Mix Examples - Triangles Questions in Hindi

(N/A) दिया गया है कि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।
अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$
दिए गए व्यंजकों को रखने पर:
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{2x + 2}{3x + 9} = \frac{3x}{6x}$
पहले और तीसरे अनुपात को लेने पर:
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{3x}{6x}$
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{1}{2}$
वज्र-गुणन करने पर:
$2(2x - 1) = 18$
$4x - 2 = 18$
$4x = 20$
$x = 5$
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$\triangle ABC$ के लिए:
$AB = 2(5) - 1 = 9 \, cm$
$BC = 2(5) + 2 = 12 \, cm$
$CA = 3(5) = 15 \, cm$
$\triangle DEF$ के लिए:
$DE = 18 \, cm$
$EF = 3(5) + 9 = 24 \, cm$
$FD = 6(5) = 30 \, cm$

(D) दिया है,$\angle A = \angle C$,$AB = 6 \, cm$,$BP = 15 \, cm$,$AP = 12 \, cm$ और $CP = 4 \, cm$ है।
$\triangle APB$ और $\triangle CPD$ में:
$\angle A = \angle C$ [दिया है]
$\angle APB = \angle CPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अतः,$\triangle APB \sim \triangle CPD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AP}{CP} = \frac{BP}{PD} = \frac{AB}{CD}$
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} = \frac{6}{CD}$
पहले दो पदों को लेने पर:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} \implies 3 = \frac{15}{PD} \implies PD = \frac{15}{3} = 5 \, cm$
पहले और अंतिम पद को लेने पर:
$\frac{12}{4} = \frac{6}{CD} \implies 3 = \frac{6}{CD} \implies CD = \frac{6}{3} = 2 \, cm$
अतः,$PD$ की लंबाई $5 \, cm$ और $CD$ की लंबाई $2 \, cm$ है।

(N/A) दिया गया है,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$। चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।
अर्थात,$\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF} = \frac{BC}{DF}$ ...... $(i)$
दिए गए मान $AB = 5 \, cm$,$AC = 7 \, cm$,$DF = 15 \, cm$ और $DE = 12 \, cm$ हैं।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF} = \frac{BC}{15}$
प्रथम और द्वितीय पदों को लेने पर:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF}$
$\Rightarrow EF = \frac{7 \times 12}{5} = \frac{84}{5} = 16.8 \, cm$
प्रथम और तृतीय पदों को लेने पर:
$\frac{5}{12} = \frac{BC}{15}$
$\Rightarrow BC = \frac{5 \times 15}{12} = \frac{75}{12} = 6.25 \, cm$
अतः,शेष भुजाओं की लंबाई $EF = 16.8 \, cm$ और $BC = 6.25 \, cm$ है।

(N/A) माना एक $\triangle ABC$ है जिसमें $BC$ के समांतर एक रेखा $DE$,$AB$ को $D$ पर और $AC$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करना है: $DE$ दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है,अर्थात्,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
रचना: $BE$ और $CD$ को मिलाइए और $EF \perp AB$ तथा $DG \perp AC$ खींचिए।
उपपत्ति: यहाँ,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF} = \frac{AD}{DB}$ ......$(i)$ [चूंकि,त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$]
इसी प्रकार,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DG}{\frac{1}{2} \times EC \times DG} = \frac{AE}{EC}$ ......$(ii)$
अब,चूंकि $\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही समांतर रेखाओं $DE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं और एक ही आधार $DE$ पर हैं,इसलिए,$\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle DEC)$ ......$(iii)$
समीकरण $(i), (ii)$ और $(iii)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PQ \parallel SR$ और $PS \parallel QR$ है। साथ ही,$AB \parallel PS$ है।
सिद्ध करना है: $OC \parallel SR$ है।
उपपत्ति: $\triangle OPS$ और $\triangle OAB$ में,चूंकि $PS \parallel AB$ है:
$\angle POS = \angle AOB$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle OSP = \angle OBA$ (संगत कोण)
अतः,$\triangle OPS \sim \triangle OAB$ ($AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{PS}{AB} = \frac{OS}{OB}$ ..........$(i)$
$\triangle CQR$ और $\triangle CAB$ में,चूंकि $QR \parallel PS \parallel AB$ है:
$\angle QCR = \angle ACB$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle CQR = \angle CAB$ (संगत कोण)
अतः,$\triangle CQR \sim \triangle CAB$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{QR}{AB} = \frac{CR}{CB}$ है।
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PS = QR$ है। यह मान रखने पर:
$\frac{PS}{AB} = \frac{CR}{CB}$ ..........$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$\frac{OS}{OB} = \frac{CR}{CB} \Rightarrow \frac{OB}{OS} = \frac{CB}{CR}$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{OB}{OS} - 1 = \frac{CB}{CR} - 1$
$\frac{OB - OS}{OS} = \frac{CB - CR}{CR}$
$\frac{BS}{OS} = \frac{BR}{CR}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के विलोम द्वारा,$SR \parallel OC$ (या $OC \parallel SR$) है। इति सिद्धम्।

