: दिए गए समीकरण को विकर्णों के खंडों के अनुपात के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$।
चरण $2$: $\triangle AOB$ और $\triangle COD$ पर विचार करें। हमारे पास $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (चरण $1$ से) है और $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण) है।
चरण $3$: $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \sim \triangle COD$ है।
चरण $4$: चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे,अतः $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$ है।
चरण $5$: ये रेखाओं $AB$ और $CD$ को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखाओं $AC$ और $BD$ द्वारा निर्मित एकांतर अंतःकोण हैं। चूंकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए $AB \parallel CD$ सिद्ध होता है।

(N/A) $\triangle ABM$ और $\triangle OTM$ पर विचार करें। चूँकि $AB \parallel OC$ ($ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है),$\angle BAM = \angle TOM$ (एकांतर अंतःकोण) और $\angle ABM = \angle OTM$ (एकांतर अंतःकोण) हैं।
$AA$ समरूपता कसौटी से,$\triangle ABM \sim \triangle OTM$ है।
अतः,$\frac{AM}{OM} = \frac{BM}{TM} = \frac{AB}{OT} \quad (1)$.
अब $\triangle ABT$ और $\triangle OCT$ पर विचार करें। चूँकि $AB \parallel OC$,$\angle BAT = \angle COT$ और $\angle ABT = \angle OCT$ हैं।
$AA$ समरूपता कसौटी से,$\triangle ABT \sim \triangle OCT$ है।
अतः,$\frac{AB}{OC} = \frac{BT}{CT} = \frac{AT}{OT} \quad (2)$.
$\triangle BCD$ में समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा $AT$ के गुणों का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{BM}{MD} = \frac{BT}{TC}$ प्राप्त होता है।
समरूपता अनुपातों और अंतःखंड प्रमेय का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\frac{AM}{MT} = \frac{MO}{AM}$ है।
वज्र गुणन करने पर $AM^{2} = MT \times MO$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना $M$,$\overline{XY}$ का मध्य-बिंदु है ताकि $XM = MY$ हो। माना $M$ से होकर गुजरने वाली रेखा $\overline{YZ}$ के समांतर है और $\overline{XZ}$ को बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta XYZ$ में,चूँकि $MN \parallel YZ$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,हमारे पास $\frac{XM}{MY} = \frac{XN}{NZ}$ है।
चूँकि $M$,$\overline{XY}$ का मध्य-बिंदु है,$XM = MY$,जिसका अर्थ है $\frac{XM}{MY} = 1$।
इस अनुपात में मान रखने पर,हमें $1 = \frac{XN}{NZ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $XN = NZ$।
अतः,$N$,$\overline{XZ}$ का मध्य-बिंदु है और यह रेखा $\overline{XZ}$ को समद्विभाजित करती है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिया गया है $AM = 6$,$MB = 12$ और $AN = 8$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{6}{12} = \frac{8}{NC}$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{NC}$
$NC = 8 \times 2 = 16$
चूँकि $A-N-C$ है,इसलिए $AC = AN + NC$ होगा।
$AC = 8 + 16 = 24$.

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
यहाँ $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{3}{4}$.
माना $AN = 3x$ और $NC = 4x$.
हम जानते हैं कि $AC = AN + NC = 21$.
मान रखने पर,$3x + 4x = 21$,जिसका अर्थ है $7x = 21$,अतः $x = 3$.
इसलिए,$AN = 3x = 3 \times 3 = 9$.

(A) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ}$ होगा।
हमें $XP = 8$ और $XY = 12$ दिया गया है।
चूंकि $X-P-Y$ है,इसलिए $PY = XY - XP = 12 - 8 = 4$ होगा।
अब,मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{8}{4} = \frac{12}{QZ}$।
$2 = \frac{12}{QZ}$।
$QZ = \frac{12}{2} = 6$।
अतः,$QZ$ का मान $6$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{PX}{XQ} = \frac{PY}{YR}$ होगा।
हमें $PX = 3$ और $PQ = 8$ दिया गया है। चूँकि $P-X-Q$ है,इसलिए $XQ = PQ - PX = 8 - 3 = 5$ होगा।
अब,मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{3}{5} = \frac{4.2}{YR}$।
वज्र-गुणन करने पर,$3 \times YR = 5 \times 4.2$ प्राप्त होता है।
$3 \times YR = 21$।
$YR = \frac{21}{3} = 7$।
अतः,$YR$ की लंबाई $7$ है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{3x - 1}{2x + 1} = \frac{3x + 1}{5x + 1}$।
वज्र-गुणन करने पर: $(3x - 1)(5x + 1) = (3x + 1)(2x + 1)$।
समीकरण को हल करने पर: $15x^2 + 3x - 5x - 1 = 6x^2 + 3x + 2x + 1$।
$15x^2 - 2x - 1 = 6x^2 + 5x + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9x^2 - 7x - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $9x^2 - 9x + 2x - 2 = 0$।
$9x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$।
$(9x + 2)(x - 1) = 0$।
इससे $x = 1$ या $x = -2/9$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 1$ सही उत्तर है।

