Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Hindi

(C) $r$ त्रिज्या और $\theta$ (डिग्री में) केंद्रीय कोण वाले वृत्त के लघु चाप (minor arc) की लंबाई का सूत्र $l_{minor} = \frac{\theta}{360} \times 2 \pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$ है।
चूंकि वृत्त की कुल परिधि $2 \pi r$ होती है,इसलिए दीर्घ चाप की लंबाई कुल परिधि में से लघु चाप की लंबाई को घटाकर प्राप्त की जाती है।
अतः,दीर्घ चाप की लंबाई $l_{major} = 2 \pi r - \frac{\pi r \theta}{180}$ है।

(B) वृत्त $\odot(O, 7)$ की परिधि $C = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ है।
अर्धवृत्त की लंबाई $\pi r = \frac{22}{7} \times 7 = 22$ होती है।
यहाँ $\widehat{ABC}$ की लंबाई $14$ दी गई है,और चूंकि $14 < 22,$ इसलिए चाप $\widehat{ABC}$ अर्धवृत्त से छोटी है।
अतः,$\widehat{ABC}$ एक लघु चाप है।

(B) वृत्त के त्रिज्यखंड (sector) को दो त्रिज्याओं और संबंधित चाप द्वारा घिरे वृत्त के भाग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$1$. वृत्तखंड (segment) एक जीवा और एक चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र होता है।
$2$. वृत्ताकार वलय दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्र होता है।
$3$. परिधि वृत्त की सीमा या परिमाप होती है।
अतः,एक चाप और केंद्र को चाप के अंतिम बिंदुओं से जोड़ने वाली दो त्रिज्याओं द्वारा बनी आकृति को त्रिज्यखंड कहा जाता है।

(C) $1$. वृत्त को $\odot(O, r)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $O$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
$2$. बिंदु $A$ और $B$ वृत्त पर स्थित हैं। रेखाखंड $\overline{AB}$ वृत्त की एक जीवा है।
$3$. चाप $\widehat{ACB}$ वह चाप है जो बिंदु $C$ से होकर $A$ और $B$ को जोड़ती है। चूँकि $C$,$\angle AOB$ के आंतरिक भाग में स्थित है,इसलिए $\widehat{ACB}$ लघु चाप को दर्शाता है।
$4$. जीवा $\overline{AB}$ और लघु चाप $\widehat{ACB}$ का संघ (union) वृत्त के उस क्षेत्र को परिभाषित करता है जिसे लघु वृत्तखंड कहा जाता है।
$5$. अतः,$\overline{AB} \cup \widehat{ACB}$ एक लघु वृत्तखंड है।

(B) वृत्त की जीवा एक रेखाखंड है जिसके अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होते हैं।
चाप वृत्त की परिधि का एक भाग होता है।
जीवा और उसके संगत चाप द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को वृत्तखंड (segment) कहा जाता है।
अतः,एक जीवा और उसके संगत चाप का संघ एक वृत्तखंड होता है।

(D) वृत्ताकार मैदान के लिए,व्यास $d = 105 \, m$ है।
बाड़ की लंबाई वृत्ताकार मैदान की परिधि के बराबर होती है।
परिधि $= \pi d = \frac{22}{7} \times 105$.
$= 22 \times 15 = 330 \, m$.
अतः,बाड़ की लंबाई $330 \, m$ है।

(C) वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^{2}$ है।
यहाँ दिया गया क्षेत्रफल $A = 154\,cm^{2}$ है और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$154 = \frac{22}{7} \times r^{2}$
$r^{2} = 154 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$
$r = \sqrt{49} = 7\,cm$.
वृत्त का व्यास $d = 2 \times r$ होता है।
अतः,$d = 2 \times 7 = 14\,cm$।

(B) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ है,जहाँ $C$ परिधि है और $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है कि $C = 176\,cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$176 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$r$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{176 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{176 \times 7}{44}$
$r = 4 \times 7$
$r = 28\,cm$
अतः,वृत्त की त्रिज्या $28\,cm$ है।

