KVPY 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए बच्चे $C_1, C_2, C_3$ हैं और उनके संबंधित अभिभावक $G_1, G_2, G_3$ हैं।
कुल $6$ व्यक्ति हैं।
शर्त यह है कि प्रत्येक जोड़ी $(G_i, C_i)$ के लिए,अभिभावक $G_i$ का साक्षात्कार बच्चे $C_i$ से पहले होना चाहिए।
$6$ व्यक्तियों की किसी भी व्यवस्था में,जोड़ी $(G_i, C_i)$ को व्यवस्थित करने के $2!$ तरीके हैं जिनमें $G_i$ पहले आ सकता है या $C_i$ पहले आ सकता है।
चूंकि ऐसी $3$ जोड़ियाँ हैं,इसलिए कुल अप्रतिबंधित व्यवस्थाएँ $6!$ हैं।
प्रत्येक जोड़ी के लिए,$2!$ व्यवस्थाओं में से केवल $1$ ही मान्य है (अर्थात $G_i$ का $C_i$ से पहले आना)।
अतः,मान्य तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{720}{8} = 90$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x+3-4 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6 \sqrt{x-1}}=1$
मान लीजिए $u = \sqrt{x-1}$,जहाँ $u \ge 0$ है। तब $x-1 = u^2$,अतः $x = u^2+1$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$\sqrt{u^2+1+3-4u} + \sqrt{u^2+1+8-6u} = 1$
$\sqrt{u^2-4u+4} + \sqrt{u^2-6u+9} = 1$
$|u-2| + |u-3| = 1$
यह समीकरण तभी सत्य है जब $2 \le u \le 3$ हो।
चूँकि $u = \sqrt{x-1}$ है,इसलिए $2 \le \sqrt{x-1} \le 3$।
वर्ग करने पर: $4 \le x-1 \le 9$,जिससे $5 \le x \le 10$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण के अंतराल $[5, 10]$ में अनंत हल हैं।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-2py+17=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y-p)^2 = 3^2+p^2-17 = p^2-8$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल बिंदु $(0,0)$ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएं खींची गई हैं,इसलिए मूल बिंदु को दिए गए वृत्त के निर्देशक वृत्त (director circle) पर स्थित होना चाहिए।
निर्देशक वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y-p)^2 = 2(p^2-8)$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0,0)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(0-3)^2+(0-p)^2 = 2(p^2-8)$
$9+p^2 = 2p^2-16$
$p^2 = 25$
$|p| = 5$.

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण:
$y = 2x^3 + ax + b$ $(i)$
$y = 2x^3 + cx + d$ $(ii)$
वक्रों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने के लिए,समीकरण $2x^3 + ax + b = 2x^3 + cx + d$ का $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं होना चाहिए।
यह समीकरण $(a - c)x = d - b$ में सरल हो जाता है।
यदि $a - c \neq 0$ है,तो $x = \frac{d - b}{a - c}$ हमेशा एक वास्तविक हल होगा,जो शर्त का खंडन करता है।
इसलिए,$a - c = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = c$।
समीकरण में $a = c$ रखने पर,हमें $0 = d - b$ प्राप्त होता है,अर्थात $b = d$।
हालाँकि,वक्रों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि $(a - c)x = d - b$ असंगत होना चाहिए।
यदि $a = c$ है,तो $0 = d - b$। इस समीकरण का कोई हल न होने के लिए,$d - b \neq 0$ होना चाहिए।
हमें $(a - c)^2 + b - d$ को अधिकतम करना है। चूँकि $a = c$ है,यह व्यंजक $0 + b - d = b - d$ बन जाता है।
जहाँ $b, d \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $b \neq d$ है,$b - d$ को अधिकतम करने के लिए,हम $b = 6$ और $d = 1$ चुनते हैं।
अतः,अधिकतम मान $6 - 1 = 5$ है।

(C) दिया गया समीकरण $e x^2 + \pi y^2 - 2 e^2 x - 2 \pi^2 y + e^3 + \pi^3 = \pi e$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e(x^2 - 2ex) + \pi(y^2 - 2\pi y) = \pi e - e^3 - \pi^3$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$e(x^2 - 2ex + e^2) + \pi(y^2 - 2\pi y + \pi^2) = \pi e - e^3 - \pi^3 + e^3 + \pi^3$ प्राप्त होता है।
यह $e(x - e)^2 + \pi(y - \pi)^2 = \pi e$ में सरल हो जाता है।
$\pi e$ से भाग देने पर,हमें $\frac{(x - e)^2}{\pi} + \frac{(y - \pi)^2}{e} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = \pi$ और $b^2 = e$ है।
चूंकि $\pi > e$,मुख्य अक्ष $x$-दिशा में है,इसलिए $a = \sqrt{\pi}$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए,नाभियों से दूरियों का योग $P S_1 + P S_2$ स्थिर होता है और यह मुख्य अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,$P S_1 + P S_2 = 2 \sqrt{\pi}$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sin(x-a) + \sin(x+a)}{\cos(x-a) - \cos(x+a)}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ और $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{2\sin x \cos a}{2\sin x \sin a}$
यदि $\sin x \neq 0$ है,तो हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$f(x) = \frac{\cos a}{\sin a} = \cot a$
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\cot a$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,$f(x)$ एक अचर फलन है।

