AP EAMCET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) દ્રઢતા અંક $\eta$ એ સ્પર્શક પ્રતિબળ અને શિયર વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\eta = \frac{F/A}{\Delta x/L}$,જ્યાં $F$ એ સ્પર્શક બળ છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta x$ એ પાર્શ્વ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ સમઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $L = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$A = L^2 = (0.05 \ m)^2 = 25 \times 10^{-4} \ m^2$,$F = 1800 \ N$,અને $\eta = 2.4 \times 10^6 \ N \ m^{-2}$.
પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $\Delta x$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta x = \frac{F \cdot L}{A \cdot \eta}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{1800 \times 0.05}{25 \times 10^{-4} \times 2.4 \times 10^6}$.
$\Delta x = \frac{90}{6000} = 0.015 \ m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $\Delta x = 0.015 \times 1000 \ mm = 15 \ mm$.

(A) આલેખ એ $(2, 0)$ કેન્દ્ર અને $2 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. તેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(s-2)^2 + v^2 = 2^2$
$(s-2)^2 + v^2 = 4$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2(s-2) \frac{ds}{dt} + 2v \frac{dv}{dt} = 0$
કારણ કે $\frac{ds}{dt} = v$ અને $\frac{dv}{dt} = a$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(s-2)v + 2v \cdot a = 0$
$2v$ વડે ભાગતા (ધારો કે $v \neq 0$):
$(s-2) + a = 0$
$a = -(s-2) = 2-s$
બિંદુ $(s, v) = (2-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ પર:
$a = 2 - (2-\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ ms^{-2}$

(C) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u}{g}$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ઉપરની ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં થયેલું સ્થાનાંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી નીચેની ગતિની પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,નીચેની ગતિની પ્રથમ સેકન્ડ માટે ($u = 0$,$a = g$,$t = 1$ સેકન્ડ):
$s = 0(1) + \frac{1}{2}g(1)^2 = \frac{g}{2}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે પ્રવેગ અચળ $(g)$ રહે છે અને સમગ્ર ગતિ દરમિયાન નીચેની તરફ હોય છે; તે ઘટતો નથી.

(C) આપેલ સ્થાનનું વિધેય: $x = (2t - 3)^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $x = 4t^2 - 12t + 9$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 - 12t + 9) = 8t - 12$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષે વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 12) = 8 \,m/s^2$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 2 \,s$ સમયે પણ પ્રવેગ $8 \,m/s^2$ જ રહેશે।

(D) વિધાન ખોટું છે. એક-પરિમાણીય ગતિમાં,વેગ અને પ્રવેગ સદિશો એક જ રેખા પર હોવા જોઈએ.
જોકે,તેઓ સમાન દિશામાં (જ્યારે પદાર્થની ઝડપ વધતી હોય,ખૂણો = $0^{\circ}$) અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં (જ્યારે પદાર્થની ઝડપ ઘટતી હોય અથવા પ્રતિપ્રવેગ થતો હોય,ખૂણો = $180^{\circ}$) હોઈ શકે છે.
તેથી,ખૂણો હંમેશા શૂન્ય હોતો નથી.
કારણ સાચું છે,કારણ કે એક-પરિમાણીય ગતિને ખરેખર સીધી રેખામાં થતી ગતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આમ,$(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે ટાવરની ટોચ પરથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ, અંતિમ વેગ $0$ થાય છે. સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = u - gt_1$, જે આપણને $t_1 = \frac{u}{g}$ આપે છે.
ધારો કે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t_2$ છે. પ્રશ્ન મુજબ, $t_2 = n t_1 = \frac{nu}{g}$ છે.
સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $s = -H$ (નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર), $u$ એ પ્રારંભિક ઉપરની તરફનો વેગ છે, $a = -g$, અને $t = t_2$:
$-H = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2$
$t_2 = \frac{nu}{g}$ મૂકતા:
$-H = u \left( \frac{nu}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{nu}{g} \right)^2$
$-H = \frac{nu^2}{g} - \frac{n^2 u^2}{2g}$
$-H = \frac{2nu^2 - n^2u^2}{2g} = -\frac{nu^2(n-2)}{2g}$
તેથી, $H = \frac{nu^2(n-2)}{2g}$.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ સમક્ષિતિજ સાથે $\frac{\theta}{2}$ ખૂણે $v$ છે.
ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી:
$v \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = u \cos \theta$
$v = \frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
વક્ર ગતિપથ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ વેગ સદિશને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે $mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$ છે.
કેન્દ્રગામી બળના સૂત્ર $\frac{mv^2}{r} = F_c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{mv^2}{r} = mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$
$r = \frac{v^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\left(\frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g \cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta \sec^3 \left(\frac{\theta}{2}\right)}{g}$

(C) સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થ માટે:
મહત્તમ ઊંચાઈ,$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
અવધિ,$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવધિનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{4}$
અહીં $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{7})$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{8}{7}$.
$\tan \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{8/7}{4} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:7$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y = f(x) = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર ગતિપથનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \tan \theta - \frac{gx}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{v_y}{v_x}$
આ ઢાળ વેગના શિરોલંબ ઘટક અને સમક્ષિતિજ ઘટકના ગુણોત્તરને દર્શાવે છે,વેગના મૂલ્યને નહીં. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે કોઈપણ બિંદુએ વેગ સદિશ હંમેશા તે બિંદુએ ગતિપથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. આ સમતલમાં ગતિનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,કારણ કે તાત્ક્ષણિક વેગ એ સ્થાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે ગતિપથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ થાય.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$y = x - \frac{g x^2}{2 u^2 (1/2)} = x - \frac{g x^2}{u^2} \quad ... (i)$
પદાર્થ $(4, 3) \ m$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 4$ અને $y = 3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3 = 4 - \frac{g(4^2)}{u^2}$
$3 = 4 - \frac{16g}{u^2}$
$\frac{16g}{u^2} = 1 \Rightarrow u^2 = 16g$
હવે $u^2 = 16g$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y = x - \frac{g x^2}{16g} = x - \frac{x^2}{16}$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $x$ નું તે મૂલ્ય છે જ્યાં $y = 0$ થાય (જમીન પર પાછા ફરતી વખતે):
$0 = x - \frac{x^2}{16}$
$x(1 - \frac{x}{16}) = 0$
અહીં $x = 0$ એ શરૂઆતનું સ્થાન છે,તેથી અંતિમ સ્થાન માટે $1 - \frac{x}{16} = 0$ લેતા $x = 16 \ m$ મળે.
આમ,સમક્ષિતિજ અવધિ $16 \ m$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ છે.
તેથી,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ અને પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = 0$ અને $a_y = -g = -10 \text{ ms}^{-2}$ છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર,કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર:
$x = u_x t = 1 \cdot t \implies t = x \quad \dots (i)$
કાપેલું શિરોલંબ અંતર:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y = 2t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$y = 2t - 5t^2 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $t$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = 2(x) - 5(x)^2$
$y = 2x - 5x^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે,બંને ટાવરની ઊંચાઈ સમાન છે,$h_1 = h_2 = h = 20 \ m$.
ક્ષૈતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2 \ s$.
ટાવર $A$ થી બિંદુ $P$ સુધીનું ક્ષૈતિજ સ્થાનાંતર $x_A = u_A t = 20 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 40 \ m$ છે.
ટાવર $B$ થી બિંદુ $Q$ સુધીનું ક્ષૈતિજ સ્થાનાંતર $x_B = u_B t = 30 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 60 \ m$ છે.
બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d = 200 \ m - (x_A + x_B) = 200 \ m - (40 \ m + 60 \ m) = 100 \ m$ છે.
$P$ આગળ સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ કરીને $10 \ s$ માં $Q$ સુધી પહોંચતી કાર માટે,ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ વાપરતા:
$100 = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$.
$100 = 50a$.
$a = 2 \ ms^{-2}$.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ, $u_x = 20 \,ms^{-1}$.
પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ, $u_y = 0$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = a_y = 10 \,ms^{-2}$.
સમક્ષિતિજ પ્રવેગ, $a_x = 0$.
$t = 1 \,s$ માટે:
$A$. પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
$v_x = u_x + a_x t = 20 + 0 = 20 \,ms^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 10 \times 1 = 10 \,ms^{-1}$.
$v = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.4 \,ms^{-1}$. ($IV$ સાથે જોડાય છે)
$B$. સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2 = 20 \times 1 + 0 = 20 \,m$. ($II$ સાથે જોડાય છે)
$C$. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 1^2 = 5 \,m$. ($I$ સાથે જોડાય છે)
$D$. શિરોલંબ વેગ $v_y = 10 \,ms^{-1}$. ($III$ સાથે જોડાય છે)
આમ, સાચી જોડ $A-IV, B-II, C-I, D-III$ છે.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \sqrt{3} \ m/s$ અને $\theta = 60^{\circ}$.
સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (1/2) = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (\sqrt{3}/2) = 15 \ m/s$.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ: $\vec{v}_i = 5 \sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j}$.
$t = 2 \ s$ પછી,સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u_x = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y - gt = 15 - (10 \times 2) = 15 - 20 = -5 \ m/s$.
અંતિમ વેગ સદિશ: $\vec{v}_f = 5 \sqrt{3} \hat{i} - 5 \hat{j}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{v}_i \cdot \vec{v}_f = (5 \sqrt{3})(5 \sqrt{3}) + (15)(-5) = 75 - 75 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(D) સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે, સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u = 30 \,ms^{-1}$ અચળ રહે છે.
$t$ સમયે શિરોલંબ વેગ $v_y = gt = 10t$ છે.
$t_1$ સમયે, $v_x = v_y$, તેથી $30 = 10t_1$, જે $t_1 = 3 \,s$ આપે છે.
$t$ સમયે સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = ut = 30t$ છે.
$t$ સમયે શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ છે.
$t_2$ સમયે, $x = y$, તેથી $30t_2 = 5t_2^2$. $t_2 \neq 0$ હોવાથી, આપણને $t_2 = \frac{30}{5} = 6 \,s$ મળે છે.
તેથી, $t_2 - t_1 = 6 \,s - 3 \,s = 3 \,s$.

