AP EAMCET 2014 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $x = \frac{a}{N}$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $KE$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 \left[ a^2 - \left( \frac{a}{N} \right)^2 \right]$
$x = \frac{a}{N}$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $PE$ નીચે મુજબ છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \left( \frac{a}{N} \right)^2$
$KE$ અને $PE$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 \left[ a^2 - \frac{a^2}{N^2} \right]}{\frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2}}$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{KE}{PE} = \frac{a^2 (1 - \frac{1}{N^2})}{\frac{a^2}{N^2}} = \frac{\frac{N^2 - 1}{N^2}}{\frac{1}{N^2}} = N^2 - 1$

(D) જર્મેનિયમ $(Ge)$ આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $14$ નું તત્વ છે.
$p$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બનાવવા માટે,સમૂહ $13$ ના તત્વને (જેમાં $Ge$ કરતા એક સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન ઓછો હોય છે) ડોપન્ટ તરીકે ઉમેરવું આવશ્યક છે.
આ એક ઇલેક્ટ્રોન-ઉણપ ધરાવતો બંધ અથવા 'હોલ' બનાવે છે,જે ધન વીજભાર વાહક તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Ga$ (ગેલિયમ) સમૂહ $13$ નું તત્વ છે,જ્યારે $Bi$,$Sb$,અને $As$ સમૂહ $15$ ના તત્વો છે (જે $n$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બનાવશે).
તેથી,$Ga$ તેને $p$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બનાવે છે.

(D) ,$Si$,અને $Ge$ સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં પાણી કે વરાળ સાથે પ્રક્રિયા કરતા નથી.
$Sn$ ઊંચા તાપમાને વરાળ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ટીન$(IV)$ ઓક્સાઇડ અને હાઇડ્રોજન વાયુ બનાવે છે.
રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$Sn_{(s)} + 2H_2O_{(g)} \xrightarrow{\Delta} SnO_{2(s)} + 2H_{2(g)}$

(C) સમતલમાં કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 30$ છે. તેમાંથી $m = 8$ બિંદુઓ સમરેખ છે.
સીધી રેખા બનાવવા માટે,આપણે $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$30$ માંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{30}C_2$ છે.
કારણ કે $8$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેઓ $^8C_2$ રેખાઓને બદલે માત્ર $1$ રેખા બનાવે છે.
તેથી,બનેલી સીધી રેખાઓની કુલ સંખ્યા:
$\text{કુલ રેખાઓ} = ^{30}C_2 - ^8C_2 + 1$
$= \frac{30 \times 29}{2} - \frac{8 \times 7}{2} + 1$
$= 435 - 28 + 1 = 408$.

(A) આપેલ સરવાળો $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (2n+1)^2$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ:
$S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + ((2n-1)^2 - (2n)^2) + (2n+1)^2$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = (1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + \dots + ((2n-1)-2n)((2n-1)+2n) + (2n+1)^2$.
$S = -1(3) - 1(7) - 1(11) - \dots - 1(4n-1) + (2n+1)^2$.
$S = -(3 + 7 + 11 + \dots + (4n-1)) + (2n+1)^2$.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ $n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a=3$ અને અંતિમ પદ $l=4n-1$ છે.
સરવાળો $= \frac{n}{2}(3 + 4n - 1) = \frac{n}{2}(4n+2) = n(2n+1)$.
તેથી,$S = -n(2n+1) + (2n+1)^2$.
$S = (2n+1) [-(n) + (2n+1)]$.
$S = (2n+1)(n+1)$.

