Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(A) $\triangle OAC$ और $\triangle ODB$ में:
$1$. $\angle AOC = \angle DOB$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAC = \angle ODB$ (एक ही चाप $CB$ द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं)।
$3$. $\angle OCA = \angle OBD$ (एक ही चाप $AD$ द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं)।
अतः, $AAA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle OAC \sim \triangle ODB$ है।
दिया गया है कि $OB = OD$, इसलिए $\triangle ODB$ में, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होने चाहिए, अर्थात $\angle ODB = \angle OBD$। चूंकि $\angle OAC = \angle ODB$ और $\angle OCA = \angle OBD$, इसलिए $\angle OAC = \angle OCA$ होता है। अतः, $\triangle OAC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $OA = OC$ है।
चूंकि $\triangle OAC \sim \triangle ODB$ और $\triangle OAC$ समद्विबाहु है, इसलिए $\triangle ODB$ भी समद्विबाहु होना चाहिए।
अतः, त्रिभुज समद्विबाहु और समरूप हैं।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$,इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ होगा।
अतः,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$.
यहाँ $AD = 2 \, cm$ और $BD = 3 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $AB = AD + BD = 2 + 3 = 5 \, cm$ होगा।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{2}{5} = \frac{DE}{7.5}$.
$DE$ के लिए हल करने पर: $DE = \frac{2}{5} \times 7.5$.
$DE = 2 \times 1.5 = 3 \, cm$.

(C) $\triangle ADB$ और $\triangle ADC$ में:
$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$ (चूंकि $AD \perp BC$)
$\angle BAD = \angle ACD$ (दोनों $\angle CAD$ के पूरक कोण हैं)
$\angle ABD = \angle CAD$ (दोनों $\angle BAD$ के पूरक कोण हैं)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ADB \sim \triangle CDA$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD}$
वज्र-गुणन करने पर:
$AD^{2} = BD \cdot CD$

(D) हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
मान लीजिए समचतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC = 16 \, cm$ और $BD = 12 \, cm$ हैं जो $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, cm$
$BO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, cm$
समकोण त्रिभुज $\triangle AOB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10 \, cm$
अतः,समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई $10 \, cm$ है।

(B) दिया गया है,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$.
अतः,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF}$.
$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF}$ से,हमें $AB \cdot DF = ED \cdot BC$ प्राप्त होता है,अर्थात $BC \cdot DE = AB \cdot DF$। अतः,विकल्प $(d)$ सत्य है।
$\frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF}$ से,हमें $BC \cdot EF = AC \cdot DF$ प्राप्त होता है। अर्थात $BC \cdot EF = AC \cdot FD$। अतः,विकल्प $(c)$ भी सत्य है।
$\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF}$ से,हमें $AB \cdot EF = AC \cdot ED$ प्राप्त होता है,अर्थात $AB \cdot EF = AC \cdot DE$। अतः,विकल्प $(a)$ भी सत्य है।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सत्य नहीं है।

(B) दिया गया है कि दो त्रिभुजों $ABC$ और $PQR$ में,$\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{PQ}$ है।
यह अनुपात दर्शाता है कि $\triangle ABC$ की भुजाएँ $\triangle PQR$ की संगत भुजाओं के समानुपाती हैं।
विशेष रूप से,भुजा $AB$ के संगत $QR$ है,$BC$ के संगत $PR$ है,और $CA$ के संगत $PQ$ है।
$SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,यदि दो त्रिभुजों की भुजाएँ समान अनुपात में हों,तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं और उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
समानुपातिकता के आधार पर शीर्षों का मिलान करने पर:
$A$ के संगत $Q$ है,$B$ के संगत $R$ है,और $C$ के संगत $P$ है।
अतः,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$,या समान रूप से,$\triangle CAB \sim \triangle PQR$।

(C) $\triangle APB$ और $\triangle DPC$ में,हमारे पास है:
$\angle APB = \angle DPC = 50^{\circ}$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अब,समान कोणों को बनाने वाली भुजाओं का अनुपात लेते हैं:
$\frac{PA}{PD} = \frac{6}{5} = 1.2$
$\frac{PB}{PC} = \frac{3}{2.5} = \frac{30}{25} = 1.2$
चूंकि $\frac{PA}{PD} = \frac{PB}{PC}$ है और उनके बीच का कोण समान है,इसलिए $SAS$ समरूपता कसौटी से:
$\triangle APB \sim \triangle DPC$
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे:
$\angle PAB = \angle PDC = 30^{\circ}$
$\triangle APB$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle PAB + \angle APB + \angle PBA = 180^{\circ}$
$30^{\circ} + 50^{\circ} + \angle PBA = 180^{\circ}$
$80^{\circ} + \angle PBA = 180^{\circ}$
$\angle PBA = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$