(B) $u$ ઝડપ અને $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\theta = 45^\circ$ હોય,જે $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
ગોળીઓ બધી દિશાઓમાં છોડવામાં આવતી હોવાથી,તેઓ જમીન પર એક વર્તુળાકાર વિસ્તાર આવરી લેશે જેની ત્રિજ્યા મહત્તમ અવધિ $R_{max}$ જેટલી હશે.
આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R_{max}^2$ થાય.
$R_{max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ મળે છે.

(C) પગલું $1$. આપેલ માહિતી:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 10 \ m/s$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ,$\theta = 60^{\circ}$
સમય,$t = 1 \ s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \ m/s^2$
પગલું $2$. $t = 1 \ s$ સમયે વેગના ઘટકો:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $v_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s$
શિરોલંબ ઘટક: $v_y = u \sin 60^{\circ} - gt = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10(1) = 5\sqrt{3} - 10 \approx 8.66 - 10 = -1.34 \ m/s$
પગલું $3$. વક્રતા ત્રિજ્યાનું સૂત્ર:
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{v^3}{a_{\perp}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $a_{\perp}$ એ વેગને લંબ પ્રવેગનો ઘટક છે.
$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 5^2 + (5\sqrt{3} - 10)^2 = 25 + (75 + 100 - 100\sqrt{3}) = 200 - 100\sqrt{3} \approx 26.8 \ (m/s)^2$
$a_{\perp} = g \cos \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલ ખૂણો છે.
$\cos \alpha = \frac{v_x}{v} = \frac{5}{\sqrt{26.8}} \approx 0.966$
$a_{\perp} = 10 \times 0.966 = 9.66 \ m/s^2$
$R = \frac{v^2}{a_{\perp}} = \frac{26.8}{9.66} \approx 2.77 \ m \approx 2.8 \ m$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 20 \ ms^{-1}$,પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0 \ ms^{-1}$,પ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$,સમય $t = 1 \ s$.
$A$. $1 \ s$ પછી પદાર્થનો વેગ:
$v_x = u_x = 20 \ ms^{-1}$
$v_y = u_y + gt = 0 + 10(1) = 10 \ ms^{-1}$
પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{500} \approx 22.4 \ ms^{-1}$. તેથી,$A-IV$.
$B$. $1 \ s$ પછી સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર:
$x = u_x t = 20 \times 1 = 20 \ m$. તેથી,$B-II$.
$C$. $1 \ s$ પછી શિરોલંબ સ્થાનાંતર:
$y = u_y t + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 5 \ m$. તેથી,$C-I$.
$D$. $1 \ s$ પછી શિરોલંબ વેગ:
$v_y = u_y + gt = 0 + 10(1) = 10 \ ms^{-1}$. તેથી,$D-III$.
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-II, C-I, D-III$ છે.

(C) $(i)$ વિધાન સાચું છે: નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ અચળ ઝડપ સાથે ગતિ કરે છે. વેગનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
$(ii)$ કારણ ખોટું છે: નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. જેમ જેમ કણ ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાતી રહે છે,તેથી કેન્દ્રગામી પ્રવેગની દિશા પણ સતત બદલાતી રહે છે. પ્રવેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં ફેરફારનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ અચળ રહી શકતો નથી.

(A) આપેલ છે કે,કણનો વેગ $\vec{v} = x \hat{i} + yt \hat{j}$ છે.
વેગનું મૂલ્ય $v = \sqrt{x^2 + y^2 t^2}$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ એ ઝડપમાં થતો ફેરફાર છે:
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 t^2}} \cdot (2y^2 t) = \frac{y^2 t}{\sqrt{x^2 + y^2 t^2}}$.
$t = \frac{x \sqrt{3}}{y}$ મૂકતા:
$a_t = \frac{y^2 (x \sqrt{3} / y)}{\sqrt{x^2 + y^2 (3x^2 / y^2)}} = \frac{xy \sqrt{3}}{\sqrt{x^2 + 3x^2}} = \frac{xy \sqrt{3}}{2x} = \frac{\sqrt{3} y}{2}$.
કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(x \hat{i} + yt \hat{j}) = y \hat{j}$ છે.
કુલ પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = |\vec{a}| = y$ છે.
લંબ પ્રવેગ $a_n$ એ $a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2}$ દ્વારા મળે છે.
$a_n = \sqrt{y^2 - (\frac{\sqrt{3} y}{2})^2} = \sqrt{y^2 - \frac{3y^2}{4}} = \sqrt{\frac{y^2}{4}} = \frac{y}{2}$.
આમ,સ્પર્શકીય અને લંબ પ્રવેગ અનુક્રમે $\frac{\sqrt{3} y}{2}$ અને $\frac{y}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે: કુલ ઊર્જા $E = 9 \,J$, મધ્યમાન સ્થિતિએ સ્થિતિઊર્જા $U_{mean} = 5 \,J$, દળ $m = 2 \,kg$, કંપવિસ્તાર $A = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે. મધ્યમાન સ્થિતિએ સ્થિતિઊર્જા $U_{mean} = 5 \,J$ છે.
તેથી, મધ્યમાન સ્થિતિએ મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - U_{mean} = 9 \,J - 5 \,J = 4 \,J$ થશે.
$SHM$ માં, મહત્તમ ગતિઊર્જા એ અંતિમ સ્થિતિએ મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે, જે $\frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $\frac{1}{2} k A^2 = 4 \,J$.
$A = 10^{-2} \,m$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} k (10^{-2})^2 = 4 \implies \frac{1}{2} k (10^{-4}) = 4 \implies k = 8 \times 10^4 \,N/m$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{8 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \times 10^4}} = 2 \pi \times \frac{1}{2 \times 10^2} = \frac{\pi}{100} \,s$.

(D) આપેલ છે,$y=5 \sin \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right)$.
$y=A \sin (\omega t+\phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \,rad/s$ મળે છે.
કણનું દળ $m = 2 \,g = 2 \times 10^{-3} \,kg$ છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dy}{dt} = 5 \times 4 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) \,m/s$ છે.
$t = \frac{T}{4}$ સમયે,જ્યાં $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,s$,તેથી $t = \frac{\pi}{8} \,s$ થાય.
વેગના સમીકરણમાં $t = \frac{\pi}{8}$ મૂકતા:
$v = 20 \cos \left(4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\cos(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $v = 20 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -10\sqrt{3} \,m/s$ મળે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3}) \times (-10\sqrt{3})^2$.
$K = 10^{-3} \times 100 \times 3 = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \,J$.

(A) $SHM$ માં,એક સંપૂર્ણ દોલન $4A$ જેટલા પથ લંબાઈને અનુરૂપ છે (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે). આપણે પથને $8$ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $A/2$ છે. આ વિભાગોને કાપવા માટે લાગતો સમય આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અંતિમ સ્થાનથી દોલનના $\frac{3}{8}$ ભાગના સ્થાનાંતર માટે,કણ $x = A$ થી $x = 0$ સુધી મુસાફરી કરે છે (જે દોલનનો $1/4$ ભાગ છે) અને પછી બીજા $1/8$ દોલન માટે આગળ વધે છે.
લાગતો સમય $T/4 + T/12 = T/3$ છે.
આપેલ છે કે આ સમય $x$ છે,તેથી $T/3 = x$,જેનો અર્થ છે કે $T = 3x$.
હવે,મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ થી દોલનના $\frac{5}{8}$ ભાગ માટે,કણ પથના $1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 5/8$ ભાગની મુસાફરી કરે છે.
લાગતો સમય $T/12 + T/12 + T/12 + T/12 + T/12 = 5T/12$ છે.
$T = 3x$ મૂકતા,સમય $5(3x)/12 = 15x/12 = 5x/4$ મળે છે.

(A) સાદા લોલક માટે,દોરીમાં તણાવ $(T)$ નું સૂત્ર $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$ છે.
નાના દોલનો માટે,$\theta$ નાનું હોય છે,તેથી $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ થાય.
વેગ $v$ એ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ સાથે $v = l \frac{d\theta}{dt}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
લોલક $SHM$ કરતું હોવાથી,$\theta = \theta_0 \sin(\omega t + \phi)$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે કે $T$ સમય સાથે $T \propto \cos(2\omega t + 2\phi)$ મુજબ બદલાય છે.
તણાવના ફેરફારની આવૃત્તિ એ લોલકના દોલનની આવૃત્તિ કરતા બમણી હોય છે.
$t=0$ સમયે ગોળો મધ્યમાન સ્થાને ન હોવાથી,કળા $\phi \neq 0$ છે,અને $t=0$ સમયે તણાવ તેના મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય પર હશે નહીં. આલેખ $(a)$ સમય સાથે તણાવમાં સામયિક ફેરફાર દર્શાવે છે,જે લોલકની ભૌતિક વર્તણૂક સાથે સુસંગત છે.

(D) ધાતુનો તાર $k_1$ જેટલા અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$x$ જેટલા વિસ્તરણ માટે પુનઃસ્થાપક બળ $F = \frac{YA}{L}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,તારનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1 = \frac{YA}{L}$ છે.
તાર અને સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તંત્રનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k}$ દ્વારા મળે છે.
$k_1 = \frac{YA}{L}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{L}{YA} + \frac{1}{k} = \frac{kL + YA}{kYA}$ મળે છે.
તેથી,$k_{eq} = \frac{kYA}{kL + YA}$.
સ્પ્રિંગ તંત્ર સાથે જોડાયેલા $m$ દળ માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ છે.
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m(kL + YA)}{kYA}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે આવર્તકાળ $T_1 = 3 \ s$ અને $T_2 = T$ છે. બંને કણો $t=0$ સમયે સમાન કળામાં છે. તેઓ ફરીથી ત્યારે સમાન કળામાં હશે જ્યારે વીતેલો સમય બંને આવર્તકાળના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય.
ધારો કે $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે તેઓ $45 \ s$ પછી ત્રીજી વાર સમાન કળામાં છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ પ્રથમ વાર $t = 15 \ s$ સમયે મળે છે $(45/3 = 15)$.
$t = 15 \ s$ સમયે,$n_1 = 15/3 = 5$ અને $n_2 = 15/T$.
$n_2$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$T$ એ $15$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. વિકલ્પોમાંથી શક્ય મૂલ્યો $1, 1.5, 2, 2.5$ છે.
$T = 2.5 \ s$ તપાસતા: $n_2 = 15 / 2.5 = 6$. $n_1$ અને $n_2$ બંને પૂર્ણાંક હોવાથી,તેઓ $15 \ s, 30 \ s,$ અને $45 \ s$ સમયે સમાન કળામાં હશે.
આમ,તેઓ ત્રીજી વાર $45 \ s$ સમયે સમાન કળામાં આવે છે.

