IIT JEE 1992 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना लंबाई का आयाम $L = G^x c^y h^z$ है।
आयाम इस प्रकार हैं:
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$c = [L T^{-1}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^0 L^1 T^0] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [L T^{-1}]^y [M L^2 T^{-1}]^z$
$[M^0 L^1 T^0] = M^{-x+z} L^{3x+y+2z} T^{-2x-y-z}$
दोनों पक्षों के घातों की तुलना करने पर:
$1$) $-x + z = 0 \implies x = z$
$2$) $3x + y + 2z = 1$
$3$) $-2x - y - z = 0 \implies y = -2x - z$
$x=z$ को $(3)$ में रखने पर: $y = -2x - x = -3x$.
$x=z$ और $y=-3x$ को $(2)$ में रखने पर:
$3x + (-3x) + 2x = 1$
$2x = 1 \implies x = 1/2$.
चूँकि $x=z$,इसलिए $z = 1/2$.
चूँकि $y = -3x$,इसलिए $y = -3/2$.
अतः,$x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$. विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) ब्लॉक $A$ एक द्रव्यमान $M$ के रूप में कार्य करता है और ब्लॉक $B$ स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली एक स्प्रिंग के रूप में कार्य करता है।
$L$ भुजा और दृढ़ता मापांक $\eta$ वाले ब्लॉक के लिए,अपरूपण बल (shear force) $F$ विस्थापन $x$ से $F = \eta A \frac{x}{L}$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $A = L^2$ क्षेत्रफल है।
अतः,$F = \eta L^2 \frac{x}{L} = (\eta L)x$।
इसे हुक के नियम $F = kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें स्प्रिंग नियतांक $k = \eta L$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
$k = \eta L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{\eta L}}$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. क्यूरी रेडियोधर्मिता की एक इकाई है,जिसे प्रति सेकंड विघटन की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका आयाम $[T^{-1}]$ है,जो $(G)$ के अनुरूप है।
$2$. प्रकाश वर्ष दूरी की एक इकाई है। इसका आयाम $[L]$ है,जो $(H)$ के अनुरूप है।
$3$. परावैद्युत सामर्थ्य वह अधिकतम विद्युत क्षेत्र है जिसे एक पदार्थ सहन कर सकता है। विद्युत क्षेत्र $E = F/q$। आयाम: $[MLT^{-2}] / [IT] = [MLT^{-3}I^{-1}]$,जो $(I)$ के अनुरूप है।
$4$. परमाणु भार द्रव्यमानों का एक विमाहीन अनुपात है। इसका आयाम $[M^0L^0T^0]$ है,लेकिन चूंकि यह द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है,इसलिए इसे विशिष्ट संदर्भों में $[M]$ के साथ जोड़ा जाता है,जो $(B)$ के अनुरूप है।
$5$. डेसिबल एक लघुगणकीय इकाई है जिसका उपयोग भौतिक मात्रा,जैसे शक्ति या तीव्रता के दो मानों के अनुपात को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। यह विमाहीन है,जो $(C)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(i)-G, (ii)-H, (iii)-I, (iv)-B, (v)-C$ है।

(A) माना कुल दूरी $x$ है। पहली आधी दूरी $x/2$,$v_1 = 3 \, m/s$ की चाल से तय की जाती है। लगा समय $t_1 = \frac{x/2}{3} = \frac{x}{6}$ है।
दूसरी आधी दूरी $x/2$ को दो समान समयांतरालों में तय किया जाता है,मान लीजिए प्रत्येक अंतराल $t_2$ है। चालें $v_2 = 4.5 \, m/s$ और $v_3 = 7.5 \, m/s$ हैं।
दूसरी आधी दूरी में तय की गई दूरी $(v_2 \cdot t_2) + (v_3 \cdot t_2) = x/2$ है।
$(4.5 + 7.5) t_2 = x/2 \Rightarrow 12 t_2 = x/2 \Rightarrow t_2 = x/24$.
दूसरी आधी दूरी के लिए कुल समय $2 t_2 = 2(x/24) = x/12$ है।
कुल समय $T = t_1 + 2 t_2 = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} = \frac{2x + x}{12} = \frac{3x}{12} = \frac{x}{4}$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{x}{x/4} = 4 \, m/s$।

(A) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के द्रव के एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव का द्रव्यमान $dM = (M/L)dx$ है।
इस अवयव को $x$ त्रिज्या के वृत्त में घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dM)\omega^2 x$ है।
$dM$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dF = (M/L)dx \cdot \omega^2 x = (M\omega^2/L)x dx$ प्राप्त होता है।
बाहरी सिरे पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल $F$,$x = 0$ से $x = L$ तक इन अभिकेंद्र बलों का समाकलन है:
$F = \int_0^L \frac{M\omega^2}{L} x dx = \frac{M\omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M\omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{1}{2}ML\omega^2$.