(D) हमारे पास है,$\tan 81^{\circ} - \tan 63^{\circ} - \tan 27^{\circ} + \tan 9^{\circ}$
$= (\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
$= (\cot 9^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
$= \left(\frac{\cos 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} + \frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{\cos 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} + \frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}\right)$
$= \left(\frac{\cos^2 9^{\circ} + \sin^2 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{\cos^2 27^{\circ} + \sin^2 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}\right)$
$= \left(\frac{2}{2 \sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{2}{2 \sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}\right)$
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$= 2 \left(\frac{1}{\sin 18^{\circ}} - \frac{1}{\cos 36^{\circ}}\right)$
$= 2 \left(\frac{4}{\sqrt{5} - 1} - \frac{4}{\sqrt{5} + 1}\right)$
$= 8 \left(\frac{\sqrt{5} + 1 - (\sqrt{5} - 1)}{5 - 1}\right)$
$= 8 \left(\frac{2}{4}\right) = 4$

(B) हमारे पास $f(x) = (x - a_1)(x - a_2) + (x - a_2)(x - a_3) + (x - a_3)(x - a_1)$ है।
विस्तार करने पर,$f(x) = 3x^2 - 2(a_1 + a_2 + a_3)x + (a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1)$ प्राप्त होता है।
$f(x) \geq 0$ के लिए विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = [-2(a_1 + a_2 + a_3)]^2 - 4(3)(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$4(a_1 + a_2 + a_3)^2 - 12(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$4$ से विभाजित करने पर,$(a_1 + a_2 + a_3)^2 - 3(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - (a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$2$ से गुणा करने पर,$(a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + (a_3 - a_1)^2 \leq 0$.
चूँकि वर्गों का योग $\leq 0$ है,इसलिए प्रत्येक पद $0$ होना चाहिए।
अतः,$a_1 = a_2 = a_3$।

(C) हमारे पास $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
योग की श्रृंखला $S_1=1, S_2=3, S_3=6, S_4=10, S_5=15, S_6=21, S_7=28, S_8=36, \ldots$ है।
$S_n$ की सम-विषम स्थिति का अवलोकन करने पर:
$S_1$ (विषम),$S_2$ (विषम),$S_3$ (सम),$S_4$ (सम),$S_5$ (विषम),$S_6$ (विषम),$S_7$ (सम),$S_8$ (सम),...
यह पैटर्न हर $4$ पदों के बाद दोहराया जाता है: (विषम,विषम,सम,सम)।
समुच्चय ${S_1, S_2, \ldots, S_{99}}$ में कुल $99$ पद हैं।
चूँकि $99 = 4 \times 24 + 3$,हमारे पास (विषम,विषम,सम,सम) के $24$ पूर्ण चक्र हैं और अगले चक्र के पहले $3$ पद (विषम,विषम,सम) हैं।
सम पदों की कुल संख्या = $24 \times 2 + 1 = 49$ है।
कार्डों की कुल संख्या = $99$ है।
सम संख्या निकालने की प्रायिकता = $\frac{\text{सम पदों की संख्या}}{\text{कुल पदों की संख्या}} = \frac{49}{99}$।

(A) हमें $6^m + 9^n \equiv 0 \pmod{5}$ की आवश्यकता है।
चूँकि $6 \equiv 1 \pmod{5}$,इसलिए सभी $m \in \{1, 2, \ldots, 50\}$ के लिए $6^m \equiv 1^m \equiv 1 \pmod{5}$ होता है।
चूँकि $9 \equiv -1 \pmod{5}$,इसलिए $9^n \equiv (-1)^n \pmod{5}$ होता है।
अतः,$6^m + 9^n \equiv 1 + (-1)^n \pmod{5}$।
व्यंजक के $5$ का गुणज होने के लिए,हमें $1 + (-1)^n \equiv 0 \pmod{5}$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $(-1)^n \equiv -1 \pmod{5}$।
यह तभी संभव है जब $n$ एक विषम पूर्णांक हो।
समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ में,$m$ के लिए $50$ संभावित मान हैं और $n$ के लिए $25$ विषम मान हैं (अर्थात $\{1, 3, 5, \ldots, 49\}$)।
इसलिए,क्रमित युग्मों $(m, n)$ की कुल संख्या $50 \times 25 = 1250$ है।