(D) अर्धवृत्ताकार बगीचे का परिमाप उसकी अर्ध-परिधि और उसके व्यास का योग होता है।
परिमाप $= \pi r + 2r$
दी गई त्रिज्या $r = 35 \, m$ है।
परिमाप $= \frac{22}{7} \times 35 + 2 \times 35$
परिमाप $= 22 \times 5 + 70$
परिमाप $= 110 + 70$
परिमाप $= 180 \, m$ है।
अतः,बगीचे का एक पूरा चक्कर लगाने के लिए $180 \, m$ चलना होगा।

(B) दिया गया है कि अर्धवृत्ताकार मेज-टॉप की परिधि $3.60 \, m$ है।
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर: $3.60 \, m = 360 \, cm$।
अर्धवृत्त की परिधि का सूत्र है: $P = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$360 = r \left( \frac{22}{7} + 2 \right)$
$360 = r \left( \frac{22 + 14}{7} \right)$
$360 = r \left( \frac{36}{7} \right)$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = 360 \times \frac{7}{36}$
$r = 10 \times 7$
$r = 70 \, cm$।
अतः,अर्धवृत्ताकार मेज-टॉप की त्रिज्या $70 \, cm$ है।

(C) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2\pi r$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 8.4\,cm$ दी गई है।
मान रखने पर,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 8.4$ प्राप्त होता है।
$C = 2 \times 22 \times 1.2$.
$C = 44 \times 1.2 = 52.8\,cm$।

(A) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है,$A = 38.5 \, m^2$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$38.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = 38.5 \times \frac{7}{22}$
$r^2 = \frac{385}{10} \times \frac{7}{22} = \frac{77 \times 5}{2 \times 5} \times \frac{7}{22} = \frac{77 \times 7}{22 \times 2} = \frac{7 \times 7}{2 \times 2} = \frac{49}{4}$
$r = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5 \, m$.
व्यास $d$ का मान $d = 2r$ होता है।
$d = 2 \times 3.5 = 7 \, m$.

(B) वृत्ताकार वलय के आकार के रनिंग ट्रैक के लिए,मान लीजिए कि आंतरिक त्रिज्या $r_{1} \,m$ और बाहरी त्रिज्या $r_{2} \,m$ है।
परिधियों का अंतर $= 44 \,m$
$\therefore 2 \pi r_{2} - 2 \pi r_{1} = 44$
$\therefore 2 \pi (r_{2} - r_{1}) = 44$
$\therefore 2 \times \frac{22}{7} (r_{2} - r_{1}) = 44$
$\therefore r_{2} - r_{1} = \frac{44 \times 7}{2 \times 22}$
$\therefore r_{2} - r_{1} = 7 \,m$
$\therefore$ ट्रैक की चौड़ाई $= 7 \,m$.

(D) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
माना कि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 14 \, cm$ और $r_2 = 10.5 \, cm$ हैं।
उनकी परिधियों के बीच का अंतर $|2 \pi r_1 - 2 \pi r_2| = 2 \pi (r_1 - r_2)$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
अंतर $= 2 \times \frac{22}{7} \times (14 - 10.5) \, cm$.
अंतर $= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \, cm$.
अंतर $= 2 \times 22 \times 0.5 \, cm$.
अंतर $= 22 \, cm$.

(C) बगीचे की त्रिज्या $r_2 = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{210}{2} = 105 \,m$.
रास्ते को छोड़कर बगीचे की त्रिज्या $r_1 = 105 - 7 = 98 \,m$.
वृत्ताकार वलय (ring) के रूप में रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी वृत्त और आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है।
रास्ते का क्षेत्रफल $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
$= \pi(r_2^2 - r_1^2)$
$= \pi(r_2 + r_1)(r_2 - r_1)$
$= \frac{22}{7} \times (105 + 98) \times (105 - 98)$
$= \frac{22}{7} \times 203 \times 7$
$= 22 \times 203$
$= 4466 \,m^2$.

