मान लीजिए v_1, v_2, v_3, v_4 XY-समतल में इकाई | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि इकाई सदिशों को उनके कोणों $	heta_1, 	heta_2, 	heta_3, 	heta_4$ द्वारा दर्शाया गया है जहाँ $	heta_1 \in (0, 90^{\circ})$,$	heta_

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ऐसे $i, j$ मौजूद हैं जहाँ $1 \leq i < j \leq 4$ ताकि $v_i \cdot v_j < 0$

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(C) मान लीजिए कि इकाई सदिशों को उनके कोणों $	heta_1, 	heta_2, 	heta_3, 	heta_4$ द्वारा दर्शाया गया है जहाँ $	heta_1 \in (0, 90^{\circ})$,$	heta_2 \in (90^{\circ}, 180^{\circ})$,$	heta_3 \in (180^{\circ}, 270^{\circ})$,और $	heta_4 \in (270^{\circ}, 360^{\circ})$ है।$(a)$ योग $v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ अनिवार्य रूप से शून्य नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि सदिश धनात्मक $X$-अक्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के बहुत करीब हैं,तो योग शून्य नहीं होगा।$(b)$ योग $v_i + v_j$ अनिवार्य रूप से प्रथम चतुर्थांश में नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $v_1$ $90^{\circ}$ के करीब है और $v_2$ $180^{\circ}$ के करीब है,तो उनके योग में $X$-घटक ऋणात्मक होगा।$(c)$ प्रथम चतुर्थांश में $v_1$ और तीसरे चतुर्थांश में $v_3$ पर विचार करें। उनके बीच का कोण $|	heta_1 - 	heta_3|$ है। चूँकि $	heta_1 \in (0, 90^{\circ})$ और $	heta_3 \in (180^{\circ}, 270^{\circ})$ है,अंतर $	heta_3 - 	heta_1$ $(90^{\circ}, 270^{\circ})$ में स्थित है। डॉट प्रोडक्ट $v_1 \cdot v_3 = \cos(	heta_1 - 	heta_3)$ है। चूँकि कोण का अंतर $90^{\circ}$ से अधिक हो सकता है,इसलिए कोसाइन ऋणात्मक हो सकता है। विशेष रूप से,यदि हम $v_1$ को $45^{\circ}$ के करीब और $v_3$ को $225^{\circ}$ के करीब चुनते हैं,तो कोण $180^{\circ}$ होता है,और डॉट प्रोडक्ट $\cos(180^{\circ}) = -1 $(d)$ यह सभी जोड़ों के लिए अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है,जैसा कि $(c)$ में दिखाया गया है।

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यदि $a$,$b$,$c$ एक $A.P.$ के $p^{th}$,$q^{th}$,$r^{th}$ पद हैं और $\vec x = (q - r)\hat i + (r - p)\hat j + (p - q)\hat k$ तथा $\vec y = a\hat i + b\hat j + c\hat k$ है,तो:

यदि $\overline{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ और $\overline{b} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ है,तो $\overline{a}$ की दिशा में $\overline{b}$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

यदि $|a|=2$ और $|b|=3$ है और $a$ तथा $b$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है,तो सदिश $\left|\frac{a}{2}-\frac{b}{3}\right|$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{k} \cdot(\hat{i} \times \hat{j})$ का मान है

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