(D) चूंकि प्रत्येक संख्या अपने पड़ोसियों का औसत है,हमारे पास $a_i = \frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $2a_i = a_{i-1} + a_{i+1}$ (जहाँ सूचकांक $2012$ के मापांक में हैं)।
इसका मतलब है $a_{i+1} - a_i = a_i - a_{i-1}$।
मान लीजिए $d_i = a_{i+1} - a_i$। तब $d_i = d_{i-1}$,जिसका अर्थ है कि सभी अंतर एक समान स्थिरांक $d$ के बराबर हैं।
चूंकि संख्याएँ एक वृत्त पर व्यवस्थित हैं,$a_{2013} = a_1$,इसलिए $a_1 = a_1 + 2012d$,जिसका अर्थ है $d = 0$।
इसलिए,$a_1 = a_2 = a_3 = \ldots = a_{2012} = k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
सम-अनुक्रमित संख्याओं का योग $a_2 + a_4 + \ldots + a_{2012} = 1006k = 3018$ है।
अतः,$k = \frac{3018}{1006} = 3$।
सभी $2012$ संख्याओं का योग $2012 \times k = 2012 \times 3 = 6036$ है।

(C) समुच्चय $A = S \times S$ में $n^2$ अवयव हैं।
$A$ का एक उपसमुच्चय $B$ एक 'गुड सबसेट' है यदि इसमें $(x, x)$ रूप के सभी अवयव शामिल हों,जहाँ $x \in S$ है।
ऐसे कुल $n$ अवयव हैं: $(1, 1), (2, 2), \ldots, (n, n)$।
$B$ के गुड सबसेट होने के लिए,ये $n$ अवयव $B$ में होने अनिवार्य हैं।
शेष अवयव वे हैं जिनमें $a \neq b$ है। ऐसे अवयवों की संख्या $n^2 - n = n(n - 1)$ है।
इन $n(n - 1)$ अवयवों में से प्रत्येक अवयव $B$ में हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
इसलिए,शेष अवयवों को चुनने के तरीकों की संख्या $2^{n(n - 1)}$ है।
अतः,कुल गुड सबसेट की संख्या $2^{n(n - 1)}$ है।

(D) दिया गया है कि समीकरण $x^2+2ax+b^2=0$ के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं,इसलिए इसका विविक्तकर $D_1 > 0$ है।
$D_1 = (2a)^2 - 4(1)(b^2) = 4a^2 - 4b^2 > 0 \Rightarrow a^2 > b^2$ $(i)$
इसी प्रकार,समीकरण $x^2+2bx+c^2=0$ के लिए,विविक्तकर $D_2 > 0$ है।
$D_2 = (2b)^2 - 4(1)(c^2) = 4b^2 - 4c^2 > 0 \Rightarrow b^2 > c^2$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास $a^2 > b^2 > c^2$ है,जिसका अर्थ है कि $a^2 > c^2$ है।
अब,समीकरण $x^2+2cx+a^2=0$ पर विचार करें। इसका विविक्तकर $D_3$ है:
$D_3 = (2c)^2 - 4(1)(a^2) = 4c^2 - 4a^2 = 4(c^2 - a^2)$।
चूंकि $a^2 > c^2$ है,इसलिए $c^2 - a^2 < 0$ है,जिसका अर्थ है $D_3 < 0$ है।
अतः,समीकरण $x^2+2cx+a^2=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) माना $f(x) = \frac{1+x}{(1+x^2)(1-x)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1+x}{(1+x^2)(1-x)} = \frac{x}{1+x^2} + \frac{1}{1-x}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$f(x) = x(1+x^2)^{-1} + (1-x)^{-1}$.
$f(x) = x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
$x^{2012}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,पहले पद में केवल विषम घातें हैं,इसलिए $0$ प्राप्त होता है।
दूसरे पद में $x^{2012}$ का गुणांक $1$ है।
कुल गुणांक $= 0 + 1 = 1$.

