IIT JEE 1992 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $x - 1 = y$,इसलिए $x = y + 1$.
तब,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = -\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(1 - y)}$.
$(1 + 2y + y^2)$ को $(y - 1)$ से विभाजित करने पर $(y^2 + 2y + 1) = (y - 1)(y + 3) + 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y^2 + 2y + 1}{y^3(y - 1)} = \frac{(y - 1)(y + 3) + 4}{y^3(y - 1)} = \frac{y + 3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
$\frac{4}{y^3(y - 1)}$ के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,हमें $\frac{-1}{(x - 1)^3} + \frac{-3}{(x - 1)^2} + \frac{-4}{(x - 1)} + \frac{4}{(x - 2)}$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास $H.M. = \frac{2ab}{a + b}$ और $G.M. = \sqrt{ab}$ है।
दिया गया है कि $\frac{H.M.}{G.M.} = \frac{4}{5}$।
$\Rightarrow \frac{2ab/(a + b)}{\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{ab}}{a + b} = \frac{4}{5}$।
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$।
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$ $\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \frac{9}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{3}{1}$।
पुनः योगान्तरानुपात नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{3 + 1}{3 - 1}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{4}{2} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{a}{b} = 2^2 = 4$।
अतः,$a:b = 4:1$ या $b:a = 1:4$।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $(x - a)(x - b) - c = 0$ के मूल हैं।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (a + b)x + ab - c = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha + \beta = a + b$ और $\alpha\beta = ab - c$.
अब,समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta + c = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण में $(\alpha + \beta)$ और $\alpha\beta$ के मान रखने पर:
$x^2 - (a + b)x + (ab - c) + c = 0$
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
$(x - a)(x - b) = 0$.
अतः,समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।

(C) यह 'derangements' का प्रश्न है,जहाँ $n = 4$ वस्तुओं को $n$ बक्सों में इस प्रकार रखा जाना है कि कोई भी वस्तु अपने सही बक्से में न जाए।
'derangements' $D_n$ का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
अतः,कुल $9$ तरीके हैं।

(A) माना $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$.
हम इसे $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{5\pi}{12} \right)$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$x + \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $x = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - 5\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\pi}{12}$ अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ में स्थित है,इसलिए अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{12}$ पर प्राप्त होता है।

(A) माना $y = \frac{\tan x}{\tan 3x}$.
सूत्र $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\tan x}{\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}} = \frac{1 - 3\tan^2 x}{3 - \tan^2 x}$.
माना $t = \tan^2 x$,जहाँ $t \ge 0$. तब $y = \frac{1 - 3t}{3 - t}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $y(3 - t) = 1 - 3t \implies 3y - yt = 1 - 3t \implies t(3 - y) = 1 - 3y \implies t = \frac{1 - 3y}{3 - y}$.
चूँकि $t = \tan^2 x \ge 0$,इसलिए $\frac{1 - 3y}{3 - y} \ge 0$.
यह असमिका $y \in [1/3, 3)$ के लिए सत्य है।
अतः,$y$ का मान कभी भी $(1/3, 3)$ अंतराल के बीच नहीं होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - \sin^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
$-\sin^2 \theta + \sin \theta + 2 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \theta - \sin \theta - 2 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(\sin \theta - 2)(\sin \theta + 1) = 0$
इससे $\sin \theta = 2$ या $\sin \theta = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin \theta = 2$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin \theta = -1$ है।
व्यापक हल $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ है।
$n=1$ के लिए,$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$।
चूंकि $\frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4}$,इसलिए हल अंतराल $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$ में स्थित है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$A.M. \ge G.M.$ असमिका के अनुसार,$\frac{5^x + 5^{-x}}{2} \ge \sqrt{5^x \cdot 5^{-x}} = 1$ होता है।
इसका अर्थ है $5^x + 5^{-x} \ge 2$।
साथ ही,कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos(e^x) \le 1$ होता है।
इसका अर्थ है $2 \cos(e^x) \le 2$।
समीकरण $2 \cos(e^x) = 5^x + 5^{-x}$ को संतुष्ट करने के लिए दोनों पक्षों का मान $2$ होना चाहिए।
इसके लिए $5^x + 5^{-x} = 2$ होना आवश्यक है,जो केवल $x = 0$ पर संभव है।
$x = 0$ रखने पर,बायां पक्ष $2 \cos(e^0) = 2 \cos(1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(1) \approx 0.54$,इसलिए $2 \cos(1) \approx 1.08 \neq 2$।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(A) $\Delta ABC$ का परिमाप $a + b + c$ है। इसके कोणों के ज्या का समांतर माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दिया है: $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C$,जहाँ $k = 2R$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $k(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
चूंकि त्रिभुज के लिए $\sin A + \sin B + \sin C \neq 0$,इसलिए $k = 2$ है।
$a = 1$ दिया है,अतः $a = k \sin A$ का उपयोग करने पर:
$1 = 2 \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
अतः,$A = \frac{\pi}{6}$।