(C) जब कार एक वृत्ताकार पथ पर चलती है,तो प्लंब बॉब कार के फ्रेम में एक छद्म बल (अपकेंद्री बल) का अनुभव करता है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है,जिसे $F_c = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बॉब पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ है,जो ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है। संतुलन की स्थिति में,कार के फ्रेम में बॉब पर शुद्ध बल शून्य होता है।
क्षैतिज बल और ऊर्ध्वाधर बल का अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{F_c}{mg} = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.
यहाँ $v = 10 \, m/s$,$r = 10 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$\tan \theta = \frac{10^2}{10 \times 10} = \frac{100}{100} = 1$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^\circ$.

(C) तार में किसी भी बिंदु पर प्रतिबल को उस बिंदु पर अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाले बल और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $S$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
निचले सिरे से $3L/4$ ऊंचाई पर,अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाला कुल बल नीचे लटकाए गए भार $W_1$ और उस बिंदु के नीचे तार के हिस्से के भार का योग है।
चूंकि तार एक समान है,इसलिए तार के एक हिस्से का भार उसकी लंबाई के समानुपाती होता है।
निचले सिरे से $3L/4$ ऊंचाई पर स्थित बिंदु के नीचे तार की लंबाई $3L/4$ है।
इसलिए,तार के इस हिस्से का भार $(3/4)W$ होगा।
इस अनुप्रस्थ काट पर कुल बल $F = W_1 + (3W/4)$ है।
अतः,प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{S} = \frac{W_1 + (3W/4)}{S}$ होगा।

(B) किसी पदार्थ के प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
हम जानते हैं कि यंग मापांक $(Y)$,प्रतिबल $(S)$ और विकृति $(\epsilon)$ का अनुपात होता है:
$Y = \frac{S}{\epsilon} \implies \epsilon = \frac{S}{Y}$
विकृति के इस व्यंजक को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) थर्मोस्टेट एक उपकरण है जिसका उपयोग रेफ्रिजरेटर और आयरन जैसे विद्युत उपकरणों में स्वचालित तापमान नियंत्रण के लिए किया जाता है।
इसमें दो अलग-अलग धातुओं से बनी एक द्वि-धात्विक (bimetallic) पट्टी होती है।
जब तापमान बदलता है, तो दोनों धातुएँ अलग-अलग मात्रा में फैलती हैं क्योंकि उनका रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अलग-अलग होता है।
प्रसार में इस अंतर के कारण पट्टी मुड़ जाती है, जो उपकरण को चालू या बंद करने के लिए स्विचिंग तंत्र को सक्रिय करती है।
इसलिए, दो धातु की पट्टियों का रेखीय प्रसार गुणांक अनिवार्य रूप से भिन्न होना चाहिए।

(B) पदार्थ को पिघली हुई अवस्था में बनाए रखने के लिए दी गई पावर $P$ का उपयोग परिवेश में खोई हुई ऊष्मा की भरपाई करने के लिए किया जाता है।
जब पावर बंद कर दी जाती है,तो पदार्थ $t$ समय में अपनी संलयन की गुप्त ऊष्मा $L$ को मुक्त करके जम जाता है।
जमने के दौरान मुक्त हुई कुल ऊष्मा $Q = mL$ है।
ऊष्मा हानि की दर $\frac{Q}{t} = \frac{mL}{t}$ है।
चूंकि पिघली हुई अवस्था को बनाए रखने के लिए $P$ पावर की आवश्यकता थी,इसलिए यह ऊष्मा हानि की दर के बराबर होनी चाहिए: $P = \frac{mL}{t}$।
$L$ के लिए हल करने पर,हमें $L = \frac{Pt}{m}$ प्राप्त होता है।