(C) एक चक्कर में तय की गई दूरी $= 440 \, cm$ है।
$250$ चक्करों में तय की गई दूरी $= 440 \times 250 \, cm$ है।
चूंकि पहिया प्रति मिनट $250$ चक्कर लगाता है,इसलिए $1$ मिनट में तय की गई दूरी $= 440 \times 250 \, cm$ है।
$1$ घंटे ($60$ मिनट) में तय की गई दूरी $= 440 \times 250 \times 60 \, cm$ है।
इस दूरी को किलोमीटर में बदलने के लिए,हम $100$ से भाग देंगे ($cm$ को $m$ में बदलने के लिए) और फिर $1000$ से भाग देंगे ($m$ को $km$ में बदलने के लिए):
$km$ में दूरी $= \frac{440 \times 250 \times 60}{100 \times 1000} \, km$ है।
$= \frac{6,600,000}{100,000} \, km = 66 \, km$ है।
अतः,ट्रक की गति $66 \, km/h$ है।

(B) घड़ी की मिनट की सुई एक निश्चित समय अंतराल में एक वृत्तीय त्रिज्यखंड (sector) बनाती है।
त्रिज्या $r = 12\,cm$ दी गई है।
$60$ मिनट में,मिनट की सुई एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है।
इसलिए,$5$ मिनट में,तय किया गया कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 5 = 30^{\circ}$ होगा।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$.
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{30}{360} \times 3.14 \times 12 \times 12$.
$\text{Area} = \frac{1}{12} \times 3.14 \times 144 = 3.14 \times 12 = 37.68\,cm^2$.

(C) लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$।
यहाँ त्रिज्या $r = 42\,cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 120^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times 42 \times 42 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times 42 \times 42 \times \frac{1}{3}$।
$\text{Area} = 22 \times 6 \times 14 = 1848\,cm^{2}$।

(D) लघु त्रिज्यखंड $OACB$ के लिए,केंद्रीय कोण $\theta = 90^{\circ}$ और त्रिज्या $r\,cm$ है।
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का परिमाप = दो त्रिज्याओं का योग + चाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई।
परिमाप $= 2r + \text{चाप } \widehat{ACB} \text{ की लंबाई}$
चूँकि चाप की लंबाई $\frac{\pi r \theta}{180}$ होती है,इसलिए:
$20 = 2r + \frac{\pi r \times 90}{180}$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$20 = 2r + \frac{22}{7} \times \frac{r}{2}$
$20 = 2r + \frac{11r}{7}$
$20 = r \left( 2 + \frac{11}{7} \right)$
$20 = r \left( \frac{14 + 11}{7} \right)$
$20 = r \left( \frac{25}{7} \right)$
$r = \frac{20 \times 7}{25}$
$r = \frac{4 \times 7}{5} = \frac{28}{5} = 5.6\,cm$.

(C) दिया गया है कि $\odot(O, 5.6)$ में,$\overline{OA} \perp \overline{OB}$ है।
अतः,$OA = OB = 5.6 \text{ cm}$ और $m\angle AOB = 90^\circ$ है।
लघु चाप $\widehat{AB}$ द्वारा निर्मित लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= (\text{लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}) - (\Delta OAB \text{ का क्षेत्रफल})$ होता है।
इसलिए,लघु त्रिज्यखंड और लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफलों का अंतर $\Delta OAB$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 5.6 \times 5.6 = 15.68 \text{ cm}^2$।

(A) चूंकि त्रिज्याएँ $\overline{ OA }$ और $\overline{ OB }$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 5.6 \, cm$ है।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ}$ है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times (5.6)^2 \times \frac{90^\circ}{360^\circ}$.
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 31.36 \times \frac{1}{4}$.
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 7.84 = 22 \times 1.12 = 24.64 \, cm^2$.

(D) छतरी को $r = 56 \, cm$ त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त माना गया है।
चूँकि इसमें $8$ समान दूरी पर ताड़ हैं,इसलिए वृत्त $8$ समान त्रिज्यखंडों (sectors) में विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक त्रिज्यखंड के लिए केंद्रीय कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$ है।
दो क्रमागत ताड़ों के बीच का क्षेत्रफल एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है,जो निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (56)^{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 56 \times 56$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{8} \times 22 \times 8 \times 56$
क्षेत्रफल $= 22 \times 56 = 1232 \, cm^{2}$.