(C) અંતિમ સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
ધારો કે $t=1, 2, 3$ સેકન્ડના સમયે સ્થાનાંતર અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
$a = A \cos(\omega)$
$b = A \cos(2\omega)$
$c = A \cos(3\omega)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(3\theta) + \cos(\theta) = 2 \cos(2\theta) \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + c = A \cos(\omega) + A \cos(3\omega) = A [\cos(\omega) + \cos(3\omega)]$
$a + c = A [2 \cos(2\omega) \cos(\omega)]$
કારણ કે $b = A \cos(2\omega)$,આપણે લખી શકીએ:
$a + c = 2b \cos(\omega)$
$\cos(\omega) = \frac{a+c}{2b}$
$\omega = \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$
કારણ કે $\omega = 2\pi f$,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે:
$f = \frac{1}{2\pi} \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$.

(B) ધારો કે ઠરી ગયેલી વરાળનું દળ $x \, kg$ છે。
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા + કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા。
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = (ઘનીભવન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા) + (ઠરી ગયેલા પાણી દ્વારા $100^{\circ} C$ થી $90^{\circ} C$ સુધી ઠરતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા)。
$Q_{lost} = x \cdot L + x \cdot c_w \cdot \Delta T_1 = x \cdot 540 + x \cdot 1 \cdot (100 - 90) = 540x + 10x = 550x \, kcal$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_w \cdot c_w \cdot \Delta T_2 = 1 \, kg \cdot 1 \, kcal \cdot kg^{-1} \cdot {}^{\circ} C^{-1} \cdot (90 - 9)^{\circ} C = 81 \, kcal$.
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $W \cdot c_w \cdot \Delta T_2 = 0.1 \, kg \cdot 1 \, kcal \cdot kg^{-1} \cdot {}^{\circ} C^{-1} \cdot (90 - 9)^{\circ} C = 8.1 \, kcal$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $550x = 81 + 8.1 = 89.1$.
$x = \frac{89.1}{550} = 0.162 \, kg = 162 \, g$.

(A) . જ્યારે બરફ પીગળીને પાણી બને છે,ત્યારે બરફનું હાઇડ્રોજન-બંધારણ તૂટી જાય છે,જેનાથી અણુઓની ગોઠવણી વધુ ઘટ્ટ બને છે. તેથી,ઘનતા વધે છે અને કદ ઘટે છે. $(A-II)$
$B$. જ્યારે પાણી વરાળમાં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે અણુઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે,જેના પરિણામે કદમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે. $(B-I)$
$C$. કારણ કે બરફ પીગળતી વખતે સંકોચાય છે,ક્લોસિયસ-ક્લેપરોન સંબંધ મુજબ,દબાણ વધવાથી તેનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. $(C-IV)$
$D$. ઉત્કલન પ્રક્રિયામાં કદમાં મોટો વધારો થાય છે,તેથી દબાણ વધારવાથી અણુઓ માટે વરાળ અવસ્થામાં જવું મુશ્કેલ બને છે,આમ ઉત્કલનબિંદુ વધે છે. $(D-III)$
તેથી,સાચી જોડી $A-II, B-I, C-IV, D-III$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલન નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર પદાર્થ અને તેના આસપાસના તાપમાનના તફાવતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} = -k(T_{avg} - T_0)$.
અહીં $dQ = (m + x)c \Delta T$ છે,જ્યાં $x$ એ કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક છે,તેથી $(m + x)c \frac{\Delta T}{t} = k(T_{avg} - T_0)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $(75 + x)c \frac{(62 - 58)}{9} = k(T_{avg} - T_0) \implies (75 + x) \frac{4}{9} = K'$ (જ્યાં $K'$ અચળાંક છે).
બીજા કિસ્સા માટે: $(105 + x)c \frac{(62 - 58)}{12} = k(T_{avg} - T_0) \implies (105 + x) \frac{4}{12} = K'$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{75 + x}{9} = \frac{105 + x}{12}$.
બંને બાજુ $36$ વડે ગુણતા: $4(75 + x) = 3(105 + x)$.
$300 + 4x = 315 + 3x$.
$x = 315 - 300 = 15 \ g$.

(D) ધારો કે બિંદુ $C$ નું તાપમાન $T$ છે. $A$ થી $C$ સુધીનો ઉષ્મા પ્રવાહ $H_1 = \frac{KA(T_A - T)}{l_1} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (20 - T)}{0.1}$ છે.
$B$ થી $C$ સુધીનો ઉષ્મા પ્રવાહ $H_2 = \frac{KA(T_B - T)}{l_2} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (40 - T)}{0.2}$ છે.
બરફના બોક્સમાં જતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = H_1 + H_2$ છે. તાર અત્યંત વાહક હોવાથી $T = 0^{\circ} C$ લેતા,
$H = \frac{336 \times 10^{-4} \times 20}{0.1} + \frac{336 \times 10^{-4} \times 40}{0.2} = 6.72 + 6.72 = 13.44 \ W$ ($SI$ એકમોમાં).
કેલરીમાં ફેરવતા: $H = \frac{13.44}{4.2} = 3.2 \ cal/s$.
બરફ પીગળવાનો દર $dm/dt = \frac{H}{L_{ice}} = \frac{3.2}{80} = 0.04 \ g/s = 40 \ mg/s$. તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{KA\Delta T}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી ($A$ અને $L$ અચળ છે),ઉષ્મા પ્રવાહ ઉષ્મીય વાહકતા $K$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
જંકશન $P$ પર,સ્થાયી અવસ્થામાં ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતી ઉષ્મા = જંકશનમાંથી બહાર નીકળતી ઉષ્મા.
ધારો કે જંકશન $P$ નું તાપમાન $T$ છે.
$100^{\circ}C$ થી $P$ તરફ વહેતી ઉષ્મા = $P$ થી $50^{\circ}C$ તરફ વહેતી ઉષ્મા + $P$ થી $0^{\circ}C$ તરફ વહેતી ઉષ્મા.
$\frac{3K A (100 - T)}{L} = \frac{2K A (T - 50)}{L} + \frac{K A (T - 0)}{L}$
બંને બાજુથી $\frac{KA}{L}$ ને દૂર કરતા:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + T$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$400 = 6T$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ}C$.

(C) ધારો કે વચ્ચેની પ્લેટનું તાપમાન $T_0$ છે.
પ્લેટો સ્થાયી અવસ્થામાં હોવાથી,વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા તેના દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ માટે,ત્રીજી પ્લેટ ($3 T$ તાપમાને) પાસેથી મેળવેલી ઉષ્મા $\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4$ છે.
પ્રથમ પ્લેટ ($2 T$ તાપમાને) ને ગુમાવેલી ઉષ્મા $\sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં:
$\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4 = \sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$
$(3 T)^4 + (2 T)^4 = 2 T_0^4$
$81 T^4 + 16 T^4 = 2 T_0^4$
$97 T^4 = 2 T_0^4$
$T_0^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T_0 = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$

(B) કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત થતો પાવર $P$,સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$
ગોળાકાર પદાર્થ માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ ... (ii)
આપેલ છે કે તાપમાન $T$ એ ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $T \propto \frac{1}{R}$ અથવા $T = \frac{k}{R}$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$P = \sigma (4 \pi R^2) \left( \frac{k}{R} \right)^4$
$P = \sigma 4 \pi R^2 \cdot \frac{k^4}{R^4}$
$P = \frac{4 \pi \sigma k^4}{R^2}$
આમ,$P \propto \frac{1}{R^2}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(R' = 2R)$,ત્યારે નવો પાવર $P'$:
$P' \propto \frac{1}{(2R)^2} = \frac{1}{4R^2} = \frac{1}{4} P$
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવર પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{4}$ ગણો થશે.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$DC^2 = AC^2 - AD^2$
$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = \frac{l}{2}$.
તેથી,$DC^2 = l^2 - (\frac{l}{2})^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} = \frac{3l^2}{4}$.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય,ત્યારે નવી લંબાઈઓ $l' = l(1 + \alpha \Delta T)$ થાય છે.
$AC' = l(1 + \alpha_2 \Delta T)$ અને $AD' = \frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)$.
નવી લંબાઈ $DC'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$DC'^2 = AC'^2 - AD'^2 = [l(1 + \alpha_2 \Delta T)]^2 - [\frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta T)]^2$
$DC'^2 = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T + \alpha_2^2 \Delta T^2) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T + \alpha_1^2 \Delta T^2)$
$\Delta T$ ના ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદોને અવગણતા (એટલે કે,$\alpha^2 \Delta T^2 \approx 0$):
$DC'^2 \approx l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta T) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta T)$
$DC'^2 \approx (l^2 - \frac{l^2}{4}) + (2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T)$
$DC$ અચળ રહે તે માટે,$DC^2$ માં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2l^2\alpha_2 \Delta T - \frac{l^2}{2}\alpha_1 \Delta T = 0$
$2\alpha_2 = \frac{\alpha_1}{2} \Rightarrow \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(B) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન $w = V_s(\rho_s - \rho_w)g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_s$ એ ગોળાનું કદ છે,$\rho_s$ એ ગોળાની ઘનતા છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ગોળાનું કદ $V_s$ વધે છે,પરંતુ દળ $M = V_s \rho_s$ અચળ રહે છે. તેથી,$w = Mg - V_s \rho_w g$.
જ્યારે તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $50^{\circ} C$ સુધી વધે છે,ત્યારે ગોળાનું કદ $V_s$ વધે છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે,કારણ કે પાણીનો કદ પ્રસરણાંક ધાતુ કરતા વધારે છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_w$ માં થતો ઘટાડો એ ગોળાના કદ $V_s$ માં થતા વધારા કરતા વધારે હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_s \rho_w g$ તાપમાન વધવાની સાથે ઘટે છે.
તેથી,આભાસી વજન $w = Mg - F_B$ તાપમાન વધવાની સાથે વધે છે.
આમ,$w_2 > w_1$ અથવા $w_1 < w_2$.