(B) गैस अणुओं की औसत गति का सूत्र $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
चूंकि सभी पात्रों के लिए तापमान $T$ समान है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर है,इसलिए $O_2$ अणुओं की औसत गति केवल तापमान और गैस के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है।
पात्र $C$ में,$O_2$ और $N_2$ अणु एक आदर्श गैस मिश्रण के रूप में स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते हैं।
इसलिए,पात्र $C$ में $O_2$ अणुओं की औसत गति पात्र $A$ के समान ही रहती है,जो कि $V_1$ है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $y = 4\cos^2(t/2)\sin(1000t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = 2(2\cos^2(t/2))\sin(1000t) = 2(1 + \cos(t))\sin(1000t)$.
इसका विस्तार करने पर:
$y = 2\sin(1000t) + 2\cos(t)\sin(1000t)$.
गुणनफल से योग की सर्वसमिका $2\sin(A)\cos(B) = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 1000t$ और $B = t$ है:
$y = 2\sin(1000t) + \sin(1000t + t) + \sin(1000t - t)$.
$y = 2\sin(1000t) + \sin(1001t) + \sin(999t)$.
यह व्यंजक $3$ स्वतंत्र सरल आवर्त गतियों ($S$.$H$.$M$.) का योग है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) समान आवृत्ति और आयाम के साथ विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) उत्पन्न होती है।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = A\sin[k(x - ct)] + A\sin[k(x + ct)]$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(C) + \sin(D) = 2\sin(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 2A\sin(kx)\cos(kct)$.
निस्पंद (nodes) वहां होते हैं जहां विस्थापन हर समय $t$ के लिए शून्य होता है,जो तब होता है जब $\sin(kx) = 0$ हो।
इसका अर्थ है $kx = n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
निस्पंदों की स्थितियाँ $x = \frac{n\pi}{k}$ हैं।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी क्रमिक स्थितियों के बीच का अंतर है:
$\Delta x = \frac{(n+1)\pi}{k} - \frac{n\pi}{k} = \frac{\pi}{k}$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2} = \frac{\pi}{k}$ होती है।

(D) लंबवत अक्षों के प्रमेय के अनुसार,किसी समतलीय पिंड का उसके तल के लंबवत और बिंदु $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z$,पिंड के तल में स्थित और $O$ से गुजरने वाली दो परस्पर लंबवत अक्षों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
दिए गए चित्र में,अक्ष $1$ और $2$ वर्ग के विकर्ण हैं,जो परस्पर लंबवत हैं। अतः,$I_0 = I_1 + I_2$.
अक्ष $3$ और $4$ केंद्र $O$ से गुजरने वाली और वर्ग की भुजाओं के समानांतर रेखाएं हैं। ये भी परस्पर लंबवत हैं। अतः,$I_0 = I_3 + I_4$.
इसके अलावा,वर्ग की समरूपता के कारण,केंद्र से गुजरने वाली और प्लेट के तल में स्थित किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है यदि अक्ष का कोण भुजाओं के सापेक्ष समान हो। विशेष रूप से,एक वर्गाकार प्लेट के लिए,$I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
इसलिए,$I_0 = I_1 + I_2 = I_3 + I_4 = I_1 + I_3$ (चूंकि $I_1 = I_3$ है)।
अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(A) विद्युत विभव $V(x, y, z) = 4x^2 \text{ volt}$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right)$ है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
$\vec{E}$ के समीकरण में मान रखने पर:
$\vec{E} = -(8x \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -8x \hat{i} \text{ V/m}$.
बिंदु $(1 \text{ m}, 0, 2 \text{ m})$ पर,$x$-निर्देशांक $1 \text{ m}$ है।
अतः,$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \text{ V/m}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $8 \text{ V/m}$ के परिमाण के साथ ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है।

(A) क्रिस्टलों का संरचनात्मक विश्लेषण विवर्तन की घटना पर निर्भर करता है। विवर्तन होने के लिए, आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य क्रिस्टल जालक में प्रकीर्णन केंद्रों (परमाणुओं) के बीच की दूरी के तुलनीय होनी चाहिए। क्रिस्टलों में अंतर-परमाणु दूरी आमतौर पर $0.1 \, nm$ से $0.5 \, nm$ ($1 \, \text{AA}$ से $5 \, \text{AA}$) की सीमा में होती है। $X-$ किरणों की तरंगदैर्ध्य इसी सीमा में होती है, जो उन्हें $X-$ रे विवर्तन $(XRD)$ के माध्यम से क्रिस्टलों की परमाणु संरचना की जांच करने के लिए आदर्श बनाती है। इसलिए, विकल्प $A$ सही है।

