Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{AM}{MB} = \frac{4}{13}$,अतः $\frac{AN}{NC} = \frac{4}{13}$।
माना $AN = 4x$ और $NC = 13x$ है।
हम जानते हैं कि $AC = AN + NC$ होता है।
मान रखने पर,$20.4 = 4x + 13x$।
$20.4 = 17x$।
$x = \frac{20.4}{17} = 1.2$।
अब,$AN = 4x = 4 \times 1.2 = 4.8$।

(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
$\Delta XYZ$ में $\overline{PQ} \parallel \overline{YZ}$ दिया गया है,अतः:
$\frac{XP}{PY} = \frac{XQ}{QZ} = \frac{3}{5}$.
माना $XQ = 3k$ और $QZ = 5k$.
हम जानते हैं कि $XZ = XQ + QZ = 5.6$.
मान रखने पर,$3k + 5k = 5.6$.
$8k = 5.6$.
$k = \frac{5.6}{8} = 0.7$.
अब,$QZ = 5k = 5 \times 0.7 = 3.5$.

(C) आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे,तो वे अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।
चूंकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिया है $AM = x+3$ और $AB = 2x$,तो $MB = AB - AM = 2x - (x+3) = x-3$ होगा।
दिया है $AN = x+5$ और $AC = 2x+3$,तो $NC = AC - AN = (2x+3) - (x+5) = x-2$ होगा।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{x+3}{x-3} = \frac{x+5}{x-2}$।
वज्र-गुणन करने पर: $(x+3)(x-2) = (x+5)(x-3)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 - 3x + 5x - 15$।
सरल करने पर: $x^2 + x - 6 = x^2 + 2x - 15$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $x - 6 = 2x - 15$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $15 - 6 = 2x - x$।
अतः,$x = 9$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. दिया है: $\square ABCD$ में,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है। $M$,$\overline{AD}$ पर एक बिंदु है और $N$,$\overline{BC}$ पर एक बिंदु है ताकि $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ हो।
$2$. चूंकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ और $\overline{MN} \parallel \overline{AB}$ है,इसलिए $\overline{MN} \parallel \overline{CD}$ होगा।
$3$. विकर्ण $\overline{AC}$ खींचिए जो $\overline{MN}$ को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$4$. $\triangle ADC$ में,चूंकि $\overline{MP} \parallel \overline{DC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\frac{DM}{MA} = \frac{CP}{PA}$ होगा।
$5$. $\triangle ABC$ में,चूंकि $\overline{PN} \parallel \overline{AB}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार,$\frac{CP}{PA} = \frac{CN}{NB}$ होगा।
$6$. दोनों समीकरणों से,चूंकि दोनों $\frac{CP}{PA}$ के बराबर हैं,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB}$। अतः सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$P$,$\overline{BC}$ का मध्यबिंदु है और $\overline{DP}$ को बढ़ाने पर वह $\overline{AB}$ को $Q$ पर मिलता है।
सिद्ध करना है: $AB = 2CD$.
उपपत्ति:
$1$. $\triangle DCP$ और $\triangle QBP$ पर विचार करें।
$2$. $\angle DCP = \angle QBP$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ है)।
$3$. $CP = BP$ (दिया है,$P$,$BC$ का मध्यबिंदु है)।
$4$. $\angle DPC = \angle QPB$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$5$. अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा $\triangle DCP \cong \triangle QBP$ है।
$6$. $CPCT$ द्वारा,$CD = BQ$ है।
$7$. चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB = CD$ और $AB \parallel CD$ है।
$8$. आकृति से,$AQ = AB + BQ$ है।
$9$. चूंकि $BQ = CD$ और $CD = AB$ है,इसलिए $AQ = AB + AB = 2AB$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ और $\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ है।
चरण $1$: $\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ होगा।
चरण $2$: $\Delta ADC$ में,चूँकि $\overline{EF} \parallel \overline{CD}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$ होगा।
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ के समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AD}$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,$AD^2 = AB \times AF$ सिद्ध होता है।

