सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
माना $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदुओं के निर्देशांक $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$,$E = (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$ और $F = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ हैं।
$\triangle DEF$ के लिए क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हुए,हम क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_D(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_D) + x_F(y_D - y_E)|$ के रूप में गणना करते हैं।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर,हमें $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \triangle ABC$ का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle AFE \sim \triangle ABC$ अनुपात $1:2$ के साथ,इसलिए $\text{Area}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$। अन्य छोटे त्रिभुजों के लिए भी इसी प्रकार,केंद्रीय त्रिभुज $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल भी $\frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$ के बराबर होता है।