(D) दिया है,$\triangle DEF$ और $\triangle PQR$ में,$\angle D = \angle Q$ और $\angle E = \angle R$ है।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle DEF \sim \triangle QRP$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{DE}{QR} = \frac{EF}{RP} = \frac{DF}{QP}$।
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$: $\frac{EF}{PR} = \frac{DF}{PQ}$,$\frac{EF}{RP} = \frac{DF}{QP}$ के बराबर है,जो सत्य है।
विकल्प $B$: $\frac{EF}{RP} = \frac{DE}{QR}$ सत्य है।
विकल्प $C$: $\frac{DE}{QR} = \frac{DF}{PQ}$,$\frac{DE}{QR} = \frac{DF}{QP}$ के बराबर है,जो सत्य है।
विकल्प $D$: $\frac{DE}{PQ} = \frac{EF}{RP}$। समरूपता अनुपात से,$\frac{DE}{QR} = \frac{EF}{RP}$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{DE}{PQ} = \frac{EF}{RP}$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि सामान्यतः $PQ \neq QR$ होता है।
इसलिए,विकल्प $D$ सत्य नहीं है।

(A) $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में,हमें $\angle B = \angle E$ और $\angle F = \angle C$ दिया गया है।
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,चूंकि $\triangle ABC$ के दो कोण $\triangle DEF$ के दो संगत कोणों के बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समरूप हैं,अर्थात $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।
दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए,उनकी संगत भुजाएं बराबर होनी चाहिए। यहाँ,यह दिया गया है कि $AB = 3 DE$,जिसका अर्थ है कि $AB \neq DE$ है।
चूंकि संगत भुजाएं बराबर नहीं हैं,इसलिए त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं।
अतः,त्रिभुज समरूप हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं हैं।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ और $\frac{BC}{QR} = \frac{1}{3}.$
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle PRQ)}{\operatorname{ar}(\triangle BCA)} = \frac{(QR)^2}{(BC)^2} = \left(\frac{QR}{BC}\right)^2.$
चूँकि $\frac{BC}{QR} = \frac{1}{3}$ है,इसलिए $\frac{QR}{BC} = \frac{3}{1} = 3$ होगा।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle PRQ)}{\operatorname{ar}(\triangle BCA)} = (3)^2 = 9.$

(C) यह दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle DFE$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
अतः,$\angle A = \angle D = 30^{\circ}$,$\angle B = \angle F$,और $\angle C = \angle E = 50^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle B = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 50^{\circ}) = 100^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle F = 100^{\circ}$।
समरूपता $\triangle ABC \sim \triangle DFE$ से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{AB}{DF} = \frac{AC}{DE} = \frac{BC}{FE}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{7.5} = \frac{8}{DE}$।
$DE$ के लिए हल करने पर: $DE = \frac{8 \times 7.5}{5} = \frac{60}{5} = 12 \, cm$।
अतः,$DE = 12 \, cm$ और $\angle F = 100^{\circ}$।

(D) दो त्रिभुजों के $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा समरूप होने के लिए,दो संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होना चाहिए और उन भुजाओं के बीच का अंतर्गत कोण बराबर होना चाहिए।
दिए गए अनुपात $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ के अनुसार,$\triangle ABC$ में भुजाएँ $AB$ और $BC$ कोण $\angle B$ बनाती हैं। इसी प्रकार,$\triangle DEF$ में भुजाएँ $DE$ और $FD$ कोण $\angle D$ बनाती हैं।
अतः,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$ होने के लिए,उनके अंतर्गत कोण बराबर होने चाहिए,अर्थात $\angle B = \angle D$।

(A) दिया गया है कि,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$.
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\triangle ABC)}{\operatorname{ar}(\triangle QRP)} = \frac{BC^2}{RP^2}$.
यहाँ $\frac{\operatorname{ar}(\triangle ABC)}{\operatorname{ar}(\triangle QRP)} = \frac{9}{4}$ और $BC = 15 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\frac{9}{4} = \frac{(15)^2}{RP^2}$.
$\frac{9}{4} = \frac{225}{RP^2}$.
$RP^2 = \frac{225 \times 4}{9} = 25 \times 4 = 100$.
$RP = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
अतः,$PR$ का मान $10 \, cm$ है।