(B) આપેલ આલેખમાં, $V \propto T$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{V}{T} = \text{$અચળ$}$.
આ સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા સમદાબી પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ પ્રક્રિયા) છે。
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે, આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
થયેલું કાર્ય $\Delta W = p \Delta V = n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે $C_p = \frac{5}{2} R$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$\Delta W = n R \Delta T = n R \left( \frac{\Delta Q}{n C_p} \right) = \frac{\Delta Q R}{C_p} = \frac{\Delta Q R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5} \Delta Q$.
અહીં $\Delta Q = 5 \text{ cal}$ આપેલ છે, તેથી:
$\Delta W = \frac{2}{5} \times 5 \text{ cal} = 2 \text{ cal}$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા, $\Delta W = 2 \times 4.2 \text{ J} = 8.4 \text{ J}$.

(D) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે (કંપન ગતિઓને અવગણતા). મોલની સંખ્યા $n_1 = 2$ છે.
ઓક્સિજનની આંતરિક ઉર્જા $U_1 = \frac{5}{2} \times 2 \times RT = 5 RT$.
આર્ગોન $(Ar)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે. મોલની સંખ્યા $n_2 = 4$ છે.
આર્ગોનની આંતરિક ઉર્જા $U_2 = \frac{3}{2} \times 4 \times RT = 6 RT$.
તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{total} = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$ થાય.

(D) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક સૂચકાંક $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
કાર્નો ચક્રમાં,એડિબેટિક વિસ્તરણ અવસ્થા $C$ થી અવસ્થા $D$ સુધી થાય છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_C V_C^{\gamma-1} = T_D V_D^{\gamma-1}$.
અહીં $V_C = V$ અને $V_D = 32 V$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{T_C}{T_D} = \left(\frac{V_D}{V_C}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{32 V}{V}\right)^{\frac{7}{5}-1} = (32)^{\frac{2}{5}}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,આપણને મળે છે:
$\frac{T_C}{T_D} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_D}{T_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$\eta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(B) રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$ $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T_2 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ અને $T_1 = 27.3^{\circ} C = 273 + 27.3 = 300.3 \ K \approx 300 \ K$.
તેથી,$\beta = \frac{273}{300 - 273} = \frac{273}{27} \approx 10.11$.
સંબંધ $\beta = \frac{Q_2}{W}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $Q_2$ એ $1 \ g$ પાણીને બરફમાં ફેરવવા માટે કાઢેલી ઉષ્મા છે.
$Q_2 = m \times L_{\text{ice}} = 1 \ g \times 80 \ cal/g = 80 \ cal$.
$Q_2$ ને જૂલમાં ફેરવતા: $Q_2 = 80 \times 4.2 \ J = 336 \ J$.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \frac{Q_2}{\beta} = \frac{336}{10.11} \approx 33.23 \ J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $33.6 \ J$ છે (જે $\beta = 10$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે).
તેથી,$W = 336 / 10 = 33.6 \ J$.

(D) જ્યારે રેફ્રિજરેટરનો દરવાજો ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે રેફ્રિજરેટર અંદરથી ગરમી ખેંચે છે અને તેને રૂમમાં મુક્ત કરે છે. આ ઉપરાંત,રેફ્રિજરેટર ચલાવવા માટે કોમ્પ્રેસર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય પણ ગરમીમાં રૂપાંતરિત થાય છે અને રૂમમાં મુક્ત થાય છે. તેથી,ચોખ્ખી અસર રૂમના તાપમાનમાં વધારો કરવાની છે,ઠંડક આપવાની નહીં. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે ઉષ્મા ઊંચા તાપમાનવાળા પદાર્થથી નીચા તાપમાનવાળા પદાર્થ તરફ વહે છે,જે થર્મોડાયનેમિક્સનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત (થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ) છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે,$Q$ એ ઇનપુટ ઉષ્મા છે,$T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં,$\eta = \frac{1}{4}$. તેથી,$1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{4} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4} \implies T_2 = \frac{3}{4}T_1$ (સમીકરણ $i$).
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $50 \ K$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 50$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 33 \frac{1}{3} \% = \frac{1}{3}$ છે.
આમ,$1 - \frac{T_2 - 50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies 1 - \frac{T_2}{T_1} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ માંથી $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$ ની કિંમત સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$1 - \frac{3}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{1}{4} + \frac{50}{T_1} = \frac{1}{3}$.
$\frac{50}{T_1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.
$T_1 = 50 \times 12 = 600 \ K$.
હવે,$T_2 = \frac{3}{4} \times 600 = 450 \ K$.
તેથી,પ્રારંભિક તાપમાન $600 \ K$ અને $450 \ K$ છે.

(B) પાણીને થીજવવા માટે દૂર કરવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_2 = m L = 1 \ g \times 80 \ cal/g = 80 \ cal$ છે.
આને જ્યુલમાં રૂપાંતરિત કરતા: $Q_2 = 80 \times 4.2 \ J = 336 \ J$.
રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સનો ગુણાંક $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{Q_2}{W} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ છે.
અહીં,$T_2 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ અને $T_1 = 27.3^{\circ} C = 273 + 27.3 = 300.3 \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{336}{W} = \frac{273}{300.3 - 273} = \frac{273}{27.3} = 10$.
તેથી,$W = \frac{336}{10} = 33.6 \ J$.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $pV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
શરૂઆતમાં, ભાગ $A$ માટે: $p_A = p$, $V_A = 5V$. ભાગ $B$ માટે: $p_B = 8p$, $V_B = V$.
જ્યારે પિસ્ટનને મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે ત્યાં સુધી ગતિ કરે છે જ્યાં સુધી બંને ભાગોમાં દબાણ સમાન ન થાય. ધારો કે અંતિમ દબાણ $p_f$ છે અને અંતિમ કદ $V_A'$ અને $V_B'$ છે.
કુલ કદ અચળ હોવાથી, $V_A' + V_B' = 5V + V = 6V$.
સમોષ્મી વિસ્તરણ/સંકોચન માટે: $p(5V)^{\gamma} = p_f(V_A')^{\gamma}$ અને $(8p)(V)^{\gamma} = p_f(V_B')^{\gamma}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{p(5V)^{\gamma}}{(8p)V^{\gamma}} = \frac{p_f(V_A')^{\gamma}}{p_f(V_B')^{\gamma}} \implies \frac{5^{\gamma}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{\gamma}$.
અહીં $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ આપેલ છે, તેથી $\frac{5^{3/2}}{8} = \left(\frac{V_A'}{V_B'}\right)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા: $\left(\frac{5^{3/2}}{8}\right)^{2/3} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{8^{2/3}} = \frac{V_A'}{V_B'} \implies \frac{5}{4} = \frac{V_A'}{V_B'}$.
આમ, $V_A' = \frac{5}{4}V_B'$.
$V_A' + V_B' = 6V$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{5}{4}V_B' + V_B' = 6V \implies \frac{9}{4}V_B' = 6V \implies V_B' = \frac{24}{9}V = \frac{8}{3}V$.
તેથી $V_A' = 6V - \frac{8}{3}V = \frac{18-8}{3}V = \frac{10}{3}V$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્રિયા $p V^{3/2} = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે, તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 3/2$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = T$ અને પ્રારંભિક કદ $V_i = V$ છે.
વાયુને તેના પ્રારંભિક કદના અડધા કદ સુધી સંકોચવામાં આવે છે, તેથી $V_f = V/2$.
સંબંધ $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_f = T_i \left( \frac{V_i}{V_f} \right)^{\gamma-1}$
કિંમતો મૂકતા: $T_f = T \left( \frac{V}{V/2} \right)^{3/2 - 1}$
$T_f = T (2)^{1/2} = \sqrt{2} T$.

(A) જ્યારે $\Delta Q > 0$ હોય ત્યારે તંત્ર દ્વારા ઉષ્મા શોષાય છે. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,ઉષ્મા તે ભાગો દરમિયાન શોષાય છે જ્યાં આંતરિક ઉર્જા વધે છે અને વાયુ દ્વારા કાર્ય થાય છે. $ABCDA$ ચક્રને જોતા:
$1$. પથ $A \rightarrow B$ (સમકદ): $W = 0$,$\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} V_0 (3p_0 - p_0) = 3 p_0 V_0$. $\Delta U > 0$ હોવાથી,ઉષ્મા શોષાય છે: $\Delta Q_{AB} = 3 p_0 V_0$.
$2$. પથ $B \rightarrow C$ (સમદાબ): $W = p \Delta V = 3p_0 (2V_0 - V_0) = 3 p_0 V_0$. $\Delta U = n C_V \Delta T = \frac{3}{2} (p_C V_C - p_B V_B) = \frac{3}{2} (6 p_0 V_0 - 3 p_0 V_0) = 4.5 p_0 V_0$. ઉષ્મા શોષાય છે: $\Delta Q_{BC} = \Delta U + W = 4.5 p_0 V_0 + 3 p_0 V_0 = 7.5 p_0 V_0$.
$3$. પથ $C \rightarrow D$ અને $D \rightarrow A$: વાયુ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે કારણ કે આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે અને વાયુ પર કાર્ય થાય છે.
શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા = $\Delta Q_{AB} + \Delta Q_{BC} = 3 p_0 V_0 + 7.5 p_0 V_0 = 10.5 p_0 V_0$.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = \text{constant}$ માટે, થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1-n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_V\Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ છે.
આપેલ પ્રક્રિયા $PV^2 = \text{constant}$ માટે, $n = 2$ છે.
થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1-2} = -nR\Delta T$ છે.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનો ગુણોત્તર $\frac{W}{\Delta U} = \frac{-nR\Delta T}{n(\frac{5}{2}R)\Delta T} = \frac{-1}{2.5} = -0.4$ થાય છે.

