AP EAMCET 2014 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $KO_2$ માં,પોટેશિયમ આયન $K^{+}$ છે અને સુપરઓક્સાઈડ આયન $O_2^{-}$ છે.
$K^{+}$ નિષ્ક્રિય વાયુ જેવી ઇલેક્ટ્રોન રચના ધરાવે છે અને તે ડાયામેગ્નેટિક છે.
સુપરઓક્સાઈડ આયન $O_2^{-}$ માં $17$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
તેની આણ્વીય કક્ષક ઇલેક્ટ્રોન રચના: $\sigma 1s^2, \sigma^* 1s^2, \sigma 2s^2, \sigma^* 2s^2, \sigma 2p_z^2, \pi 2p_x^2 = \pi 2p_y^2, \pi^* 2p_x^2 = \pi^* 2p_y^1$ છે.
એન્ટિ-બોન્ડિંગ $\pi^*$ આણ્વીય કક્ષકમાં $1$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની હાજરીને કારણે,$O_2^{-}$ પેરામેગ્નેટિક છે.

(B) કોમન-એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં ટ્રાન્ઝિસ્ટરની આઉટપુટ લાક્ષણિકતાઓને બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ ને અચળ રાખીને કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $(V_{C E})$ સાથે કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_C)$ ના ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આને $I_B$ ના વિવિધ નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે $I_C$ વિરુદ્ધ $V_{C E}$ ના આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) આપેલ છે:
આંતરિક કેરિયર સાંદ્રતા,$n_i = 1.6 \times 10^{16} / m^3$
ડોનર સાંદ્રતા,$n_e \approx N_D = 4.8 \times 10^{20} / m^3$
સેમિકન્ડક્ટર માટે માસ એક્શનના નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન અને હોલની સાંદ્રતાનો ગુણાકાર એ આંતરિક કેરિયર સાંદ્રતાના વર્ગ જેટલો હોય છે:
$n_e \times n_h = n_i^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4.8 \times 10^{20} \times n_h = (1.6 \times 10^{16})^2$
$4.8 \times 10^{20} \times n_h = 2.56 \times 10^{32}$
$n_h = \frac{2.56 \times 10^{32}}{4.8 \times 10^{20}}$
$n_h = 0.533 \times 10^{12} / m^3 = 5.33 \times 10^{11} / m^3$
આમ,હોલ્સની સાંદ્રતા આશરે $5.3 \times 10^{11} / m^3$ છે.

(C) $(0, -1)$ પર શિરોબિંદુ અને $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x^2 = 4a(y + 1)$ --- $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x = 4a y^{\prime}$
$a = \frac{2x}{4y^{\prime}} = \frac{x}{2y^{\prime}}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) (y + 1)$
$x^2 = \frac{2x}{y^{\prime}} (y + 1)$
$x \neq 0$ ધારીને,$x$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{2(y + 1)}{y^{\prime}}$
$x y^{\prime} = 2y + 2$
$x y^{\prime} - 2y - 2 = 0$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$(x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = -\cos y$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x \sin y - 1}{\cos y} = -x \tan y + \sec y$ મળે.
આને $\frac{dx}{dy} + x \tan y = \sec y$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan y$ અને $Q = \sec y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int \tan y dy} = e^{\ln |\sec y|} = \sec y$ થાય.
વ્યાપક ઉકેલ $x(IF) = \int Q(IF) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \sec y = \int \sec y \cdot \sec y dy + C$.
$x \sec y = \int \sec^2 y dy + C$.
$x \sec y = \tan y + C$.