(D) माना $AC$ लंबाई $5\,m$ की सीढ़ी है और $BC = 4\,m$ दीवार की ऊँचाई है जहाँ सीढ़ी टिकी है। यदि सीढ़ी के निचले सिरे को $1.6\,m$ दीवार की ओर खिसकाया जाता है,अर्थात $AD = 1.6\,m$,तो सीढ़ी ऊपर की ओर $ED$ नई स्थिति में खिसक जाती है।
समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$5^2 = AB^2 + 4^2$
$25 = AB^2 + 16$
$AB^2 = 9 \Rightarrow AB = 3\,m$.
अब,दीवार से निचले सिरे की नई दूरी $DB = AB - AD = 3 - 1.6 = 1.4\,m$ है।
समकोण $\triangle EBD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$ED^2 = EB^2 + DB^2$
$5^2 = EB^2 + (1.4)^2$
$25 = EB^2 + 1.96$
$EB^2 = 25 - 1.96 = 23.04$
$EB = \sqrt{23.04} = 4.8\,m$.
सीढ़ी का ऊपरी सिरा जितनी दूरी ऊपर की ओर खिसकता है,वह $EC = EB - BC = 4.8 - 4 = 0.8\,m$ है।

(A) दिया गया है कि,$AC \perp CB$,$AC = 2x \, km$,$CB = 2(x+7) \, km$ और $AB = 26 \, km$.
आकृति से,हमें एक समकोण त्रिभुज $\triangle ACB$ प्राप्त होता है जिसका समकोण $C$ पर है।
अब,$\triangle ACB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$(26)^2 = (2x)^2 + \{2(x+7)\}^2$
$676 = 4x^2 + 4(x^2 + 49 + 14x)$
$676 = 4x^2 + 4x^2 + 196 + 56x$
$676 = 8x^2 + 56x + 196$
$8x^2 + 56x - 480 = 0$
$8$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x^2 + 7x - 60 = 0$
$x^2 + 12x - 5x - 60 = 0$
$x(x + 12) - 5(x + 12) = 0$
$(x + 12)(x - 5) = 0$
$x = -12$ या $x = 5$.
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ (क्योंकि $x \neq -12$).
अब,$AC = 2x = 2(5) = 10 \, km$ और $BC = 2(x+7) = 2(5+7) = 24 \, km$.
शहर $C$ से होकर शहर $A$ से शहर $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $= AC + BC = 10 + 24 = 34 \, km$.
राजमार्ग के निर्माण के बाद शहर $A$ से शहर $B$ तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $= AB = 26 \, km$.
अतः,बचाई गई दूरी $= 34 - 26 = 8 \, km$ है।

(B) माना $BC = 18 \, m$ ध्वजदंड है और इसकी छाया $AB = 9.6 \, m$ है। ध्वजदंड के शीर्ष $(C)$ की छाया के दूरस्थ सिरे $(A)$ से दूरी $AC$ है।
समकोण $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (9.6)^2 + (18)^2$
$AC^2 = 92.16 + 324$
$AC^2 = 416.16$
$AC = \sqrt{416.16} = 20.4 \, m$
अतः,अभीष्ट दूरी $20.4 \, m$ है।

(C) मान लीजिए $A$ खंभे पर लगे स्ट्रीट लाइट बल्ब की स्थिति है,जहाँ $AB = 6 \, m$ है और $CD = 1.5 \, m$ महिला की ऊँचाई है और उसकी छाया $ED = 3 \, m$ है। मान लीजिए खंभे और महिला के बीच की दूरी $x \, m$ है।
यहाँ,महिला और खंभा दोनों लंबवत खड़े हैं।
इसलिए,$CD \parallel AB$.
$\triangle CDE$ और $\triangle ABE$ में,$\angle E = \angle E$ [उभयनिष्ठ कोण]।
$\angle ABE = \angle CDE = 90^{\circ}$ [प्रत्येक $90^{\circ}$ है]।
अतः,$\triangle CDE \sim \triangle ABE$ [$AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा]।
तब,$\frac{ED}{EB} = \frac{CD}{AB}$.
$\frac{3}{3 + x} = \frac{1.5}{6}$.
$3 \times 6 = 1.5(3 + x)$.
$18 = 4.5 + 1.5x$.
$1.5x = 18 - 4.5$.
$1.5x = 13.5$.
$x = \frac{13.5}{1.5} = 9 \, m$.
अतः,वह खंभे के आधार से $9 \, m$ की दूरी पर है।