(B) दिया है,$\triangle PQR$ में,$PS = QS = RS$ ... $(1)$
$\triangle PSR$ में,$PS = RS$ (समीकरण $1$ से),इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ ... $(2)$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
इसी प्रकार,$\triangle RSQ$ में,$RS = QS$ (समीकरण $1$ से),इसलिए $\angle 3 = \angle 4$ ... $(3)$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$\triangle PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$
$\angle 2 + \angle 4 + (\angle 1 + \angle 3) = 180^{\circ}$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ से $\angle 2 = \angle 1$ और $\angle 4 = \angle 3$ रखने पर:
$\angle 1 + \angle 3 + \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ}$
$2(\angle 1 + \angle 3) = 180^{\circ}$
$\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$
अतः,$\angle R = 90^{\circ}$।
$\triangle PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2 + QR^2 = PQ^2$।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय के विलोम की जाँच करेंगे,जो कहता है कि यदि सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है,तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
दी गई भुजाएँ $AB = 24 \, cm$,$BC = 10 \, cm$ और $AC = 26 \, cm$ हैं।
भुजाओं के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = 24^2 = 576 \, cm^2$
$BC^2 = 10^2 = 100 \, cm^2$
$AC^2 = 26^2 = 676 \, cm^2$
अब,दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग करें:
$AB^2 + BC^2 = 576 + 100 = 676 \, cm^2$
चूँकि $AB^2 + BC^2 = AC^2$ $(576 + 100 = 676)$ है,इसलिए यह त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें शीर्ष $B$ पर समकोण है।

(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,$PQ \parallel EF$ तभी होगा यदि $\frac{DP}{PE} = \frac{DQ}{QF}$ हो।
यहाँ $DP = 5 \, cm$ और $DE = 15 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $PE = DE - DP = 15 - 5 = 10 \, cm$ होगा।
अतः,अनुपात $\frac{DP}{PE} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ है।
साथ ही,$DQ = 6 \, cm$ और $QF = 18 \, cm$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{DQ}{QF} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ है।
चूँकि $\frac{DP}{PE} \neq \frac{DQ}{QF}$ (अर्थात $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{3}$),इसलिए रेखा $PQ$,$EF$ के समांतर नहीं है।

(B) नहीं,यह सत्य नहीं है।
यह दिया गया है कि $\triangle FED \sim \triangle STU$,इसलिए संगत शीर्ष $F \leftrightarrow S$,$E \leftrightarrow T$ और $D \leftrightarrow U$ हैं।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए।
अतः,सही अनुपात $\frac{FE}{ST} = \frac{ED}{TU} = \frac{FD}{SU}$ है।
दिए गए व्यंजक $\frac{DE}{ST} = \frac{EF}{TU}$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यह भुजाओं की संगतता से मेल नहीं खाता है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,हम पाइथागोरस प्रमेय की जाँच करते हैं,जिसके अनुसार एक समकोण त्रिभुज के लिए सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए भुजाएँ $a = 25 \, cm$,$b = 5 \, cm$ और $c = 24 \, cm$ हैं।
सबसे लंबी भुजा $a = 25 \, cm$ है।
सबसे लंबी भुजा का वर्ग ज्ञात कीजिए: $a^2 = (25)^2 = 625 \, cm^2$.
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए: $b^2 + c^2 = (5)^2 + (24)^2 = 25 + 576 = 601 \, cm^2$.
चूँकि $a^2 \neq b^2 + c^2$ $(625 \neq 601)$,इसलिए त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$25 \, cm$,$5 \, cm$ और $24 \, cm$ भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

(B) यह कथन असत्य है।
हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज समरूप होते हैं,तो उनके संगत कोण समान होते हैं।
दिया गया है कि $\triangle DEF \sim \triangle RPQ$,इसलिए संगतता इस प्रकार है:
$D \leftrightarrow R$
$E \leftrightarrow P$
$F \leftrightarrow Q$
अतः,सही समानताएं $\angle D = \angle R$,$\angle E = \angle P$ और $\angle F = \angle Q$ हैं।
चूंकि $\angle F = \angle Q$ है न कि $\angle P$,इसलिए $\angle F = \angle P$ वाला कथन गलत है।

(A) दिया है: $PQ = 12.5 \, cm$,$PA = 5 \, cm$,$BR = 6 \, cm$ और $PB = 4 \, cm$ है।
सबसे पहले,$AQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए:
$AQ = PQ - PA = 12.5 - 5 = 7.5 \, cm$ है।
अब,अनुपातों की गणना कीजिए:
$\frac{PA}{AQ} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$ ......$(i)$
$\frac{PB}{BR} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हम देखते हैं कि:
$\frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BR}$
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$AB \parallel QR$ है।