(A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપેલ સમીકરણોની સરખામણી કરતા,દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ મળે છે.
બે રેખાઓ કે જેમના દિશા સદિશો $\vec{b_1}$ અને $\vec{b_2}$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (4)(2) + (3)(-3) = 1 + 8 - 9 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+3\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,$\vec{a}+3\vec{b} = \lambda\vec{c}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a}+3\vec{b}-\lambda\vec{c} = 0$ $(i)$.
વળી,$3\vec{b}+2\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,$3\vec{b}+2\vec{c} = \mu\vec{a}$ કોઈ અદિશ $\mu$ માટે.
આનો અર્થ એ છે કે $3\vec{b}+2\vec{c}-\mu\vec{a} = 0$ $(ii)$.
$(i)$ પરથી,આપણી પાસે $3\vec{b} = \lambda\vec{c} - \vec{a}$ છે.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(\lambda\vec{c} - \vec{a}) + 2\vec{c} - \mu\vec{a} = 0$
$(\lambda+2)\vec{c} - (1+\mu)\vec{a} = 0$.
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$\lambda+2 = 0 \implies \lambda = -2$ અને $1+\mu = 0 \implies \mu = -1$.
$\lambda = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\vec{a}+3\vec{b} - (-2)\vec{c} = 0$
$\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c} = 0$.

(C) આપેલ છે કે,$|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ અને $|\vec{c}|=4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
તેથી,$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a})$
$= 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
આમ,$-2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \leq |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$.
આ કિંમત આપણા સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) + (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) = 3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
આપેલ માન મૂકતા:
$3(2^2+3^2+4^2) = 3(4+9+16) = 3(29) = 87$.
આમ,ઉપલી સીમા $87$ છે.

(C) આપેલ છે,$l^2+m^2-n^2=0$ $(i)$ અને $l+m+n=0$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$n=-(l+m)$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$l^2+m^2=(-(l+m))^2 = l^2+m^2+2lm$.
આનો અર્થ એ છે કે $2lm=0$,તેથી $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $n=-m$. $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$0^2+m^2+(-m)^2=1 \Rightarrow 2m^2=1 \Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $n=-l$. $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$l^2+0^2+(-l)^2=1 \Rightarrow 2l^2=1 \Rightarrow l=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિક સદિશો $\vec{a} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(0)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત બીજા સમીકરણ $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2 = 0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2 = 0$
$2l^2+2lm-4m^2 = 0$
$l^2+lm-2m^2 = 0$
$(l+2m)(l-m) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિક્ગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(1, 1, -2)$ થાય. દિક્કોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ મળે.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિક્ગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(-2, 1, 1)$ થાય. દિક્કોસાઇન $(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ મળે.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$ અને $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે,$l+m+n=0 \implies l = -m-n$ અને $l^2+m^2-n^2=0$.
બીજા સમીકરણમાં $l = -m-n$ મૂકતા:
$(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 + 2mn = 0$
$2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: જો $m=0$,તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-n, 0, n)$ મળે,જે $(-1, 0, 1)$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $\vec{v_1} = (-1, 0, 1)$.
કિસ્સો $2$: જો $m+n=0$,તો $m = -n$. $l = -m-n$ માં મૂકતા,$l = -(-n)-n = 0$ મળે. દિક્ગુણોત્તર $(0, -n, n)$ મળે,જે $(0, -1, 1)$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $\vec{v_2} = (0, -1, 1)$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $S$ એ બે પાસાઓનો સરવાળો $7$ હોય તેવા પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ છે. શક્ય પરિણામો છે:
$S = \{(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\}$
આમ,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે જેમાં સંખ્યા $3$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે.
$E$ માં આવતા પરિણામો છે:
$E = \{(3, 4), (4, 3)\}$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $S$ સફળતા (પાસ) અને $F$ નિષ્ફળતા (નાપાસ) દર્શાવે છે. પ્રથમ કસોટી પાસ કરવાની સંભાવના $P(S_1) = p$ છે,તેથી $P(F_1) = 1-p$.
પછીની કસોટીઓ માટે,$P(S_{n+1} | S_n) = p$ અને $P(S_{n+1} | F_n) = \frac{p}{2}$.
ઉમેદવારની પસંદગી થાય છે જો તે ઓછામાં ઓછી બે કસોટી પાસ કરે. શક્ય સાનુકૂળ પરિણામો છે:
$1$. પાસ $I$,પાસ $II$,નાપાસ $III$: $p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)$
$2$. પાસ $I$,નાપાસ $II$,પાસ $III$: $p \times (1-p) \times \frac{p}{2} = \frac{p^2(1-p)}{2}$
$3$. નાપાસ $I$,પાસ $II$,પાસ $III$: $(1-p) \times \frac{p}{2} \times p = \frac{p^2(1-p)}{2}$
$4$. પાસ $I$,પાસ $II$,પાસ $III$: $p \times p \times p = p^3$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો:
$P = p^2(1-p) + \frac{p^2(1-p)}{2} + \frac{p^2(1-p)}{2} + p^3$
$P = p^2(1-p) + p^2(1-p) + p^3$
$P = 2p^2 - 2p^3 + p^3 = 2p^2 - p^3 = p^2(2-p)$.