(D) माना $R$,$\Delta PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या है। दिया गया है कि $R = PQ = PR$ है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$R = \frac{PQ}{2 \sin R} = \frac{PR}{2 \sin Q} = \frac{QR}{2 \sin P}$ है।
चूंकि $R = PQ$,इसलिए $PQ = \frac{PQ}{2 \sin R}$,जिसका अर्थ है कि $\sin R = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\angle R = \frac{\pi}{6}$ है।
चूंकि $PQ = PR$,त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए $\angle Q = \angle R = \frac{\pi}{6}$ है।
त्रिभुज के कोणों का योग $\pi$ होता है। इसलिए,$\angle P = \pi - (\angle Q + \angle R) = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(D) दी गई रेखा $3x + y = 3$ है,जिसे $y = -3x + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -3$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -1/m_1 = -1/(-3) = 1/3$ होगी।
$(2, 2)$ से गुजरने वाली और $1/3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ है।
मान रखने पर,$y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,$3y - 6 = x - 2$,जिसे सरल करने पर $x - 3y + 4 = 0$ मिलता है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $0 - 3y + 4 = 0$,जिससे $3y = 4$ या $y = 4/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$y$-अंतःखंड $4/3$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष हैं। बिंदु को $P(x, y)$ मानिए।
बिंदु $P$ की $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है,इसलिए $|x| + |y| = 1$ है।
यदि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,तो $x > 0$ और $y > 0$,इसलिए $x + y = 1$ है।
यदि बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,तो $x < 0$ और $y > 0$,इसलिए $-x + y = 1$ है।
यदि बिंदु तृतीय चतुर्थांश में स्थित है,तो $x < 0$ और $y < 0$,इसलिए $-x - y = 1$ है।
यदि बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है,तो $x > 0$ और $y < 0$,इसलिए $x - y = 1$ है।
ये चार समीकरण $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाले एक वर्ग की भुजाओं को दर्शाते हैं।
अतः,बिंदु पथ एक वर्ग है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $(0, 0)$ और $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ और $(1, 0)$ को जोड़ने वाली जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित होगा। मध्य बिंदु $(1/2, 0)$ है और रेखा $x = 1/2$ है। अतः,$h = 1/2$.
चूँकि वृत्त $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$,$(1/2, k)$ से $(0, 0)$ की दूरी है,इसलिए $r^2 = (1/2)^2 + k^2 = 1/4 + k^2$.
वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ को स्पर्श करता है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $R = 3$ है। केंद्रों के बीच की दूरी $\sqrt{(1/2)^2 + k^2} = r$ है।
वृत्तों के स्पर्श करने के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $|R \pm r|$ होनी चाहिए। यहाँ,केंद्रों के बीच की दूरी $r$ है,इसलिए $r = |3 \pm r|$.
स्थिति $1$: $r = 3 - r$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 3/2$.
तब $r^2 = 9/4$,इसलिए $1/4 + k^2 = 9/4$ $\Rightarrow k^2 = 2$ $\Rightarrow k = \pm \sqrt{2}$.
अतः,केंद्र $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ है।

(B) माना कि $\tan^{-1} 2x = \theta$ है।
तब $2x = \tan \theta$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2} \tan \theta$।
जैसे $x \to 0$,वैसे ही $\theta \to 0$।
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} 2x} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \tan \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta}$।
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$,इसलिए परिणाम $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ है।

(B) $L$'$H$ôpital के नियम का बार-बार उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $n$ बार अवकलन करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^n}}}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n \cdot x^{n-1}}}{{{e^x}}} = \dots = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n!}}{{{e^x}}}$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } e^x = \infty$,इसलिए $\frac{n!}{\infty} = 0$.
यह किसी भी पूर्ण संख्या $n \ge 0$ के लिए सत्य है।