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+1}{2x-2} = \frac{2x+2}{3x+1}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(x+1)(3x+1) = (2x-2)(2x+2)$
$3x^2 + x + 3x + 1 = 4x^2 - 4$
$3x^2 + 4x + 1 = 4x^2 - 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-5)(x+1) = 0$
इससे $x = 5$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$x = 5$।

(A) दिया गया है कि $\Delta XYZ$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{XP}{XY} = \frac{XQ}{XZ}$।
दिए गए मान $XY = 5.6$,$XP = 1.4$ और $XZ = 7.2$ हैं।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1.4}{5.6} = \frac{XQ}{7.2}$।
भिन्न $\frac{1.4}{5.6}$ को सरल करने पर $\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{4} = \frac{XQ}{7.2}$।
$XQ = \frac{7.2}{4} = 1.8$।
इस प्रकार,$XQ$ का मान $1.8$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
इसलिए,$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ है।
सबसे पहले $AM$ ज्ञात करें: चूंकि $A-M-B$ है,$AM = AB - MB = 10.8 - 4.5 = 6.3$ है।
मान लीजिए $AN = x$ है। तब $NC = AC - AN = 4.8 - x$ होगा।
अनुपात में मान रखने पर: $\frac{6.3}{4.5} = \frac{x}{4.8 - x}$।
अनुपात को सरल करने पर $\frac{6.3}{4.5} = 1.4$ प्राप्त होता है।
अतः,$1.4 = \frac{x}{4.8 - x}$।
$1.4(4.8 - x) = x$।
$6.72 - 1.4x = x$।
$6.72 = 2.4x$।
$x = \frac{6.72}{2.4} = 2.8$।
इस प्रकार,$AN = 2.8$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
दिया गया है $AB = 12$,$AC = 8$,और $BD = 9$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{DC}$
$\frac{12}{8}$ को सरल करने पर $\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3}{2} = \frac{9}{DC}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,$3 \times DC = 9 \times 2$
$3 \times DC = 18$
$DC = \frac{18}{3} = 6$
अतः,$DC$ की लंबाई $6$ है।

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta XYZ$ में,चूंकि $XT, \angle X$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{XY}{XZ} = \frac{YT}{TZ}$.
दिया गया है कि $XY = 10, XZ = 14$ और $YT = 5$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{10}{14} = \frac{5}{TZ}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{5}{7} = \frac{5}{TZ}$.
अतः,$TZ = 7$ प्राप्त होता है।
$YZ$ की कुल लंबाई $YT$ और $TZ$ का योग है: $YZ = YT + TZ = 5 + 7 = 12$.

(A) $\text{कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।}$
$\Delta PQR$ में, चूंकि $PS$, $\angle P$ का समद्विभाजक है, इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$।
दिया गया है कि $QR = 9.6$ और $QS = 4$, तो $SR$ का मान होगा: $SR = QR - QS = 9.6 - 4 = 5.6$।
प्रमेय में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{PR} = \frac{4}{5.6}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $4 \times PR = 5 \times 5.6$।
$4 \times PR = 28$।
$PR = \frac{28}{4} = 7$।
अतः, $PR$ की लंबाई $7$ है।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
अतः,$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
दिया गया है $AB = 5.2$,$AC = 10.4$ और $BD = 3.8$।
मान रखने पर: $\frac{5.2}{10.4} = \frac{3.8}{DC}$।
चूंकि $\frac{5.2}{10.4} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{3.8}{DC}$।
इस प्रकार,$DC = 3.8 \times 2 = 7.6$।
चूंकि $BC = BD + DC$,इसलिए $BC = 3.8 + 7.6 = 11.4$।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,एक त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
दिया गया है कि $BC = 21$ और $BD = 9$,इसलिए हम $DC$ को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं: $DC = BC - BD = 21 - 9 = 12$.
प्रमेय में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{12}{AC} = \frac{9}{12}$.
वज्र-गुणन करने पर: $9 \times AC = 12 \times 12$.
$9 \times AC = 144$.
$AC = \frac{144}{9} = 16$.
अतः,$AC$ की लंबाई $16$ है।

