Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $AB + BC = 23$ $(i)$,$BC + AC = 32$ $(ii)$ और $AB + AC = 25$ $(iii)$.
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $2(AB + BC + AC) = 23 + 32 + 25 = 80$.
अतः,$AB + BC + AC = 40$ $(iv)$.
$(iv)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $AB = 40 - 32 = 8$.
$(iv)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $BC = 40 - 25 = 15$.
$(iv)$ में से $(i)$ घटाने पर: $AC = 40 - 23 = 17$.
अब,भुजाओं की जाँच करने पर: $AB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
साथ ही,$AC^2 = 17^2 = 289$.
चूँकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है।

(A) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुज $\Delta AMB \sim \Delta BMC$ के गुणों) के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot MC$ होता है।
दिया गया है कि $AM = 12$ और $BM = 12$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$12^2 = 12 \cdot MC$
$144 = 12 \cdot MC$
$MC = \frac{144}{12} = 12$।
चूंकि $AC = AM + MC$,इसलिए:
$AC = 12 + 12 = 24$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण $\overline{XZ}$ पर शीर्षलंब $\overline{YM}$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है: $YM^2 = XM \cdot ZM$.
दिया गया है कि $XM = \sqrt{12}$ और $ZM = \sqrt{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$YM^2 = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
$YM^2 = \sqrt{12 \cdot 3}$
$YM^2 = \sqrt{36}$
$YM^2 = 6$
अतः,$YM = \sqrt{6}$.

(B) माना $PD = x$ है। चूँकि $PR = 34$ है,इसलिए $DR = 34 - x$ होगा।
$\Delta PQR$ में,$\overline{QD}$ कर्ण $PR$ पर शीर्षलंब है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,$QD^2 = PD \cdot DR$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $15^2 = x(34 - x)$.
$225 = 34x - x^2$.
$x^2 - 34x + 225 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4(1)(225)}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 900}}{2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}$.
$x$ के दो संभावित मान $x = 25$ या $x = 9$ हैं।
$\Delta PQD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PQ^2 = QD^2 + PD^2$ है।
यदि $PD = 9$ है,तो $PQ^2 = 15^2 + 9^2 = 306$,अर्थात $PQ = 3 \sqrt{34}$।
यदि $PD = 25$ है,तो $PQ^2 = 15^2 + 25^2 = 850$,अर्थात $PQ = 5 \sqrt{34}$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$5 \sqrt{34}$ सही उत्तर है।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,$\overline{BM}$ कर्ण $AC$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta BMC \sim \Delta AMB$ है।
समरूपता के गुण से: $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $BM = \sqrt{30}$ और $CM = 3$ दिया गया है,इसलिए:
$(\sqrt{30})^2 = AM \cdot 3$
$30 = AM \cdot 3$
$AM = 10$ प्राप्त होता है।
कर्ण $AC$ की लंबाई $AM$ और $CM$ का योग है:
$AC = AM + CM = 10 + 3 = 13$।
अतः,सही उत्तर $13$ है।

