IIT JEE 1992 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $x - 1 = y$,તેથી $x = y + 1$.
તેથી,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = -\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(1 - y)}$.
$(1 + 2y + y^2)$ ને $(y - 1)$ વડે ભાગતા $(y^2 + 2y + 1) = (y - 1)(y + 3) + 4$ મળે છે.
આમ,$\frac{y^2 + 2y + 1}{y^3(y - 1)} = \frac{(y - 1)(y + 3) + 4}{y^3(y - 1)} = \frac{y + 3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
$\frac{4}{y^3(y - 1)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{-1}{(x - 1)^3} + \frac{-3}{(x - 1)^2} + \frac{-4}{(x - 1)} + \frac{4}{(x - 2)}$ મળે છે.

(D) આપણી પાસે $H.M. = \frac{2ab}{a + b}$ અને $G.M. = \sqrt{ab}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{H.M.}{G.M.} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{2ab/(a + b)}{\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{ab}}{a + b} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$ $\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \frac{9}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{3}{1}$.
ફરીથી યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{3 + 1}{3 - 1}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{4}{2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{a}{b} = 2^2 = 4$.
આમ,$a:b = 4:1$ અથવા $b:a = 1:4$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $(x - a)(x - b) - c = 0$ ના બીજ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (a + b)x + ab - c = 0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha + \beta = a + b$ અને $\alpha\beta = ab - c$.
હવે,સમીકરણ $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta + c = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં $(\alpha + \beta)$ અને $\alpha\beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - (a + b)x + (ab - c) + c = 0$
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
$(x - a)(x - b) = 0$.
આમ,સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ છે.

(C) આ પ્રશ્ન 'derangements' (વ્યવસ્થિત ગોઠવણી ન હોવી) નો છે,જ્યાં $n = 4$ વસ્તુઓને $n$ બોક્સમાં એવી રીતે મૂકવાની છે કે કોઈ પણ વસ્તુ તેના સાચા બોક્સમાં ન જાય.
'derangements' $D_n$ શોધવાનું સૂત્ર:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
આમ,કુલ $9$ રીતો છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$.
આપણે તેને $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{5\pi}{12} \right)$ મળે છે.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $\theta = \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે મળે છે.
$x + \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$ લેતા,આપણને $x = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - 5\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{12}$ એ અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં આવેલું છે,તેથી મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\pi}{12}$ પર મળે છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{\tan x}{\tan 3x}$.
$\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{\tan x}{\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}} = \frac{1 - 3\tan^2 x}{3 - \tan^2 x}$.
ધારો કે $t = \tan^2 x$,જ્યાં $t \ge 0$. તેથી $y = \frac{1 - 3t}{3 - t}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $y(3 - t) = 1 - 3t \implies 3y - yt = 1 - 3t \implies t(3 - y) = 1 - 3y \implies t = \frac{1 - 3y}{3 - y}$.
$t = \tan^2 x \ge 0$ હોવાથી,$\frac{1 - 3y}{3 - y} \ge 0$.
આ અસમતા $y \in [1/3, 3)$ માટે સાચી છે.
તેથી,$y$ ની કિંમત ક્યારેય $(1/3, 3)$ અંતરાલની વચ્ચે હોતી નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \sin^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
$-\sin^2 \theta + \sin \theta + 2 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$\sin^2 \theta - \sin \theta - 2 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(\sin \theta - 2)(\sin \theta + 1) = 0$
તેથી $\sin \theta = 2$ અથવા $\sin \theta = -1$.
$\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin \theta = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin \theta = -1$.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ છે.
$n=1$ માટે,$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
અહીં $\frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4}$ હોવાથી,ઉકેલ $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$ અંતરાલમાં છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે,$A.M. \ge G.M.$ અસમતા મુજબ,$\frac{5^x + 5^{-x}}{2} \ge \sqrt{5^x \cdot 5^{-x}} = 1$ થાય.
આથી $5^x + 5^{-x} \ge 2$ મળે.
વળી,કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos(e^x) \le 1$ થાય.
આથી $2 \cos(e^x) \le 2$ મળે.
સમીકરણ $2 \cos(e^x) = 5^x + 5^{-x}$ સંતોષાય તે માટે બંને બાજુ $2$ હોવી જોઈએ.
આ માટે $5^x + 5^{-x} = 2$ હોવું જરૂરી છે,જે ફક્ત $x = 0$ માટે શક્ય છે.
$x = 0$ મૂકતા,ડાબી બાજુ $2 \cos(e^0) = 2 \cos(1)$ મળે.
$\cos(1) \approx 0.54$ હોવાથી,$2 \cos(1) \approx 1.08 \neq 2$ થાય.
તેથી,આપેલ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $a + b + c$ છે. તેના ખૂણાઓના સાઈનનો સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ છે: $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,અને $c = k \sin C$,જ્યાં $k = 2R$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $k(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ત્રિકોણ માટે $\sin A + \sin B + \sin C \neq 0$ હોવાથી,$k = 2$.
$a = 1$ આપેલ હોવાથી,$a = k \sin A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = 2 \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A = \frac{\pi}{6}$.