$(B)$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો શૂન્યમો નિયમ સંપર્કમાં રહેલી સિસ્ટમો વચ્ચે ઉષ્મીય સંતુલન વ્યાખ્યાયિત કરે છે $(A-III)$.
$B$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે $(B-IV)$.
$C$. વાયુના મુક્ત વિસ્તરણમાં, બાહ્ય દબાણ સામે વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી, તેથી કાર્ય શૂન્ય છે $(C-II)$.
$D$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો બીજો નિયમ ઉષ્માના પ્રવાહની દિશા માટેના માપદંડો પૂરા પાડે છે $(D-I)$.
તેથી, સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(C) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $A$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ છે.
પ્લાન્ક અચળાંક $B$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-1}]$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $C$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
હવે,$A^4 B^{-3} C^{-2}$ ના પરિમાણની ગણતરી કરીએ:
$= [M L^2 T^{-2} K^{-1}]^4 \times [M L^2 T^{-1}]^{-3} \times [L T^{-1}]^{-2}$
$= [M^4 L^8 T^{-8} K^{-4}] \times [M^{-3} L^{-6} T^3] \times [L^{-2} T^2]$
$= [M^{4-3} L^{8-6-2} T^{-8+3+2} K^{-4}]$
$= [M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ $E = \sigma T^4$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $E$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા છે $(E = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{સમય}})$.
$E$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}] / [L^2 T] = [M T^{-3}]$ છે.
આમ,$\sigma$ નું પરિમાણ $= E / T^4 = [M T^{-3}] / [K^4] = [M L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
આ પરિમાણની સરખામણી કરતા,તે સ્ટીફન અચળાંકને અનુરૂપ છે.

(D) એકમ કદ દીઠ ઉર્જાનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
કોણીય વેગમાનનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^2 T^{-1}]$ છે.
કારણ કે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા અને કોણીય વેગમાનના પરિમાણો અલગ-અલગ છે,તેથી તેમને ઉમેરી કે બાદ કરી શકાતા નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પરિમાણીય સમાનતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે માત્ર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓને જ ઉમેરી કે બાદ કરી શકાય છે.
તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(A) $1$. લૂપનો પરિઘ $L = 2 \pi r$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
$2$. લૂપ $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે,જે સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = I (\pi r^2) = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{q \omega L^2}{8 \pi^2}$ થાય.
$4$. ચુંબકીય ટોર્ક $\tau = |\vec{M} \times \vec{B}| = M B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ લૂપના સમતલને સમાંતર હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ (સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
$5$. તેથી,$\tau = M B \sin 90^\circ = M B = \frac{q \omega L^2 B}{8 \pi^2}$.

(A) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
આના પરથી,$N^2 = \frac{L l}{\mu_0 A} = \frac{L l}{\mu_0 \pi r^2}$,તેથી $N = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{L l}{\mu_0 \pi}}$.
ઉપયોગમાં લેવાયેલ તારની કુલ લંબાઈ $W = N \times (2 \pi r)$ છે.
$N$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $W = \left( \frac{1}{r} \sqrt{\frac{L l}{\mu_0 \pi}} \right) \times (2 \pi r)$.
$W = 2 \pi \sqrt{\frac{L l}{\mu_0 \pi}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 L l}{\mu_0 \pi}} = \sqrt{\frac{4 \pi L l}{\mu_0}}$.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{N \Phi_B}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ છે.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 N I}{2r} \right) (\pi r^2) = \frac{\mu_0 N I \pi r}{2}$ છે.
આમ,$L = \frac{N}{I} \left( \frac{\mu_0 N I \pi r}{2} \right) = \frac{\mu_0 \pi r}{2} N^2$.
આ દર્શાવે છે કે $L \propto N^2$.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2$.
અહીં $L_1 = 108 \ mH$,$N_1 = 600$,અને $N_2 = 500$ આપેલ છે:
$L_2 = L_1 \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2 = 108 \times \left( \frac{500}{600} \right)^2 = 108 \times \left( \frac{5}{6} \right)^2 = 108 \times \frac{25}{36} = 3 \times 25 = 75 \ mH$.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $E = 14.4 \text{ keV} = 14.4 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 2.304 \times 10^{-15} \text{ J}$.
સંબંધ $\lambda = \frac{hc}{E}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $hc \approx 1240 \text{ eV} \cdot \text{nm} = 1.24 \times 10^{-6} \text{ eV} \cdot \text{m}$.
$\lambda = \frac{1240 \text{ eV} \cdot \text{nm}}{14.4 \times 10^3 \text{ eV}} \approx 0.086 \text{ nm} = 0.86 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$X$-રે માટે તરંગલંબાઇનો વિસ્તાર આશરે $10^{-8} \text{ m}$ થી $10^{-13} \text{ m}$ હોવાથી,આ વિકિરણ $X$-રે વિભાગમાં આવે છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે સરેરાશ ઉર્જા ઘનતાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U_E = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$
જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર છે.
આપેલ છે:
$E_0 = 40 \,Vm^{-1}$
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,Fm^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$U_E = \frac{1}{4} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (40)^2$
$U_E = \frac{1}{4} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 1600$
$U_E = 8.85 \times 10^{-12} \times 400$
$U_E = 3540 \times 10^{-12} \,Jm^{-3}$
$U_E = 3.54 \times 10^{-9} \,Jm^{-3}$

(D) શૂન્યાવકાશમાં,તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 150 \text{ m}$ છે.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમમાં,સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r = 1$ છે. માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}} = \frac{c}{\sqrt{9 \times 1}} = \frac{c}{3}$ થાય.
$c$ ની કિંમત મૂકતા,$v = \frac{3 \times 10^8}{3} = 1 \times 10^8 \text{ m/s}$ મળે છે.
જ્યારે તરંગ બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશે ત્યારે આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. તેથી,માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^6 \text{ Hz}} = 50 \text{ m}$ થાય.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda_0 - \lambda = 150 \text{ m} - 50 \text{ m} = 100 \text{ m}$ છે.
આમ,તરંગલંબાઈ $100 \text{ m}$ જેટલી ઘટે છે.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $E_y = E_0 \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E_y = 30 \sin(2 \times 10^{11} t + 300 \pi x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 300 \pi \ rad/m$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
$\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ મળે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,$\lambda = \frac{2 \pi}{300 \pi} = \frac{1}{150} \ m$ થાય.
ગણતરી કરતા,$\lambda = 0.00666... \ m = 6.67 \times 10^{-3} \ m$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $E = 750 \text{ NC}^{-1}$ આપેલ છે.
મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$B = \frac{750}{3 \times 10^8} = 250 \times 10^{-8} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ T}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $X$-અક્ષ ($\hat{i}$ દિશા) પર ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $Y$-અક્ષ ($\hat{j}$ દિશા) પર છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર $(\vec{E} \times \vec{B})$ દ્વારા નક્કી થાય છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $Z$-અક્ષ ($\hat{k}$ દિશા) હોવી જોઈએ કારણ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $2.5 \times 10^{-6} \hat{k} \text{ T}$ છે.

(A) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
બિન-ચુંબકીય ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ માટે,વક્રીભવનાંક $n$ એ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\epsilon_r$ સાથે $n = \sqrt{\epsilon_r}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $\lambda_0 = 2 \times 10^{-10} \,m$ અને $\epsilon_r = 4$.
તેથી,$n = \sqrt{4} = 2$.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{2 \times 10^{-10}}{2} = 1 \times 10^{-10} \,m$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે. કુલ ઉર્જા $E_E = u_E \times V$ છે. અહીં $V = (10 \ cm)^3 = (0.1 \ m)^3 = 10^{-3} \ m^3$ આપેલ છે.
$E_E = \frac{1}{2} \times 8.9 \times 10^{-12} \times (10^7)^2 \times 10^{-3} = 0.445 \ J$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે. કુલ ઉર્જા $E_B = u_B \times V$ છે.
$E_B = \frac{(0.25)^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} \times 10^{-3} = \frac{0.0625 \times 10^{-3}}{25.12 \times 10^{-7}} \approx 24.88 \ J \approx 25 \ J$.
આમ,જરૂરી ઉર્જા $0.445 \ J$ અને $25 \ J$ છે.

(D) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે $t$ જાડાઈની ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે ત્યારે અસરકારક બળ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - t + t \sqrt{K})^2}$
કિસ્સો $1$: $t = r/2$ અને $K = 4$.
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/2 + (r/2) \sqrt{4})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r/2 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(3r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4 q_1 q_2}{9 r^2} = \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2}$.
કિસ્સો $2$: $t = r/3$ અને $K = 9$.
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/3 + (r/3) \sqrt{9})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(2r/3 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(5r/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9 q_1 q_2}{25 r^2}$.
ગુણોત્તર $F_1/F_2$:
$\frac{F_1}{F_2} = \left( \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) / \left( \frac{9 q_1 q_2}{100 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) = \frac{1}{9} \times \frac{100}{9} = \frac{100}{81}$.

(A) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. પ્રારંભિક બળ $F = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત ગોળો $C$ ને $A$ સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે,ત્યારે $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_A = q/2$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C = q/2$ થાય છે.
હવે,ગોળા $C$ ને $A$ અને $B$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે. $C$ નું $A$ અને $B$ બંનેથી અંતર $r/2$ છે.
$A$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{AC} = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ ($B$ તરફની દિશામાં).
$B$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{BC} = k \frac{(q)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2(4 \times 10^{-5}) = 8 \times 10^{-5} \ N$ ($A$ તરફની દિશામાં).
$C$ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = 8 \times 10^{-5} - 4 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-5} \ N$.
$F_{BC} > F_{AC}$ હોવાથી,ચોખ્ખું બળ $C$ થી $A$ તરફની દિશામાં લાગશે.

(A) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times d = (1 \times 10^{-6} \ C) \times (1 \ m) = 10^{-6} \ Cm$ છે।
કેન્દ્રની આસપાસ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(d/2)^2 + m(d/2)^2 = m(d^2/2) = 1 \times (1^2/2) = 0.5 \ kg \ m^2$ છે।
નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે, પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -pE \sin \theta \approx -pE \theta$ છે।
$\tau = I \alpha$ હોવાથી, $I \alpha = -pE \theta$, જે આપે છે $\alpha = -(pE/I) \theta$.
આ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{pE/I}$ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{(10^{-6} \times 2 \times 10^4) / 0.5} = \sqrt{2 \times 10^{-2} / 0.5} = \sqrt{0.04} = 0.2 \ rad/s$.
અંતિમ સ્થિતિમાંથી મધ્યસ્થ સ્થિતિમાં પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t = T/4 = (2 \pi / \omega) / 4 = \pi / (2 \omega)$ છે।
$t = \pi / (2 \times 0.2) = \pi / 0.4 = 2.5 \pi \ s$.

