$\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,$m \angle A = m \angle X$ और $m \angle B = m \angle Y$ है। $\overline{AM}$ त्रिभुज $\Delta ABC$ की माध्यिका है और $\overline{XP}$ त्रिभुज $\Delta XYZ$ की माध्यिका है। सिद्ध कीजिए कि $AM \times YZ = XP \times BC$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ और $\Delta XYZ$ में,हमें $m \angle A = m \angle X$ और $m \angle B = m \angle Y$ दिया गया है। $AA$ (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ है।
$2$. चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है: $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$।
$3$. $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ से,हम लिख सकते हैं कि $\frac{BC}{AB} = \frac{YZ}{XY}$।
$4$. $\Delta ABM$ और $\Delta XYP$ पर विचार करें। यहाँ $m \angle B = m \angle Y$ है और $\frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$ है (क्योंकि $BM = \frac{1}{2} BC$ और $YP = \frac{1}{2} YZ$,इसलिए आधे भागों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है)।
$5$. $SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ABM \sim \Delta XYP$ है।
$6$. अतः,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा: $\frac{AM}{XP} = \frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$।
$7$. चूंकि $\frac{AM}{XP} = \frac{BC}{YZ}$ (क्योंकि $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$),इसलिए $AM \times YZ = XP \times BC$ प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।