(N/A) दिया है,$\triangle ABC$ जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ और $BD \perp AC$ है।
साथ ही,$AD = 4 \, cm$ और $CD = 5 \, cm$ है।
$\triangle ADB$ और $\triangle CDB$ में,$\angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ}$ है।
साथ ही,$\angle BAD = \angle DBC$ (क्योंकि दोनों $90^{\circ} - \angle C$ के बराबर हैं)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा $\triangle ADB \sim \triangle CDB$ है।
इस प्रकार,$\frac{BD}{AD} = \frac{CD}{BD}$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow BD^2 = AD \times CD = 4 \times 5 = 20$.
$\Rightarrow BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, cm$.
अब,समकोण $\triangle ADB$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
$\Rightarrow AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
अतः,$BD = 2\sqrt{5} \, cm$ और $AB = 6 \, cm$ है।

(N/A) दिया है,$\Delta PQR$ जिसमें $\angle Q = 90^{\circ}$,$QS \perp PR$,$PQ = 6 \, cm$ और $PS = 4 \, cm$ है।
समकोण $\Delta PSQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PS^2 + QS^2$
$6^2 = 4^2 + QS^2$
$36 = 16 + QS^2$
$QS^2 = 20$
$QS = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, cm$.
चूंकि $\Delta PSQ \sim \Delta QSR$,इसलिए:
$\frac{PS}{QS} = \frac{QS}{RS}$
$QS^2 = PS \times RS$
$20 = 4 \times RS$
$RS = 5 \, cm$.
समकोण $\Delta QSR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$QR^2 = QS^2 + RS^2$
$QR^2 = 20 + 5^2$
$QR^2 = 20 + 25 = 45$
$QR = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \, cm$.
अतः,$QS = 2\sqrt{5} \, cm$,$RS = 5 \, cm$ और $QR = 3\sqrt{5} \, cm$ है।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$PD \perp QR$,$PQ = a$,$PR = b$,$QD = c$ और $DR = d$ है।
सिद्ध करना है: $(a+b)(a-b) = (c+d)(c-d)$।
उपपत्ति: समकोण $\triangle PDQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PD^2 + QD^2$
$a^2 = PD^2 + c^2$
$PD^2 = a^2 - c^2$ ...... $(i)$
समकोण $\triangle PDR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PR^2 = PD^2 + DR^2$
$b^2 = PD^2 + d^2$
$PD^2 = b^2 - d^2$ ...... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$a^2 - c^2 = b^2 - d^2$
$a^2 - b^2 = c^2 - d^2$
$(a - b)(a + b) = (c - d)(c + d)$
अतः,$(a + b)(a - b) = (c + d)(c - d)$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ है।
सिद्ध करना है: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$।
रचना: $AB$ और $DC$ को आगे बढ़ाएं ताकि वे बिंदु $E$ पर मिलें।
उपपत्ति: $\triangle AED$ में,$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ (दिया है)।
चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle E = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
समकोण $\triangle AED$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$ ... $(i)$
समकोण $\triangle BEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BC^{2} = BE^{2} + CE^{2}$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $AD^{2} + BC^{2} = AE^{2} + DE^{2} + BE^{2} + CE^{2}$ ... $(iii)$
समकोण $\triangle AEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AE^{2} + CE^{2}$ ... $(iv)$
समकोण $\triangle BED$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BD^{2} = BE^{2} + DE^{2}$ ... $(v)$
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $AC^{2} + BD^{2} = AE^{2} + CE^{2} + BE^{2} + DE^{2}$ ... $(vi)$
$(iii)$ और $(vi)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है कि $l \parallel m$ और रेखाखंड $AB, CD$ और $EF$ बिंदु $P$ पर संगामी हैं।
सिद्ध करना है: $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$।
उपपत्ति:
$\triangle APC$ और $\triangle BPD$ में,
$\angle APC = \angle BPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PAC = \angle PBD$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $l \parallel m$]
अतः,$\triangle APC \sim \triangle BPD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{PC}{PD}$ ......$(i)$
$\triangle APE$ और $\triangle BPF$ में,
$\angle APE = \angle BPF$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PAE = \angle PBF$ [एकांतर अंतःकोण]
अतः,$\triangle APE \sim \triangle BPF$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{AP}{PB} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF}$ ......$(ii)$
$\triangle PEC$ और $\triangle PFD$ में,
$\angle EPC = \angle FPD$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle PCE = \angle PDF$ [एकांतर अंतःकोण]
अतः,$\triangle PEC \sim \triangle PFD$ [$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा]
तब,$\frac{PE}{PF} = \frac{PC}{PD} = \frac{CE}{FD}$ ......$(iii)$
समीकरण $(i), (ii)$ और $(iii)$ से,
$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{FD}$
अतः,$\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $AB = 6 \, cm$,$BC = 9 \, cm$,$CD = 12 \, cm$ और $PS = 36 \, cm$ है।
साथ ही,$PA$,$QB$,$RC$ और $SD$ रेखा $l$ पर लंब हैं,जिसका अर्थ है कि $PA \parallel QB \parallel RC \parallel SD$ है।
अंत:खंड प्रमेय (intercept theorem) के अनुसार,एक तिर्यक रेखा पर बने अंत:खंडों का अनुपात दूसरी तिर्यक रेखा पर बने अंत:खंडों के अनुपात के बराबर होता है:
$PQ : QR : RS = AB : BC : CD$
$PQ : QR : RS = 6 : 9 : 12$
माना $PQ = 6x$,$QR = 9x$ और $RS = 12x$ है।
चूंकि कुल लंबाई $PS = 36 \, cm$ है:
$PQ + QR + RS = 36$
$6x + 9x + 12x = 36$
$27x = 36$
$x = \frac{36}{27} = \frac{4}{3}$
अब,लंबाइयों की गणना करने पर:
$PQ = 6x = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \, cm$
$QR = 9x = 9 \times \frac{4}{3} = 12 \, cm$
$RS = 12x = 12 \times \frac{4}{3} = 16 \, cm$