(D) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुजों के गुणों) के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब मूल त्रिभुज के समरूप दो त्रिभुज बनाता है।
विशेष रूप से,$\Delta ABM \sim \Delta ACB$ होता है।
समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब के गुण से: $AB^2 = AM \cdot AC$।
दिया गया है $AB = 2\sqrt{10}$,इसलिए $AB^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$।
$AM = 5$ दिया गया है,मान रखने पर: $40 = 5 \cdot AC$।
$AC$ के लिए हल करने पर: $AC = 40 / 5 = 8$।
चूंकि $AC = AM + CM$,इसलिए $8 = 5 + CM$।
अतः,$CM = 8 - 5 = 3$।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ के लिए,ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AM = x + 7$,$BM = x + 2$ और $CM = x$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $(x + 2)^2 = (x + 7)(x)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 7x$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $4x + 4 = 7x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4 = 7x - 4x$,जो सरल होकर $4 = 3x$ हो जाता है।
अतः,$x = \frac{4}{3}$।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $BM^2 = (2x^2)(8x^2) = 16x^4$।
वर्गमूल लेने पर: $BM = 4x^2$।
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = (2x^2)^2 + (4x^2)^2 = 4x^4 + 16x^4 = 20x^4$।
अतः,$AB = \sqrt{20x^4} = 2\sqrt{5}x^2$।
$\Delta BCM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $BC^2 = CM^2 + BM^2 = (8x^2)^2 + (4x^2)^2 = 64x^4 + 16x^4 = 80x^4$।
अतः,$BC = \sqrt{80x^4} = 4\sqrt{5}x^2$।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है, $\overline{QM}$ कर्ण $PR$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार, कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से, $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$.
समरूपता $\Delta QMR \sim \Delta PMQ$ से, हमें संगत भुजाओं का अनुपात मिलता है: $\frac{QM}{RM} = \frac{PM}{QM}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{14}{7} = \frac{PM}{14}$.
$PM = \frac{14 \times 14}{7} = 2 \times 14 = 28$.
अब, समकोण त्रिभुज $\Delta PMQ$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $PQ^2 = PM^2 + QM^2$.
$PQ^2 = 28^2 + 14^2$.
$PQ^2 = 784 + 196 = 980$.
$PQ = \sqrt{980} = \sqrt{196 \times 5} = 14 \sqrt{5}$.

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ के लिए,ज्यामितीय माध्य गुणधर्म के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिया गया है $BM = 6$,इसलिए $AM \cdot CM = 6^2 = 36$ है।
हम जानते हैं कि $AM + CM = AC = 13$ है।
माना $AM = x$ और $CM = y$ है। तब $x + y = 13$ और $xy = 36$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ के मूल हैं।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 9)(t - 4) = 0$,जिससे $t = 9$ या $t = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AM < CM$ है,इसलिए $AM = 4$ और $CM = 9$ होगा।
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 = AM^2 + BM^2$ है।
$AB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$ है।
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \sqrt{13}$।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta XYZ$ में जहाँ $\angle Y = 90^{\circ}$ है,$\overline{YM}$ कर्ण $\overline{XZ}$ पर शीर्षलंब है।
समकोण त्रिभुज के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$YM^2 = XM \cdot MZ$ होता है।
यहाँ $YM = 12$ और $XM = 8$ दिया गया है,इसलिए:
$12^2 = 8 \cdot MZ$
$144 = 8 \cdot MZ$
$MZ = 144 / 8 = 18$.
कर्ण $XZ$ की लंबाई $XM$ और $MZ$ के योग के बराबर होती है:
$XZ = XM + MZ = 8 + 18 = 26$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
शीर्षलंब के लिए ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार: $BM^2 = AM \cdot CM$.
दिए गए मानों को रखने पर: $BM^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
अतः,$BM = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
अतः,$AB = \sqrt{36} = 6$.

(C) एक समकोण त्रिभुज में,समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं और आपस में भी समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (geometric mean theorem) के अनुसार,कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब $\overline{BM}$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है: $BM^2 = AM \times CM$.
दिया गया है कि $AM = 12$ और $CM = 3$ है।
मान रखने पर: $BM^2 = 12 \times 3 = 36$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $BM = \sqrt{36} = 6$.