(A) दिया है: $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$।
$\triangle ABD$ में,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के विलोम द्वारा,चूँकि $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$,इसका अर्थ है कि $\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{SD} = \frac{1}{2}$। अतः,$PS \parallel BD$ और $PS = \frac{1}{3} BD$ है।
इसी प्रकार,$\triangle BCD$ में,चूँकि $\frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{1}{3}$,हमारे पास $\frac{CQ}{QB} = \frac{CR}{RD} = \frac{1}{2}$ है। अतः,$QR \parallel BD$ और $QR = \frac{1}{3} BD$ है।
इन दो परिणामों से,$PS \parallel QR$ और $PS = QR$ प्राप्त होता है।
चूँकि चतुर्भुज $PQRS$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,अतः $\square PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ समबाहु त्रिभुज हैं,इसलिए वे $AAA$ समरूपता कसौटी के अनुसार समरूप हैं $(\Delta ABC \sim \Delta PQR)$।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{AB}{PQ} \right)^2$.
यहाँ $\frac{AB}{PQ} = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$.
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है: $4 \times \text{Area}(\Delta ABC) = 9 \times \text{Area}(\Delta PQR)$.
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं और उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$ और $\angle B = \angle Q$.
चूँकि $\overline{AD}$ और $\overline{PM}$ माध्यिकाएँ हैं,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $M$,$QR$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BC = 2BD$ और $QR = 2QM$.
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM}$.
अब,$\Delta ABD$ और $\Delta PQM$ में:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
$SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABD \sim \Delta PQM$.
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}$.
वज्र-गुणन करने पर,हमें $AB \times PM = PQ \times AD$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,$\Delta AMN \sim \Delta ABC$ होता है।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$.
यहाँ $AM = 2$ और $MB = 5$ दिया गया है।
अतः,$AB = AM + MB = 2 + 5 = 7$.
अनुपात में मान रखने पर:
$\frac{2}{7} = \frac{4}{BC}$.
$BC$ के लिए हल करने पर:
$2 \times BC = 4 \times 7$
$2 \times BC = 28$
$BC = \frac{28}{2} = 14$.
अतः,$BC$ की लंबाई $14$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में $\overline{XY} \parallel \overline{QR}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) और समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta PXY \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{XY}{QR} = \frac{PY}{PR}$.
हमें $PY = 4$ और $YR = 7$ दिया गया है।
इसलिए,$PR = PY + YR = 4 + 7 = 11$.
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{11}{QR} = \frac{4}{11}$.
$QR$ का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$4 \times QR = 11 \times 11$.
$4 \times QR = 121$.
$QR = \frac{121}{4} = 30.25$.

(D) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना कि संगत भुजाओं का अनुपात $a:b = 4:9$ है।
तब,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $a^2:b^2 = 4^2:9^2$ होगा।
वर्गों की गणना करने पर,हमें $16:81$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $16:81$ है।

(A) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना कि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल $A_1 = 9$ और $A_2 = 16$ हैं।
माना कि उनकी संगत भुजाएँ $s_1$ और $s_2$ हैं।
इसलिए,$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{9}{16} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{s_1}{s_2}$.
अतः,$\frac{s_1}{s_2} = \frac{3}{4}$.
उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $3:4$ है।

(B) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना कि दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल $A_1 = 144$ और $A_2 = 81$ हैं।
माना कि उनकी संगत सबसे लंबी भुजाएँ $s_1 = 36$ और $s_2 = x$ हैं।
प्रमेय के अनुसार: $\frac{A_1}{A_2} = (\frac{s_1}{s_2})^2$.
मान रखने पर: $\frac{144}{81} = (\frac{36}{x})^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{144}{81}} = \frac{36}{x}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\frac{12}{9} = \frac{36}{x}$.
भिन्न को और सरल करने पर: $\frac{4}{3} = \frac{36}{x}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $4x = 36 \times 3$.
$4x = 108$.
$x = \frac{108}{4} = 27$.
अतः,दूसरे त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा की लंबाई $27$ है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज $\Delta ABC$ की भुजा की लंबाई $s_1 = BC = a$ है।
चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए समबाहु त्रिभुज $\Delta BDE$ की भुजा की लंबाई $s_2 = BD = \frac{a}{2}$ होगी।
$s$ भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $Area = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ है।
अतः,$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $Area(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होगा।
$\Delta BDE$ का क्षेत्रफल $Area(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{a}{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4} \cdot Area(ABC)$ होगा।
$\Delta ABC$ और $\Delta BDE$ के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{Area(ABC)}{Area(BDE)} = \frac{Area(ABC)}{\frac{1}{4} Area(ABC)} = \frac{4}{1}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $4:1$ है।