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $PQ \parallel AB \parallel DC$.
सिद्ध करना है: $PO = QO$.
उपपत्ति: $\triangle ADC$ में,$PO \parallel DC$ (क्योंकि $PQ \parallel DC$ है)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार:
$\frac{AP}{PD} = \frac{AO}{OC}$ ........$(i)$
$\triangle ABC$ में,$OQ \parallel AB$ है।
$BPT$ के अनुसार:
$\frac{BQ}{QC} = \frac{AO}{OC}$ ........$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$\frac{AP}{PD} + 1 = \frac{BQ}{QC} + 1$
$\frac{AP + PD}{PD} = \frac{BQ + QC}{QC}$
$\frac{AD}{PD} = \frac{BC}{QC}$
$\Rightarrow \frac{PD}{AD} = \frac{QC}{BC}$ ........$(iii)$
अब,$\triangle ABD$ में,$PO \parallel AB$ है। अतः,$\triangle POD \sim \triangle ABD$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{PO}{AB} = \frac{PD}{AD}$ ........$(iv)$
$\triangle ABC$ में,$OQ \parallel AB$ है। अतः,$\triangle OQC \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{OQ}{AB} = \frac{QC}{BC}$ ........$(v)$
$(iii)$,$(iv)$ और $(v)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{PO}{AB} = \frac{OQ}{AB}$
$\Rightarrow PO = OQ$. इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में,$E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है और $\angle AEF = \angle AFE$ है।
सिद्ध करना है: $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$.
रचना: $AB$ पर एक बिंदु $G$ इस प्रकार लीजिए कि $CG \parallel EF$ हो।
उपपत्ति: चूँकि $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CE = AE$ $(i)$.
$\triangle ACG$ में,$CG \parallel EF$ और $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,अतः मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$AG$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$GF = AF$ $(ii)$.
$\triangle AEF$ में,$\angle AEF = \angle AFE$ होने के कारण,$AE = AF$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$CE = AE = AF = GF$ है। अतः,$CE = GF$ है।
अब,$\triangle BDF$ में,$CG \parallel EF$ होने के कारण,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ से,$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{GF}$ प्राप्त होता है।
$GF = CE$ रखने पर,हमें $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।

(N/A) माना $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है और $AB = y, BC = x$ है।
तीन अर्धवृत्त क्रमशः $AB, BC$ और $AC$ भुजाओं पर खींचे गए हैं,जिनके व्यास $AB, BC$ और $AC$ हैं।
माना $AB, BC$ और $AC$ व्यास वाले अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल क्रमशः $A_1, A_2$ और $A_3$ हैं।
सिद्ध करना है: $A_3 = A_1 + A_2$.
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = y^2 + x^2$
$AC = \sqrt{y^2 + x^2}$
हम जानते हैं कि $d$ व्यास वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{\pi}{2} \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$ होता है।
अतः,$AC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_3 = \frac{\pi (AC)^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$ .....$(i)$
अब,$AB$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_1 = \frac{\pi (AB)^2}{8} = \frac{\pi y^2}{8}$ .....$(ii)$
और $BC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_2 = \frac{\pi (BC)^2}{8} = \frac{\pi x^2}{8}$ .....$(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$A_1 + A_2 = \frac{\pi y^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$
समीकरण $(i)$ से,हम देख सकते हैं कि $A_1 + A_2 = A_3$.
अतः,कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^\circ$,$AC = y$ और $AB = x$ है।
तीन समबाहु त्रिभुज $\triangle AEC$,$\triangle AFB$ और $\triangle CBD$ क्रमशः भुजाओं $AC$,$AB$ और $BC$ पर खींचे गए हैं।
माना इन समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः $A_1$,$A_2$ और $A_3$ हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $A_3 = A_1 + A_2$।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BC^2 = AC^2 + AB^2 = y^2 + x^2$।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ होता है।
$A_1 = \text{Area}(\triangle AEC) = \frac{\sqrt{3}}{4} AC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2$ ... $(i)$
$A_2 = \text{Area}(\triangle AFB) = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ ... $(ii)$
$A_3 = \text{Area}(\triangle CBD) = \frac{\sqrt{3}}{4} BC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (y^2 + x^2)$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ से:
$A_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = A_1 + A_2$।
अतः,कर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,कोणों का अनुपात $m \angle A : m \angle B : m \angle C = 15 : 8 : 7$ है।
माना कोण क्रमशः $15t$,$8t$ और $7t$ हैं।
चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $15t + 8t + 7t = 180^\circ$ होगा।
$30t = 180^\circ$,जिससे $t = 6^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः,$m \angle A = 15 \times 6^\circ = 90^\circ$,$m \angle B = 8 \times 6^\circ = 48^\circ$ और $m \angle C = 7 \times 6^\circ = 42^\circ$ है।
दी गई समरूपता संगति $ABC \leftrightarrow QPR$ के अनुसार,संगत कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$m \angle Q = m \angle A = 90^\circ$,$m \angle P = m \angle B = 48^\circ$ और $m \angle R = m \angle C = 42^\circ$ है।
अतः,$\Delta PQR$ के कोण $m \angle P = 48^\circ$,$m \angle Q = 90^\circ$ और $m \angle R = 42^\circ$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ के बीच पत्राचार $ABC \leftrightarrow XYZ$ एक समरूपता है।
इसलिए,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$
दिए गए समीकरण $4AB = 5XY$ से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{AB}{XY} = \frac{5}{4}$
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,हमारे पास है:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{4} = \frac{12}{YZ}$
$YZ$ के लिए हल करने पर:
$YZ = \frac{12 \times 4}{5} = \frac{48}{5} = 9.6$
अतः,$YZ = 9.6$.