(A) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$।
यहाँ त्रिज्या $r = 30\,cm$,कोण $\theta = 60^{\circ}$ और $\pi = 3.14$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{60}{360} \times 3.14 \times (30)^{2}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 900$
$\text{क्षेत्रफल} = 3.14 \times 150$
$\text{क्षेत्रफल} = 471\,cm^{2}$।

(C) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या को दर्शाती है,इसलिए $r = 6 \, cm$ है।
$60 \, \text{मिनट}$ में,मिनट की सुई $360^{\circ}$ का कोण बनाती है।
इसलिए,$10 \, \text{मिनट}$ में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 10 = 60^{\circ}$ है।
तय किए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल $r = 6 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 6 \times 6$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 36 = 3.14 \times 6 = 18.84 \, cm^2$.

(A) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल,संबंधित लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल और दो त्रिज्याओं तथा जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का योग होता है।
लघु त्रिज्यखंड $OABC$ का क्षेत्रफल $= \text{लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल} + \Delta OAC$ का क्षेत्रफल
लघु त्रिज्यखंड $OABC$ का क्षेत्रफल $= 14.25\,cm^2 + 25\,cm^2$
लघु त्रिज्यखंड $OABC$ का क्षेत्रफल $= 39.25\,cm^2$

(B) वृत्त का व्यास $= 2 \times$ त्रिज्या।
$= 2 \times 35 = 70 \, cm$.
चूंकि वर्ग वृत्त के अंदर स्थित है,इसलिए वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
अतः,वर्ग का विकर्ण $= 70 \, cm$.
वर्ग का क्षेत्रफल $= \frac{(\text{विकर्ण})^{2}}{2}$.
$= \frac{70^{2}}{2} = \frac{4900}{2} = 2450 \, cm^{2}$.

(C) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल,संगत लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल और जीवा तथा वृत्त के केंद्र द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का योग होता है।
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= \text{लघु वृत्तखंड } \overline{AB} \cup \widehat{ACB} \text{ का क्षेत्रफल} + \Delta OAB \text{ का क्षेत्रफल}$
दिया है:
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= 114 \, cm^2$
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= 200 \, cm^2$
अतः,
लघु त्रिज्यखंड $OACB$ का क्षेत्रफल $= 114 \, cm^2 + 200 \, cm^2 = 314 \, cm^2$.

(C) यहाँ,त्रिज्या $r = 14 \, cm$ है।
चूँकि $\overline{OA} \perp \overline{OB}$,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ है।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} \times 22 \times 2 \times 14$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{4} \times 616 = 154 \, cm^2$.

(C) वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और केंद्र पर बने कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं।
यहाँ दिया गया है कि $\theta_1 = \theta_2 = \theta$.
दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{9}$ दिया गया है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r_1^2}{\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r_2^2} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक को सरल करने पर,$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $2:3$ है।

(D) $r$ त्रिज्या और $\theta$ केंद्रीय कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ है।
एक ही वृत्त में $\theta_1$ और $\theta_2$ केंद्रीय कोण वाले दो त्रिज्यखंडों के लिए,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\theta_1}{360^\circ} \times \pi r^2)}{(\frac{\theta_2}{360^\circ} \times \pi r^2)} = \frac{\theta_1}{\theta_2}$ होगा।
दिया गया है कि क्षेत्रफलों का अनुपात $1:4$ है,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{1}{4}$ है।
इस प्रकार,केंद्र पर बने कोणों का अनुपात $1:4$ है।

(B) $\Delta ABC$ में,आधार $BC$ अर्धवृत्त का व्यास है।
दी गई त्रिज्या $r = 10 \, cm$ है,इसलिए आधार $BC = 2r = 2 \times 10 = 20 \, cm$ होगा।
अर्धवृत्त में अंतर्निहित त्रिभुज की अधिकतम ऊँचाई अर्धवृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई $OA = 10 \, cm$ होगी।
$\Delta ABC$ का अधिकतम क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{अधिकतम ऊँचाई}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 \, cm^2$।

(A) जब एक वर्ग को एक वृत्त के भीतर अंकित किया जाता है,तो वर्ग का विकर्ण वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
इसलिए,वर्ग के विकर्ण की लंबाई वृत्त के व्यास के बराबर होती है।
दिया गया है,वृत्त की त्रिज्या $r = 10\, cm$ है।
वृत्त का व्यास $= 2 \times r = 2 \times 10\, cm = 20\, cm$ है।
अतः,वर्ग के विकर्ण की लंबाई $20\, cm$ है।