(D) दो समरूप त्रिभुजों के लिए,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत शीर्षलंबों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
माना क्षेत्रफल $A_1 = 200$ और $A_2 = 128$ हैं।
माना संगत शीर्षलंब $h_1$ और $h_2$ हैं।
प्रमेय के अनुसार,$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{200}{128} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{200}{128} = \frac{100}{64} = \frac{25}{16}$.
अतः,$\left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2 = \frac{25}{16}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
इस प्रकार,उनके संगत शीर्षलंबों का अनुपात $5:4$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$।
दिया गया है $2 AB = PQ$,जिसे हम $\frac{AB}{PQ} = \frac{1}{2}$ लिख सकते हैं।
अनुपात में मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{10}{QR}$।
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर,$QR = 10 \times 2 = 20$।
अतः,$QR = 20$।

(B) दिया गया है कि $\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ} = \frac{2}{5}$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\text{Area}(\Delta PQR)}{\text{Area}(\Delta XYZ)} = \left( \frac{PQ}{XY} \right)^2$ है।
दी गई मान रखने पर: $\left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25}$।
अतः,अनुपात $4:25$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k$।
दिया है $AB = 5, BC = 7, AC = 10$ और $PR = 15$।
अनुपात $\frac{AC}{PR} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ का उपयोग करने पर।
अतः,भुजाओं का अनुपात $k = \frac{2}{3}$ है।
अब,$\Delta PQR$ की भुजाएँ ज्ञात करें:
$PQ = AB \times \frac{3}{2} = 5 \times 1.5 = 7.5$।
$QR = BC \times \frac{3}{2} = 7 \times 1.5 = 10.5$।
$PR = 15$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + PR = 7.5 + 10.5 + 15 = 33$।

(D) दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात के प्रमेय के अनुसार,यदि $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ है,तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
विशेष रूप से,$\frac{\text{Area}(\Delta ABC)}{\text{Area}(\Delta XZY)} = \frac{AB^2}{XZ^2} = \frac{BC^2}{ZY^2} = \frac{AC^2}{XY^2}$.
संगति $ABC \leftrightarrow XZY$ के अनुसार,भुजा $BC$ भुजा $ZY$ (या $YZ$) के संगत है।
इसलिए,क्षेत्रफलों का अनुपात $BC^2 : YZ^2$ होगा।
अतः,लुप्त पद $YZ^2$ है।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle A = \angle P$ और $\angle B = \angle R$ है।
कोण-कोण $(AA)$ समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों,तो वे दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
चूंकि $\angle A$ कोण $\angle P$ के संगत है और $\angle B$ कोण $\angle R$ के संगत है,इसलिए तीसरा कोण $\angle C$ कोण $\angle Q$ के संगत होगा (क्योंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow PRQ$ समरूपता $\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ को दर्शाती है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$\overline{PQ} \parallel \overline{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ होता है।
साथ ही,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ है (क्योंकि $\angle APQ = \angle ABC$ और $\angle AQP = \angle ACB$ समांतर रेखाओं के कारण),
अतः उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AC}$ सही है।