(A) हाँ,$\triangle PBC \sim \triangle PDE$ है।
$\triangle PBC$ और $\triangle PDE$ में:
$\angle BPC = \angle EPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अब,कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाओं के अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{PB}{PD} = \frac{5 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$ ......$(i)$
$\frac{PC}{PE} = \frac{6 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$\frac{PB}{PD} = \frac{PC}{PE}$
चूंकि $\triangle PBC$ का एक कोण $\triangle PDE$ के एक कोण के बराबर है और इन कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाएं समानुपाती हैं,इसलिए $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं।
अतः,$\triangle PBC \sim \triangle PDE$ है।

(N/A) नहीं,$\triangle QPR$,$\triangle TSM$ के समरूप नहीं है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\triangle PQR$ में,$\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
$55^{\circ} + 25^{\circ} + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle R = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\triangle TSM$ में,$\angle T + \angle S + \angle M = 180^{\circ}$।
$\angle T + 25^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle T = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$।
$\triangle PQR$ और $\triangle TSM$ के कोणों की तुलना करने पर:
$\angle P = 55^{\circ} = \angle T$
$\angle Q = 25^{\circ} = \angle S$
$\angle R = 100^{\circ} = \angle M$
चूंकि सभी संगत कोण बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समरूप हैं,लेकिन सही संगति $\triangle PQR \sim \triangle TSM$ है।
अतः,$\triangle QPR$,$\triangle TSM$ के समरूप नहीं है क्योंकि शीर्षों का क्रम बराबर कोणों की संगति से मेल नहीं खाता है।

(B) यह कथन $\text{असत्य}$ है।
दो बहुभुज (चतुर्भुज सहित) समरूप तभी कहलाते हैं जब दो शर्तें पूरी होती हैं:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।
उदाहरण के लिए,एक वर्ग और एक आयत के संगत कोण बराबर $(90^{\circ})$ होते हैं,लेकिन वे समरूप नहीं होते क्योंकि उनकी भुजाएँ समानुपाती नहीं होती हैं।

(A) हाँ,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
माना पहले त्रिभुज की भुजाएँ $a_1, b_1, c_1$ हैं और उसका परिमाप $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ है।
माना दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ $a_2, b_2, c_2$ हैं और उसका परिमाप $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ है।
दिया गया है कि $a_1 = 3a_2$,$b_1 = 3b_2$ और $P_1 = 3P_2$ है।
चूँकि $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$ और $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$,इसलिए $3P_2 = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ होगा।
$P_2 = a_2 + b_2 + c_2$ का मान रखने पर,हमें $3(a_2 + b_2 + c_2) = 3a_2 + 3b_2 + c_1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3c_2 = c_1$ मिलता है।
चूँकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं $(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 3)$,इसलिए $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,दोनों त्रिभुज समरूप हैं।

(A) हाँ,दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।
मान लीजिए कि दो समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ हैं,जहाँ $\angle B = \angle Q = 90^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि पहले त्रिभुज का एक न्यूनकोण दूसरे त्रिभुज के एक न्यूनकोण के बराबर है,मान लीजिए $\angle A = \angle P$ है।
$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में:
$1$. $\angle B = \angle Q = 90^{\circ}$ (दिया है)
$2$. $\angle A = \angle P$ (दिया है)
$AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,चूंकि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समरूप हैं $(\triangle ABC \sim \triangle PQR)$।
यह $AAA$ समरूपता कसौटी का एक विशिष्ट मामला भी है,क्योंकि त्रिभुज के कोण योग गुण के कारण तीसरे कोण भी समान होंगे।

(B) यह कथन असत्य है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत शीर्षलंबों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{\text{Altitude}_1}{\text{Altitude}_2} \right)^2$
चूंकि शीर्षलंबों का अनुपात $\frac{3}{5}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}$
चूंकि $\frac{9}{25} \neq \frac{6}{5}$,इसलिए दिया गया कथन गलत है।

(N/A) नहीं,सामान्यतः यह कहना सही नहीं है कि $\triangle PQD \sim \triangle RPD$ है।
$\triangle PQD$ और $\triangle RPD$ में:
$1$. $\angle PDQ = \angle PDR = 90^{\circ}$ (दिया है कि $PD \perp QR$)
$2$. $PD = PD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
दो त्रिभुजों के समरूप होने के लिए,हमें $AA$,$SAS$,या $SSS$ समरूपता कसौटियों की आवश्यकता होती है। यहाँ,हमारे पास केवल एक कोण और एक भुजा समान है। हमारे पास अन्य कोणों की समानता या अन्य भुजाओं के अनुपात के बारे में कोई जानकारी नहीं है।
अतः,$\triangle PQD$ का $\triangle RPD$ के समरूप होना आवश्यक नहीं है,जब तक कि $\triangle PQR$ एक विशिष्ट प्रकार का त्रिभुज न हो (उदाहरण के लिए,यदि $\angle P = 90^{\circ}$ हो और $PD$ कर्ण पर लंब हो,तो $AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle PQD \sim \triangle RPD$ होगा)।