(A) પગલું $1$: રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષમાં $P(1,3)$ નું પરાવર્તન $Q(3,1)$ આપે છે.
પગલું $2$: $Q(3,1)$ નું $X$-અક્ષની ધન દિશામાં $3$ એકમ સ્થાનાંતર કરતા $R(3+3, 1) = R(6,1)$ મળે છે.
પગલું $3$: $R(6,1)$ નું ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $\theta = \frac{\pi}{6}$ ના ખૂણે પરિભ્રમણ કરતા,નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે:
$x' = 6 \cos \frac{\pi}{6} + 1 \sin \frac{\pi}{6} = \frac{6 \sqrt{3}+1}{2}$
$y' = -6 \sin \frac{\pi}{6} + 1 \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}-6}{2}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $\left(\frac{6 \sqrt{3}+1}{2}, \frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$B(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ અને $C(1, 0)$ છે.
ધારો કે મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{a \cos \theta + b \sin \theta + 1}{3} \implies 3x - 1 = a \cos \theta + b \sin \theta$
$y = \frac{a \sin \theta - b \cos \theta + 0}{3} \implies 3y = a \sin \theta - b \cos \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2$
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y = 6$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $4x + 3y = k$ સ્વરૂપમાં હોય.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા,$\frac{x}{k/4} + \frac{y}{k/3} = 1$ મળે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $OA = |\frac{k}{4}|$ અને $OB = |\frac{k}{3}|$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = 6$ છે.
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{4}| \times |\frac{k}{3}| = 6$
$\frac{k^2}{24} = 6$
$k^2 = 144$
$k = \pm 12$.
આમ,જરૂરી સમીકરણો $4x + 3y = 12$ અથવા $4x + 3y = -12$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$4x + 3y = 12$ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) ધારો કે $P = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ અને $Q = (1, 2)$. રેખા એ $PQ$ રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{-\frac{7}{5} + 1}{2}, \frac{-\frac{6}{5} + 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{2 - (-\frac{6}{5})}{1 - (-\frac{7}{5})} = \frac{\frac{16}{5}}{\frac{12}{5}} = \frac{4}{3}$ છે.
$PQ$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{3}{4}$ થાય.
$M$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - \frac{2}{5} = -\frac{3}{4}\left(x + \frac{1}{5}\right)$ છે.
$20$ વડે ગુણતા: $20y - 8 = -15x - 3$,જેનું સાદું રૂપ $15x + 20y = 5$ અથવા $3x + 4y = 1$ થાય છે.