(A) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 15 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x - 1)^2 + 9(y - 2)^2 = 25$.
$25$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{25/4} + \frac{(y - 2)^2}{25/9} = 1$.
मान लीजिए $X = x - 1$ और $Y = y - 2$. व्यंजक $X^2 + Y^2$ बन जाता है।
यह केंद्र $(1, 2)$ से दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ तक की दूरी का वर्ग है।
दूरी का वर्ग $r^2 = X^2 + Y^2$ लघु अक्ष के वर्ग से दीर्घ अक्ष के वर्ग तक होता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{25}{4}$ और $b^2 = \frac{25}{9}$.
अतः,$\min(X^2 + Y^2) = \frac{25}{9}$ और $\max(X^2 + Y^2) = \frac{25}{4}$.
योग: $\frac{25}{9} + \frac{25}{4} = \frac{325}{36}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x + \frac{1}{2} \cos x = \sin^2(x + \frac{\pi}{4})$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x + \cos x = 2 \sin^2(x + \frac{\pi}{4})$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x + \cos x = 2 [\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}]^2$
$2 \sin x + \cos x = 2 [\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)]^2$
$2 \sin x + \cos x = 2 \times \frac{1}{2}(\sin x + \cos x)^2$
$2 \sin x + \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$2 \sin x + \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x$
$2 \sin x - 2 \sin x \cos x + \cos x - 1 = 0$
$2 \sin x(1 - \cos x) - 1(1 - \cos x) = 0$
$(2 \sin x - 1)(1 - \cos x) = 0$
इससे $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\cos x = 1$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$।
सभी $x$ का योग $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 0 = \pi$ है।

(B) दिया गया है $a_1 = 5$ और $n > 1$ के लिए $a_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + 4$ है।
$n > 2$ के लिए,$a_n = (a_1 a_2 \dots a_{n-2}) a_{n-1} + 4$ है।
चूंकि $a_{n-1} = a_1 a_2 \dots a_{n-2} + 4$,इसलिए $a_1 a_2 \dots a_{n-2} = a_{n-1} - 4$ है।
इसे $a_n$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_n = (a_{n-1} - 4) a_{n-1} + 4 = a_{n-1}^2 - 4a_{n-1} + 4 = (a_{n-1} - 2)^2$ है।
अतः,$n > 2$ के लिए,$\sqrt{a_n} = |a_{n-1} - 2| = a_{n-1} - 2$ है।
इसलिए,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n}}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n-1} - 2}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{a_{n-1}} \right)$ है।
जैसे $n \to \infty$,$a_n \to \infty$,इसलिए $\frac{2}{a_{n-1}} \to 0$ है।
सीमा $1 - 0 = 1$ है।

(C) मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया गया है कि $f(2) = 10$,इसलिए $4a + 2b + c = 10$ $(i)$.
दिया गया है कि $f(-2) = -2$,इसलिए $4a - 2b + c = -2$ $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से घटाने पर:
$(4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 10 - (-2)$
$4b = 12$
$b = 3$.
$f(x)$ में $x$ का गुणांक $b$ है,जो $3$ है।

(B) माना $x = 0.75$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{x^3}{1-x} + (x + x^2 + 1)$ है।
हम जानते हैं कि $(1-x)(1+x+x^2) = 1-x^3$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{x^3 + (1-x)(1+x+x^2)}{1-x} = \frac{x^3 + 1 - x^3}{1-x} = \frac{1}{1-x}$ हो जाता है।
$x = 0.75$ रखने पर:
$\frac{1}{1-0.75} = \frac{1}{0.25} = 4$ प्राप्त होता है।
परिणाम का वर्गमूल $\sqrt{4} = 2$ है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a-d, a, a+d$ हैं,जहाँ $a$ और $d$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $d > 0$ है।
सबसे छोटी भुजा $a-d = 10$ है,जिसका अर्थ है $a = 10+d$।
भुजाएँ $10, 10+d, 10+2d$ हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी भुजा से अधिक होना चाहिए:
$10 + (10+d) > 10+2d$
$20+d > 10+2d$
$10 > d$
चूँकि $d$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$d$ के मान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हो सकते हैं।
अतः,$d$ के लिए $9$ संभावित मान हैं,और इसलिए ऐसे $9$ त्रिभुज संभव हैं।

(D) माना $S = \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}$.
हम जानते हैं कि अंश $4(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2) = 4 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ है।
हर प्रथम $n$ विषम संख्याओं के वर्गों का योग है,जो $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ है।
अतः,$S = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{n(2n-1)(2n+1)} = \frac{2(n+1)}{2n-1}$.
हमें $S > 1.01$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2n+2}{2n-1} > \frac{101}{100}$.
वज्र-गुणन करने पर,हमें $200n + 200 > 202n - 101$ प्राप्त होता है।
$301 > 2n$,जिसका अर्थ है कि $n < 150.5$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ का अधिकतम मान $150$ है।

(B) दिया गया है कि $AD, BE, CF$ $\triangle ABC$ के कोण समद्विभाजक हैं और वे अंतःकेंद्र $I$ पर संगामी हैं।
चूँकि $B, D, I, F$ चक्रीय हैं,समान चाप $ID$ द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle IFD = \angle IBD$।
चूँकि $BE$ कोण $\angle B$ का समद्विभाजक है,हमारे पास $\angle IBD = \frac{\angle B}{2}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज $BDIF$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle FBD + \angle FID = 180^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $\angle FBD = \angle B$।
$\triangle BDI$ में,$\angle FID$ एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle FID = \angle IBD + \angle IDB = \frac{\angle B}{2} + \angle IDB$।
गणना करने पर,$B=60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\angle IFD = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।