(A) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब मूल त्रिभुज के समरूप दो त्रिभुज बनाता है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $AM = 4$ और $CM = 12$ दिया गया है,इसलिए $BM^2 = 4 \cdot 12 = 48$,जिसका अर्थ है $BM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$।
$\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$। अतः,$AB = \sqrt{64} = 8$।
$\Delta CBM$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$BC^2 = CM^2 + BM^2 = 12^2 + (4\sqrt{3})^2 = 144 + 48 = 192$। अतः,$BC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{BM} \perp \overline{AC}$ है,शीर्षलंब के गुणधर्म के अनुसार $BM^2 = AM \cdot CM$ होता है।
दिया गया है कि $AM = 9$ और $CM = 16$,इसलिए $BM^2 = 9 \cdot 16 = 144$,जिसका अर्थ है $BM = 12$.
अब,$\Delta AMB$ और $\Delta BMC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $BC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.
$BC = \sqrt{CM^2 + BM^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$.
कर्ण $AC = AM + CM = 9 + 16 = 25$.
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + BC + AC = 15 + 20 + 25 = 60$.

(B) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में कर्ण $\overline{BC}$ पर शीर्षलंब $\overline{AM}$ के लिए,ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार: $AM^2 = BM \cdot CM$ होता है।
यहाँ $BM = 6$ और $CM = 2$ दिया गया है,इसलिए $AM^2 = 6 \cdot 2 = 12$,जिसका अर्थ है $AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
अब,$\Delta ABC$ की भुजाओं की गणना करते हैं:
$BC = BM + CM = 6 + 2 = 8$।
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + 36 = 48$,इसलिए $AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$।
$\Delta ACM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AC^2 = AM^2 + CM^2 = 12 + 4 = 16$,इसलिए $AC = \sqrt{16} = 4$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AB + AC + BC = 4\sqrt{3} + 4 + 8 = 12 + 4\sqrt{3}$।

(C) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $m \angle A = m \angle B + m \angle C$,इसलिए $m \angle A + m \angle A = 180^{\circ}$,अर्थात $2m \angle A = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $m \angle A = 90^{\circ}$।
चूँकि $\overline{AM}$,$\overline{BC}$ पर एक शीर्षलंब है,$\Delta ABM$ और $\Delta ACM$ बिंदु $M$ पर समकोण त्रिभुज हैं।
माना $BM = x$ है। तो $MC = 8 - x$ होगा।
$\Delta ABM$ में,$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 12 + x^2$।
$\Delta ACM$ में,$AC^2 = AM^2 + MC^2 = 12 + (8 - x)^2$।
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,इसलिए $(12 + x^2) + (12 + (8 - x)^2) = 8^2$।
$24 + x^2 + 64 - 16x + x^2 = 64$।
$2x^2 - 16x + 24 = 0$।
$x^2 - 8x + 12 = 0$।
$(x - 6)(x - 2) = 0$।
अतः,$x = 6$ या $x = 2$।

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta PQR$ में जहाँ $\angle Q = 90^{\circ}$ है,$\overline{QM}$ कर्ण $\overline{PR}$ पर शीर्षलंब है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (या समरूप त्रिभुजों के गुणों) के अनुसार,$QM^2 = PM \cdot MR$ होता है।
माना $PM = x$ है। चूँकि $PR = 10$ है,इसलिए $MR = 10 - x$ होगा।
दिया गया है $QM = 4$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$4^2 = x(10 - x)$
$16 = 10x - x^2$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 2)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = 8$ है।
इसलिए,$PM$ का मान $2$ या $8$ हो सकता है।