(C) मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,$r = 10.5 \, cm = \frac{21}{2} \, cm$.
मिनट की सुई $60$ मिनट में $360^{\circ}$ पूरा करती है।
$20$ मिनट में,मिनट की सुई द्वारा तय किया गया कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 20 = 120^{\circ}$ है।
तय किए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल त्रिज्या $r$ और केंद्रीय कोण $\theta$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{2}\right)^2$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{3} \times 11 \times 3 \times \frac{21}{2} = \frac{231}{2} = 115.5 \, cm^2$.

(B) दिया है,वृत्त की त्रिज्या $r = 3.5\,cm = \frac{7}{2}\,cm$ है।
चूंकि दोनों त्रिज्याएं परस्पर लंब हैं,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = 90^\circ$ होगा।
लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
क्षेत्रफल $= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 38.5 = 9.625\,cm^2$.

(A) लघु त्रिज्यखंड का परिमाप दो त्रिज्याओं और चाप की लंबाई के योग के बराबर होता है।
परिमाप $= 2r + l$,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ चाप की लंबाई है।
यहाँ $r = 21 \ cm$ और परिमाप $= 64 \ cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $64 = 2(21) + l$.
$64 = 42 + l$.
$l = 64 - 42$.
$l = 22 \ cm$.
अतः,चाप की लंबाई $22 \ cm$ है।

(D) लघु त्रिज्यखंड का परिमाप $P = 2r + l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ चाप की लंबाई है।
यहाँ $r = 7 \, cm$ और $P = \frac{86}{3} \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{86}{3} = 2(7) + l$.
$\frac{86}{3} = 14 + l \implies l = \frac{86}{3} - 14 = \frac{86 - 42}{3} = \frac{44}{3} \, cm$.
लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r l$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$A = \frac{1}{2} \times 7 \times \frac{44}{3} = \frac{154}{3} \, cm^2$.

(C) त्रिज्या $r$ और चाप की लंबाई $l$ दिए होने पर त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r \times l$।
दिया गया है: $r = 6 \, cm$ और $l = 12 \, cm$।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36 \, cm^2$।

(A) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल $(A)$ का सूत्र त्रिज्या $(r)$ और चाप की लंबाई $(l)$ के पदों में $A = \frac{1}{2} \times r \times l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 10\,cm$ और क्षेत्रफल $A = 40\,cm^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$40 = \frac{1}{2} \times 10 \times l$
$40 = 5 \times l$
$l = \frac{40}{5}$
$l = 8\,cm$.
अतः,चाप की लंबाई $8\,cm$ है।

(B) त्रिज्या $r$ और चाप की लंबाई $l$ दिए होने पर त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r \times l$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 12\,cm$ और चाप की लंबाई $l = 12\,cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12\,cm \times 12\,cm = 6 \times 12\,cm^{2} = 72\,cm^{2}$.

(D) वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ होता है।
$\odot(O, 6)$ के लिए,त्रिज्या $r_1 = 6$ है। अतः,क्षेत्रफल $A_1 = \pi(6)^2 = 36\pi$ होगा।
$\odot(P, 12)$ के लिए,त्रिज्या $r_2 = 12$ है। अतः,क्षेत्रफल $A_2 = \pi(12)^2 = 144\pi$ होगा।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{36\pi}{144\pi} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(B) वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 8 \, cm$ और $r_2 = 12 \, cm$ हैं।
उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{8^2}{12^2} = \frac{64}{144}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $16$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{64 \div 16}{144 \div 16} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात $4:9$ है।

(C) $5 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का वास्तविक क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2 = \pi(5)^2 = 25\pi \, cm^2$ है।
$6 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का परिकलित क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi(6)^2 = 36\pi \, cm^2$ है।
क्षेत्रफल में हुई वृद्धि $A_2 - A_1 = 36\pi - 25\pi = 11\pi \, cm^2$ है।
परिकलित क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\text{क्षेत्रफल में वृद्धि}}{\text{वास्तविक क्षेत्रफल}} \times 100 = \frac{11\pi}{25\pi} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
$= \frac{11}{25} \times 100 = 11 \times 4 = 44 \%$.