(B) कट-ऑफ वोल्टेज (स्टॉपिंग पोटेंशियल) केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,उसकी तीव्रता पर नहीं। इसलिए,यह $0.6 \ V$ ही रहेगा।
बिंदु स्रोत से प्रकाश की तीव्रता व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{1}{d^2}$।
जब दूरी $0.2 \ m$ से बढ़कर $0.6 \ m$ हो जाती है,तो दूरी $3$ गुना हो जाती है $(d' = 3d)$।
अतः,तीव्रता $I' = \frac{I}{3^2} = \frac{I}{9}$ हो जाती है।
चूंकि संतृप्त धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए नई संतृप्त धारा $I'_{sat} = \frac{18 \ mA}{9} = 2 \ mA$ होगी।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,स्टॉपिंग पोटेंशियल के संबंध में विकल्प $(b)$ सही है।

(A) एक सामान्य परमाणु संलयन अभिक्रिया में,जैसे कि दो ड्यूटेरियम नाभिकों का संलयन $(^2H + ^2H \rightarrow ^3He + n + 3.27 \ MeV)$ या ड्यूटेरियम और ट्रिटियम का संलयन $(^2H + ^3H \rightarrow ^4He + n + 17.6 \ MeV)$,प्रति अभिक्रिया मुक्त ऊर्जा विखंडन (fission) की तुलना में अपेक्षाकृत कम होती है।
हालाँकि,जब प्रति इकाई द्रव्यमान मुक्त ऊर्जा पर विचार किया जाता है,तो संलयन अधिक कुशल होता है।
हल्के नाभिकों से जुड़ी एक सामान्य संलयन अभिक्रिया के लिए,मुक्त ऊर्जा कुछ $MeV$ से लगभग $25 \ MeV$ की सीमा में होती है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से,$25 \ MeV$ एक सामान्य संलयन अभिक्रिया के लिए सबसे उपयुक्त मान है।

(C) जब शुद्ध सिलिकॉन ($+4$ संयोजकता) में दाता अशुद्धि ($+5$ संयोजकता) मिलाई जाती है,तो दाता परमाणु क्रिस्टल जालक में सिलिकॉन परमाणु का स्थान ले लेता है।
चूंकि दाता परमाणु के पास एक अतिरिक्त संयोजी इलेक्ट्रॉन होता है,यह साइट पर $+1e$ का शुद्ध धनात्मक आवेश बनाता है।
चार संयोजी इलेक्ट्रॉन पड़ोसी सिलिकॉन परमाणुओं के साथ सहसंयोजक बंध बनाते हैं।
पांचवां इलेक्ट्रॉन दाता साइट से शिथिल रूप से बंधा होता है और इसे $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में $+1e$ आवेश के चारों ओर घूमने वाले इलेक्ट्रॉन के रूप में मॉडल किया जा सकता है।
ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6 \times m^* / m_e}{\varepsilon_r^2 n^2} \text{ eV}$ द्वारा दिए जाते हैं।
सिलिकॉन के लिए,सापेक्ष परावैद्युतांक $\varepsilon_r \approx 12$ है।
$n=1$ रखने पर और क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन के प्रभावी द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए,आयनन ऊर्जा लगभग $E \approx -\frac{13.6}{12^2} \approx -0.094 \text{ eV}$ प्राप्त होती है,जो लगभग $0.1 \text{ eV}$ है।

(D) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,ऑब्जेक्टिव और आई-पीस के बीच की दूरी $L = f_o + f_e$ होती है। दिया गया है $f_o = 16 \, m$ और $f_e = 2 \, cm = 0.02 \, m$,इसलिए $L = 16 + 0.02 = 16.02 \, m$। कथन $A$ सही है।
कोणीय आवर्धन $m$ का मान $m = -f_o / f_e = -16 / 0.02 = -800$ होता है। आवर्धन का परिमाण $800$ है। कथन $B$ सही है।
आवर्धन में ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि खगोलीय दूरदर्शी द्वारा बनाया गया अंतिम प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष उल्टा होता है। कथन $C$ सही है।
चूंकि कथन $A, B,$ और $C$ सभी सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।