(C) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow RPQ$ के अंतर्गत $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है। इसका अर्थ है कि $\angle A = \angle R$,$\angle B = \angle P$,और $\angle C = \angle Q$ है।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,इसलिए इस मान को योग समीकरण में रखने पर: $m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$,जो $2(m \angle B) = 180^{\circ}$ देता है,अतः $m \angle B = 90^{\circ}$ है।
संगतता के अनुसार $\angle B = \angle P$ होने के कारण,$m \angle P = 90^{\circ}$ होगा।
अतः,$\angle P$ एक समकोण है।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में,$\angle A = \angle R$ और $\angle B = \angle P$ है।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta R P Q$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ} = \frac{AC}{RQ}$.
हमें $AB = 6$,$BC = 8$ और $PR = 9$ दिया गया है।
अनुपात $\frac{AB}{RP} = \frac{BC}{PQ}$ में मान रखने पर:
$\frac{6}{9} = \frac{8}{PQ}$.
$\frac{6}{9}$ को सरल करने पर $\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{3} = \frac{8}{PQ}$.
$2 \times PQ = 8 \times 3$.
$2 \times PQ = 24$.
$PQ = \frac{24}{2} = 12$.
इसलिए,$PQ = 12$.

(A) दिया गया है कि $\angle A \cong \angle E$,इसलिए $m \angle A = m \angle E$ है।
समीकरण $m \angle A + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ दिया गया है।
समीकरण में $m \angle A = m \angle E$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \angle E + m \angle B = m \angle D + m \angle E$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $m \angle E$ घटाने पर,हमें $m \angle B = m \angle D$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta ABC$ के दो कोण $\Delta DEF$ के दो कोणों के सर्वांगसम हैं (विशेष रूप से $\angle A \cong \angle E$ और $\angle B \cong \angle D$),$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
संगति को सर्वांगसम कोणों के अनुरूप होना चाहिए: $A, E$ के संगत है,$B, D$ के संगत है,और इसलिए $C, F$ के संगत होना चाहिए।
अतः,संगति $ABC \leftrightarrow EDF$ है।

(D) दिए गए त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात: $\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{XY} = \frac{AC}{YZ}$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों,तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं।
अनुपातों को देखने पर:
$AB$ के संगत $XZ$ है।
$BC$ के संगत $XY$ है।
$AC$ के संगत $YZ$ है।
अतः,$\Delta ABC$ के शीर्ष $A, B, C$ क्रमशः $\Delta XYZ$ के शीर्ष $X, Z, Y$ के संगत हैं।
इस प्रकार,संगति $\Delta ABC \sim \Delta XZY$ है।

(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
दिया गया है कि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$,इसलिए अनुपात: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{5}{8} = \frac{10}{NC}$।
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर: $5 \times NC = 8 \times 10$।
$5 \times NC = 80$।
$NC = \frac{80}{5} = 16$।
अतः,$NC$ का मान $16$ है।

(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
चूँकि $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ है,इसलिए:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+1}{x} = \frac{3x-3}{4x-10}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(x+1)(4x-10) = x(3x-3)$
$4x^2 - 10x + 4x - 10 = 3x^2 - 3x$
$4x^2 - 6x - 10 = 3x^2 - 3x$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-5)(x+2) = 0$
इससे $x = 5$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ होगा।

(A) दिया गया है कि $\square ABCD$ एक चतुर्भुज है जहाँ $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ है।
चूँकि $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,अर्थात $\angle MAB = \angle MCD$ और $\angle MBA = \angle MDC$।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle MAB \sim \triangle MCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के लिए,संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: $\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{6}{8} = \frac{9}{MD}$।
वज्र गुणन करने पर: $6 \times MD = 8 \times 9$।
$6 \times MD = 72$।
$MD = \frac{72}{6} = 12$।

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय (Angle Bisector Theorem) के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{8}{10} = \frac{3.2}{DC}$.
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर: $8 \times DC = 10 \times 3.2$.
$8 \times DC = 32$.
$DC = \frac{32}{8} = 4$.
अतः,$DC$ की लंबाई $4$ है।