(A) माना $AM = x$ है। चूँकि $AC = 25$ है,इसलिए $MC = 25 - x$ होगा।
$\Delta ABC$ में,$\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है। ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) के अनुसार,$BM^2 = AM \cdot MC$ होता है।
मान रखने पर: $12^2 = x(25 - x) \implies 144 = 25x - x^2$।
इसे द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 25x + 144 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(x - 16)(x - 9) = 0$,अतः $x = 16$ या $x = 9$ है।
चूँकि $AM > CM$ दिया गया है,इसलिए हम $AM = 16$ और $MC = 9$ लेंगे।
$\Delta ABM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \implies AB = 20$।
$\Delta CBM$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $BC^2 = MC^2 + BM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies BC = 15$।
अतः,$AB = 20$ और $BC = 15$ प्राप्त होता है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर डाला गया शीर्षलंब दो ऐसे त्रिभुज बनाता है जो मूल त्रिभुज और एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय (Geometric Mean Theorem) या समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,हमारे पास संबंध है: $YZ^2 = ZM \cdot XZ$।
सबसे पहले,कर्ण $XZ$ की कुल लंबाई की गणना करें:
$XZ = XM + ZM = 5 + 4 = 9$।
अब,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$YZ^2 = 4 \cdot 9 = 36$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$YZ = \sqrt{36} = 6$।
अतः,$YZ$ की लंबाई $6$ है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,यदि समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर शीर्षलंब खींचा जाता है,तो शीर्षलंब के दोनों ओर बने त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।
विशेष रूप से,$\Delta RMQ \sim \Delta RQP$.
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{RM}{RQ} = \frac{RQ}{RP}$.
यहाँ $QR = 9$ और $PR = 13.5$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{RM}{9} = \frac{9}{13.5}$.
$RM = \frac{9 \times 9}{13.5}$.
$RM = \frac{81}{13.5}$.
$RM = 6$.

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,$\overline{BM}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर शीर्षलंब है।
ज्यामितीय माध्य प्रमेय के अनुसार,हमारे पास संबंध $BM^2 = AM \cdot CM$ है।
यहाँ $BM = 12$ और $CM = 18$ दिया गया है,इसलिए:
$12^2 = AM \cdot 18$
$144 = AM \cdot 18$
$AM = \frac{144}{18} = 8$.
अब,$\Delta ABM$ पर विचार करें,जो $M$ पर समकोण है $(\angle AMB = 90^{\circ})$।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = AM^2 + BM^2$.
$AB^2 = 8^2 + 12^2$
$AB^2 = 64 + 144$
$AB^2 = 208$
$AB = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4 \sqrt{13}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना सीढ़ी की लंबाई कर्ण $c = 6 \,m$ है।
माना दीवार पर पहुँची ऊँचाई एक भुजा $a = 3.6 \,m$ है।
माना दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे तक की दूरी $b$ है।
दीवार,जमीन और सीढ़ी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(3.6)^2 + b^2 = 6^2$
$12.96 + b^2 = 36$
$b^2 = 36 - 12.96$
$b^2 = 23.04$
$b = \sqrt{23.04} = 4.8 \,m$.
अतः,दूरी $4.8 \,m$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta PQR$ में,$m \angle P = m \angle Q + m \angle R$ है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^\circ$ है।
$m \angle Q + m \angle R = m \angle P$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \angle P + m \angle P = 180^\circ$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2(m \angle P) = 180^\circ$,इसलिए $m \angle P = 90^\circ$ है।
अतः,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $QR = 25$ और एक भुजा $PQ = 7$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$PQ^2 + PR^2 = QR^2$ है।
$7^2 + PR^2 = 25^2$ है।
$49 + PR^2 = 625$ है।
$PR^2 = 625 - 49 = 576$ है।
$PR = \sqrt{576} = 24$ है।
$\Delta PQR$ का परिमाप = $PQ + QR + PR = 7 + 25 + 24 = 56$ है।

(C) माना कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है।
एक वर्ग में,विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a \sqrt{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्ण $d = 8$,इसलिए $8 = a \sqrt{2}$।
भुजा की लंबाई $a$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$।
अतः,वर्ग की भुजा की लंबाई $4 \sqrt{2}$ है।

(D) $1$. समचतुर्भुज का परिमाप $4 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए भुजा की लंबाई $s$ है। अतः, $4s = 116$, जिससे $s = 29$ प्राप्त होता है।
$2$. समचतुर्भुज में, विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$3$. मान लीजिए विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब $AO = AC / 2 = 42 / 2 = 21$.
$4$. समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AO^2 + BO^2 = AB^2$.
$5$. मान रखने पर: $21^2 + BO^2 = 29^2$.
$6$. $441 + BO^2 = 841$.
$7$. $BO^2 = 841 - 441 = 400$.
$8$. $BO = \sqrt{400} = 20$.
$9$. चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए $BD = 2 \times BO = 2 \times 20 = 40$.