(A) यहाँ त्रिज्या $r = 4$ और केंद्रीय कोण $\theta = 45^\circ$ दिया गया है।
लघु चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$L = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times 4$
$L = \frac{1}{8} \times 8\pi$
$L = \pi$.
अतः,लघु चाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई $\pi$ है।

(D) यहाँ, त्रिज्या $r = 6$ और केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \pi(6) = 12 \pi$ होती है।
लघु चाप (minor arc) $\widehat{AC}$ की लंबाई का सूत्र $L_{minor} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 12 \pi = \frac{1}{6} \times 12 \pi = 2 \pi$ है।
दीर्घ चाप $\widehat{ABC}$ की लंबाई, वृत्त की कुल परिधि में से लघु चाप की लंबाई को घटाकर प्राप्त की जाती है।
दीर्घ चाप $\widehat{ABC}$ की लंबाई $= 12 \pi - 2 \pi = 10 \pi$।

(C) वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
$r = 7$ त्रिज्या वाले वृत्त के लिए,परिधि $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ इकाई है।
वृत्त की अर्ध-परिधि $\frac{C}{2} = \frac{44}{2} = 22$ इकाई है।
लघु चाप वह चाप है जिसकी लंबाई वृत्त की अर्ध-परिधि से कम होती है।
इसलिए,लघु चाप की लंबाई $22$ इकाई से कम होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $12$ ही $22$ से कम है।
अतः,$\odot(O, 7)$ के लघु चाप की लंबाई $12$ इकाई हो सकती है।

(B) चाप की लंबाई का सूत्र $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ है,जहाँ $\theta$ केंद्र पर अंतरित कोण है।
दिया गया है कि लघुचाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई $= \frac{1}{6} \times \text{परिधि}$ है।
चूंकि वृत्त की परिधि $2\pi r$ है,इसलिए:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{1}{6} \times 2\pi r$
दोनों पक्षों को $2\pi r$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{6}$
$\theta = 60^{\circ}$

(A) केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप की लंबाई $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त की परिधि $C = 2\pi r$ होती है।
इसलिए,लघुचाप $\widehat{ACB}$ की लंबाई और परिधि का अनुपात $\frac{L}{C} = \frac{(\frac{\theta}{360^{\circ}}) \times 2\pi r}{2\pi r} = \frac{\theta}{360^{\circ}}$ है।
यहाँ $\theta = 72^{\circ}$ दिया गया है,अतः अनुपात $\frac{72^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{5}$ होगा।
अतः,अनुपात $1:5$ है।

(C) वृत्त का क्षेत्रफल $200 \, cm^{2}$ दिया गया है।
लघु त्रिज्यखंड वृत्त का वह भाग है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है,जहाँ केंद्रीय कोण $180^{\circ}$ से कम होता है।
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल हमेशा अर्धवृत्त के क्षेत्रफल से कम होना चाहिए।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{200}{2} = 100 \, cm^{2}$ है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $75 \, cm^{2}$ ही $100 \, cm^{2}$ से कम है।
इसलिए,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $75 \, cm^{2}$ हो सकता है।

(D) $r = 7 \, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^{2}$.
एक लघु त्रिज्यखंड वह त्रिज्यखंड है जिसका केंद्रीय कोण $\theta < 180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त के आधे क्षेत्रफल (अर्थात अर्धवृत्त के क्षेत्रफल) से कम होना चाहिए।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{154}{2} = 77 \, cm^{2}$.
दिए गए विकल्पों में से,केवल $55 \, cm^{2}$ ही $77 \, cm^{2}$ से कम है।
अतः,लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $55 \, cm^{2}$ हो सकता है।

(D) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 14 \, cm$,क्षेत्रफल $= 77 \, cm^2$ और $\pi = \frac{22}{7}$।
सूत्र में मान रखने पर: $77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$।
$77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 22 \times 2 \times 14$।
$77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 616$।
$\theta = \frac{77 \times 360^\circ}{616}$।
$\theta = \frac{27720}{616} = 45^\circ$।
अतः,केंद्र पर अंतरित कोण $45^\circ$ है।