(A) બિંદુઓ $A(k, 2k)$,$B(3k, 3k)$,અને $C(3, 1)$ સમરેખ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{3k - 2k}{3k - k} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
ઢાળ સરખાવતા: $\frac{1}{2} = \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
$3 - 3k = 2(1 - 3k)$ $\Rightarrow 3 - 3k = 2 - 6k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
$k = -\frac{1}{3}$ ને $B$ અને $C$ ના યામમાં મૂકતા:
$B = (-1, -1)$ અને $C = (3, 1)$.
$B(-1, -1)$ અને $C(3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = \frac{2}{4}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$.
$2y - 2 = x - 3 \Rightarrow x - 2y - 1 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + \alpha y^2 + 2 \beta y - a^2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના વ્યાપક સ્વરૂપ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=\alpha, H=0, G=0, F=\beta, C=-a^2$ મળે છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત $A + B = 0$ છે.
તેથી,$1 + \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1)(\alpha)(-a^2) + 2(\beta)(0)(0) - (1)(\beta)^2 - (\alpha)(0)^2 - (-a^2)(0)^2 = 0$.
આનું સાદું રૂપ $-\alpha a^2 - \beta^2 = 0$ થાય છે.
$\alpha = -1$ મૂકતા,$-(-1)a^2 - \beta^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ $a^2 - \beta^2 = 0$ થાય છે.
આમ,$\beta^2 = a^2$,તેથી $\beta = \pm a$. વિકલ્પો જોતા,$\beta = a$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,4)$ છે.
કેન્દ્ર $(2,4)$ થી રેખા $x+y+2=0$ સુધીનું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|2+4+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
જીવાની લંબાઈ $6$ છે,તેથી કેન્દ્રથી જીવા પરનો લંબ જીવાને $3$ લંબાઈના બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. ધારો કે $A$ એ $C$ થી જીવા પરનો લંબપાદ છે અને $B$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે જ્યાં જીવા તેને મળે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CAB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^2 = (AC)^2 + (AB)^2$
$r^2 = (4\sqrt{2})^2 + (3)^2$
$r^2 = 32 + 9 = 41$
$r = \sqrt{41}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm 2\sqrt{1+m^2}$ છે.
પરવલય $y^2=32x$ માટે નાભિ $(8, 0)$ છે.
સ્પર્શક નાભિમાંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = 8m \pm 2\sqrt{1+m^2}$.
સાદું રૂપ આપતા,$4m = \mp \sqrt{1+m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16m^2 = 1+m^2$.
તેથી $15m^2 = 1$,એટલે કે $m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-4y+7=0$ અને $S_2: x^2+y^2-12x-10y+45=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2+2^2-7} = \sqrt{8-7} = 1$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (6, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{6^2+5^2-45} = \sqrt{36+25-45} = \sqrt{16} = 4$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
અહીં $C_1C_2 = r_1+r_2 = 1+4 = 5$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $C_1C_2$ નું $r_1:r_2 = 1:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left(\frac{1(6)+4(2)}{1+4}, \frac{1(5)+4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+8}{5}, \frac{5+8}{5}\right) = \left(\frac{14}{5}, \frac{13}{5}\right)$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-20x+4=0$ નું કેન્દ્ર $(10, 0)$ છે અને તેનો અચળ પદ $4$ છે.
બે વર્તુળો લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(-g \times 10 + (-f) \times 0) = c + 4$,જે $-20g = c + 4$ આપે છે,એટલે કે $c = -20g - 4$.
વર્તુળ રેખા $x=2$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખા $x=2$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ જેટલું થાય.
તેથી,$|-g-2| = \sqrt{g^2+f^2-c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(g+2)^2 = g^2+f^2-c$.
$g^2+4g+4 = g^2+f^2-c$.
$f^2 - 4g - c - 4 = 0$.
$c = -20g - 4$ મૂકતા: $f^2 - 4g - (-20g - 4) - 4 = 0$.
$f^2 - 4g + 20g + 4 - 4 = 0$.
$f^2 + 16g = 0$.
$(-g, -f)$ ને $(x, y)$ સાથે બદલતા,આપણને $g = -x$ અને $f = -y$ મળે છે.
$(-y)^2 + 16(-x) = 0$ $\Rightarrow y^2 - 16x = 0$ $\Rightarrow y^2 = 16x$.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2-4y=0$
$C_2: x^2+y^2-8x-4y+11=0$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-4y) - (x^2+y^2-8x-4y+11) = 0$
$8x - 11 = 0 \Rightarrow x = \frac{11}{8}$
વર્તુળ $C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
કેન્દ્ર $O(0, 2)$ થી જીવા $8x - 11 = 0$ પરનું લંબ અંતર $d$:
$d = \frac{|8(0) - 11|}{\sqrt{8^2 + 0^2}} = \frac{11}{8}$
જીવાની અડધી લંબાઈ $PM$:
$PM = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{11}{8})^2} = \sqrt{4 - \frac{121}{64}} = \sqrt{\frac{135}{64}} = \frac{\sqrt{135}}{8}$
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2 \times PM = 2 \times \frac{\sqrt{135}}{8} = \frac{\sqrt{135}}{4} \text{ એકમ}$.

