$\Delta PQR$ में,$Z$,$X$ और $Y$ क्रमशः $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ और $\overline{PR}$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि संगति $PQR \leftrightarrow XYZ$ एक समरूपता है।

(A) $1$. दिया है: $\Delta PQR$ में,$Z$,$X$ और $Y$ क्रमशः भुजाओं $\overline{PQ}$,$\overline{QR}$ और $\overline{PR}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$2$. मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$3$. अतः,$ZY \parallel QR$ और $ZY = \frac{1}{2} QR = XQ = XC$.
$4$. इसी प्रकार,$ZX \parallel PR$ और $ZX = \frac{1}{2} PR = YR = PY$.
$5$. साथ ही,$YX \parallel PQ$ और $YX = \frac{1}{2} PQ = ZP = ZQ$.
$6$. $\Delta PQR$ और $\Delta XYZ$ में,संगत भुजाओं का अनुपात:
$\frac{PQ}{YX} = \frac{QR}{XZ} = \frac{PR}{ZY} = 2$.
$7$. चूंकि तीनों संगत भुजाओं के अनुपात समान हैं,इसलिए $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ है।
$8$. नोट: संगति $PQR \leftrightarrow XYZ$ भुजाओं के अनुपात के आधार पर $\Delta PQR \sim \Delta YXZ$ को दर्शाती है।