मान लीजिए कि f: R to R को f(x) = x^3 के रूप म | vedclass

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Question

(D) यह जाँचने के लिए कि फलन एकैकी (one-one) है या नहीं: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तब $x_1^3 = x_2^3$,जिसका अर्थ है $x_1 = x_2$। इसलिए,फलन एकैकी है।

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एकैकी और आच्छादक

Vedclass · Answer

(D) यह जाँचने के लिए कि फलन एकैकी (one-one) है या नहीं: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तब $x_1^3 = x_2^3$,जिसका अर्थ है $x_1 = x_2$। इसलिए,फलन एकैकी है।यह जाँचने के लिए कि फलन आच्छादक (onto) है या नहीं: किसी भी $y \in R$ के लिए,हम $x = \sqrt[3]{y}$ पा सकते हैं ताकि $f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ हो। चूँकि सह-प्रांत $R$ के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत $R$ में एक $x$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।चूँकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह एक बाइजेक्टिव (bijective) फलन है।

$A$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$,$f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित,जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

मान लीजिए कि $f: R \to R$ को $f(x) = x^3$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो $f$ . . . . . . है।

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