(A) બે રેખાઓ $L_1: lx + my + n = 0$ અને $L_2: l_1x + m_1y + n_1 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સંદર્ભમાં સંયુગ્મી છે જો પ્રથમ રેખાનો ધ્રુવ (pole) બીજી રેખા પર આવેલો હોય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સંદર્ભમાં રેખા $lx + my + n = 0$ નો ધ્રુવ $(x_0, y_0)$ છે,જ્યાં $x_0 = -\frac{lr^2}{n}$ અને $y_0 = -\frac{mr^2}{n}$.
આ બિંદુ રેખા $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ પર હોવાથી,આપણને મળે:
$l_1(-\frac{lr^2}{n}) + m_1(-\frac{mr^2}{n}) + n_1 = 0$
$-n$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$l_1lr^2 + m_1mr^2 = nn_1$
$r^2(ll_1 + mm_1) = nn_1$

(B) ધારો કે પરવલય $y^2=4ax$ પરનું બિંદુ $P$ એ $(at^2, 2at)$ છે. $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
પરવલય અને અભિલંબના છેદબિંદુઓને શિરોબિંદુ $O(0,0)$ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે અભિલંબના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પરવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ.
અભિલંબના સમીકરણ પરથી,$1 = \frac{y + tx}{2at + at^3}$.
આને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax(1)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y + tx}{2at + at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4axy + 4atx^2$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
$4at - (2at + at^3) = 0$
$2at - at^3 = 0$
અહીં $a \neq 0$ અને $t \neq 0$ હોવાથી,$at$ વડે ભાગતા:
$2 - t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = 2$.

(A) $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (x)^{\frac{18-r}{2}} (-2)^r (x)^{-\frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{\frac{18-r-r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{9-r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$9-r = 0 \Rightarrow r = 9$
$r=9$ મુકતા:
$T_{9+1} = { }^{18} C_9 (-2)^9$
$T_{10} = -{ }^{18} C_9 2^9$

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(a+bx)^{-3} = a^{-3}(1 + \frac{bx}{a})^{-3} = \frac{1}{a^3}(1 - 3(\frac{bx}{a}) + \dots) = \frac{1}{a^3} - \frac{3bx}{a^4} + \dots$
આને આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{27} + \frac{1}{3}x + \dots$ સાથે સરખાવતા:
$1$) $\frac{1}{a^3} = \frac{1}{27} \implies a^3 = 27 \implies a = 3$.
$2$) $-\frac{3b}{a^4} = \frac{1}{3}$.
$a=3$ મૂકતા: $-\frac{3b}{3^4} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{3^3} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{27} = \frac{1}{3} \implies b = -9$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (3, -9)$ છે.

(B) નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ પર છે,તેથી $ae = 4$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કારણ કે $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2 = a^2 - 16$,સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 16} = 1$ બને છે.
બિંદુ $(4 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6})$ મૂકતા:
$\frac{(4 \sqrt{2})^2}{a^2} + \frac{(2 \sqrt{6})^2}{a^2 - 16} = 1$
$\frac{32}{a^2} + \frac{24}{a^2 - 16} = 1$
$32(a^2 - 16) + 24a^2 = a^2(a^2 - 16)$
$56a^2 - 512 = a^4 - 16a^2$
$a^4 - 72a^2 + 512 = 0$
$(a^2 - 64)(a^2 - 8) = 0$.
કારણ કે $a > ae = 4$,તેથી $a^2 = 64$ અને $a = 8$.
તેથી $e = \frac{ae}{a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ નું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે,કારણ કે નિયામક વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલયના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ છે.
તેથી,નિયામક વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી ઉપવલય પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન થાય.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ છે.
ઉપવલય માટે,$a = 13$ અને $b = 5$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ છે.
ઉપવલયની નાભિ $(\pm ae, 0) = (\pm 12, 0)$ છે.
અતિવલય $(\pm 12, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{144}{a^2} = 1$,એટલે કે $a^2 = 144$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ હોવાથી,$e \times e' = 1$.
$\frac{12}{13} \times \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$.
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$.
$\frac{b^2}{144} = \frac{25}{144}$,તેથી $b^2 = 25$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f:[-2,2] \rightarrow R$ એ $[-2,2]$ પર સતત છે,તેથી તે $x=0$ આગળ પણ સતત હોવું જોઈએ.
$x=0$ આગળ સાતત્ય માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધો:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1+cx}-\sqrt{1-cx}}{x}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx}$ વડે ગુણતા:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1+cx)-(1-cx)}{x(\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2cx}{x(\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx})} = \frac{2c}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{2c}{2} = c$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધો:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x+3}{x+1} = \frac{0+3}{0+1} = 3$.
$f$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$LHL = RHL$.
તેથી,$c = 3$.

