मान लीजिए $L = \sqrt[3]{2012} + \sqrt[3]{2013} + \ldots + \sqrt[3]{3011}$,$R = \sqrt[3]{2013} + \sqrt[3]{2014} + \ldots + \sqrt[3]{3012}$,और $I = \int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} \, dx$. तब,

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) \, dx =$

$\int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x)}{f(x)+f\left(\frac{\alpha-3 x}{3}\right)} d x=$

वास्तविक रेखा $R$ पर,हम दो फलनों $f$ और $g$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
$f(x) = \min \{x - [x], 1 - x + [x]\}$
$g(x) = \max \{x - [x], 1 - x + [x]\}$
जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। वह धनात्मक पूर्णांक $n$ जिसके लिए $\int_0^n (g(x) - f(x)) \, dx = 100$ है,वह है:

यदि $f(t) = \int_0^t \tan^{(2n-1)} x \, dx$,$n \in N$,है,तो $f(t+\pi) =$

$\int_{-1}^{1} \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।