(D) આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ અને $P(C) = \frac{1}{2} P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} P(A) = \frac{3}{4} P(A)$.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{3}{4} P(A) = 1$
$P(A) \left( 1 + \frac{6}{4} + \frac{3}{4} \right) = 1$
$P(A) \left( \frac{4+6+3}{4} \right) = 1$
$\frac{13}{4} P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{4}{13}$.
હવે,$P(C) = \frac{3}{4} P(A) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{13} = \frac{3}{13}$.
$A$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup C) = P(A) + P(C)$.
$P(A \cup C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\Sigma P(X=x) = k + 2k + 3k + 2k + k = 9k = 1 \implies k = \frac{1}{9}$.
મધ્યક $E(X) = \Sigma x_i P(x_i) = (1 \times k) + (2 \times 2k) + (3 \times 3k) + (4 \times 2k) + (5 \times k) = k + 4k + 9k + 8k + 5k = 27k$.
$k = \frac{1}{9}$ મૂકતા,$E(X) = 27 \times \frac{1}{9} = 3$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times k) + (2^2 \times 2k) + (3^2 \times 3k) + (4^2 \times 2k) + (5^2 \times k) = k + 8k + 27k + 32k + 25k = 93k$.
$k = \frac{1}{9}$ મૂકતા,$E(X^2) = 93 \times \frac{1}{9} = \frac{93}{9} = \frac{31}{3}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{31}{3} - (3)^2 = \frac{31}{3} - 9 = \frac{31-27}{3} = \frac{4}{3}$.

(C) રાઉલ્ટના નિયમ મુજબ,બાષ્પદબાણમાં સાપેક્ષ ઘટાડો એ દ્રાવ્યના મોલ અંશ જેટલો હોય છે.
$n_{\text{urea}} = 0.1 \ mol$
$n_{\text{water}} = \frac{180 \ g}{18 \ g/mol} = 10 \ mol$
યુરિયાના મોલ અંશ $(x_2)$ = $\frac{0.1}{0.1 + 10} = \frac{0.1}{10.1} \approx 0.0099$
સૂત્ર $\frac{p^{\circ} - p_s}{p^{\circ}} = x_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{24 - p_s}{24} = \frac{0.1}{10.1}$
$24 - p_s = 24 \times 0.0099 = 0.2376$
$p_s = 24 - 0.2376 = 23.7624 \ mm \ Hg \approx 23.76 \ mm \ Hg$

(A) આઈસોટોનિક દ્રાવણો માટે,અભિસરણ દબાણ સમાન હોય છે,તેથી $\frac{W_1}{V_1 M_1} = \frac{W_2}{V_2 M_2}$.
અહીં $1 \%$ અને $5 \%$ દ્રાવણ આપેલ હોવાથી,$\frac{W_1}{V_1} = 1 \ g/100 \ mL$ અને $\frac{W_2}{V_2} = 5 \ g/100 \ mL$ થાય.
ધારો કે $M_1$ એ દ્રાવ્ય $X$ નું મોલર દળ છે અને $M_2 = 342 \ g \ mol^{-1}$ એ શેરડીની ખાંડનું મોલર દળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{M_1} = \frac{5}{342}$.
$M_1$ માટે ઉકેલતા: $M_1 = \frac{342}{5} = 68.4 \ g \ mol^{-1}$.

