यदि f(x) = int frac{x^2 + sin^2 x}{1 + x^2} c | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$। अंश को $x^2 + 1 - 1 + \sin^2 x = (1 + x^2) - (1 - \sin^2 x) = (1 +

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$	an 1 - \frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$। अंश को $x^2 + 1 - 1 + \sin^2 x = (1 + x^2) - (1 - \sin^2 x) = (1 + x^2) - \cos^2 x$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस मान को समाकलन में रखने पर: $f(x) = \int \frac{(1 + x^2) - \cos^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$ $f(x) = \int \left( 1 - \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} ight) \sec^2 x \, dx$ $f(x) = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{\cos^2 x \cdot \sec^2 x}{1 + x^2} \, dx$ चूंकि $\cos^2 x \cdot \sec^2 x = 1$,इसलिए: $f(x) = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ $f(x) = 	an x - 	an^{-1} x + C$। $f(0) = 0$ दिया गया है: $0 = 	an(0) - 	an^{-1}(0) + C \implies 0 = 0 - 0 + C \implies C = 0$। अतः,$f(x) = 	an x - 	an^{-1} x$। इसलिए,$f(1) = 	an(1) - 	an^{-1}(1) = 	an(1) - \frac{\pi}{4}$।

यदि $f(x) = \int \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$ और $f(0) = 0$ है,तो $f(1) = $

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$\int \left[ \log (1+\cos x) - x \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right] dx =$

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