(N/A) $1$. दिया है: समलंब चतुर्भुज $\square ABCD$ में $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है। विकर्ण $\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. $\Delta MAB$ और $\Delta MCD$ पर विचार करें।
$3$. चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,तिर्यक रेखाओं $\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ द्वारा बने एकांतर अंतःकोण समान होते हैं।
$4$. इसलिए,$\angle MAB = \angle MCD$ (एकांतर अंतःकोण)।
$5$. इसी प्रकार,$\angle MBA = \angle MDC$ (एकांतर अंतःकोण)।
$6$. साथ ही,$\angle AMB = \angle CMD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$7$. $AAA$ (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta MAB \sim \Delta MCD$ है।
$8$. अतः,संगति $MAB \leftrightarrow MCD$ एक समरूपता है।

(A) दिया गया है कि चतुर्भुज $\square ABCD$ में $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे,अर्थात $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $MA = 8$,$MB = 12$,और $MC = 6$।
$\frac{8}{6} = \frac{12}{MD}$
$\frac{4}{3} = \frac{12}{MD}$
$4 \times MD = 12 \times 3$
$4 \times MD = 36$
$MD = \frac{36}{4} = 9$।
अतः,$MD$ की लंबाई $9$ है।

(B) दिया गया है कि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,अतः $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है,क्योंकि $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$ (एकांतर अंतःकोण)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$
दिए गए मान रखने पर: $\frac{10}{5} = \frac{8}{MD}$.
$2 = \frac{8}{MD} \implies MD = \frac{8}{2} = 4$.
विकर्ण $BD$ की लंबाई $BM + MD = 8 + 4 = 12$ है।

(C) दिया गया है कि $\square ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,एकांतर अंतःकोण बराबर होंगे,इसलिए $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$ होगा।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा:
$\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
हमें $MA = 12$ और $AC = 20$ दिया गया है। चूँकि $AC = MA + MC$,इसलिए $MC = AC - MA = 20 - 12 = 8$ होगा।
ज्ञात मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{12}{8} = \frac{9}{MD}$.
$\frac{3}{2} = \frac{9}{MD}$.
$3 \cdot MD = 18$.
$MD = 6$.

(A) चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ होगा।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3x - 19}{x - 5} = \frac{x - 3}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(3x - 19) = (x - 5)(x - 3)$.
$9x - 57 = x^2 - 3x - 5x + 15$.
$9x - 57 = x^2 - 8x + 15$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 17x + 72 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 8)(x - 9) = 0$.
अतः,$x = 8$ या $x = 9$।

(A) चूंकि $\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$ है,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle XPQ \sim \triangle XRS$ है (एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं)।
अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{XP}{XR} = \frac{XQ}{XS}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{4x - 2}{4}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $4(2x + 4) = (x + 1)(4x - 2)$.
$8x + 16 = 4x^2 - 2x + 4x - 2$.
$8x + 16 = 4x^2 + 2x - 2$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $4x^2 - 6x - 18 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $2x^2 - 3x - 9 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 6x + 3x - 9 = 0 \implies 2x(x - 3) + 3(x - 3) = 0$.
$(2x + 3)(x - 3) = 0$.
इस प्रकार,$x = 3$ या $x = -1.5$.
चूंकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए $x = 3$ है।

(B) दिया गया है कि $\square XYZW$ में $\overline{XY} \parallel \overline{ZW}$ है।
चूंकि $\overline{XZ}$ और $\overline{YW}$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखाएं हैं,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle PXY \sim \triangle PZW$ होगा (एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं)।
अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{PX}{PZ} = \frac{PY}{PW}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3x - 1}{5x - 3} = \frac{2x + 1}{6x - 5}$.
वज्र-गुणन करने पर: $(3x - 1)(6x - 5) = (2x + 1)(5x - 3)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $18x^2 - 15x - 6x + 5 = 10x^2 - 6x + 5x - 3$.
$18x^2 - 21x + 5 = 10x^2 - x - 3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $8x^2 - 20x + 8 = 0$.
$4$ से भाग देने पर: $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 4x - x + 2 = 0 \implies 2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(2x - 1)(x - 2) = 0$.
इस प्रकार,$x = 0.5$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0.5$ लेते हैं,तो $PW = 6(0.5) - 5 = -2$ प्राप्त होता है,जो संभव नहीं है क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः,$x = 2$।