(A) ટૂંકા ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_{axial} = \frac{2kp}{r^3}$
ટૂંકા ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $2r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_{equatorial} = \frac{kp}{(2r)^3} = \frac{kp}{8r^3}$
પ્રશ્ન મુજબ,$E_{axial} = x \cdot E_{equatorial}$.
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{2kp}{r^3} = x \cdot \frac{kp}{8r^3}$
બંને બાજુથી $kp/r^3$ ને દૂર કરતા:
$2 = \frac{x}{8}$
$x = 16$

(A) જ્યારે સળિયાને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલ આ ડાયપોલની રચના સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરશે. આ $SHM$ નો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{pE}}$
જ્યાં $I$ એ ડાયપોલની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$p$ એ વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
સળિયાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(l/2)^2 + m(l/2)^2 = 2m(l/2)^2 = \frac{ml^2}{2}$ થાય.
આપેલ છે: $m = 9.8 \times 10^{-3} \text{ kg}$,$l = 0.5 \text{ m}$,$q = 20 \times 10^{-6} \text{ C}$,$E = 12.1 \text{ N/C}$.
$I = \frac{9.8 \times 10^{-3} \times (0.5)^2}{2} = 4.9 \times 10^{-3} \times 0.25 = 1.225 \times 10^{-3} \text{ kg m}^2$.
$p = q \times l = 20 \times 10^{-6} \times 0.5 = 10^{-5} \text{ C m}$.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.225 \times 10^{-3}}{10^{-5} \times 12.1}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.225 \times 100}{12.1}} = 2\pi \sqrt{\frac{122.5}{12.1}} \approx 2\pi \sqrt{10.12} \approx 2\pi \times 3.18 \approx 20 \text{ s}$.
સળિયાને પ્રારંભિક નાના ખૂણેથી સમાંતર સ્થિતિ (સંતુલન સ્થિતિ) સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T/4$ છે.
જરૂરી સમય $= \frac{20}{4} = 5 \text{ s}$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{kq}{r^3} \vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(1, 2, 3)$ માટે,$\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$r_A = \sqrt{14}$. તેથી,$\vec{E}_A = \frac{kq}{14^{3/2}}(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$.
બિંદુ $B(1, 1, -1)$ માટે,$\vec{r}_B = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$r_B = \sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_B = \frac{kq}{3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
બિંદુ $C(2, 2, 2)$ માટે,$\vec{r}_C = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$r_C = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. તેથી,$\vec{E}_C = \frac{kq}{(12)^{3/2}}(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
ચકાસણી $1$: $\vec{E}_A \cdot \vec{E}_B \propto (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 0$. તેથી,$E_A \perp E_B$ સાચું છે.
ચકાસણી $3$: $|E_B| = \frac{kq}{3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{3}$.
$|E_C| = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{12}$.
તેથી,$|E_B| = 4|E_C|$ સાચું છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{p} = q \vec{E} \Delta t$ છે. પ્રથમ દડા માટે,અંતિમ વેગ $\vec{v}_1$ નું મૂલ્ય $v/2$ છે અને તે $\vec{v}$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{p}_1 = m_1(\vec{v}_1 - \vec{v})$ એ $\vec{v}_1$ ને લંબ હોવો જોઈએ. કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $(v/2)^2 = v^2 + (\Delta p_1/m_1)^2 - 2v(\Delta p_1/m_1)\cos(120^{\circ})$. આ ઉકેલતા,$\Delta p_1 = m_1 v \sin(60^{\circ}) = m_1 v \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે. બીજા દડા માટે,વેગ $90^{\circ}$ બદલાય છે,તેથી $\vec{v}_2 \perp \vec{v}$. આથી,$v_2 = v \tan(30^{\circ}) = v/\sqrt{3}$ મળે છે. ગુણોત્તર $\frac{q_2/m_2}{q_1/m_1} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$k_2 = \frac{4}{3} k_1$ થાય છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણનો પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $q_p = e$, $m_p = m$. તેથી, $a_p = \frac{eE}{m}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $q_{\alpha} = 2e$, $m_{\alpha} = 4m$. તેથી, $a_{\alpha} = \frac{2eE}{4m} = \frac{eE}{2m}$.
તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરતા હોવાથી, $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}at^2$ છે. બંને માટે $s$ સમાન હોવાથી, $\frac{1}{2}a_p t_p^2 = \frac{1}{2}a_{\alpha} t_{\alpha}^2$.
$\frac{t_p^2}{t_{\alpha}^2} = \frac{a_{\alpha}}{a_p} = \frac{eE/2m}{eE/m} = \frac{1}{2}$.
તેથી, પ્રોટોન અને $\alpha$-કણ દ્વારા લેવાયેલ સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_p}{t_{\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_A = -5 \mu C$ અને $q_B = +5 \mu C$ છે. અંતર $AB = d = 5 \ cm$ છે. ધારો કે બિંદુ $C$ એ $A$ થી $x$ અંતરે અને $B$ થી $y$ અંતરે છે. બિંદુ $C$ પાસે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા $AB$ ને સમાંતર હોવા માટે,$q_A$ અને $q_B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોના શિરોલંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરવા જોઈએ.
ધારો કે $\theta_A$ અને $\theta_B$ એ સદિશો $\vec{E}_A$ અને $\vec{E}_B$ દ્વારા રેખા $AB$ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે. શિરોલંબ ઘટકો નાબૂદ થવા માટે,$E_A \sin \theta_A = E_B \sin \theta_B$ હોવું જોઈએ.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(|q_A| = |q_B| = q)$,વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો $E_A = \frac{kq}{x^2}$ અને $E_B = \frac{kq}{y^2}$ થશે.
આથી,$\frac{kq}{x^2} \sin \theta_A = \frac{kq}{y^2} \sin \theta_B$. ત્રિકોણ $ABC$ ની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta_A = \frac{h}{x}$ અને $\sin \theta_B = \frac{h}{y}$,જ્યાં $h$ એ રેખા $AB$ થી $C$ નું લંબ અંતર છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{kq}{x^2} \cdot \frac{h}{x} = \frac{kq}{y^2} \cdot \frac{h}{y}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
તેથી,$AC = BC$.

(D) ધારો કે દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 3m$ છે. દળનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 1 : 3$ છે.
વિદ્યુતભાર તેમના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $q_1 : q_2 = 3 : 1$. ધારો કે $q_1 = 3q$ અને $q_2 = q$ છે.
જ્યારે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
દરેક કણનો પ્રવેગ $a = F/m = qE/m$ છે.
ધારો કે તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તો સમય $t$ પછી,વેગ $v = at = (qE/m)t$ થશે.
ગતિઊર્જા $K = (1/2)mv^2 = (1/2)m(qEt/m)^2 = (q^2 E^2 t^2) / (2m)$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 / K_2 = [(q_1^2) / (2m_1)] / [(q_2^2) / (2m_2)] = (q_1/q_2)^2 * (m_2/m_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_1 / K_2 = (3/1)^2 * (3/1) = 9 * 3 = 27 / 1$.
આમ,ગુણોત્તર $27: 1$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. વિદ્યુતભારો ખૂણા $A, B, C, D$ પર છે. બાજુ $CD$ ના મધ્યબિંદુ $M$ ને ધ્યાનમાં લો. $C$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C$ અને $E_D$ છે. $MC = MD = l/2$ હોવાથી,$E_C = k q / (l/2)^2$ જે $C$ થી દૂર જાય છે અને $E_D = k q / (l/2)^2$ જે $D$ થી દૂર જાય છે. આ બંને સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
હવે,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લો. $A$ થી $M$ નું અંતર $r = \sqrt{l^2 + (l/2)^2} = \sqrt{5l^2/4} = l\sqrt{5}/2$ છે. ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_A = E_B = k q / r^2 = k q / (5l^2/4) = 4kq / 5l^2$ છે.
$E_A$ અને $E_B$ ના શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટકો નાબૂદ થાય છે. ધારો કે સદિશ $AM$ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તો $\cos \theta = l / r = l / (l\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = 2 E_A \cos \theta = 2 \times (4kq / 5l^2) \times (2/\sqrt{5}) = 16kq / 5\sqrt{5}l^2$ થાય.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_m$ એ માધ્યમની પરમિટિવિટી છે.
આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 8 \ C$ છે.
માધ્યમની પરમિટિવિટી $\varepsilon_m = K \varepsilon_0$ છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
અહીં $K = 4$ આપેલ છે,તેથી $\varepsilon_m = 4 \varepsilon_0$.
આ કિંમતોને ફ્લક્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{8}{4 \varepsilon_0} = \frac{2}{\varepsilon_0}$.

$(C)$ ગૌસનો નિયમ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સને બંધ સપાટી વડે ઘેરાયેલા વિદ્યુતભાર સાથે સાંકળે છે, જે $(V)$ કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે。
$(B)$ ફેરાડેનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ એ $(III)$ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે。
$(C)$ એમ્પીયરનો નિયમ બંધ લૂપની આસપાસના ચુંબકીય ક્ષેત્રને લૂપમાંથી પસાર થતા વિદ્યુત પ્રવાહ સાથે સાંકળે છે. મેક્સવેલના સુધારાના સંદર્ભમાં, તેમાં $(IV)$ વિદ્યુત ફ્લક્સમાં ફેરફાર (સ્થાનાંતર પ્રવાહ) નો સમાવેશ થાય છે。
$(D)$ કિર્ચોફના નિયમો $(II)$ વિદ્યુતભાર સંરક્ષણ (જંકશનનો નિયમ) અને ઉર્જા સંરક્ષણ (લૂપનો નિયમ) પર આધારિત છે。
તેથી, સાચી જોડ $A-V, B-III, C-IV, D-II$ છે。

(C) ગોળાકાર કવચનું સ્થિતિમાન $V = 15 \times 10^6 \,V$ આપેલ છે.
આસપાસના માધ્યમની ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ, જે મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ દર્શાવે છે જે માધ્યમ બ્રેકડાઉન પહેલા સહન કરી શકે છે, તે $E = 5 \times 10^7 \,V/m$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કવચ માટે, સ્થિતિમાન અને તેની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $V = E \times r$ છે.
તેથી, જરૂરી લઘુત્તમ ત્રિજ્યા $r = \frac{V}{E}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{15 \times 10^6 \,V}{5 \times 10^7 \,V/m} = 0.3 \,m$.
કવચનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$ થાય.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા, $d = 0.6 \times 100 \,cm = 60 \,cm$ મળે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ $E = 3 \hat{i} + 4y \hat{j}$ પરથી:
$-\frac{\partial V}{\partial x} = 3 \implies \frac{\partial V}{\partial x} = -3$
$-\frac{\partial V}{\partial y} = 4y \implies \frac{\partial V}{\partial y} = -4y$
આ આંશિક વિકલનોનું સંકલન કરતા:
$V(x, y) = \int -3 \ dx = -3x + f(y)$
$V(x, y) = \int -4y \ dy = -2y^2 + g(x)$
આ બંનેને જોડતા,સામાન્ય સ્થિતિમાન વિધેય $V(x, y) = -(3x + 2y^2) + C$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર સ્થિતિમાન $0$ હોવાથી,$V(0, 0) = -(3(0) + 2(0)^2) + C = 0$,જે દર્શાવે છે કે $C = 0$.
તેથી,$V(x, y) = -(3x + 2y^2)$.
બિંદુ $(2, 1)$ પર સ્થિતિમાન $V(2, 1) = -(3(2) + 2(1)^2) = -(6 + 2) = -8 \ V$ થાય.

