मान लीजिए a_1, a_2, ldots, a_n n शून्येतर वास | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $p$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है और $(n-p)$ ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है।गुणनफल $a_j a_k$ धनात्मक होता है यदि $a_j$

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$125$

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(C) मान लीजिए $p$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है और $(n-p)$ ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है।गुणनफल $a_j a_k$ धनात्मक होता है यदि $a_j$ और $a_k$ दोनों का चिह्न समान हो (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक)।अतः,धनात्मक गुणनफल वाले युग्मों की संख्या $\binom{p}{2} + \binom{n-p}{2} = 55$ है।गुणनफल $a_j a_k$ ऋणात्मक होता है यदि एक धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक हो।अतः,ऋणात्मक गुणनफल वाले युग्मों की संख्या $\binom{p}{1} 	imes \binom{n-p}{1} = p(n-p) = 50$ है।प्रथम समीकरण का विस्तार करने पर:$\frac{p(p-1)}{2} + \frac{(n-p)(n-p-1)}{2} = 55$$p^2 - p + (n-p)^2 - (n-p) = 110$$p^2 + (n-p)^2 - n = 110$हम जानते हैं कि $(p + (n-p))^2 = p^2 + (n-p)^2 + 2p(n-p) = n^2$ है।अतः,$p^2 + (n-p)^2 = n^2 - 2p(n-p) = n^2 - 2(50) = n^2 - 100$ है।इस मान को विस्तारित समीकरण में रखने पर:$(n^2 - 100) - n = 110$$n^2 - n - 210 = 0$$(n - 15)(n + 14) = 0$।चूँकि $n > 0$,इसलिए $n = 15$ है।अब,$p(15 - p) = 50$ $\Rightarrow p^2 - 15p + 50 = 0$ $\Rightarrow (p - 10)(p - 5) = 0$ है।अतः,$p = 5$ या $p = 10$ है।दोनों स्थितियों में,$p^2 + (n-p)^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125$ है।

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