(D) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,इसलिए संगत कोण बराबर होते हैं: $m \angle A = m \angle P$,$m \angle B = m \angle Q$,और $m \angle C = m \angle R = 100^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$।
$m \angle C = 100^{\circ}$ रखने पर,हमें $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $2 m \angle P = 3 m \angle Q$,और चूंकि $m \angle P = m \angle A$ तथा $m \angle Q = m \angle B$,इसलिए $2 m \angle A = 3 m \angle B$ होगा,जिसका अर्थ है $m \angle A = 1.5 m \angle B$।
इस मान को $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1.5 m \angle B + m \angle B = 80^{\circ}$
$2.5 m \angle B = 80^{\circ}$
$m \angle B = 80 / 2.5 = 32^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि पत्राचार $PQR \leftrightarrow ZYX$ एक समरूपता है,इसलिए $\Delta PQR \sim \Delta ZYX$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
हमें $\frac{PQ}{ZY} = \frac{5}{3}$ और $PR = 10$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात $\frac{PQ}{ZY} = \frac{PR}{ZX}$ में रखने पर:
$\frac{5}{3} = \frac{10}{ZX}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें $5 \times ZX = 3 \times 10$ प्राप्त होता है।
$5 \times ZX = 30$.
$ZX = \frac{30}{5} = 6$.
अतः,$ZX$ की लंबाई $6$ है।

(A) दिया गया है कि संगतता $ABC \leftrightarrow QRP$ के लिए $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
इसका अर्थ है कि संगत कोण बराबर हैं:
$m \angle A = m \angle Q$
$m \angle B = m \angle R$
$m \angle C = m \angle P$
दिया है $m \angle A = 80^{\circ}, m \angle B = 40^{\circ}, m \angle C = 60^{\circ}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m \angle Q = 80^{\circ}$
$m \angle R = 40^{\circ}$
$m \angle P = 60^{\circ}$
अतः,$\Delta PQR$ के कोण $m \angle P = 60^{\circ}, m \angle Q = 80^{\circ}, m \angle R = 40^{\circ}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ संगतता $XYZ \leftrightarrow EDF$ के साथ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है: $\frac{XY}{ED} = \frac{YZ}{DF} = \frac{ZX}{FE} = k$.
दिया है $XY = 3, YZ = 4, ZX = 6$ और $DF = 12$.
अनुपात $\frac{YZ}{DF} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ से,स्केल फैक्टर $k = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{XY}{ED} = \frac{1}{3} \implies \frac{3}{ED} = \frac{1}{3} \implies ED = 9$.
और $\frac{ZX}{FE} = \frac{1}{3} \implies \frac{6}{FE} = \frac{1}{3} \implies FE = 18$.
$\Delta DEF$ का परिमाप $= ED + DF + FE = 9 + 12 + 18 = 39$.