(N/A) हाँ,यह सत्य है।
$\triangle ADE$ और $\triangle ACB$ में:
$1$. $\angle A = \angle A$ (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण)।
$2$. $\angle D = \angle C$ (प्रश्न में दिया गया है)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ADE \sim \triangle ACB$ है।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों।
दिए गए कथन में,दो भुजाएँ समानुपाती हैं,लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि वे भुजाएँ समान कोण को अंतर्गत करती हों। इसलिए,$SAS$ समरूपता की शर्त पूरी नहीं होती है,और त्रिभुज समरूप हों यह आवश्यक नहीं है।

(B) माना $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जो $B$ पर समकोण है,जहाँ $AB = 16 \,cm$ और $BC = 8 \,cm$ है। इस त्रिभुज में अंतर्निहित सबसे बड़ा वर्ग $BRSP$ है।
माना वर्ग की भुजा की लंबाई $x \,cm$ है। अतः,$PB = x \,cm$ और $BR = x \,cm$.
तब $AP = AB - PB = (16 - x) \,cm$.
$\triangle APS$ और $\triangle ABC$ में,$\angle A = \angle A$ (उभयनिष्ठ) और $\angle APS = \angle ABC = 90^{\circ}$ है।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\triangle APS \sim \triangle ABC$.
इसका अर्थ है कि $\frac{AP}{AB} = \frac{PS}{BC}$.
मान रखने पर,$\frac{16 - x}{16} = \frac{x}{8}$.
वज्र-गुणन करने पर,$8(16 - x) = 16x$.
$128 - 8x = 16x$.
$128 = 24x$.
$x = \frac{128}{24} = \frac{16}{3} \,cm$.

(A) माना एक भुजा $x \, cm$ है। तब दूसरी भुजा $(x+5) \, cm$ होगी।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^{2} + (x+5)^{2} = (25)^{2}$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$x^{2} + x^{2} + 10x + 25 = 625$
$2x^{2} + 10x - 600 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^{2} + 5x - 300 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^{2} + 20x - 15x - 300 = 0$
$x(x+20) - 15(x+20) = 0$
$(x-15)(x+20) = 0$
अतः,$x = 15$ या $x = -20$ है।
चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = -20$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,एक भुजा $15 \, cm$ है और दूसरी भुजा $15 + 5 = 20 \, cm$ है।

(N/A) दिया है: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ और $\angle ADE = \angle AED$.
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$DE \parallel BC$.
चूंकि $DE \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए संगत कोण बराबर होंगे:
$\angle ADE = \angle ABC$ ....... $(1)$
इसी प्रकार,चूंकि $DE \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है:
$\angle AED = \angle ACB$ ....... $(2)$
हमें दिया गया है कि $\angle ADE = \angle AED$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान इस समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC = \angle ACB$.
$\triangle ABC$ में,चूंकि आधार के कोण बराबर हैं $(\angle B = \angle C)$,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AB = AC$.
चूंकि $\triangle ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$ और $QM \perp PR$ है।
सिद्ध करना है: $QM^{2} = PM \times MR$ है।
उपपत्ति: चूंकि $PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$,इसलिए $PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $Q$ समकोण है।
$\triangle QMR$ और $\triangle PMQ$ में:
$\angle M = \angle M = 90^{\circ}$ (दिया है $QM \perp PR$ और $\angle PQR = 90^{\circ}$ का अर्थ है $\angle MQR + \angle MQP = 90^{\circ}$)।
चूंकि $\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ और $\angle MQR + \angle R = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle MQR = \angle P$ है।
इसी प्रकार,$\angle MQP = \angle R$ है।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा $\triangle QMR \sim \triangle PMQ$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{QM}{PM} = \frac{MR}{QM}$।
इसलिए,$QM^{2} = PM \times MR$ है। इति सिद्धम्।

(B) दिया गया है,$DE \parallel AB$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार,यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए,तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
अतः,$\frac{CD}{AD} = \frac{CE}{BE}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+3}{3x+19} = \frac{x}{3x+4}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(x+3)(3x+4) = x(3x+19)$
$3x^2 + 4x + 9x + 12 = 3x^2 + 19x$
$3x^2 + 13x + 12 = 3x^2 + 19x$
दोनों पक्षों से $3x^2$ घटाने पर:
$13x + 12 = 19x$
$19x - 13x = 12$
$6x = 12$
$x = \frac{12}{6} = 2$.
अतः,$x$ का अभीष्ट मान $2$ है।