(D) ધારો કે $R$ એ $\Delta PQR$ ના પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા છે. આપેલ છે કે $R = PQ = PR$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$R = \frac{PQ}{2 \sin R} = \frac{PR}{2 \sin Q} = \frac{QR}{2 \sin P}$.
$R = PQ$ હોવાથી,$PQ = \frac{PQ}{2 \sin R}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin R = \frac{1}{2}$.
આમ,$\angle R = \frac{\pi}{6}$.
$PQ = PR$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે,તેથી $\angle Q = \angle R = \frac{\pi}{6}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi$ થાય છે. તેથી,$\angle P = \pi - (\angle Q + \angle R) = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(D) આપેલ રેખા $3x + y = 3$ છે,જેને $y = -3x + 3$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -1/m_1 = -1/(-3) = 1/3$ થાય.
$(2, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $1/3$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ મળે.
$3$ વડે ગુણતા,$3y - 6 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - 3y + 4 = 0$ થાય.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $0 - 3y + 4 = 0$,તેથી $3y = 4$ અથવા $y = 4/3$.
આમ,$y$-અંતઃખંડ $4/3$ છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ છે. બિંદુ $P(x, y)$ લો.
બિંદુ $P$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
જો બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોય,તો $x > 0$ અને $y > 0$,તેથી $x + y = 1$.
જો બિંદુ બીજા ચરણમાં હોય,તો $x < 0$ અને $y > 0$,તેથી $-x + y = 1$.
જો બિંદુ ત્રીજા ચરણમાં હોય,તો $x < 0$ અને $y < 0$,તેથી $-x - y = 1$.
જો બિંદુ ચોથા ચરણમાં હોય,તો $x > 0$ અને $y < 0$,તેથી $x - y = 1$.
આ ચાર સમીકરણો $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચોરસની બાજુઓ દર્શાવે છે.
આમ,બિંદુપથ એક ચોરસ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ ને જોડતી જીવાના લંબદ્વિભાજક પર હશે. મધ્યબિંદુ $(1/2, 0)$ છે અને રેખા $x = 1/2$ છે. તેથી,$h = 1/2$.
વર્તુળ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ એ $(1/2, k)$ થી $(0, 0)$ નું અંતર છે,એટલે કે $r^2 = (1/2)^2 + k^2 = 1/4 + k^2$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 3$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1/2)^2 + k^2} = r$ છે.
વર્તુળો સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $|R \pm r|$ હોવું જોઈએ. અહીં,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે,તેથી $r = |3 \pm r|$.
કિસ્સો $1$: $r = 3 - r$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 3/2$.
તેથી $r^2 = 9/4$,એટલે કે $1/4 + k^2 = 9/4$ $\Rightarrow k^2 = 2$ $\Rightarrow k = \pm \sqrt{2}$.
આમ,કેન્દ્ર $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ છે.

(B) ધારો કે $\tan^{-1} 2x = \theta$.
તેથી $2x = \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{2} \tan \theta$.
જેમ $x \to 0$,તેમ $\theta \to 0$.
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} 2x} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \tan \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$,તેથી પરિણામ $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) $L$'$H$ôpital ના નિયમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $n$ વખત વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^n}}}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n \cdot x^{n-1}}}{{{e^x}}} = \dots = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n!}}{{{e^x}}}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } e^x = \infty$,તેથી $\frac{n!}{\infty} = 0$.
આ કોઈપણ પૂર્ણ સંખ્યા $n \ge 0$ માટે સાચું છે.

