माना $S={1,2,3, \ldots \ldots, n}$ और $A={(a, b) \mid 1 \leq a, b \leq n}=S \times S$ है। यदि $A$ का एक उपसमुच्चय $B$ तब एक अच्छा उपसमुच्चय कहलाता है जब हर $x \in S$ के लिए $(x, x) \in B$ हो। तो, $A$ के अच्छे उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है?

समुच्चय $\{1,2,3, \ldots, 100\}$ के $A_1, A_2, \ldots, A_m$ ऐसे अरिक्त $(non\,empty)$ उपसमुच्चय है कि

$(1)$ संख्याएँ $\left|A_1\right|,\left|A_2\right|, \ldots,\left|A_m\right|$ अभिन्न है

$(2)$ $A_1, A_2, \ldots, A_m$ युगल रूप से $(pair-wise)$ असंयुक्त $(disjoint)$ है

(जहाँ $|A|$ समुच्चय $A$ में अवयवों $(elements)$ की संख्या है) तब $m$ का महत्तम संभव मान होगा

माना $S=\{x \in R: x \geq 0$ तथा $2|\sqrt{x}-3|+\sqrt{x}(\sqrt{x}-6)+6=0\}$ तो $S$ .........

यदि $A =\{ x \in R : \quad| x \quad-2| > 1\}$, $B=\left\{x \in R : \sqrt{ x ^{2}-3} > 1\right\}, C =\{ x \in R :| x -4| \geq 2\}$ हैं तथा समी पूर्णाकों का समुच्चय $Z$ है, तो समुच्चय $( A \cap B \cap C )^{ C } \cap Z$ के उपसमुच्चयों की संख्या है

सेट $ S=\{(x, y, z): x, y, z \in Z, x+2 y+3 z=42$ $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} \geq 0\}$ में तत्वों की संख्या ढूंढें: 

यदि ${A_1},\,{A_2},\,{A_3},........,{A_{30}}$ तीस समुच्चय इस प्रकार हैं कि प्रत्येक में $5$ अवयव हैं तथा ${B_1},\,{B_2}$, ......., $Bn, n $ समुच्चय इस प्रकार हैं कि प्रत्येक में $3$ अवयव हैं। माना $\bigcup\limits_{i = 1}^{30} {{A_i}} = \bigcup\limits_{j = 1}^n {{B_j}} $$= S$  तथा $ S$  का प्रत्येक अवयव $A'_is$ के $10$ वें तथा $B'_js$ के $9$  वें को पूर्णत: संतुष्ट करता है, तो $n$  बराबर है