(B) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $1$ है। कोनों से काटे गए समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $x$ हैं।
चूँकि अष्टकोण नियमित है,इसलिए इन त्रिभुजों का कर्ण वर्ग की भुजा के शेष भाग के बराबर होना चाहिए।
प्रत्येक त्रिभुज का कर्ण $x\sqrt{2}$ है।
अष्टकोण की भुजा की लंबाई $1-2x$ है।
इन्हें बराबर करने पर,$x\sqrt{2} = 1-2x$ प्राप्त होता है।
$x(\sqrt{2}+2) = 1$
$x = \frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अष्टकोण की भुजा की लंबाई $1-2x = 1 - 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - 2 + \sqrt{2} = \sqrt{2}-1$ है।

(B) माना त्रिज्यखंड का केंद्र $O$ है और त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है। माना छोटे वृत्त का केंद्र $C$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है।
त्रिज्यखंड का कोण $60^{\circ}$ है। रेखा $OC$ इस कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle COP = 30^{\circ}$,जहाँ $P$ त्रिज्यखंड की त्रिज्या पर स्पर्श बिंदु है।
छोटे वृत्त के केंद्र $C$,स्पर्श बिंदु $P$ और त्रिज्यखंड के केंद्र $O$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\sin 30^{\circ} = \frac{CP}{OC}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{OC}$
$OC = 2R$
साथ ही,त्रिज्यखंड के केंद्र $O$ से चाप तक की दूरी त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है। यह दूरी $OC$ और छोटे वृत्त की त्रिज्या $R$ के योग के बराबर है (क्योंकि छोटा वृत्त चाप को स्पर्श करता है)।
$r = OC + R$
$r = 2R + R = 3R$
$R = \frac{r}{3}$

(B) दिया गया है कि $AHKF$,$FKDE$,और $HBCK$ इकाई वर्ग हैं। प्रत्येक वर्ग की भुजा की लंबाई $1$ है।
निर्देशांक पद्धति में $K$ को मूलबिंदु $(0,0)$ मानने पर,बिंदु $A(-1,1)$,$B(-1,-1)$,$F(0,1)$,और $D(1,0)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा $AD$ का समीकरण $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ और रेखा $BF$ का समीकरण $y = 2x + 1$ है।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $X$ के निर्देशांक $(-\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ हैं।
$\triangle ABF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$।
$\triangle AXF$ में,आधार $AF = 1$ है और ऊंचाई $X$ से $AF$ की लंबवत दूरी $|1 - \frac{3}{5}| = \frac{2}{5}$ है।
$\triangle AXF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$।
अतः,अभीष्ट अनुपात $\frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$ है।

(B) दिया गया है कि $PQ = 1$ (वृत्त की त्रिज्या) और $QR = 1$ है।
$\triangle PQR$ में,चूँकि $PQ = QR = 1$ है,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle QPR = \angle QRP = 2^{\circ}$ है।
$\triangle PQR$ के कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $\angle RQP = 180^{\circ} - (2^{\circ} + 2^{\circ}) = 176^{\circ}$ है।
अब,$\triangle SPQ$ पर विचार करें। चूँकि $SP = SQ = 1$ (वृत्त की त्रिज्या) है,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle SQP = \angle QSP$ है।
$\triangle SPQ$ में,$\angle SPQ = 2^{\circ}$ है,इसलिए $\angle SQP = \frac{180^{\circ} - 2^{\circ}}{2} = \frac{178^{\circ}}{2} = 89^{\circ}$ है।
अंत में,$\angle RQS = \angle RQP - \angle SQP = 176^{\circ} - 89^{\circ} = 87^{\circ}$ है।

(A) $H:M$ पर घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच का कोण $\theta = |30H - 5.5M|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$H = 6$ और $M = 15$ के लिए:
$\theta = |30(6) - 5.5(15)| = |180 - 82.5| = 97.5^{\circ}$.
मान लीजिए कि दो कोण $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमारे पास $\alpha = 97.5^{\circ}$ और $\alpha + \beta = 360^{\circ}$ है।
तब $\beta = 360^{\circ} - 97.5^{\circ} = 262.5^{\circ}$.
इन दो कोणों के बीच का अंतर $\beta - \alpha = 262.5^{\circ} - 97.5^{\circ} = 165^{\circ}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{m}{12} = \frac{12}{n}$ है।
दोनों पक्षों का गुणा करने पर,हमें $mn = 144$ प्राप्त होता है।
$144$ का अभाज्य गुणनखंड $2^4 \times 3^2$ है।
$144$ के धनात्मक भाजकों की संख्या $(4+1)(2+1) = 5 \times 3 = 15$ है।
चूंकि $m$ और $n$ पूर्णांक हैं,वे या तो दोनों धनात्मक हो सकते हैं या दोनों ऋणात्मक।
यदि $m, n > 0$ हैं,तो $15$ संभावित युग्म $(m, n)$ हैं।
यदि $m, n < 0$ हैं,तो भी $15$ संभावित युग्म $(m, n)$ हैं।
अतः,$(m, n)$ के कुल क्रमित युग्मों की संख्या $15 + 15 = 30$ है।