(C) આપણે લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{3^x-1}$
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x^2)-(1-x+x^2)}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1}{\frac{3^x-1}{x}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log _e a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0+0}}$
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2 \log _e 3}$
$= \frac{1}{\log _e 3^2} = \frac{1}{\log _e 9}$

(D) આપેલ પદાવલિ એ $x = 1$ આગળ $f(x)$ ના વિકલિતની વ્યાખ્યા છે,એટલે કે $f'(1)$.
આપેલ છે $f(x) = x \tan^{-1} x$.
વિકલનના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$.
$f'(x) = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$.
હવે,$x = 1$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$f'(1) = \tan^{-1}(1) + \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.
$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{4} = \frac{\pi + 2}{4}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \geq 0$.
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ અને $\sum_{i=1}^n x_i = 80$.
આ કિંમતોને અસમતામાં મૂકતા:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{80}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{6400}{n^2} \geq 0$
$n^2$ વડે ગુણતા ($n > 0$ હોવાથી):
$400n - 6400 \geq 0$
$400n \geq 6400$
$n \geq \frac{6400}{400}$
$n \geq 16$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $16$ છે.

(C) ધારો કે ચાર અવલોકનો $x_1, x_2, x_3,$ અને $x_4$ છે.
આપેલ છે કે,મધ્યક $(\bar{x}) = 3$ અને અવલોકનોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i^2 = 48$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ નું સૂત્ર:
$SD = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$SD = \sqrt{\frac{48}{4} - (3)^2}$
$SD = \sqrt{12 - 9}$
$SD = \sqrt{3}$

(D) આપેલ છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $1: 1: 4$ છે. ધારો કે ખૂણાઓ $A, B$ અને $C$ છે.
$\therefore A: B: C = 1: 1: 4$.
ધારો કે $A = x, B = x$ અને $C = 4x$.
કારણ કે $A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $x + x + 4x = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે $6x = 180^{\circ}$,તેથી $x = 30^{\circ}$.
આમ,$A = 30^{\circ}, B = 30^{\circ}$ અને $C = 120^{\circ}$.
સૌથી મોટો ખૂણો $120^{\circ}$ છે,તેથી સૌથી મોટી બાજુ $c$ છે.
પરિમિતિ અને સૌથી મોટી બાજુનો ગુણોત્તર $(a + b + c) : c$ છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
ગુણોત્તર $= (2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 120^{\circ}) : 2R \sin 120^{\circ}$.
ગુણોત્તર $= (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 120^{\circ}) : \sin 120^{\circ}$.
ગુણોત્તર $= (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (2 + \sqrt{3}) : \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે $2s = a+b+c$. તેથી $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,અને $a+b-c = 2s-2c$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ અને $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(D) ધારો કે $s = \frac{a+b+c}{2}$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે,તેથી $a+b+c = 2s$.
તેથી,$b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,અને $a+b-c = 2s-2c$.
પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$\frac{(2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી પદાવલિ $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ થાય.
આને $\left(\frac{2\Delta}{bc}\right)^2$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ હોવાથી,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ મળે.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $\sin^2 A$ થાય.

(D) આપેલ છે,$r_1=2$,$r_2=3$,અને $r_3=6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$.
તેથી,$r = 1$.
વળી,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{1 \times 2 \times 3 \times 6} = \sqrt{36} = 6$.
કારણ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,તેથી $2 = \frac{6}{s-a}$,જે સૂચવે છે કે $s-a = 3$.
વળી,$s = \frac{\Delta}{r} = \frac{6}{1} = 6$.
$s=6$ ને $s-a=3$ માં મૂકતા,આપણને $6-a=3$ મળે છે,તેથી $a=3$.