(A) एक आयत में विकर्णों की लंबाई समान होती है,इसलिए $XZ = YW$। दिया गया है कि $XZ + YW = 26$,अतः $2XZ = 26$,जिसका अर्थ है कि $XZ = 13$।
समकोण त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XY^2 + YZ^2 = XZ^2 = 13^2 = 169$।
हमें $XY + YZ = 17$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(XY + YZ)^2 = 17^2 = 289$।
इसका विस्तार करने पर,$XY^2 + YZ^2 + 2(XY \cdot YZ) = 289$।
$XY^2 + YZ^2 = 169$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $169 + 2(XY \cdot YZ) = 289$ प्राप्त होता है,इसलिए $2(XY \cdot YZ) = 120$,जिसका अर्थ है कि $XY \cdot YZ = 60$।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $17$ और गुणनफल $60$ हो। ये संख्याएँ $12$ और $5$ हैं।
चूँकि $XY > YZ$ है,इसलिए $XY = 12$ और $YZ = 5$ प्राप्त होता है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ,$\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\overline{BE}$ कर्ण $\overline{AC}$ पर माध्यिका है।
अतः,$BE = \frac{1}{2} AC$.
दिया गया है $BE = 8.5$,इसलिए $8.5 = \frac{1}{2} AC$,जिसका अर्थ है $AC = 17$.
$\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $15^2 + BC^2 = 17^2$.
$225 + BC^2 = 289$.
$BC^2 = 289 - 225 = 64$.
$BC = \sqrt{64} = 8$.

(C) माना कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $x$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $x^2 + x^2 = (\text{कर्ण})^2$.
यहाँ कर्ण $24$ दिया गया है, इसलिए $2x^2 = 24^2$.
$2x^2 = 576$.
$x^2 = 288$.
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ, आधार $= x$ और ऊँचाई $= x$ है, इसलिए क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$.
$x^2$ का मान रखने पर, क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 288 = 144$.

(N/A) मान लीजिए कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $x$ हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $x^2 + x^2 = (20)^2$.
$2x^2 = 400$, जिसका अर्थ है कि $x^2 = 200$.
इसलिए, $x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग है: $P = x + x + 20 = 2x + 20 = 2(10\sqrt{2}) + 20 = 20\sqrt{2} + 20$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times x^2$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 = 200$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 200 = 100$ प्राप्त होता है।

(A) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ और $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 8^2 + 15^2$
$AB^2 = 64 + 225 = 289$
$AB = \sqrt{289} = 17$.
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$.
परिमाप $= 4 \times 17 = 68$.

(B) बांस के पेड़ की कुल ऊँचाई $8 \, m$ है।
यह जमीन से $3 \, m$ की ऊँचाई पर टूटता है।
माना कुल ऊँचाई $H = 8 \, m$ है और जिस ऊँचाई पर यह टूटता है वह $h = 3 \, m$ है।
टूटे हुए हिस्से की लंबाई (समकोण त्रिभुज का कर्ण) $L = H - h = 8 - 3 = 5 \, m$ है।
शेष तने की ऊँचाई $h = 3 \, m$ है।
माना पेड़ की चोटी और पेड़ के आधार के बीच की दूरी $x$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + h^2 = L^2$
$x^2 + 3^2 = 5^2$
$x^2 + 9 = 25$
$x^2 = 25 - 9 = 16$
$x = \sqrt{16} = 4 \, m$.
अतः,दूरी $4 \, m$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle C = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यहाँ,$AB$ कर्ण है,और $AC$ तथा $BC$ अन्य दो भुजाएँ हैं।
इसलिए,$AB^2 = AC^2 + BC^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(12.5)^2 = AC^2 + (12)^2$.
$156.25 = AC^2 + 144$.
$AC^2 = 156.25 - 144$.
$AC^2 = 12.25$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{12.25} = 3.5$.

