$\frac{200!}{100!}$ को विभाजित करने वाली $2$ की अधिकतम घात क्या है?

एक ट्रेन मार्ग पर $15$ स्टेशन हैं और ट्रेन को इन $15$ स्टेशनों में से ठीक $5$ स्टेशनों पर रुकना है। यदि यह कम से कम दो लगातार स्टेशनों पर रुकती है,तो ट्रेन को रोकने के तरीकों की संख्या है

$xyz = 24$ के धनात्मक पूर्णांक हलों $(x, y, z)$ की कुल संख्या क्या है?

$4$ अलग-अलग वस्तुओं को $6$ व्यक्तियों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि किसी भी व्यक्ति को सभी वस्तुएं न मिलें।

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$I.$ यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$II.$ ऐसी अनंत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n^3+2n^2+n$,$n!$ को विभाजित करता है।

$'EXAMINATION'$ शब्द के ग्यारह अक्षरों से बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या क्या है?