(A) આપેલ છે,ઓક્સિજનની ટકાવારી $= 40 \%$.
ધાતુની ટકાવારી $= 100 - 40 = 60 \%$.
ધાતુની સંયોજકતા $= 2$.
ધાતુની સંયોજકતા $2$ અને ઓક્સિજનની સંયોજકતા $2$ હોવાથી,ઓક્સાઇડનું સૂત્ર $MO$ થશે.
ધારો કે ધાતુનું પરમાણ્વીય દળ $M$ છે.
ઓક્સિજનની ટકાવારી $= \frac{16}{M + 16} \times 100 = 40$.
$1600 = 40(M + 16)$.
$1600 = 40M + 640$.
$40M = 960$.
$M = 24$.

(C) આપેલ છે,$\frac{r_X}{r_Y} = \frac{1}{5}$ અને $\frac{r_Y}{r_Z} = \frac{1}{6}$.
બંને ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરતા:
$\frac{r_X}{r_Y} \times \frac{r_Y}{r_Z} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$.
આમ,$\frac{r_X}{r_Z} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$Z$ અને $X$ ના પ્રસરણના દરનો ગુણોત્તર $\frac{r_Z}{r_X} = \frac{30}{1}$ એટલે કે $30:1$ થાય.

(D) $4d$ ઓર્બિટલ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 2$ છે.
કોણીય નોડ્સની સંખ્યા $= l = 2$.
ત્રિજ્યાવર્તી નોડ્સની સંખ્યા $= n - l - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$.
તેથી,કોણીય અને ત્રિજ્યાવર્તી નોડ્સની સંખ્યા અનુક્રમે $2$ અને $1$ છે.

(D) વધતી જતી ઊર્જાનો ક્રમ $(n+l)$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. જો બે કક્ષકોનું $(n+l)$ મૂલ્ય સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઊર્જા ઓછી હોય છે.
$(i)$ $n=4, l=1$ માટે,$(n+l) = 4+1 = 5$.
$(ii)$ $n=4, l=0$ માટે,$(n+l) = 4+0 = 4$.
$(iii)$ $n=3, l=2$ માટે,$(n+l) = 3+2 = 5$.
$(iv)$ $n=3, l=1$ માટે,$(n+l) = 3+1 = 4$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $(iv)$ અને $(ii)$ માટે $(n+l) = 4$ છે,જેમાં $(iv)$ માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું છે $(3 < 4)$. તેથી,$(iv)$ ની ઊર્જા < $(ii)$ ની ઊર્જા.
$(i)$ અને $(iii)$ માટે $(n+l) = 5$ છે,જેમાં $(iii)$ માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું છે $(3 < 4)$. તેથી,$(iii)$ ની ઊર્જા < $(i)$ ની ઊર્જા.
આમ,વધતી જતી ઊર્જાનો સાચો ક્રમ $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ છે.

(A) વાન્ડર વાલ્સ બળો ફિઝીસોર્પ્શન (ભૌતિક અધિશોષણ) માટે જવાબદાર છે,કેમિસોર્પ્શન માટે નહીં. તેથી,$Assertion (A)$ ખોટું છે.
કેમિસોર્પ્શનમાં રાસાયણિક બંધોનું નિર્માણ થાય છે,જેના માટે સક્રિયકરણ ઉર્જાની જરૂર પડે છે. તેથી,ઊંચું તાપમાન કેમિસોર્પ્શન માટે અનુકૂળ છે. તેથી,$Reason (R)$ સાચું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ ખોટું છે,પરંતુ $R$ સાચું છે તે છે.

(C) એગોનિસ્ટ એ એક રાસાયણિક પદાર્થ છે જે રિસેપ્ટર સાથે જોડાય છે અને જૈવિક પ્રતિભાવ ઉત્પન્ન કરવા માટે તેને સક્રિય કરે છે. તે કુદરતી રાસાયણિક સંદેશાવાહકોની નકલ કરે છે.