(D) चूंकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
यहाँ $AB = 4$ और $BC = 7.5$ दिया गया है,मान रखने पर:
$AC^2 = 4^2 + (7.5)^2$
$AC^2 = 16 + 56.25$
$AC^2 = 72.25$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$AC = \sqrt{72.25} = 8.5$
अतः,$AC$ की लंबाई $8.5$ है।

(A) दिया गया है कि $m \angle A + m \angle B = m \angle C$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle A + m \angle B = m \angle C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \angle C + m \angle C = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2m \angle C = 180^{\circ}$,अतः $m \angle C = 90^{\circ}$।
इस प्रकार,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $AB = 17.5$ है।
दिया गया है कि $AC : BC = 3 : 4$,मान लीजिए $AC = 3x$ और $BC = 4x$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 + BC^2 = AB^2$।
$(3x)^2 + (4x)^2 = (17.5)^2$।
$9x^2 + 16x^2 = 306.25$।
$25x^2 = 306.25$।
$x^2 = 12.25$,इसलिए $x = 3.5$।
अतः,$AC = 3(3.5) = 10.5$ और $BC = 4(3.5) = 14$।
$\Delta ABC$ का परिमाप = $AC + BC + AB = 10.5 + 14 + 17.5 = 42$।

(B) चूँकि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $m \angle A = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x - 2)^2 + (5x + 4)^2 = (6x + 2)^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(9x^2 - 12x + 4) + (25x^2 + 40x + 16) = (36x^2 + 24x + 4)$
बाईं ओर के समान पदों को जोड़ने पर:
$34x^2 + 28x + 20 = 36x^2 + 24x + 4$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$36x^2 - 34x^2 + 24x - 28x + 4 - 20 = 0$
$2x^2 - 4x - 16 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 4)(x + 2) = 0$
इससे $x = 4$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,$3x - 2 > 0$ का अर्थ है $x > 2/3$। अतः,$x = 4$ ही एकमात्र मान्य हल है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
सबसे पहले,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $PR$ की लंबाई ज्ञात करें: $PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$PR^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.
$PR = \sqrt{841} = 29$.
चूंकि $\overline{QM}$ कर्ण $PR$ पर माध्यिका है,इसलिए इसकी लंबाई $QM = \frac{1}{2} \times PR$ होगी।
$QM = \frac{29}{2} = 14.5$.

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,कर्ण $AC$ की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$.
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BM = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 25 = 12.5$.

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta XYZ$ में,जहाँ $m\angle Y = 90^{\circ}$ है,भुजा $XZ$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(XZ)^{2} = (XY)^{2} + (YZ)^{2}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(XZ)^{2} = (a^{2} - b^{2})^{2} + (2ab)^{2}$।
पदों का विस्तार करने पर: $(XZ)^{2} = (a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4}) + 4a^{2}b^{2}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $(XZ)^{2} = a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4}$।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(XZ)^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $XZ = a^{2} + b^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना सीढ़ी की लंबाई कर्ण $h = 4 \,m$ है।
माना दीवार पर पहुँची ऊँचाई लंब $p = 3.2 \,m$ है।
माना दीवार के आधार और सीढ़ी के निचले सिरे के बीच की दूरी आधार $b$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$h^2 = p^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर: $4^2 = (3.2)^2 + b^2$।
$16 = 10.24 + b^2$।
$b^2 = 16 - 10.24 = 5.76$।
$b = \sqrt{5.76} = 2.4 \,m$।

(C) आयत $ABCD$ में,कोण $\angle ABC = 90^{\circ}$ होता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
यहाँ $AB = 7.5$ और $AC = 19.5$ दिया गया है।
मान रखने पर: $(7.5)^2 + BC^2 = (19.5)^2$.
$56.25 + BC^2 = 380.25$.
$BC^2 = 380.25 - 56.25$.
$BC^2 = 324$.
$BC = \sqrt{324} = 18$.