(N/A) दिया है: $\triangle NSQ \cong \triangle MTR$ और $\angle 1 = \angle 2.$
सिद्ध करना है: $\triangle PTS \sim \triangle PRQ.$
उपपत्ति: चूँकि $\triangle NSQ \cong \triangle MTR,$ $CPCT$ द्वारा,हमारे पास $SQ = TR$ और $NS = MT$ है।
साथ ही,दिया है $\angle 1 = \angle 2,$ अतः $\triangle PST$ में,समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $PT = PS$ है।
सर्वांगसमता $\triangle NSQ \cong \triangle MTR$ से,हमारे पास $NQ = MR$ है। दोनों पक्षों से $SQ = TR$ घटाने पर,हमें $NS = MT$ प्राप्त होता है।
चूँकि $PT = PS$ और $PQ = PT + TQ$ तथा $PR = PS + SR$ है,और समरूपता के आधार पर,हम दिखा सकते हैं कि $\frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR}.$
अब,$\angle P = \angle P$ (उभयनिष्ठ कोण) और $\frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR}$ होने के कारण,$SAS$ समरूपता कसौटी से,$\triangle PTS \sim \triangle PRQ$ सिद्ध होता है।

(D) दिया है कि $PQRS$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $PQ \parallel RS$ और $PQ = 3 RS$ है।
$\frac{PQ}{RS} = \frac{3}{1}$ ......$(i)$
$\triangle POQ$ और $\triangle ROS$ में:
$\angle SOR = \angle QOP$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle OSR = \angle OPQ$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PQ \parallel RS$]
$\therefore \triangle POQ \sim \triangle ROS$ [कोण-कोण $(AA)$ समरूपता कसौटी द्वारा]
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के गुणधर्म के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:
$\frac{\text{ar}(\triangle POQ)}{\text{ar}(\triangle ROS)} = \left(\frac{PQ}{RS}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = \frac{9}{1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $9: 1$ है।

(N/A) दिया है: $AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और $AB \parallel DC$ है।
सिद्ध करना है: $OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
उपपत्ति:
$\triangle AOP$ और $\triangle COQ$ में:
$1$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle OPA = \angle OQC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$\triangle AOP \sim \triangle COQ$ ($AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\frac{OA}{OC} = \frac{AP}{CQ}$
वज्र गुणन करने पर:
$OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
इति सिद्धम्।

(B) माना $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $8 \, cm$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब $AD$ आधार को समद्विभाजित करता है।
इसलिए,$BD = CD = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$8^2 = AD^2 + 4^2$
$64 = AD^2 + 16$
$AD^2 = 64 - 16 = 48$
$AD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3} \, cm$.
वैकल्पिक रूप से,समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा}$ होता है।
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3} \, cm$.

(C) दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{6} = \frac{BC}{9} = \frac{AC}{12}$.
अब,$BC$ के लिए हल करने पर:
$\frac{4}{6} = \frac{BC}{9} \implies BC = \frac{4 \times 9}{6} = 6 \, cm$.
$AC$ के लिए हल करने पर:
$\frac{4}{6} = \frac{AC}{12} \implies AC = \frac{4 \times 12}{6} = 8 \, cm$.
$\triangle ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC$.
परिमाप $= 4 + 6 + 8 = 18 \, cm$.

(D) दिया है,$DE \parallel BC,$ $DE = 6 \, cm$ और $BC = 12 \, cm.$
$\triangle ABC$ और $\triangle ADE$ में,
$\angle ABC = \angle ADE$ [संगत कोण]
$\angle ACB = \angle AED$ [संगत कोण]
$\angle A = \angle A$ [उभयनिष्ठ कोण]
अतः,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ [$AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा].
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\operatorname{ar}(ADE)}{\operatorname{ar}(ABC)} = \frac{(DE)^2}{(BC)^2}$
$= \frac{(6)^2}{(12)^2} = \left(\frac{6}{12}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.$
माना $\operatorname{ar}(ADE) = k,$ तो $\operatorname{ar}(ABC) = 4k.$
अब,$\operatorname{ar}(DECB) = \operatorname{ar}(ABC) - \operatorname{ar}(ADE) = 4k - k = 3k.$
अतः,अभीष्ट अनुपात $\operatorname{ar}(ADE) : \operatorname{ar}(DECB) = k : 3k = 1 : 3$ है।