(D) दिया गया है कि $ABC \leftrightarrow ZYX$ संगति के अंतर्गत $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात समान है: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ} = k$.
दिए गए मानों से,$AB = 3, BC = 5, CA = 6$ और $XY = 6$ है।
$ABC \leftrightarrow ZYX$ संगति का उपयोग करने पर,हमें अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ}$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{ZY} = \frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$.
$\frac{5}{6} = \frac{3}{ZY}$ से,$ZY = \frac{3 \times 6}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ प्राप्त होता है।
$\frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$ से,$XZ = \frac{6 \times 6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$ प्राप्त होता है।
$\Delta XYZ$ का परिमाप $= XY + YZ + ZX = 6 + 3.6 + 7.2 = 16.8$।

(A) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है $m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$,इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर $130^{\circ} + m \angle C = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $m \angle C = 50^{\circ}$।
दिया गया है $m \angle B + m \angle C = 125^{\circ}$,$m \angle C = 50^{\circ}$ रखने पर $m \angle B + 50^{\circ} = 125^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $m \angle B = 75^{\circ}$।
चूंकि $m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$ है,इसलिए $m \angle A + 75^{\circ} = 130^{\circ}$ होगा,जिससे $m \angle A = 55^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$ABC \leftrightarrow QPR$ पत्राचार के अनुसार,संगत कोण $\angle A \leftrightarrow \angle Q$,$\angle B \leftrightarrow \angle P$,और $\angle C \leftrightarrow \angle R$ हैं।
अतः,$m \angle Q = m \angle A = 55^{\circ}$ होगा।

(N/A) दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (या समानुपात) में हों।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta RPQ$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,उनके संगत कोण बराबर होते हैं।
संगति $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,और $C \leftrightarrow Q$ है।
इसलिए,$m\angle A = m\angle R = 35^{\circ}$ और $m\angle B = m\angle P = 50^{\circ}$ है।
$\Delta ABC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$m\angle C = 180^{\circ} - (m\angle A + m\angle B) = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$।
चूंकि $C \leftrightarrow Q$ है,इसलिए $m\angle C = m\angle Q$ होगा।
अतः,$m\angle Q = 95^{\circ}$।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ संगति $ABC \leftrightarrow XZY$ के अंतर्गत है।
इसका अर्थ है कि संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY} = \frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta XYZ \text{ का परिमाप}}$.
दिया है: $\Delta ABC \text{ का परिमाप} = 45$,$\Delta XYZ \text{ का परिमाप} = 30$ और $AB = 21$.
मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{21}{XZ} = \frac{45}{30}$.
$\frac{45}{30}$ भिन्न को सरल करने पर $\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{21}{XZ} = \frac{3}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर $3 \times XZ = 21 \times 2$.
$3 \times XZ = 42$.
$XZ = \frac{42}{3} = 14$.
इस प्रकार,$XZ$ की लंबाई $14$ है।

(A) चूंकि $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
दिए गए समीकरण $\frac{PQ}{3} = \frac{XY}{5}$ से,हम इसे $\frac{PQ}{XY} = \frac{3}{5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस अनुपात को समरूपता की शर्त $\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ}$ में रखने पर:
$\frac{3}{5} = \frac{9}{YZ}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$3 \times YZ = 5 \times 9$,जो सरल होकर $3 \times YZ = 45$ हो जाता है।
अतः,$YZ = \frac{45}{3} = 15$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} = \frac{5}{PR}$.
सबसे पहले,$PQ$ के लिए हल करें:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} \implies \frac{3}{PQ} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot PQ = 9 \implies PQ = 4.5$.
इसके बाद,$PR$ के लिए हल करें:
$\frac{4}{6} = \frac{5}{PR} \implies \frac{2}{3} = \frac{5}{PR} \implies 2 \cdot PR = 15 \implies PR = 7.5$.
अतः,$PQ = 4.5$ और $PR = 7.5$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta DEF$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = k$
यहाँ $AB = 8$,$DE = 12$,$AC = 10$,और $EF = 18$ दिया गया है।
समरूपता का अनुपात $k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ है।
अब,$\Delta DEF$ की शेष भुजाएँ ज्ञात कीजिए:
$\frac{AC}{DF} = \frac{2}{3} \implies \frac{10}{DF} = \frac{2}{3} \implies DF = \frac{10 \times 3}{2} = 15$.
$\frac{BC}{EF} = \frac{2}{3} \implies \frac{BC}{18} = \frac{2}{3} \implies BC = \frac{18 \times 2}{3} = 12$.
अब,$\Delta DEF$ का परिमाप = $DE + EF + DF = 12 + 18 + 15 = 45$.

(D) दी गई संगतता $ABC \leftrightarrow XZY$ के अनुसार,त्रिभुज समरूप हैं,अर्थात $\Delta ABC \sim \Delta XZY$।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$।
दिया गया है $AB = 6$,$XY = 12$,$YZ = 6$,और $ZX = 9$।
संगतता $ABC \leftrightarrow XZY$ का उपयोग करते हुए,भुजाएँ इस प्रकार समानुपाती हैं:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$
$\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} = \frac{AC}{12}$
सबसे पहले,$BC$ ज्ञात करें: $\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} \implies BC = \frac{6 \times 6}{9} = \frac{36}{9} = 4$।
इसके बाद,$AC$ ज्ञात करें: $\frac{6}{9} = \frac{AC}{12} \implies AC = \frac{6 \times 12}{9} = \frac{72}{9} = 8$।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 6 + 4 + 8 = 18$।