(A) મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા ત્યારે મળે છે જ્યારે બે હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) એકબીજાના સંપર્કમાં હોય.
બે ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ તેમની ત્રિજ્યાના સરવાળા જેટલું હોય છે,એટલે કે $r = 2 \times R = 2 \times 1.1 \times 10^{-15} \ m = 2.2 \times 10^{-15} \ m$.
સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U = 9 \times 10^9 \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{2.2 \times 10^{-15}} \ J$.
$U = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{-29} \times 10^9}{2.2 \times 10^{-15}} = \frac{23.04 \times 10^{-20}}{2.2 \times 10^{-15}} \approx 10.47 \times 10^{-5} \ J$.
$MeV$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,$1.6 \times 10^{-13} \ J/MeV$ વડે ભાગતા:
$U = \frac{10.47 \times 10^{-5}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 6.54 \times 10^7 \ eV = 0.65 \ MeV$.

(A) પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $I_S = \frac{NBA}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે બંને ગેલ્વેનોમીટર માટે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ સમાન છે,તો પ્રવાહ સંવેદનશીલતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{SX}}{I_{SY}} = \frac{N_X B_X A_X}{N_Y B_Y A_Y} = \frac{30 \times 0.25 \times 4.8 \times 10^{-3}}{45 \times 0.50 \times 2.4 \times 10^{-3}} = \frac{30}{45} \times \frac{0.25}{0.50} \times \frac{4.8}{2.4} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 = \frac{2}{3}$.
વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $V_S = \frac{I_S}{R} = \frac{NBA}{kR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{SX}}{V_{SY}} = \frac{I_{SX}}{I_{SY}} \times \frac{R_Y}{R_X} = \frac{2}{3} \times \frac{14}{10} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 3$ અને $14 : 15$ છે.

(B) $i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ વહન કરતા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચે $x$ અંતરે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x}$ છે.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે.
અંતર $d$ થી $2d$ કરવા માટે,આપણે આ આકર્ષી બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ થયેલું કાર્ય એ બળનું અંતરની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવાથી મળે છે:
$W = \int_{d}^{2d} F \, dx = \int_{d}^{2d} \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x} \, dx$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} [\ln(x)]_{d}^{2d}$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} (\ln(2d) - \ln(d))$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln\left(\frac{2d}{d}\right) = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln(2)$.

(D) $i_1$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અનંત લંબાઈના સીધા તાર વડે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ (કાગળની અંદર અથવા બહારની તરફ) હોય છે.
લંબચોરસ લૂપના દરેક ભાગ પર લાગતું બળ $F = \int i_2 (dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈના બે શિરોલંબ ભાગો માટે,બળો $F_1 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi a}$ (આકર્ષી) અને $F_2 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi b}$ (અપાકર્ષી) છે.
બે આડા ભાગો માટે,બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આ તમામ બળો લૂપના સમતલમાં કાર્ય કરે છે અને તેમની કાર્યરેખા લૂપના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે (અથવા લૂપના સમતલને સમાંતર છે),તેથી લૂપના સમતલમાં કોઈપણ અક્ષની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
ચોક્કસપણે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $A$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર છે. ટોર્ક $\tau = m \times B = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $\theta = 0^{\circ}$ હોવાથી,ટોર્ક $\tau = 0$ થાય છે.

$(A)$ ક્યુરીના નિયમ મુજબ, પેરામેગ્નેટિક નમૂનાની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને તાપમાન $T$ ના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $M \propto \frac{B}{T}$.
શરૂઆતમાં, કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_1$ એ ડાયપોલની સંખ્યા, વ્યક્તિગત ડાયપોલ મોમેન્ટ અને સંતૃપ્તિ ટકાવારીનો ગુણાકાર છે:
$M_1 = (3 \times 10^{24}) \times (2 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2) \times 0.10 = 6 \text{ A-m}^2$.
આપેલ પ્રારંભિક શરતો: $B_1 = 880 \text{ mT}$ અને $T_1 = 3.5 \text{ K}$.
આપેલ અંતિમ શરતો: $B_2 = 990 \text{ mT}$ અને $T_2 = 2.1 \text{ K}$.
$M \propto \frac{B}{T}$ ના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{M_2}{M_1} = \frac{B_2}{B_1} \times \frac{T_1}{T_2}$
$M_2 = M_1 \times \left( \frac{B_2}{B_1} \right) \times \left( \frac{T_1}{T_2} \right)$
$M_2 = 6 \times \left( \frac{990}{880} \right) \times \left( \frac{3.5}{2.1} \right)$
$M_2 = 6 \times \frac{9}{8} \times \frac{5}{3} = 11.25 \text{ A-m}^2$.

(D) અનંત લંબાઈના તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે.
$X$-અક્ષ પર રહેલા $I_x = 4 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે બિંદુ $P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઋણ $Y$-દિશામાં હશે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ).
$B_x = \frac{\mu_0 (4)}{2 \pi d} (-\hat{j})$
$Y$-અક્ષ પર રહેલા $I_y = 3 \text{ A}$ પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે બિંદુ $P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન $X$-દિશામાં હશે.
$B_y = \frac{\mu_0 (3)}{2 \pi d} (\hat{i})$
આ બંને ક્ષેત્રો પરસ્પર લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે:
$B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{4 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{4^2 + 3^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{16 + 9}$
$B = \frac{5 \mu_0}{2 \pi d} \text{ T}$

(A) વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $r = 3 \text{ cm}$ અને $x = 4 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી અંતર $d = \sqrt{r^2 + x^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ cm}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $54 \mu\text{T} = \frac{\mu_0 I (3 \text{ cm})^2}{2(5 \text{ cm})^3} = \frac{\mu_0 I (9)}{2(125)}$.
તેથી,$\frac{\mu_0 I}{2} = \frac{54 \times 125}{9} = 750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}}{3 \text{ cm}} = 250 \mu\text{T}$ મળે છે.

(A) બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતા $i$ પ્રવાહ ધરાવતા સીધા તારના ભાગને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે,કારણ કે બિંદુ $P$ આ ભાગની અક્ષ પર આવેલું છે.
બીજા ભાગ માટે,બિંદુ $P$ થી તારની રેખા સુધીનું લંબ અંતર $r = d \sin(45^{\circ}) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
$r$ લંબ અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = \frac{d}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d / \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi d} = \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi d}$ મળે છે.

(C) સીમિત સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
આપેલ છે: $L = 32 \,cm$, તેથી અડધી લંબાઈ $a = 16 \,cm$. લંબ અંતર $r = 12 \,cm$.
કર્ણ $d = \sqrt{r^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \,cm$.
તેથી, $\sin \theta_1 = \sin \theta_2 = \frac{a}{d} = \frac{16}{20} = 0.8$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{10^{-7} \times 30}{12 \times 10^{-2}} (0.8 + 0.8)$
$B = \frac{30 \times 10^{-5}}{12} (1.6) = 2.5 \times 10^{-5} \times 1.6 = 4 \times 10^{-5} \,T$.
$1 \,T = 10^4 \,G$ હોવાથી, $B = 4 \times 10^{-5} \times 10^4 \,G = 0.4 \,G$.

(D) $\text{I વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા r ત્રિજ્યાના નાના વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર x અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર } B_1 = \frac{\mu_0 I r^2}{2 x^3} \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે.}
\text{આપેલ છે: } r = 0.3 \,cm = 0.3 \times 10^{-2} \,m, I = 2 \,A, x = 15 \,cm = 0.15 \,m.
B_1 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times (0.3 \times 10^{-2})^2}{2 \times (0.15)^3} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 0.09 \times 10^{-4}}{2 \times 0.003375} \approx 6.7 \times 10^{-9} \,T.
R = 20 \,cm = 0.2 \,m \text{ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા લૂપ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ } \phi_2 = B_1 \times A_2 = B_1 \times \pi R^2 \text{ છે।}
\phi_2 = (6.7 \times 10^{-9}) \times \pi \times (0.2)^2 \approx 0.84 \times 10^{-9} \,Wb.
\text{ગણતરી મુજબ, સાચો વિકલ્પ D છે.}$

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
$i$ પ્રવાહ વહેતા અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ છે.
જ્યારે લૂપમાં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોય,ત્યારે લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે,અને સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે. તેથી,$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2r} - \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 - \frac{1}{\pi})$.
જ્યારે લૂપમાં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે,અને સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે. તેથી,$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2r} + \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 + \frac{1}{\pi})$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 - \frac{1}{\pi}}{1 + \frac{1}{\pi}} = \frac{\pi - 1}{\pi + 1}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ મૂકતા,આપણને $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{22}{7} - 1}{\frac{22}{7} + 1} = \frac{15}{29}$ મળે છે.

(A) અર્ધ-અનંત તારને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ છે.
આડા ભાગ માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી આ ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
ત્રાંસા ભાગ માટે,બિંદુ $P$ થી તારનું લંબ અંતર $r = d \sin 45^{\circ} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
ત્રાંસા તારના છેડાઓ દ્વારા $P$ આગળ બનતા ખૂણા $\phi_1 = 90^{\circ}$ (વળાંક $Q$ થી) અને $\phi_2 = 45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} - \sin 45^{\circ})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d/\sqrt{2})} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{4 \pi d} (\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sqrt{2}-1)$.