(C) આપેલ છે કે $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ અને $A=\left[\begin{array}{cc}a+i b & c+i d \\ -c+i d & a-i b\end{array}\right]$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ.
$|A| = (a+i b)(a-i b) - (c+i d)(-c+i d)$
$|A| = (a^2 - (i b)^2) - ((i d)^2 - c^2)$
$|A| = (a^2 + b^2) - (-d^2 - c^2)$
$|A| = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{cc}x & y \\ z & w\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}w & -y \\ -z & x\end{array}\right]$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $|A|=1$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}a-i b & -(c+i d) \\ -(-c+i d) & a+i b\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a-i b & -c-i d \\ c-i d & a+i b\end{array}\right]$.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} k & k\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & k\alpha \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$ છે.
$A$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક તેના વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર છે:
$|A| = k \times \alpha \times k = \alpha k^2$.
આપણને આપેલ છે કે $A^2$ નો નિશ્ચાયક $k^2$ છે. ગુણધર્મ $|A^2| = |A|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|A|^2 = k^2$.
$|A| = \alpha k^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\alpha k^2)^2 = k^2$.
$\alpha^2 k^4 = k^2$.
$k > 1$ હોવાથી,બંને બાજુ $k^4$ વડે ભાગતા:
$\alpha^2 = \frac{k^2}{k^4} = \frac{1}{k^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{k^2}} = \frac{1}{|k|}$.
$k > 1$ હોવાથી,$|k| = k$,તેથી $|\alpha| = \frac{1}{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \pi$.
ત્રણ ઇન્વર્સ ટેન્જન્ટ વિધેયોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{x + y + z - xyz}{1 - (xy + yz + zx)} \right) = \pi$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$\frac{x + y + z - xyz}{1 - (xy + yz + zx)} = \tan(\pi) = 0$.
છેદ $1 - (xy + yz + zx) \neq 0$ હોવાથી (આપેલ છે કે $xy + yz + zx < 1$),અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$x + y + z - xyz = 0$.
તેથી,$x + y + z = xyz$.

(D) ધારો કે $y = f(x) = \frac{2+x}{2-x}$.
$y(2-x) = 2+x$
$2y - xy = 2 + x$
$2y - 2 = x + xy$
$2(y-1) = x(1+y)$
$x = \frac{2(y-1)}{1+y}$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $1+y \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $y \neq -1$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $R-\{-1\}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} x & \text{જો } x \in Q \\ 1-x & \text{જો } x \notin Q \end{cases}$ જ્યાં $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$.
કિસ્સો $1$: જો $x \in Q$ હોય,તો $f(x) = x$. કારણ કે $x \in [0,1]$ અને $x$ સંમેય છે,તેથી $f(x) \in Q$. આમ,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$.
કિસ્સો $2$: જો $x \notin Q$ હોય,તો $f(x) = 1-x$. કારણ કે $x$ અસંમેય છે,તેથી $1-x$ પણ અસંમેય છે (જો $1-x$ સંમેય હોત,તો $x = 1 - (1-x)$ સંમેય થાત,જે વિરોધાભાસ છે). આમ,$f(x) \notin Q$. તેથી,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$.
આમ,તમામ $x \in [0,1]$ માટે $(f \circ f)(x) = x$ થાય છે,તેથી ગણ $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ એ સંપૂર્ણ પ્રદેશ $[0,1]$ છે.