(C) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,यदि कोई किरण त्रिभुज के एक कोण को समद्विभाजित करती है,तो वह सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करती है।
$\Delta PQR$ में,चूँकि $PS$,$\angle P$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास अनुपात है:
$\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$
दिए गए मान $PQ = 15$,$QS = 10$ और $SR = 8$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{15}{PR} = \frac{10}{8}$
$10 \times PR = 15 \times 8$
$10 \times PR = 120$
$PR = \frac{120}{10} = 12$
अतः,$PR = 12$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
$AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ है।
$AC = 10$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM$ है।
$\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = \frac{1}{2} \times 10 \times BM$ है।
$48 = 10 \times BM \implies BM = 4.8$ है।
$\Delta AMB$ में,$m\angle M = 90^\circ$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AM^2 + BM^2$ है।
$8^2 = AM^2 + (4.8)^2$ है।
$64 = AM^2 + 23.04$ है।
$AM^2 = 64 - 23.04 = 40.96$ है।
$AM = \sqrt{40.96} = 6.4$ है।
चूंकि $AC = AM + CM$ है,इसलिए $10 = 6.4 + CM$ है।
$CM = 10 - 6.4 = 3.6$ है।
अतः,$AM = 6.4$,$BM = 4.8$ और $CM = 3.6$ है।

(N/A) $\Delta PQR$ में,$m\angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QM}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर एक शीर्षलंब है।
चूंकि $M$,$\overline{PR}$ पर स्थित है,इसलिए $PR = PM + RM = x + y$ होगा।
कर्ण पर शीर्षलंब के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) का उपयोग करने पर:
$QM^2 = PM \cdot RM = x \cdot y$
$\therefore QM = \sqrt{xy}$.
$\Delta PQR$ के लिए भुजा नियम का उपयोग करने पर:
$PQ^2 = PM \cdot PR = x(x + y) = x^2 + xy$
$\therefore PQ = \sqrt{x^2 + xy}$.
इसी प्रकार,दूसरी भुजा के लिए:
$QR^2 = RM \cdot PR = y(x + y) = y^2 + xy$
$\therefore QR = \sqrt{y^2 + xy}$.
अतः,लंबाइयाँ $PQ = \sqrt{x^2 + xy}$,$QR = \sqrt{y^2 + xy}$,$PR = x + y$ और $QM = \sqrt{xy}$ हैं।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
समकोण त्रिभुज में गुणोत्तर माध्य (geometric mean) के गुणधर्म के अनुसार,कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब $BD$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है:
$BD^2 = AD \times CD$
यहाँ $AD = 9$ और $CD = 4$ दिया गया है,इसलिए:
$BD^2 = 9 \times 4$
$BD^2 = 36$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$BD = \sqrt{36} = 6$
अतः,$BD$ की लंबाई $6$ है।

(C) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BD}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
चूँकि $D$,$AC$ पर स्थित है,इसलिए $AC = AD + CD = 9 + 27 = 36$ है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर शीर्षलंब के प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AD \times AC$ होता है।
मान रखने पर,$AB^2 = 9 \times 36 = 324$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AB = \sqrt{324} = 18$ है।
अतः,$AB = 18$।

(N/A) $\Delta ABC$ में,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$m \angle A + m \angle C + m \angle B = 180^{\circ}$
चूंकि $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,प्रतिस्थापित करने पर:
$m \angle B + m \angle B = 180^{\circ}$
$2 m \angle B = 180^{\circ}$
$m \angle B = 90^{\circ}$
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ होने पर,ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार:
$BM^2 = AM \times CM$
$BM^2 = 16 \times 9 = 144$
$BM = 12$
अब,समकोण त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हुए:
$AC = AM + CM = 16 + 9 = 25$
$AB^2 = AM \times AC = 16 \times 25 = 400 \implies AB = 20$
$BC^2 = CM \times AC = 9 \times 25 = 225 \implies BC = 15$
अतः,$BM = 12$,$AB = 20$ और $BC = 15$।