(C) ઉગમબિંદુ એ પ્રથમ ચુંબક $(M_1)$ ની અક્ષીય રેખા પર અને બીજા ચુંબક $(M_2)$ ની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે。
આપેલ છે: $M = 9 \text{ Am}^2$, $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
ઉગમબિંદુ પર $M_1$ (અક્ષીય બિંદુ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{18}{27 \times 10^{-6}} = \frac{2}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
આ ક્ષેત્ર ધન $X$-અક્ષની દિશામાં છે。
ઉગમબિંદુ પર $M_2$ (વિષુવવૃત્તીય બિંદુ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{27 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
ચુંબક $M_2$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ ઋણ $X$-દિશામાં હોવાથી, ઉગમબિંદુ પરનું વિષુવવૃત્તીય ક્ષેત્ર ધન $X$-દિશામાં હોય છે。
બંને $B_1$ અને $B_2$ એક જ દિશામાં હોવાથી, પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = B_1 + B_2 = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) \times 10^{-1} \text{ T} = 1 \times 10^{-1} \text{ T} = 0.1 \text{ T}$.

(C) કારણ કે વેગ $v$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ નથી,તેથી કણનો માર્ગ હેલિકલ (કુંતલાકાર) હોય છે.
હેલિકલ માર્ગની પિચનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Pitch = (v \cos \theta) \times T = (v \cos \theta) \times \frac{2 \pi m}{B q}$
આપેલ છે:
$v = 4 \times 10^5 \ ms^{-1}$
$\theta = 60^{\circ}$
$B = 0.314 \ T$
$m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ (પ્રોટોનનો વીજભાર)
કિંમતો મૂકતા:
$Pitch = (4 \times 10^5 \times \cos 60^{\circ}) \times \frac{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-27}}{0.314 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$Pitch = (4 \times 10^5 \times 0.5) \times \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times \frac{6.28 \times 10^{-27}}{0.314 \times 10^{-19}}$
$Pitch = 2 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-8}$
$Pitch = 40 \times 10^{-3} \ m = 4 \times 10^{-2} \ m = 4 \ cm$.

(D) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકની અક્ષ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ને લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો ત્યારે બનાવે છે જ્યારે અક્ષીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકના મૂલ્ય જેટલું હોય.
તેથી,$B_{axial} = B_H$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^{-7} \times 2 \times 0.21}{r^3} = 4.2 \times 10^{-5}$.
$r^3 = \frac{2 \times 0.21 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.42 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = 0.1 \times 10^{-2} = 10^{-3} \ m^3$.
$r = 0.1 \ m = 10 \ cm$.

(B) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$,સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ અને નમન કોણ $(\delta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$.
આપેલ છે: $B_V = 0.3464 \ G$ અને $\delta = 30^{\circ}$.
$B_H$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $B_H = \frac{B_V}{\tan \delta}$.
કિંમતો મૂકતા: $B_H = \frac{0.3464}{\tan 30^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$,તેથી $B_H = 0.3464 \times \sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,આપણને મળે છે: $B_H = 0.3464 \times 1.732 \approx 0.6 \ G$.

(C) ડીપનો ખૂણો $\theta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$.
અહીં આપેલ છે કે સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ એ ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ ના $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ગણો છે,એટલે કે $B_H = \frac{1}{\sqrt{3}} B_V$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{B_V}{\frac{1}{\sqrt{3}} B_V} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી ડીપનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થાય.

(D) ટૂંકા ચુંબકના દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ, $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને $I$ જડત્વની ચાકમાત્રા છે. તેથી, $f \propto \sqrt{B}$.
શરૂઆતમાં, $f_1 = 10 \, Hz$ અને $B_1 = 12 \, \mu T$.
$r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ અંતરે લાંબા ઉર્ધ્વ તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_w = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 15}{0.2} = 15 \, \mu T$ છે.
તાર ચુંબકની પશ્ચિમમાં હોવાથી, નીચેની તરફના પ્રવાહ માટે જમણા હાથના નિયમ મુજબ, તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર દિશામાં હશે. પૃથ્વીનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ પણ ઉત્તર દિશામાં છે.
જો ક્ષેત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો $B_2 = |12 - 15| = 3 \, \mu T$. તેથી, $f_2 = 10 \times \sqrt{3/12} = 10 \times 0.5 = 5 \, Hz$. આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 13.86 \times 10^{16} \,s$,દળ $m = 1 \,g$,અને મોલર દળ $M = 238 \,g/mol$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = \frac{m}{M} \times N_A$,જ્યાં $N_A = 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{0.693}{13.86 \times 10^{16}} \times \frac{1}{238} \times 6.022 \times 10^{23}$
$R = \frac{0.693 \times 6.022}{13.86 \times 238} \times 10^7$
$R = \frac{4.173}{3298.68} \times 10^7 \approx 0.001265 \times 10^7 = 1.265 \times 10^4 \,s^{-1}$.
આમ,એક્ટિવિટી આશરે $1.26 \times 10^4 \,s^{-1}$ થાય છે.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ને રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
જ્યાં $N$ એ $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો છે.
આપેલ છે કે નમૂનાનો $93.75 \%$ ક્ષય થયો છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો:
$N = (100 - 93.75) \% \text{ of } N_0 = 6.25 \% \text{ of } N_0 = \frac{6.25}{100} N_0 = \frac{1}{16} N_0$
આ કિંમતને ક્ષયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{16} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
કારણ કે $16 = 2^4$,તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
તેથી,$n = 4$.

(C) ધારો કે $X$ ના પ્રારંભિક પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
$t$ સમયે,ધારો કે $X$ ના બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_X$ છે અને બનેલા $Y$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_Y$ છે.
જેમ કે $X$ એ $Y$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા અચળ રહે છે: $N_0 = N_X + N_Y$.
આપેલ ગુણોત્તર $N_X : N_Y = 1 : 4$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $N_Y = 4N_X$.
આને સંરક્ષણ સમીકરણમાં મૂકતા: $N_0 = N_X + 4N_X = 5N_X$.
આમ,$X$ નો બાકી રહેલો અંશ $\frac{N_X}{N_0} = \frac{1}{5}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $\frac{N_X}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $T_{1/2} = 2 \text{ કલાક}$:
$\frac{1}{5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા:
જેમ કે $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{8} < \frac{1}{5} < \frac{1}{4}$,
તેથી $\left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}} < \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
આધાર $1$ કરતા નાનો હોવાથી,ઘાતાંક માટે અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$2 < \frac{t}{2} < 3$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $4 < t < 6$ મળે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ સમય $t$ પર હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $R_1 = \lambda N_1$ અને $R_2 = \lambda N_2$.
સમયગાળા $(t_2 - t_1)$ માં વિભંજિત થયેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $\Delta N = N_1 - N_2$ છે.
$N = \frac{R}{\lambda}$ હોવાથી,$\Delta N = \frac{R_1 - R_2}{\lambda}$ મળે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
$\Delta N$ ના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta N = \frac{(R_1 - R_2)T}{\ln 2}$.
આપણને આપેલ છે કે $\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{\ln 4}$.
$\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$ હોવાથી:
$\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{2 \ln 2}$.
$\Delta N$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{R_1 - R_2}{\ln 2} = \frac{n(R_1 - R_2)}{2 \ln 2}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $(R_1 - R_2)$ અને $\ln 2$ ને દૂર કરતા:
$1 = \frac{n}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે અને મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે.
વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$u = -u_1$ અને $v = v_1$. મોટવણી $m = \frac{v_1}{u_1}$ છે,તેથી $v_1 = m u_1$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{m u_1} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{u_1} (\frac{1}{m} + 1) = \frac{1}{u_1} (\frac{1+m}{m})$.
આમ,$\frac{u_1}{f} = \frac{1+m}{m} \dots (1)$.
આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$u = -u_2$ અને $v = -v_2$. આભાસી પ્રતિબિંબનું કદ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ કરતા $2$ ગણું છે,તેથી $v_2 = 2 v_1 = 2 m u_1$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-2 m u_1} - \frac{1}{-u_2} = \frac{1}{u_2} - \frac{1}{2 m u_1}$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $\frac{u_1-u_2}{f} = \frac{3}{2m}$,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{2 m (u_1-u_2)}{3}$.

(C) પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ પ્રિઝમ દ્વારા $\delta$ ખૂણે વિચલિત થાય છે, જે નીચે મુજબ છે:
$\delta = (\mu - 1) A = (1.5 - 1) \times 1.8^{\circ} = 0.5 \times 1.8^{\circ} = 0.9^{\circ}$.
આ ખૂણાને રેડિયનમાં ફેરવતા:
$\delta = 0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \text{ rad} = \frac{\pi}{200} \text{ rad}$.
પ્રિઝમમાંથી પસાર થયા પછી આ કિરણપુંજ સમાંતર રહે છે અને મુખ્ય અક્ષ સાથે $\delta$ આપાતકોણે અંતર્ગોળ અરીસા પર પડે છે।
કિરણો અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્રના સમતલમાં એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે।
મુખ્ય અક્ષથી આ બિંદુનું અંતર $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = f \times \delta$, જ્યાં $f$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે।
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 40 \,cm$ આપેલ હોવાથી, કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20 \,cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = 20 \,cm \times (0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = 20 \times \frac{\pi}{200} \,cm = \frac{\pi}{10} \,cm = 0.314 \,cm = 3.14 \,mm$.

(C) માઇક્રોસ્કોપ દ્વારા બે નજીકના પદાર્થોને સ્પષ્ટ રીતે અલગ જોવા માટે લઘુત્તમ અંતર $(d_{\min})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d_{\min} = \frac{1.22 f \lambda}{D}$
આપેલ છે:
$f = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$
$\lambda = 5500 \text{ Å} = 5500 \times 10^{-10} \text{ m}$
$D = 8 \text{ mm} = 8 \times 10^{-3} \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-2} \times 5500 \times 10^{-10}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{1.22 \times 5 \times 5500 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = \frac{33550 \times 10^{-12}}{8 \times 10^{-3}}$
$d_{\min} = 4193.75 \times 10^{-9} \text{ m} \approx 4.19 \times 10^{-6} \text{ m}$
$d_{\min} \approx 4.2 \mu\text{m}$