(D) $\Delta ABC$ में,चूंकि $m \angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC = \sqrt{169} = 13$ होगा।
एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,$BD = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 13 = 6.5$।

(A) माना $AB = x$ और $BC = y$ है। दिया गया है कि $x + y = 47$ और $x^2 + y^2 = AC^2 = 37^2 = 1369$ है।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ होता है।
मान रखने पर: $47^2 = 1369 + 2xy$।
$2209 = 1369 + 2xy$,जिससे $2xy = 840$,अर्थात $xy = 420$ प्राप्त होता है।
अब,हमारे पास $x + y = 47$ और $xy = 420$ है। ये द्विघात समीकरण $t^2 - 47t + 420 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $t^2 - 35t - 12t + 420 = 0$।
$t(t - 35) - 12(t - 35) = 0$,अतः $(t - 35)(t - 12) = 0$।
मूल $t = 35$ और $t = 12$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $AB > BC$ है,इसलिए $AB = 35$ और $BC = 12$ होगा।

(B) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$ और $BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 9^2 + 12^2$
$AB^2 = 81 + 144 = 225$
$AB = \sqrt{225} = 15$ है।
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$ होता है।
परिमाप $= 4 \times 15 = 60$।

(C) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
तब,$AO = \frac{AC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ और $BO = \frac{BD}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = (7.5)^2 + (18)^2$
$AB^2 = 56.25 + 324 = 380.25$
$AB = \sqrt{380.25} = 19.5$.
समचतुर्भुज का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$.
परिमाप $= 4 \times 19.5 = 78$.

(D) एक समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दिया गया है $AB = 25$ और $AC = 14$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC = AC / 2 = 14 / 2 = 7$।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
$7^2 + OB^2 = 25^2$
$49 + OB^2 = 625$
$OB^2 = 625 - 49 = 576$
$OB = \sqrt{576} = 24$।
चूंकि $BD = 2 \times OB$,इसलिए $BD = 2 \times 24 = 48$।

(A) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं। मान लीजिए भुजा की लंबाई $s$ है।
परिमाप $68$ दिया गया है,इसलिए $4s = 68$,जिसका अर्थ है $s = 17$।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि $AC = 30$,इसलिए $AO = AC / 2 = 15$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AO^2 + BO^2 = AB^2$।
मान रखने पर: $15^2 + BO^2 = 17^2$।
$225 + BO^2 = 289$।
$BO^2 = 289 - 225 = 64$।
$BO = \sqrt{64} = 8$।
चूंकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $BD = 2 \times BO = 2 \times 8 = 16$।

(B) वर्ग का परिमाप $4 \times \text{भुजा}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$4 \times \text{भुजा} = 20$.
इसलिए,$\text{भुजा} = 20 / 4 = 5$.
वर्ग $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
चूंकि $AB = BC = 5$,इसलिए $AC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
अतः,$AC = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,आधार पर खींची गई माध्यिका आधार पर लंब भी होती है।
चूंकि $\overline{AD}$ आधार $\overline{BC}$ पर माध्यिका है,इसलिए $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$AB^2 = 8^2 + 6^2$
$AB^2 = 64 + 36$
$AB^2 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$.
इस प्रकार,$AB$ की लंबाई $10$ है।

(A) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है,भुजाएँ $AB$ और $BC$ लंबवत भुजाएँ हैं और $AC$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
दिया गया है कि $AB = 11$ और $BC = 60$,इसलिए $AC^2 = 11^2 + 60^2$.
$AC^2 = 121 + 3600 = 3721$.
वर्गमूल लेने पर,$AC = \sqrt{3721} = 61$.
$\Delta ABC$ का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग है: $P = AB + BC + AC$.
$P = 11 + 60 + 61 = 132$.