(A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$ आधार $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ है,आधार पर माध्यिका $\overline{AD}$ आधार पर शीर्षलंब भी है।
इसलिए,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $\angle ADB = 90^{\circ}$ है।
मान लीजिए $AB = AC = x$ है। $\Delta ABC$ का परिमाप $AB + AC + BC = 36$ है।
$x + x + BC = 36 \implies BC = 36 - 2x$।
चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{BC}{2} = \frac{36 - 2x}{2} = 18 - x$।
समकोण $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$x^2 = 12^2 + (18 - x)^2$
$x^2 = 144 + 324 - 36x + x^2$
$36x = 468$
$x = 13$।
अतः,$BD = 18 - 13 = 5$,इसलिए $BC = 2 \times 5 = 10$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$।

(B) $\Delta ABC$ में,हमें $AC - AB = 27$ और $AC - BC = 6$ दिया गया है।
अतः,$AB = AC - 27$ और $BC = AC - 6$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (AC - 27)^2 + (AC - 6)^2$
$AC^2 = (AC^2 - 54AC + 729) + (AC^2 - 12AC + 36)$
$AC^2 = 2AC^2 - 66AC + 765$
$0 = AC^2 - 66AC + 765$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(AC - 51)(AC - 15) = 0$
अतः,$AC = 51$ या $AC = 15$ है।
यदि $AC = 15$ है,तो $AB = 15 - 27 = -12$ होगा,जो संभव नहीं है क्योंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः,$AC = 51$ है।
अब,$AB = 51 - 27 = 24$ और $BC = 51 - 6 = 45$ है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 24 + 45 + 51 = 120$।

(D) $\Delta PQR$ में,भुजाओं की लंबाई $PQ = 15$,$QR = 17$ और $PR = 8$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय के विलोम की जाँच करते हैं।
सबसे लंबी भुजा $QR = 17$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात करें: $QR^2 = 17^2 = 289$.
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात करें: $PQ^2 + PR^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
चूंकि $PQ^2 + PR^2 = QR^2$ है,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है और कर्ण $QR$ के सम्मुख कोण $\angle P = 90^\circ$ समकोण है।

(D) $\Delta PQR$ में,भुजाओं की लंबाई $PQ = 8$,$QR = 6$ और $PR = 12$ है।
सबसे लंबी भुजा $\overline{PR}$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात करें: $PR^2 = 12^2 = 144$।
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात करें: $PQ^2 + QR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,एक त्रिभुज समकोण होता है यदि सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो।
यहाँ,$PQ^2 + QR^2 = 100$ और $PR^2 = 144$ है।
चूंकि $PQ^2 + QR^2 \neq PR^2$,इसलिए त्रिभुज समकोण त्रिभुज की शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(D) $\Delta PQR$ में,भुजाओं की लंबाई $PQ = 7$,$QR = 24$ और $PR = 25$ है।
सबसे लंबी भुजा $PR = 25$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात कीजिए:
$PR^2 = 25^2 = 625$
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए:
$PQ^2 + QR^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
चूंकि $PQ^2 + QR^2 = PR^2$ है,इसलिए यह त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को संतुष्ट करता है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है और कर्ण $PR$ के सम्मुख कोण,यानी $\angle Q$,समकोण है।

(B) मान लीजिए $\overline{AB}$ दीवार को दर्शाता है,$\overline{AC}$ सीढ़ी को दर्शाता है,और $C$ जमीन पर सीढ़ी का निचला सिरा है।
दिया गया है: $AB = 12 \, m$,$BC = 9 \, m$ और $\angle B = 90^{\circ}$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 12^2 + 9^2$
$AC^2 = 144 + 81$
$AC^2 = 225$
$AC = \sqrt{225} = 15 \, m$।
अतः,सीढ़ी की लंबाई $15 \, m$ है।

(C) समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
माना विकर्ण $\overline{AC}$ और $\overline{BD}$ बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$m\angle AMB = 90^{\circ}$।
चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,$AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(12) = 6$ और $BM = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(16) = 8$।
समकोण त्रिभुज $\Delta AMB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$AB^2 = 6^2 + 8^2$
$AB^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$।
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा की लंबाई}$।
परिमाप $= 4 \times AB = 4 \times 10 = 40$।
अतः,समचतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप $40$ है।