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,उनके परिमाप का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AB}{PQ}.$
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{16}{24} = \frac{6}{PQ}.$
$\frac{16}{24}$ अनुपात को सरल करने पर $\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{3} = \frac{6}{PQ}.$
वज्र-गुणन करने पर $2 \times PQ = 18$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$PQ = \frac{18}{2} = 9.$
सही विकल्प $A$ है।

(B) $\Delta PQR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$.
$80^{\circ} + 40^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ}$.
$120^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ} \implies m \angle R = 60^{\circ}$.
दी गई संगति $PQR \leftrightarrow YZX$ के अनुसार,संगत कोण बराबर होते हैं:
$m \angle P = m \angle Y = 80^{\circ}$,
$m \angle Q = m \angle Z = 40^{\circ}$,
$m \angle R = m \angle X = 60^{\circ}$.
अतः,$m \angle Z = m \angle Q = 40^{\circ}$.

(C) दिया गया है कि $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$,इसलिए संगत कोण बराबर हैं: $m \angle X = m \angle D$,$m \angle Y = m \angle E$,और $m \angle Z = m \angle F$.
$\Delta XYZ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle X + m \angle Y + m \angle Z = 180^{\circ}$.
दिया गया है $2 m \angle X = 3 m \angle Y$,इसलिए $m \angle X = 1.5 m \angle Y$.
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $1.5 m \angle Y + m \angle Y + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2.5 m \angle Y = 150^{\circ}$.
$m \angle Y = 150^{\circ} / 2.5 = 60^{\circ}$.
चूंकि $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$,इसलिए $m \angle E = m \angle Y = 60^{\circ}$.

(D) दिया गया है कि $PQR \leftrightarrow ZYX$ पत्राचार के अंतर्गत $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ है,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
यहाँ $PQ = 6$,$QR = 8$ और $XY = 12$ दिया गया है।
$PQR \leftrightarrow ZYX$ पत्राचार के अनुसार,भुजा $QR$,$YX$ के संगत है।
अतः,$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX}$.
दिए गए मान रखने पर: $\frac{6}{YZ} = \frac{8}{12}$.
$\frac{8}{12}$ को सरल करने पर $\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{6}{YZ} = \frac{2}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर $2 \times YZ = 6 \times 3$,जिसका अर्थ है $2 \times YZ = 18$.
अतः,$YZ = \frac{18}{2} = 9$.

(N/A) दिया गया है कि $\Delta PQR \sim \Delta DEF$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF} = \frac{PR}{DF}$.
दिए गए समीकरण $3 PQ = 2 DE$ से,हमें $\frac{PQ}{DE} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{3} = \frac{QR}{6} \implies QR = \frac{2 \times 6}{3} = 4$.
इसके बाद,अनुपात $\frac{PQ}{DE} = \frac{PR}{DF}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{3} = \frac{8}{DF} \implies DF = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.
अतः,$QR = 4$ और $DF = 12$ है।

(B) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
इसलिए,$\frac{\Delta ABC \text{ का परिमाप}}{\Delta PQR \text{ का परिमाप}} = \frac{AB}{PQ}$।
हमें दिया गया है कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{3}{4}$ और $\Delta PQR$ का परिमाप $= 24$ है।
माना कि $\Delta ABC$ का परिमाप $x$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x}{24} = \frac{3}{4}$।
$x = \frac{3}{4} \times 24$।
$x = 3 \times 6 = 18$।
अतः,$\Delta ABC$ का परिमाप $18$ है।

(C) दिया गया है कि $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
दिए गए समीकरण $3 QR = 4 YZ$ से,हम अनुपात $\frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$ लिख सकते हैं।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{PR}{XZ} = \frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$ होगा।
दिए गए मान $PR = 8$ को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{8}{XZ} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$XZ$ के लिए हल करने पर: $4 XZ = 8 \times 3$,जिसका अर्थ है $4 XZ = 24$।
अतः,$XZ = \frac{24}{4} = 6$।

(D) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$.
दिया गया है कि $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{5}$ और $YZ = 20$ है।
अनुपात $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ में मान रखने पर:
$\frac{4}{5} = \frac{BC}{20}$.
दोनों पक्षों को $20$ से गुणा करने पर:
$BC = \frac{4}{5} \times 20$.
$BC = 4 \times 4 = 16$.
इस प्रकार,$BC$ की लंबाई $16$ है।

(A) चूंकि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k$ (जहाँ $k$ एक स्केल फैक्टर है)।
अनुपात के गुणों के अनुसार,यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ है,तो $\frac{a+c}{b+d} = k$ होता है।
इस प्रकार,$\frac{AB + BC}{PQ + QR} = \frac{AC}{PR}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{12}{15} = \frac{8}{PR}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{4}{5} = \frac{8}{PR}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $4 \times PR = 5 \times 8$.
$4 \times PR = 40$.
$PR = \frac{40}{4} = 10$.
अतः,$PR$ की लंबाई $10$ है।