(D) આપેલ છે,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2 x^2}-1}{a x}\right)$.
$ax = \tan \theta$ લેતા,તેથી $\theta = \tan^{-1}(ax)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(ax)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+(ax)^2} \cdot a = \frac{a}{2(1+a^2x^2)}$.
તેથી,$2(1+a^2x^2)y^{\prime} = a$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$2 \left[ (1+a^2x^2)y^{\prime \prime} + y^{\prime} (2a^2x) \right] = 0$.
$2$ વડે ભાગતા:
$(1+a^2x^2)y^{\prime \prime} + 2a^2x y^{\prime} = 0$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે શંકુછેદ $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ અને $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે જો અને માત્ર જો $a_1^2 - b_1^2 = a_2^2 - b_2^2$ હોય,જેને $a_1^2 - a_2^2 = b_1^2 - b_2^2$ તરીકે પણ લખી શકાય.
અહીં આપેલા વક્રોના સમીકરણો $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અને $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
લંબરૂપે છેદવાની શરત લાગુ પાડતા:
$a^2 - 25 = b^2 - 16$
$a^2 - b^2$ ની કિંમત મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$a^2 - b^2 = 25 - 16$
$a^2 - b^2 = 9$

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$ છે.
અંતિમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c$.
વિધેયને કોઈ અંતિમ મૂલ્ય ન હોય જો તેનું વિકલિત $f'(x)$ ચિહ્ન બદલે નહીં,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે દ્વિઘાત સમીકરણ $f'(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય અથવા સમાન ઉકેલો હોય જેથી ચિહ્ન બદલાતું નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3 a x^2 + 2 b x + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય તે માટે,તેનો વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
$D = (2 b)^2 - 4(3 a)(c) < 0$.
$4 b^2 - 12 a c < 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $b^2 - 3 a c < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 < 3 a c$.
આમ,કોઈ અંતિમ મૂલ્ય ન હોવા માટેની શરત $b^2 < 3 a c$ છે.

(C) આપેલ છે,$f(x)=\sqrt{x-2}$ જ્યાં $x \in [2,6]$.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c \in (2,6)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ થાય.
અહીં,$a=2$ અને $b=6$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.
તેથી,$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c-2}}$.
હવે,$f(b)$ અને $f(a)$ ની ગણતરી કરો: $f(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$ અને $f(2) = \sqrt{2-2} = 0$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2-0}{6-2}$.
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{c-2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$c-2 = 1$,જે આપણને $c = 3$ આપે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx$.
આપણે $f(x) = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}(u)\right) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$,જ્યાં $u = \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}$.
તેથી $u^2 = \frac{x^2+x+1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}$.
$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(x + 1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2u} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{2u} \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)$.
તેથી,$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}(u)\right) = \frac{1}{1 + \frac{x^2+x+1}{x}} \cdot \frac{x^2-1}{2x^2 \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}} = \frac{x}{x^2+2x+1} \cdot \frac{x^2-1}{2x^2 \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x}}} = \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \cdot 2x \sqrt{x(x^2+x+1)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}}$.
આમ,$\int \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx = 2 \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right) + C$.
આપેલ પદ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
$\sqrt{x} = t$ લેતા,$x = t^2$ અને $dx = 2t \, dt$ મળે.
તેથી $I = \int \frac{2t \, dt}{(1+t) t \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{(1-t)(1+t)}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} (1-t)^{1/2}}$.
આ સંકલન ઉકેલતા આપણને $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} + \frac{0}{\sqrt{1-x}} + C$ સ્વરૂપ મળે છે.
આમ,$A = 2$ અને $B = 0$ મળે છે.
તેથી,$A+B = 2+0 = 2$.

(A) આપણને આપેલ છે $I_n = \int \tan^n x \, dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I_n = \int \tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x \, dx$
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I_n = \int \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx$
$I_n = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int \tan^{n-2} x \, dx$
પ્રથમ સંકલન માટે,ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
તેથી,$\int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I_n = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $I_n = \frac{1}{a} \tan^{n-1} x - b I_{n-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{n-1} \implies a = n-1$
$b = 1$
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (n-1, 1)$ થાય.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \sin^2 6\theta \, d\theta$.
$3\theta = t$ લેતા,$d\theta = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $\theta = 0, t = 0$ અને જ્યારે $\theta = \pi/6, t = \pi/2$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t \sin^2 2t \, dt$.
$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t (2 \sin t \cos t)^2 \, dt = \frac{4}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^6 t \sin^2 t \, dt$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{4}{3} \left[ \frac{(2-1)!!(6-1)!!}{(2+6)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{4}{3} \left[ \frac{1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$.
$I = \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{192}$.