(D) वर्ग का परिमाप $4 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है।
माना वर्ग की भुजा की लंबाई $s$ है।
$4s = 48$
$s = 12$
वर्ग $ABCD$ में, सभी भुजाएँ $12$ हैं और प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 12^2 + 12^2$
$AC^2 = 144 + 144 = 288$
$AC = \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2}$.
अतः, वर्ग $ABCD$ के विकर्ण $\overline{AC}$ की लंबाई $12 \sqrt{2}$ है।

(A) $\Delta ABC$ में,चूँकि $m\angle B = 90^{\circ}$,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(3x - 1)^2 = (2x + 3)^2 + (x + 2)^2$
$9x^2 - 6x + 1 = (4x^2 + 12x + 9) + (x^2 + 4x + 4)$
$9x^2 - 6x + 1 = 5x^2 + 16x + 13$
$4x^2 - 22x - 12 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$2x^2 - 11x - 6 = 0$
$2x^2 - 12x + x - 6 = 0$
$2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(2x + 1) = 0$
अतः,$x = 6$ या $x = -\frac{1}{2}$.
चूँकि भुजा की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ को अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि इससे भुजा की लंबाई ऋणात्मक हो जाती है।
इसलिए,$x = 6$।

(B) दिया गया है कि $AB : AC = 24 : 25$ है।
माना $AB = 24k$ और $AC = 25k$,जहाँ $k > 0$ है।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(25k)^2 = (24k)^2 + (14)^2$
$625k^2 = 576k^2 + 196$
$625k^2 - 576k^2 = 196$
$49k^2 = 196$
$k^2 = 4$
चूँकि $k > 0$,इसलिए $k = 2$ है।
अब,$AB = 24 \times 2 = 48$ और $AC = 25 \times 2 = 50$ है।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 48 + 14 + 50 = 112$ है।
अतः,$\Delta ABC$ का परिमाप $112$ है।

(C) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$AC^{2} = 20^{2} + 21^{2}$
$AC^{2} = 400 + 441$
$AC^{2} = 841$
$AC = \sqrt{841} = 29$.
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 29 = 14.5$.
अतः,$BM = 14.5$.

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$।
सिद्ध करना है: $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,चूँकि $\overline{BM}$ कर्ण पर शीर्षलंब है,हमें दो समरूप त्रिभुज प्राप्त होते हैं:
$1$. $\Delta AMB \sim \Delta ABC$,जिसका अर्थ है $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}$,अतः $AB^2 = AM \times AC$।
$2$. $\Delta BMC \sim \Delta ABC$,जिसका अर्थ है $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{BC}$,अतः $BC^2 = CM \times AC$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM \times AC}{CM \times AC}$
अतः,$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AM}{CM}$।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$m \angle Q = 90^{\circ}$,$\overline{QD}$ कर्ण $PR$ पर एक शीर्षलंब है और $PD = 9RD$ है।
सिद्ध करना है: $PQ = 3QR$ है।
उपपत्ति: $\Delta PQR$ में,चूँकि $m \angle Q = 90^{\circ}$ और $\overline{QD} \perp \overline{PR}$ है,समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाले गए शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार:
$PQ^2 = PD \times PR$ और $QR^2 = RD \times PR$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{PD \times PR}{RD \times PR} = \frac{PD}{RD}$ प्राप्त होता है।
$PD = 9RD$ का मान रखने पर:
$\frac{PQ^2}{QR^2} = \frac{9RD}{RD} = 9$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{PQ}{QR} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$PQ = 3QR$ सिद्ध होता है।

(B) $\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर एक शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार:
$AB^{2} = AM \times AC$
$BC^{2} = CM \times AC$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$AB^{2} - BC^{2} = (AM \times AC) - (CM \times AC)$
$AB^{2} - BC^{2} = AC(AM - CM)$
दिया गया है कि $AB^{2} - BC^{2} = 260$ और $AM - CM = 10$:
$260 = AC(10)$
$AC = \frac{260}{10} = 26$
अतः,$AC = 26$.