(C) में तत्वों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $S$ को $5$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर विभाजित करते हैं:
$R_0 = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40\}$ (शेषफल $0$,आकार $8$)
$R_1 = \{1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36\}$ (शेषफल $1$,आकार $8$)
$R_2 = \{2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37\}$ (शेषफल $2$,आकार $8$)
$R_3 = \{3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38\}$ (शेषफल $3$,आकार $8$)
$R_4 = \{4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39\}$ (शेषफल $4$,आकार $8$)
$A$ के किन्हीं भी दो तत्वों का योग $5$ से विभाज्य न हो,इसके लिए हमें ऐसे तत्वों का चयन करना होगा जिनका शेषफल योग $5$ या $0$ (mod $5$) न हो।
$1$. हम $R_0$ से अधिकतम एक तत्व चुन सकते हैं।
$2$. हम $R_1$ से सभी तत्व चुन सकते हैं।
$3$. हम $R_2$ से सभी तत्व चुन सकते हैं।
अतः,कुल तत्व = $8 + 8 + 1 = 17$.

(C) माना $AD = CD = x$ है। तब $AC = 2x$ और $AB = 2x$ (चूँकि $AB = AC$ है)।
$\triangle BCD$ में,कोसाइन नियम के अनुसार:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)\cos C$
$2^2 = 2^2 + x^2 - 2(2)(x)\cos C$
$4 = 4 + x^2 - 4x\cos C \Rightarrow \cos C = \frac{x}{4}$।
चूँकि $AB = AC$ है,$\angle B = \angle C$,इसलिए $\cos B = \cos C = \frac{x}{4}$।
$\triangle ABC$ में,$\angle A = 180^\circ - 2C$ है। अतः,$\cos A = \cos(180^\circ - 2C) = -\cos(2C) = -(2\cos^2 C - 1) = 1 - 2(\frac{x^2}{16}) = 1 - \frac{x^2}{8}$।
$\triangle ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A$
$2^2 = (2x)^2 + (2x)^2 - 2(2x)(2x)(1 - \frac{x^2}{8})$
$4 = 4x^2 + 4x^2 - 8x^2(1 - \frac{x^2}{8})$
$4 = 8x^2 - 8x^2 + x^4$
$x^4 = 4$ $\Rightarrow x^2 = 2$ $\Rightarrow x = \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$AC = 2\sqrt{2}$ और $BC = 2$ है।
$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin C = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{7}$।

(B) माना $f(x) = 3^x + 5^x - (3^x)^2 + (3^x)(5^x) - (5^x)^2$.
माना $a = 3^x$ और $b = 5^x$,जहाँ $a, b > 0$.
तब $f(x) = a + b - a^2 + ab - b^2$.
इसे $f(x) = a + b - (a^2 - ab + b^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x=0$ रखने पर,$f(0) = 3^0 + 5^0 - 9^0 + 15^0 - 25^0 = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$.
अतः,अधिकतम मान $M = 1$ प्राप्त होता है,जो $0 < M < 2$ की शर्त को संतुष्ट करता है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{4 - \sqrt{2x + 5}}$ तब परिभाषित होता है यदि वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक हों।
सबसे पहले,आंतरिक वर्गमूल के लिए: $2x + 5 \geq 0 \implies x \geq -\frac{5}{2}$।
दूसरे,बाहरी वर्गमूल के लिए: $4 - \sqrt{2x + 5} \geq 0 \implies 4 \geq \sqrt{2x + 5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (चूंकि दोनों अऋणात्मक हैं): $16 \geq 2x + 5 \implies 11 \geq 2x \implies x \leq \frac{11}{2}$।
इन शर्तों को मिलाने पर,$f(x)$ का प्रांत $x \in \left[ -\frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right]$ प्राप्त होता है।
प्रांत का मध्य-बिंदु $\frac{-\frac{5}{2} + \frac{11}{2}}{2} = \frac{\frac{6}{2}}{2} = \frac{3}{2}$ है।