(C) माना $y = 3^{40}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर,$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$ प्राप्त होता है।
$\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$ है।
दिया गया है कि $\log_{10} 3 = 0.477$,इसलिए $\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$ है।
$3^{40}$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\lfloor 19.08 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20$ है।
अतः,अंकों की संख्या $20$ है।

(C) माना $z = \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta}$.
हम $|z|^2 = z \cdot \overline{z} = \left( \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right) \left( \frac{\overline{\beta} - \overline{\alpha}}{1 - \alpha\overline{\beta}} \right)$ की गणना करते हैं।
अंश का विस्तार करने पर: $(\beta - \alpha)(\overline{\beta} - \overline{\alpha}) = |\beta|^2 - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} + |\alpha|^2$.
हर का विस्तार करने पर: $(1 - \overline{\alpha}\beta)(1 - \alpha\overline{\beta}) = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2|\beta|^2$.
चूँकि $|\beta| = 1$,इसलिए $|\beta|^2 = 1$ है।
मान रखने पर,अंश और हर समान हैं,इसलिए $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है $|z| = 1$।

(A) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है $\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200}$.
यह $100$ पदों वाली एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$\alpha = ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
दिया गया है $\beta = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = a_1 + a_3 + \dots + a_{199}$.
यह $100$ पदों वाली एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$\beta = a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
$\alpha$ को $\beta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})}{a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})} = r$.
अतः,सार्व अनुपात $\frac{\alpha}{\beta}$ है।

(C) माना $y = 3^{40}$ है।
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$
$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$
दिया गया है कि $\log_{10} 3 = 0.477$,अतः:
$\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$
$y$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ द्वारा ज्ञात की जाती है।
अंकों की संख्या $= 19 + 1 = 20$.

(C) दिया गया है $A = \log_2 \log_2 \log_4 256 + 2 \log_{\sqrt{2}} 2$।
सबसे पहले,$\log_4 256$ का मान निकालें:
चूंकि $256 = 4^4$,इसलिए $\log_4 256 = 4$।
अगला,$\log_2 \log_2 4$ का मान निकालें:
चूंकि $\log_2 4 = 2$,इसलिए $\log_2 2 = 1$।
अब,$2 \log_{\sqrt{2}} 2$ का मान निकालें:
चूंकि $\sqrt{2} = 2^{1/2}$,इसलिए $\log_{2^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2 \times 1 = 2$।
अतः,$2 \log_{\sqrt{2}} 2 = 2 \times 2 = 4$।
अंत में,$A = 1 + 4 = 5$।

(C) माना $(x - 1) = y$,तब $x = y + 1$.
व्यंजक में मान रखने पर:
$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)}$.
$(y^2 + 2y + 1)$ को $(y - 1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} = (y + 3) + \frac{4}{y - 1}$.
अतः,$\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1}{y^3} \left( \frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^3} \left( y + 3 + \frac{4}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^2} + \frac{3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3} + \frac{D}{x - 2}$.
गुणांकों को हल करने पर $A = -4, B = -3, C = -1, D = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{-4}{x - 1} - \frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{4}{x - 2}$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x)f(y)$ सभी $x, y \in N$ के लिए।
$x = 1$ के लिए,$f(2) = f(1+1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$।
$x = 3$ के लिए,$f(3) = f(2+1) = f(2)f(1) = 3^2 \times 3 = 3^3 = 27$।
गणितीय आगमन द्वारा,$f(x) = 3^x$।
हमें दिया गया है कि $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$।
$f(x) = 3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{x=1}^n 3^x = 120$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 3$,सार्व अनुपात $r = 3$ और $n$ पद हैं।
योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$ है।
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$।
$3(3^n - 1) = 240$।
$3^n - 1 = 80$।
$3^n = 81$।
चूंकि $81 = 3^4$,इसलिए $n = 4$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सर्वसमिका जानते हैं: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।
दिया गया है कि $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{5}$ है।
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\pi}{5} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}$।
$2$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $10$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos^{-1} x = \frac{5\pi - 2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$।