(D) पत्राचार $ABC \leftrightarrow EFD$ के साथ $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ दिया गया है,इसलिए संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा।
अतः,$\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FD} = \frac{CA}{DE} = k$।
$AB : BC : CA = 4 : 3 : 5$ दिया गया है,इसलिए मान लीजिए $AB = 4x, BC = 3x, CA = 5x$।
पत्राचार $ABC \leftrightarrow EFD$ से,हमें $EF = BC = 3x$,$FD = CA = 5x$,और $DE = AB = 4x$ प्राप्त होता है।
$\Delta DEF$ का परिमाप $= EF + FD + DE = 3x + 5x + 4x = 12x$।
परिमाप $36$ दिया गया है,इसलिए $12x = 36$,जिसका अर्थ है $x = 3$।
अतः,भुजाएँ $EF = 3(3) = 9$,$FD = 5(3) = 15$,और $DE = 4(3) = 12$ हैं।
इस प्रकार,$\Delta DEF$ की भुजाएँ $12, 9, 15$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,अतः उनकी संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है।
माना $\Delta ABC$ का परिमाप $P_1 = 48$ और $\Delta PQR$ का परिमाप $P_2 = 60$ है।
संगत भुजाओं का अनुपात $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$।
दूसरे अनुपात के लिए,समान अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करते हुए: यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ है,तो $\frac{a+c}{b+d} = k$ होता है।
इसलिए,$\frac{AB + BC}{PQ + QR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$।
दोनों अनुपात $\frac{4}{5}$ के बराबर हैं।

(N/A) दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपात) में हों।
मान लीजिए दो समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ हैं।
एक समबाहु त्रिभुज में,सभी कोण $60^{\circ}$ के होते हैं और सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
अतः,$\triangle ABC$ के लिए: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$ और $AB = BC = CA = a$।
$\triangle PQR$ के लिए: $\angle P = \angle Q = \angle R = 60^{\circ}$ और $PQ = QR = RP = b$।
चरण $1$: कोणों की तुलना करने पर:
$\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 60^{\circ}$,और $\angle C = \angle R = 60^{\circ}$।
इस प्रकार,संगत कोण बराबर हैं।
चरण $2$: भुजाओं की तुलना करने पर:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{a}{b}$,$\frac{BC}{QR} = \frac{a}{b}$,और $\frac{CA}{RP} = \frac{a}{b}$।
अतः,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} = \frac{a}{b}$।
चूंकि संगत कोण बराबर हैं और संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं,इसलिए समरूपता की परिभाषा के अनुसार,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$।
अतः,सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$A-P-B$,$A-Q-C$ और $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
यहाँ $AP = 3$,$PB = 5$,$AQ = 6$ दिया गया है।
$\frac{3}{5} = \frac{6}{QC}$
$QC = \frac{6 \times 5}{3} = 10$.
अब,$AC$ ज्ञात करने के लिए:
$AC = AQ + QC = 6 + 10 = 16$.
वैकल्पिक रूप से,$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{3}{3+5} = \frac{6}{AC}$
$\frac{3}{8} = \frac{6}{AC}$
$AC = \frac{6 \times 8}{3} = 16$.

(B) $\Delta XYZ$ में,$XM$,$\angle X$ का समद्विभाजक है,जो $\overline{YZ}$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण बनाने वाली भुजाओं का अनुपात सम्मुख भुजा के खंडों के अनुपात के बराबर होता है।
$\therefore \frac{XY}{XZ} = \frac{YM}{MZ}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\therefore \frac{6}{8} = \frac{4.2}{MZ}$
$\therefore MZ = \frac{4.2 \times 8}{6}$
$\therefore MZ = 0.7 \times 8 = 5.6$
अब,$YZ = YM + MZ$ (चूंकि $Y-M-Z$ संरेख हैं)।
$YZ = 4.2 + 5.6 = 9.8$.

(C) $\Delta ABC$ में,$\angle A$ का समद्विभाजक $\overline{BC}$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
दिया गया है कि $\frac{AB}{5} = \frac{AC}{3}$,इसलिए $\frac{AB}{AC} = \frac{5}{3}$।
मान रखने पर:
$\frac{5}{3} = \frac{4.5}{DC}$
$DC = \frac{4.5 \times 3}{5} = 0.9 \times 3 = 2.7$
चूंकि $D$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $BC = BD + DC$।
$BC = 4.5 + 2.7 = 7.2$.

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\angle A$ का समद्विभाजक $\overline{BC}$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
$BD$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
योगानुपात (Componendo) के गुण का उपयोग करने पर,$\frac{AB}{AB + AC} = \frac{BD}{BD + DC} = \frac{BD}{BC}$
$\therefore BD = \frac{BC \times AB}{AB + AC}$
$DC$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \implies \frac{AC}{AB} = \frac{DC}{BD}$
योगानुपात का उपयोग करने पर,$\frac{AC + AB}{AB} = \frac{DC + BD}{BD} = \frac{BC}{BD}$
$\implies \frac{AC}{AC + AB} = \frac{DC}{BC}$
$\therefore DC = \frac{BC \times AC}{AB + AC}$