(C) मान लीजिए $f(x) = x^{2n+1} - (2n+1)x + a$.
अंतराल $[-1, 1]$ में शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = (2n+1)x^{2n} - (2n+1) = (2n+1)(x^{2n} - 1)$.
$x \in (-1, 1)$ के लिए,हमारे पास $|x| < 1$ है,जिसका अर्थ है कि $x^{2n} < 1$.
अतः,$x^{2n} - 1 < 0$,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f'(x) \leq 0$ है,फलन $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर ह्रासमान है।
एक निरंतर ह्रासमान फलन $X$-अक्ष को अधिकतम एक बिंदु पर काट सकता है।
इसलिए,$a$ के किसी भी मान के लिए समीकरण $f(x) = 0$ का अंतराल $[-1, 1]$ में अधिकतम एक मूल होता है।

(D) माना $I = \frac{\int_0^{\pi / 2}(\sin x)^{\sqrt{2}+1} dx}{\int_0^{\pi / 2}(\sin x)^{\sqrt{2}-1} dx}$ है।
माना $I_n = \int_0^{\pi / 2} (\sin x)^n dx$ है। तब $I = \frac{I_{\sqrt{2}+1}}{I_{\sqrt{2}-1}}$ होगा।
$\int_0^{\pi / 2} (\sin x)^n dx = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ के लिए रिडक्शन सूत्र का उपयोग करने पर:
$I_{\sqrt{2}+1} = \int_0^{\pi / 2} (\sin x)^{\sqrt{2}+1} dx = \frac{(\sqrt{2}+1)-1}{\sqrt{2}+1} \int_0^{\pi / 2} (\sin x)^{\sqrt{2}-1} dx$ प्राप्त होता है।
$I_{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} I_{\sqrt{2}-1}$।
अतः,$I = \frac{I_{\sqrt{2}+1}}{I_{\sqrt{2}-1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$I = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2-\sqrt{2}}{2-1} = 2-\sqrt{2}$।

(D) माना $I = \int_{-2012}^{2012} (\sin(x^3) + x^5 + 1) dx$ है।
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$I = \int_{-2012}^{2012} \sin(x^3) dx + \int_{-2012}^{2012} x^5 dx + \int_{-2012}^{2012} 1 dx$।
चूंकि $f(x) = \sin(x^3)$ और $g(x) = x^5$ विषम फलन हैं (अर्थात $f(-x) = -f(x)$),इसलिए सममित अंतराल $[-a, a]$ पर इन फलनों का समाकलन $0$ होता है।
अतः,$\int_{-2012}^{2012} \sin(x^3) dx = 0$ और $\int_{-2012}^{2012} x^5 dx = 0$।
इसलिए,$I = 0 + 0 + \int_{-2012}^{2012} 1 dx$।
$I = [x]_{-2012}^{2012} = 2012 - (-2012) = 2012 + 2012 = 4024$।

(B) मान लीजिए $I = \int_0^5 [x]\{x\} dx$ है।
चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर स्थिर है,हम समाकलन को विभाजित कर सकते हैं:
$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} [x]\{x\} dx$।
$x \in [n, n+1)$ के लिए,$[x] = n$ और $\{x\} = x - n$ है।
अतः,$I = \sum_{n=0}^{4} \int_n^{n+1} n(x-n) dx$।
मान लीजिए $t = x-n$,तो $dt = dx$। जब $x=n, t=0$ और जब $x=n+1, t=1$।
$I = \sum_{n=0}^{4} n \int_0^1 t dt = \sum_{n=0}^{4} n \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^{4} n \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} (0+1+2+3+4) = \frac{10}{2} = 5$।

(A) मान लीजिए $E_1$ पहले पर्स को चुनने की घटना है और $E_2$ दूसरे पर्स को चुनने की घटना है। चूंकि पर्स को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $A$ तांबे का सिक्का निकालने की घटना है।
पहले पर्स के लिए,$P(A|E_1) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
दूसरे पर्स के लिए,$P(A|E_2) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,तांबे का सिक्का निकालने की प्रायिकता है:
$P(A) = P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)$
$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5}$
$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{20 + 21}{70} = \frac{41}{70}$.

(C) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। मान लीजिए मूल बिंदु परिकेंद्र $O$ पर है,इसलिए $\vec{O} = \vec{0}$ है।
तब लंबकेंद्र $H$ का स्थिति सदिश $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है।
हमें $\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC}$ का मान ज्ञात करना है।
$\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = (\vec{a} - \vec{H}) + (\vec{b} - \vec{H}) + (\vec{c} - \vec{H})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{H}$
$= \vec{H} - 3\vec{H}$
$= -2\vec{H}$
चूंकि $\vec{O} = \vec{0}$,$\vec{HO} = \vec{O} - \vec{H} = -\vec{H}$ है।
इसलिए,$-2\vec{H} = 2(-\vec{H}) = 2\vec{HO}$ है।
अतः,$\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = 2\vec{HO}$ है।