(A) दिया गया है,एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ है। $P$ और $Q$ क्रमशः $AD$ और $BC$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $PQ \parallel DC$ है। अतः,$AB \parallel PQ \parallel DC$ है।
$BD$ को मिलाइए। मान लीजिए कि $BD$,$PQ$ को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$\triangle ABD$ में,$PO \parallel AB$ (क्योंकि $PQ \parallel AB$ है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BO}{OD}$ .......$(i)$
$\triangle BDC$ में,$OQ \parallel DC$ (क्योंकि $PQ \parallel DC$ है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{BQ}{QC} = \frac{BO}{OD}$ .......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$
दिए गए मान $PD = 18 \, cm$,$BQ = 35 \, cm$ और $QC = 15 \, cm$ रखने पर:
$\frac{AP}{18} = \frac{35}{15}$
$AP = \frac{35 \times 18}{15}$
$AP = \frac{7 \times 18}{3} = 7 \times 6 = 42 \, cm$
अतः,$AD = AP + PD = 42 \, cm + 18 \, cm = 60 \, cm$।

(B) दिया गया है कि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ है।
माना छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_1 = 48 \, cm^2$ है और बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_2$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$\frac{48}{A_2} = \frac{4}{9}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$4 \times A_2 = 48 \times 9$
$A_2 = \frac{432}{4} = 108 \, cm^2$.
अतः,बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $108 \, cm^2$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$PR$ पर $N$ एक बिंदु है ताकि $QN \perp PR$ और $PN \cdot NR = QN^2$ हो।
सिद्ध करना है: $\angle PQR = 90^{\circ}$।
उपपत्ति: हमारे पास $PN \cdot NR = QN^2$ है।
इसे $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\Delta QNP$ और $\Delta RNQ$ में:
$1$. $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ (दिया है)
$2$. $\angle PNQ = \angle RNQ = 90^{\circ}$ ($QN \perp PR$ दिया है)
$SAS$ समरूपता कसौटी से,$\Delta QNP \sim \Delta RNQ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनके संगत कोण बराबर होते हैं:
$\angle PQN = \angle QRN$ (मान लीजिए यह $\alpha$ है)
$\angle RQN = \angle QPN$ (मान लीजिए यह $\beta$ है)
$\Delta PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle P + \angle R + \angle PQR = 180^{\circ}$
$\angle QPN + \angle QRN + (\angle PQN + \angle RQN) = 180^{\circ}$
बराबर कोणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta + \alpha + (\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$\alpha + \beta = 90^{\circ}$
चूँकि $\angle PQR = \alpha + \beta$,इसलिए $\angle PQR = 90^{\circ}$ है।
इति सिद्धम्।

(D) दिया गया है कि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $= 36\, cm^{2}$ और बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल $= 100\, cm^{2}$ है।
साथ ही,बड़े त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई $= 20\, cm$ है।
माना छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई $x\, cm$ है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के गुणधर्म के अनुसार,दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
$\frac{\text{बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल}}{\text{छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल}} = \frac{(\text{बड़े त्रिभुज की भुजा})^{2}}{(\text{छोटे त्रिभुज की भुजा})^{2}}$
$\Rightarrow \frac{100}{36} = \frac{(20)^{2}}{x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2} = \frac{20^{2} \times 36}{100} = \frac{400 \times 36}{100} = 4 \times 36 = 144$
$x = \sqrt{144} = 12\, cm$.
अतः,छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई $12\, cm$ है।

(A) दिया है: $AC = 8 \, cm$,$AD = 3 \, cm$ और $\angle ACB = \angle CDA = 90^{\circ}$ (आकृति से)।
समकोण $\triangle ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$8^2 = 3^2 + CD^2$
$64 = 9 + CD^2$
$CD^2 = 55$
$CD = \sqrt{55} \, cm$.
अब,$\triangle CDB$ और $\triangle ADC$ पर विचार करें:
$1$. $\angle BDC = \angle ADC = 90^{\circ}$ (दिया है)।
$2$. $\angle DBC = \angle DCA$ (क्योंकि दोनों $90^{\circ} - \angle A$ के बराबर हैं)।
$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle CDB \sim \triangle ADC$.
अतः,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}$
$CD^2 = AD \times BD$
$55 = 3 \times BD$
$BD = \frac{55}{3} \, cm$.

(B) माना $BC = 15\, m$ टावर की ऊँचाई है और $AB = 24\, m$ उसकी छाया की लंबाई है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है,इसलिए $\angle CAB = \theta$.
माना $EF = h$ टेलीफोन के खंभे की ऊँचाई है और $DE = 16\, m$ उसकी छाया की लंबाई है। उसी समय सूर्य का उन्नयन कोण समान रहता है,इसलिए $\angle EDF = \theta$.
$\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में:
$\angle CAB = \angle EDF = \theta$ (सूर्य का उन्नयन कोण)
$\angle ABC = \angle DEF = 90^{\circ}$ (दोनों समतल जमीन पर खड़ी ऊर्ध्वाधर वस्तुएं हैं)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी के अनुसार $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{24}{16} = \frac{15}{h}$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{15 \times 16}{24}$
$h = \frac{15 \times 2}{3}$
$h = 5 \times 2 = 10\, m$.
अतः,टेलीफोन के खंभे की ऊँचाई $10\, m$ है।