(B) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v} = ai + bj + ck$ है।
$\vec{v}$ के $\vec{u_1} = i + j + 2k$ और $\vec{u_2} = i + 2j + k$ के साथ समतलीय होने के लिए,यह $\vec{u_1}$ और $\vec{u_2}$ का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए।
अतः,$\vec{v} = p(i + j + 2k) + r(i + 2j + k) = (p+r)i + (p+2r)j + (2p+r)k$।
घटकों की तुलना करने पर,$a = p+r$,$b = p+2r$,और $c = 2p+r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{w} = i + j + k$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(ai + bj + ck) \cdot (i + j + k) = a + b + c = 0$।
$a, b, c$ के मान रखने पर:
$(p+r) + (p+2r) + (2p+r) = 4p + 4r = 0$,जिसका अर्थ है $p = -r$।
$p = -r$ को $a, b, c$ में रखने पर:
$a = -r + r = 0$,
$b = -r + 2r = r$,
$c = 2(-r) + r = -r$।
इस प्रकार,$\vec{v} = r(j - k)$।
$\vec{v}$ के इकाई सदिश होने के लिए,$|\vec{v}| = 1$:
$\sqrt{0^2 + r^2 + (-r)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{2r^2} = 1 \Rightarrow |r|\sqrt{2} = 1 \Rightarrow r = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(j - k)$ है।

(A) दिया गया है $y = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + \cos 2x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-\sin 2x \cdot 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$.
सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x \sqrt{\cos 2x}} = \frac{\tan x}{\sqrt{\cos 2x}}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cos 2(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$.

(D) माना कि दिया गया समाकलन $I = \int_{-2}^{2} (px^2 + qx + s) \, dx$ है।
हम इसे तीन समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = p \int_{-2}^{2} x^2 \, dx + q \int_{-2}^{2} x \, dx + s \int_{-2}^{2} 1 \, dx$.
चूंकि $f(x) = x$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-2}^{2} x \, dx = 0$ होता है।
चूंकि $f(x) = x^2$ और $f(x) = 1$ सम फलन हैं,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$I = 2p \int_{0}^{2} x^2 \, dx + 0 + 2s \int_{0}^{2} 1 \, dx$.
$I = 2p \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} + 2s [x]_{0}^{2}$.
$I = 2p \left( \frac{8}{3} \right) + 2s(2) = \frac{16p}{3} + 4s$.
इसलिए,$I$ का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए $p$ और $s$ के मान जानना आवश्यक है।

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 px + \sin^2 qx - 2 \sin qx \cos px) dx$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग करते हुए यदि $f(x)$ सम है और $0$ यदि $f(x)$ विषम है:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 px dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 qx dx - 2 \int_{-\pi}^{\pi} \sin qx \cos px dx$.
चूँकि $\sin qx \cos px$ एक विषम फलन है,इसलिए $[-\pi, \pi]$ पर इसका समाकलन $0$ है।
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2px}{2} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2qx}{2} dx$.
$I = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2px}{2p}]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2qx}{2q}]_{-\pi}^{\pi}$.
$I = \frac{1}{2} [(\pi - (-\pi)) + 0] + \frac{1}{2} [(\pi - (-\pi)) - 0] = \frac{1}{2} (2\pi) + \frac{1}{2} (2\pi) = \pi + \pi = 2\pi$.

(B) भारत कुल $4$ मैच खेलता है। किसी भी मैच में अधिकतम अंक $2$ हैं।
इसलिए,$4$ मैचों में अधिकतम कुल अंक $8$ हो सकते हैं।
कम से कम $7$ अंक प्राप्त करने के लिए,भारत को या तो $7$ अंक या $8$ अंक प्राप्त करने होंगे।
मान लीजिए $X_i$ $i$-वें मैच में प्राप्त अंक हैं,जहाँ $P(X_i=0)=0.45, P(X_i=1)=0.05, P(X_i=2)=0.50$ है।
$8$ अंक प्राप्त करने के लिए,भारत को सभी $4$ मैचों में $2$ अंक प्राप्त करने होंगे:
$P(8) = (0.50)^4 = 0.0625$।
$7$ अंक प्राप्त करने के लिए,भारत को $3$ मैचों में $2$ अंक और $1$ मैच में $1$ अंक प्राप्त करना होगा:
$P(7) = \binom{4}{1} \times (0.50)^3 \times (0.05)^1 = 4 \times 0.125 \times 0.05 = 0.0250$।
कम से कम $7$ अंक प्राप्त करने की प्रायिकता $P(7) + P(8) = 0.0250 + 0.0625 = 0.0875$ है।