(C) ધારો કે $y = 3^{40}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા,$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$.
$\log(a^b) = b \log a$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$.
આપેલ છે કે $\log_{10} 3 = 0.477$,તેથી $\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$.
$3^{40}$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\lfloor 19.08 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20$.
તેથી,અંકોની સંખ્યા $20$ છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta}$.
આપણે $|z|^2 = z \cdot \overline{z} = \left( \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right) \left( \frac{\overline{\beta} - \overline{\alpha}}{1 - \alpha\overline{\beta}} \right)$ ગણીએ.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(\beta - \alpha)(\overline{\beta} - \overline{\alpha}) = |\beta|^2 - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} + |\alpha|^2$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(1 - \overline{\alpha}\beta)(1 - \alpha\overline{\beta}) = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2|\beta|^2$.
$|\beta| = 1$ હોવાથી,$|\beta|^2 = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,અંશ અને છેદ સમાન મળે છે,તેથી $|z|^2 = 1$,એટલે કે $|z| = 1$.

(A) ધારો કે $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200}$.
આ $100$ પદો ધરાવતી $G$.$P$. છે જેનું પ્રથમ પદ $ar$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$\alpha = ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
આપેલ છે કે $\beta = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = a_1 + a_3 + \dots + a_{199}$.
આ $100$ પદો ધરાવતી $G$.$P$. છે જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$\beta = a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
$\alpha$ ને $\beta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})}{a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})} = r$.
આમ,સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta}$ છે.

(C) ધારો કે $y = 3^{40}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$
$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$
આપેલ છે કે $\log_{10} 3 = 0.477$,તેથી:
$\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$
$y$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
અંકોની સંખ્યા $= 19 + 1 = 20$.

(C) આપેલ છે $A = \log_2 \log_2 \log_4 256 + 2 \log_{\sqrt{2}} 2$.
પ્રથમ,$\log_4 256$ ની કિંમત શોધો:
$256 = 4^4$ હોવાથી,$\log_4 256 = 4$.
ત્યારબાદ,$\log_2 \log_2 4$ ની કિંમત શોધો:
$\log_2 4 = 2$ હોવાથી,$\log_2 2 = 1$.
હવે,$2 \log_{\sqrt{2}} 2$ ની કિંમત શોધો:
$\sqrt{2} = 2^{1/2}$ હોવાથી,$\log_{2^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2 \times 1 = 2$.
તેથી,$2 \log_{\sqrt{2}} 2 = 2 \times 2 = 4$.
અંતે,$A = 1 + 4 = 5$.

(C) ધારો કે $(x - 1) = y$,તેથી $x = y + 1$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)}$.
$(y^2 + 2y + 1)$ ને $(y - 1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} = (y + 3) + \frac{4}{y - 1}$.
આમ,$\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1}{y^3} \left( \frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^3} \left( y + 3 + \frac{4}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^2} + \frac{3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત મુજબ,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3} + \frac{D}{x - 2}$.
સહગુણકો શોધતા $A = -4, B = -3, C = -1, D = 4$ મળે છે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{-4}{x - 1} - \frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{4}{x - 2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x)f(y)$ તમામ $x, y \in N$ માટે.
$x = 1$ માટે,$f(2) = f(1+1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = f(2+1) = f(2)f(1) = 3^2 \times 3 = 3^3 = 27$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$f(x) = 3^x$.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{x=1}^n f(x) = 120$.
$f(x) = 3^x$ મૂકતા,આપણને $\sum_{x=1}^n 3^x = 120$ મળે છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને $n$ પદો છે.
સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$ થાય.
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$.
$3(3^n - 1) = 240$.
$3^n - 1 = 80$.
$3^n = 81$.
કારણ કે $81 = 3^4$,તેથી $n = 4$ મળે છે.

(A) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટેનું નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $x \in [-1, 1]$.
આપેલ છે કે $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{5}$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{\pi}{5} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}$.
$2$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $10$ લેતા,આપણને મળે છે: $\cos^{-1} x = \frac{5\pi - 2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$.