(C) माना $AB$ एक ऊर्ध्वाधर दीवार है और $AC = 10\,m$ सीढ़ी की लंबाई है।
सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी $BC = 6\,m$ है।
समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(10)^2 = AB^2 + (6)^2$
$100 = AB^2 + 36$
$AB^2 = 100 - 36 = 64$
$AB = \sqrt{64} = 8\,m$.
अतः,दीवार पर उस बिंदु की ऊँचाई जहाँ सीढ़ी का ऊपरी सिरा पहुँचता है,$8\,m$ है।

(N/A) $\triangle AOF$ और $\triangle BOD$ में:
$\angle O = \angle O$ (उभयनिष्ठ कोण) और $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$.
अतः,$\triangle AOF \sim \triangle BOD$ ($AA$ समरूपता).
इसलिए,$\frac{OA}{OB} = \frac{FA}{DB}$ .........$(1)$
साथ ही,$\triangle FAC$ और $\triangle EBC$ में:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ और $\angle FCA = \angle ECB$ (शीर्षाभिमुख कोण).
अतः,$\triangle FAC \sim \triangle EBC$ ($AA$ समरूपता).
इसलिए,$\frac{FA}{EB} = \frac{AC}{BC}$.
चूंकि $OB$,$DE$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए $EB = DB$.
अतः,$\frac{FA}{DB} = \frac{AC}{BC}$ ......$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AC}{BC} = \frac{OA}{OB}$.
चूंकि $AC = OC - OA$ और $BC = OB - OC$,हमें मिलता है:
$\frac{OC - OA}{OB - OC} = \frac{OA}{OB}$.
$OB(OC - OA) = OA(OB - OC)$.
$OB \cdot OC - OA \cdot OB = OA \cdot OB - OA \cdot OC$.
$OB \cdot OC + OA \cdot OC = 2(OA \cdot OB)$.
दोनों पक्षों को $(OA \cdot OB \cdot OC)$ से भाग देने पर:
$\frac{OB \cdot OC}{OA \cdot OB \cdot OC} + \frac{OA \cdot OC}{OA \cdot OB \cdot OC} = \frac{2(OA \cdot OB)}{OA \cdot OB \cdot OC}$.
$\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB} = \frac{2}{OC}$.

(N/A) दिया है: एक त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AC^2 = AB^2 + BC^2$ है।
सिद्ध करना है: $\angle B = 90^{\circ}$।
रचना: एक $\triangle PQR$ की रचना कीजिए जिसमें $\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = AB$ और $QR = BC$ हो।
उपपत्ति:
$\triangle PQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
चूंकि $PQ = AB$ और $QR = BC$,इसलिए:
$PR^2 = AB^2 + BC^2$ ...... $(1)$
दिया गया है कि $AC^2 = AB^2 + BC^2$ ...... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$PR^2 = AC^2$,जिसका अर्थ है कि $PR = AC$।
अब,$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में:
$AB = PQ$ (रचना से)
$BC = QR$ (रचना से)
$AC = PR$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
इसलिए,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है।
अतः,$CPCT$ द्वारा $\angle B = \angle Q$ है।
चूंकि रचना से $\angle Q = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle B = 90^{\circ}$ सिद्ध होता है।

(B) पहले हवाई जहाज द्वारा $1 \frac{1}{2}$ घंटे (या $1.5$ घंटे) में तय की गई दूरी $= 300 \times 1.5 = 450 \, km$.
दूसरे हवाई जहाज द्वारा $1.5$ घंटे में तय की गई दूरी $= 400 \times 1.5 = 600 \, km$.
चूंकि एक हवाई जहाज उत्तर की ओर और दूसरा पश्चिम की ओर उड़ता है,इसलिए उनके रास्ते एक-दूसरे के लंबवत हैं,जो एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,जहाँ हवाई अड्डा समकोण के शीर्ष पर है।
मान लीजिए $O$ हवाई अड्डा है,$A$ पहले हवाई जहाज की स्थिति है और $B$ दूसरे हवाई जहाज की स्थिति है।
अतः $OA = 450 \, km$ और $OB = 600 \, km$.
$\triangle AOB$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
$AB^2 = (450)^2 + (600)^2$
$AB^2 = 202500 + 360000$
$AB^2 = 562500$
$AB = \sqrt{562500} = 750 \, km$.
इस प्रकार,$1 \frac{1}{2}$ घंटे के बाद दोनों हवाई जहाज एक-दूसरे से $750 \, km$ की दूरी पर होंगे।