(B) दिया गया है कि $P(x)$ वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद है और सभी $x$ के लिए $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ है।
द्विघात बहुपद के लिए $P^{\prime \prime}(x)$ एक स्थिरांक होता है,इसलिए हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ $P(x)$ एक द्विघात बहुपद है:
$P(x) = ax^2 + bx + c$,जहाँ $a \neq 0$ है।
तब,$P^{\prime}(x) = 2ax + b$ और $P^{\prime \prime}(x) = 2a$ होगा।
$P(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $c = 1$ है।
$P^{\prime}(0) = -1$ दिया गया है,इसलिए $b = -1$ है।
अतः,$P(x) = ax^2 - x + 1$ है।
$x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$P(1) = a(1)^2 - (1) + 1 = a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P^{\prime \prime}(x) = 2a \neq 0$,इसलिए $a \neq 0$ है।
अतः,$P(1) = a \neq 0$ है।
यह गुण उच्च घात वाले बहुपदों के लिए भी सत्य है,क्योंकि प्रारंभिक शर्तों के तहत $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ की बाधा के अंतर्गत $P(1)$ शून्य नहीं हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^x} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-\pi+\pi-x)}{1+a^{-\pi+\pi-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{a^x+1} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^x} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \left( \frac{1+a^x}{1+a^x} \right) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x dx$.
चूंकि $\cos^2 x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx$,अतः $I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx$.
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 - (0+0) = \frac{\pi}{2}$.

(A) माना $f(x) = x^{1/3}$ है। चूँकि $f''(x) = -\frac{2}{9} x^{-5/3} < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अवतल (concave down) है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,$n = 1000$ और $h = 1$ के लिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम के तहत $T < I$ होता है।
ट्रैपेज़ॉइडल योग $T = \frac{h}{2} [f(2012) + 2f(2013) + \ldots + 2f(3011) + f(3012)]$ है।
यहाँ $L = \sum_{k=2012}^{3011} f(k)$ और $R = \sum_{k=2013}^{3012} f(k)$ है।
अतः $L + R = f(2012) + 2f(2013) + \ldots + 2f(3011) + f(3012) = 2T$ है।
चूँकि $T < I$ है,इसलिए $2T < 2I$,जिसका अर्थ है कि $L + R < 2I$।

(B) मान लीजिए $H$ चितों की संख्या है और $T$ पटों की संख्या है। चूंकि सिक्का $10$ बार उछाला जाता है,$H + T = 10$ है।
कुल स्कोर $S = 1 \times H + 2 \times T = H + 2(10 - H) = 20 - H$ द्वारा प्राप्त होता है।
हमें $K$ का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $P(S \geq K) > \frac{1}{2}$ हो।
$S = 20 - H$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(20 - H \geq K) = P(H \leq 20 - K) > \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m = 20 - K$ है। हमें $P(H \leq m) > \frac{1}{2}$ की आवश्यकता है।
$H$ का प्रायिकता वितरण $n = 10$ और $p = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद (binomial) है।
$P(H \leq m) = \frac{1}{2^{10}} \sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{i=0}^{10} \binom{10}{i} = 2^{10} = 1024$ है। चूंकि वितरण सममित है,$P(H \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{10}{i} / 1024 = (1 + 10 + 45 + 120 + 210) / 1024 = 386 / 1024 < \frac{1}{2}$ है।
$P(H \leq 5) = (386 + \binom{10}{5}) / 1024 = (386 + 252) / 1024 = 638 / 1024 > \frac{1}{2}$ है।
अतः,$m$ का सबसे बड़ा मान $5$ है।
चूंकि $m = 20 - K$ है,इसलिए $5 = 20 - K$,जिससे $K = 15$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$।
सबसे पहले,$f^2(x) = f(f(x)) = \frac{\frac{x+1}{x-1} + 1}{\frac{x+1}{x-1} - 1} = \frac{x+1+x-1}{x+1-(x-1)} = \frac{2x}{2} = x$ की गणना करें।
चूंकि $f^2(x) = x$,इसलिए $f^3(x) = f(f^2(x)) = f(x)$ और $f^4(x) = f^2(f^2(x)) = x$ होगा।
अब,पदों की गणना करें:
$f^1(2) = \frac{2+1}{2-1} = 3$।
$f^2(3) = 3$ (क्योंकि $f^2(x) = x$)।
$f^3(4) = f(4) = \frac{4+1}{4-1} = \frac{5}{3}$।
$f^4(5) = 5$ (क्योंकि $f^4(x) = x$)।
अतः,$P = 3 \cdot 3 \cdot \frac{5}{3} \cdot 5 = 75$।
$75$ के गुणज $75, 150, 225, 300, 375, \dots$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$375$ संख्या $75$ का एक गुणज है।