(C) चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3x - 19}{x - 3} = \frac{x - 4}{4}$.
वज्र-गुणन करने पर: $4(3x - 19) = (x - 3)(x - 4)$.
$12x - 76 = x^2 - 7x + 12$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 19x + 88 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 8)(x - 11) = 0$.
अतः,$x = 8$ या $x = 11$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AB}{PQ}$.
दिया गया है कि $AB = 8$,$PQ = 14$ और $\Delta ABC$ का परिमाप $= 20$ है।
माना कि $\Delta PQR$ का परिमाप $x$ है।
मान रखने पर: $\frac{20}{x} = \frac{8}{14}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{20}{x} = \frac{4}{7}$.
वज्र-गुणन करने पर: $4x = 20 \times 7$.
$4x = 140$.
$x = \frac{140}{4} = 35$.
अतः,$\Delta PQR$ का परिमाप $35$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta PQR \text{ का परिमाप}}{\Delta XYZ \text{ का परिमाप}} = \frac{PR}{XZ}$।
दिए गए मान हैं: $\Delta PQR$ का परिमाप $= 24$,$\Delta XYZ$ का परिमाप $= 60$,और $PR = 10$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{24}{60} = \frac{10}{XZ}$।
$\frac{24}{60}$ को सरल करने पर $\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{5} = \frac{10}{XZ}$।
तिर्यक गुणा करने पर $2 \times XZ = 50$ प्राप्त होता है।
$XZ = \frac{50}{2} = 25$।
इस प्रकार,$XZ = 25$।

(B) दिया गया है कि $\angle A = \angle Q$ और $\angle B = \angle R$ है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों,तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं।
चूंकि $\angle A$ के संगत $\angle Q$ है,$\angle B$ के संगत $\angle R$ है,और परिणामस्वरूप $\angle C$ के संगत $\angle P$ होगा।
अतः,उनके बीच की संगतता $\Delta ABC \sim \Delta QRP$ है।

(C) भुजाओं का अनुपात दिया गया है: $\frac{PQ}{YZ} = \frac{QR}{XZ} = \frac{RP}{XY}$।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,संगति को भुजाओं के क्रम में शीर्षों के साथ मेल खाना चाहिए।
भुजाओं की तुलना करने पर:
$PQ$ के संगत $YZ$ है
$QR$ के संगत $ZX$ है
$RP$ के संगत $XY$ है
अतः,शीर्ष $P, Q, R$ क्रमशः $Y, Z, X$ के संगत हैं।
इसलिए,$\Delta PQR \sim \Delta YZX$।

(D) दिया गया है कि $\square ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$।
हमें $\frac{OA}{OC} = \frac{1}{2}$ और $AB = 5$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{5}{CD}$।
वज्र-गुणन करने पर $CD = 5 \times 2 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$CD$ की लंबाई $10$ है।

(A) चतुर्भुज $\square ABCD$ में,चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,इसलिए $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है (एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं)।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होगा:
$\frac{AB}{CD} = \frac{MB}{MD} = \frac{MA}{MC}$.
दिया गया है कि $\frac{MB}{MD} = \frac{5}{3}$ और $CD = 12$,इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{AB}{12} = \frac{5}{3}$.
$AB$ के लिए हल करने पर:
$AB = \frac{5}{3} \times 12 = 5 \times 4 = 20$.
अतः,$AB = 20$ है।

(A) चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है (एकांतर अंतःकोण समान होते हैं)।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{1}$।
दिया गया है कि $AC = MA + MC = 15$।
समीकरण में $MA = 2MC$ रखने पर: $2MC + MC = 15$।
$3MC = 15 \implies MC = 5$।
तब,$MA = 2 \times 5 = 10$।
अतः,$MA = 10$ और $MC = 5$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{AB}{XY} \right)^2$ है।
यहाँ $AB = 12, XY = 8$ और $\text{Area}(\Delta ABC) = 81$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{81}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{12}{8} \right)^2$ है।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{81}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ है।
अब,$\text{Area}(\Delta XYZ)$ के लिए हल करने पर: $\text{Area}(\Delta XYZ) = \frac{81 \times 4}{9}$ है।
$\text{Area}(\Delta XYZ) = 9 \times 4 = 36$ है।
इस प्रकार,$\Delta XYZ$ का क्षेत्रफल $36$ है।

(D) दिया गया है कि $PQR \leftrightarrow XZY$ संगति के अंतर्गत $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{XZ} \right)^2$.
दिया है $\frac{PQ}{XZ} = \frac{7}{3}$ और $\text{Area}(\Delta XYZ) = 72$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{72} = \left( \frac{7}{3} \right)^2$.
$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{72} = \frac{49}{9}$.
$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{49}{9} \times 72$.
$\text{Area}(\Delta PQR) = 49 \times 8 = 392$.