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v} = ai + bj + ck$ છે.
$\vec{v}$ એ $\vec{u_1} = i + j + 2k$ અને $\vec{u_2} = i + 2j + k$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{u_1}$ અને $\vec{u_2}$ નું રેખીય સંયોજન હશે.
તેથી,$\vec{v} = p(i + j + 2k) + r(i + 2j + k) = (p+r)i + (p+2r)j + (2p+r)k$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$a = p+r$,$b = p+2r$,અને $c = 2p+r$ મળે છે.
$\vec{v}$ એ $\vec{w} = i + j + k$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(ai + bj + ck) \cdot (i + j + k) = a + b + c = 0$.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(p+r) + (p+2r) + (2p+r) = 4p + 4r = 0$,જેનો અર્થ છે કે $p = -r$.
$p = -r$ ને $a, b, c$ માં મૂકતા:
$a = -r + r = 0$,
$b = -r + 2r = r$,
$c = 2(-r) + r = -r$.
આમ,$\vec{v} = r(j - k)$.
$\vec{v}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{v}| = 1$:
$\sqrt{0^2 + r^2 + (-r)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{2r^2} = 1 \Rightarrow |r|\sqrt{2} = 1 \Rightarrow r = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(j - k)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1 + \cos 2x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-\sin 2x \cdot 2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ અને $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x \sqrt{\cos 2x}} = \frac{\tan x}{\sqrt{\cos 2x}}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\cos 2(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$.

(D) ધારો કે આપેલ સંકલન $I = \int_{-2}^{2} (px^2 + qx + s) \, dx$ છે.
આપણે તેને ત્રણ સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$I = p \int_{-2}^{2} x^2 \, dx + q \int_{-2}^{2} x \, dx + s \int_{-2}^{2} 1 \, dx$.
કારણ કે $f(x) = x$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $\int_{-2}^{2} x \, dx = 0$ થાય.
કારણ કે $f(x) = x^2$ અને $f(x) = 1$ એ યુગ્મ વિધેયો છે,આપણે ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = 2p \int_{0}^{2} x^2 \, dx + 0 + 2s \int_{0}^{2} 1 \, dx$.
$I = 2p \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} + 2s [x]_{0}^{2}$.
$I = 2p \left( \frac{8}{3} \right) + 2s(2) = \frac{16p}{3} + 4s$.
આમ,$I$ નું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધવા માટે $p$ અને $s$ ના મૂલ્યો જાણવા જરૂરી છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 px + \sin^2 qx - 2 \sin qx \cos px) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા જો $f(x)$ યુગ્મ હોય અને $0$ જો $f(x)$ અયુગ્મ હોય:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 px dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 qx dx - 2 \int_{-\pi}^{\pi} \sin qx \cos px dx$.
કારણ કે $\sin qx \cos px$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $[-\pi, \pi]$ પર તેનું સંકલન $0$ થાય છે.
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2px}{2} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2qx}{2} dx$.
$I = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2px}{2p}]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2qx}{2q}]_{-\pi}^{\pi}$.
$I = \frac{1}{2} [(\pi - (-\pi)) + 0] + \frac{1}{2} [(\pi - (-\pi)) - 0] = \frac{1}{2} (2\pi) + \frac{1}{2} (2\pi) = \pi + \pi = 2\pi$.

(B) ભારત કુલ $4$ મેચ રમે છે. કોઈપણ એક મેચમાં મહત્તમ પોઈન્ટ $2$ છે.
તેથી,$4$ મેચમાં મહત્તમ કુલ પોઈન્ટ $8$ છે.
ઓછામાં ઓછા $7$ પોઈન્ટ મેળવવા માટે,ભારતે કાં તો $7$ પોઈન્ટ અથવા $8$ પોઈન્ટ મેળવવા પડે.
ધારો કે $X_i$ એ $i$-મી મેચમાં મળતા પોઈન્ટ છે,જ્યાં $P(X_i=0)=0.45, P(X_i=1)=0.05, P(X_i=2)=0.50$.
$8$ પોઈન્ટ મેળવવા માટે,ભારતે બધી $4$ મેચમાં $2$ પોઈન્ટ મેળવવા પડે:
$P(8) = (0.50)^4 = 0.0625$.
$7$ પોઈન્ટ મેળવવા માટે,ભારતે $3$ મેચમાં $2$ પોઈન્ટ અને $1$ મેચમાં $1$ પોઈન્ટ મેળવવો પડે:
$P(7) = \binom{4}{1} \times (0.50)^3 \times (0.05)^1 = 4 \times 0.125 \times 0.05 = 0.0250$.
ઓછામાં ઓછા $7$ પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના $P(7) + P(8) = 0.0250 + 0.0625 = 0.0875$ છે.