(D) આપેલ વક્રો $y=x^2+1$ અને રેખા $y=2x-2$ છે.
આપણે $x=-1$ અને $x=2$ ની વચ્ચે આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} [(x^2+1) - (2x-2)] dx$
$A = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3) dx$
હવે,સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-1}^{2}$
ઉપરની સીમા $x=2$ મૂકતા:
$\left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 3(2) \right) = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$
નીચેની સીમા $x=-1$ મૂકતા:
$\left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 3(-1) \right) = \left( -\frac{1}{3} - 1 - 3 \right) = -\frac{1}{3} - 4 = -\frac{13}{3}$
ઉપરની સીમાના મૂલ્યમાંથી નીચેની સીમાનું મૂલ્ય બાદ કરતા:
$A = \frac{14}{3} - \left( -\frac{13}{3} \right) = \frac{14}{3} + \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9$
આમ,ક્ષેત્રફળ $9$ ચોરસ એકમ છે.

(C) પ્રથમ શરત મુજબ:
$f = 25 \ cm, v = 75 \ cm$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$
$u = -37.5 \ cm$
બીજી શરત મુજબ,પડદાને $25 \ cm$ નજીક ખસેડવામાં આવે છે,તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_1 = 75 - 25 = 50 \ cm$ થાય છે.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_1}$
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$u_1 = -50 \ cm$
વસ્તુને જે અંતરે ખસેડવી પડે તે:
$\Delta u = |u_1| - |u| = 50 \ cm - 37.5 \ cm = 12.5 \ cm$.

(C) સંમિત બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
$\frac{1}{f} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right] = (\mu-1) \left[ \frac{2}{R} \right]$
આમ,$R = 2f(\mu-1)$.
જ્યારે લેન્સને ઊભી રીતે બે સમાન સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે આવા એક લેન્સ માટે,નવી વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1' = R$ અને $R_2' = \infty$ થાય છે.
ધારો કે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ છે. ફરીથી લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f'} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R_1'} - \frac{1}{R_2'} \right]$
$\frac{1}{f'} = (\mu-1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{\mu-1}{R}$
$R = 2f(\mu-1)$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{f'} = \frac{\mu-1}{2f(\mu-1)} = \frac{1}{2f}$
તેથી,$f' = 2f$.

(B) બેઝિક માધ્યમમાં સંતુલિત રેડોક્ષ પ્રક્રિયા:
$2MnO_4^{-} + 6I^{-} + 4H_2O \rightarrow 2MnO_2 + 3I_2 + 8OH^{-}$
પ્રક્રિયકોના શરૂઆતના મોલની ગણતરી:
$MnO_4^{-}$ ના મોલ $= 0.02 \ M \times 0.250 \ L = 0.005 \ mol$
$I^{-}$ ના મોલ $= 0.1 \ M \times 0.250 \ L = 0.025 \ mol$
તત્વયોગમિતિ મુજબ,$2 \ mol$ $MnO_4^{-}$ એ $6 \ mol$ $I^{-}$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
$0.005 \ mol$ $MnO_4^{-}$ માટે,જરૂરી $I^{-}$ એ $0.005 \times (6/2) = 0.015 \ mol$ છે.
આપણી પાસે $0.025 \ mol$ $I^{-}$ હોવાથી,$MnO_4^{-}$ એ સીમિત પ્રક્રિયક છે.
તત્વયોગમિતિ મુજબ,$2 \ mol$ $MnO_4^{-}$ એ $3 \ mol$ $I_2$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,$0.005 \ mol$ $MnO_4^{-}$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા $I_2$ ના મોલ:
$I_2$ ના મોલ $= 0.005 \times (3/2) = 0.0075 \ mol$.