(B) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે $m$ એ ગ્રામમાં કન્ડેન્સ થયેલી વરાળનું દળ છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m \times L + m \times C_w \times (T_{steam} - T_{final})$
$= m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 90) = 550m \ cal$.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $(m_{water} + m_{eq}) \times C_w \times (T_{final} - T_{initial})$
$= (1000 \ g + 200 \ g) \times 1 \times (90 - 9) = 1200 \times 81 = 97200 \ cal$.
બંનેને સરખાવતા: $550m = 97200$.
$m = \frac{97200}{550} \approx 176.7 \ g$.
$kg$ માં રૂપાંતર કરતા,$m \approx 0.1767 \ kg$,જે આશરે $0.18 \ kg$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = \sigma A T^4$ છે.
આપેલ છે:
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} ~W m^{-2} K^{-4}$
$A = 200 ~mm^2 = 200 \times 10^{-6} ~m^2$
$T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 ~K$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (200 \times 10^{-6}) \times (1000)^4$
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 2 \times 10^{-4} \times 10^{12}$
$P = 5.67 \times 2 \times 10^{-12} \times 10^{12}$
$P = 11.34 ~J/s$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta U = n C_v \Delta T$
કારણ કે $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$, તેથી:
$\Delta U = n \frac{R}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 5 \, mol$
$T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર)
$T_2 = 673 \, K$
$R = 8.3 \, J/mol-K$
$\gamma = 1.4$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = 5 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times (673 - 273)$
$\Delta U = 5 \times \frac{8.3}{0.4} \times 400$
$\Delta U = 5 \times 8.3 \times 1000$
$\Delta U = 41500 \, J$
કિલો જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા:
$\Delta U = 41.50 \, kJ$

(B) ગિબ્સ મુક્ત ઉર્જા,એન્થાલ્પી અને એન્ટ્રોપી વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta G = \Delta H - T \Delta S$
આપેલ છે કે $\Delta G = 0$,તેથી સમીકરણ થશે: $0 = \Delta H - T \Delta S$
$T$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $T = \frac{\Delta H}{\Delta S}$
$\Delta H$ ને $kJ \ mol^{-1}$ માંથી $J \ mol^{-1}$ માં ફેરવતા: $\Delta H = -20.5 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{-20.5 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}}{-50.0 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}} = 410 \ K$

(C) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $l$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ છે.
બંધ પાઇપનો $3^{rd}$ હાર્મોનિક $f_{3c} = 3 \times f_c = \frac{3v}{4l}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2l}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ બંધ પાઇપના $3^{rd}$ હાર્મોનિક કરતા $55 ~Hz$ ઓછી છે:
$f_{3c} - f_o = 55 ~Hz$
$\frac{3v}{4l} - \frac{v}{2l} = 55$
$\frac{3v - 2v}{4l} = 55$
$\frac{v}{4l} = 55 ~Hz$.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $55 ~Hz$ છે.

(B) આપેલ છે કે પૈડું સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે. અચળ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ હેઠળ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ નું સૂત્ર $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ છે.
પ્રથમ સમયગાળા $t$ માટે,ફરેલ ખૂણો $\theta_1 = 15^{\circ}$ છે.
$15^{\circ} = 0 + \frac{1}{2} \alpha t^2 \implies \frac{1}{2} \alpha t^2 = 15^{\circ} \quad \dots(i)$
કુલ સમયગાળા $(t + 2t) = 3t$ માટે,કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_{total}$ નીચે મુજબ છે:
$\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (3t)^2 = \frac{1}{2} \alpha (9t^2) = 9 \left( \frac{1}{2} \alpha t^2 \right)$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\theta_{total} = 9 \times 15^{\circ} = 135^{\circ}$.
ત્યારબાદના $2t \ s$ સમયમાં ખૂણામાં થયેલો વધારો $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta_1 = 135^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $M$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,ગોળાનો વેગ $v_x = u \cos \theta$ છે. ગોળો $m = M/2$ દળના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ ભાગ (જે પાછો ફરે છે) નો વેગ $v_1 = -u \cos \theta$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M(u \cos \theta) = m v_1 + m v_2$
$M(u \cos \theta) = (M/2)(-u \cos \theta) + (M/2)v_2$
$u \cos \theta = -0.5 u \cos \theta + 0.5 v_2$
$1.5 u \cos \theta = 0.5 v_2$
$v_2 = 3 u \cos \theta$
પ્રથમ ભાગની ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} (M/2) (u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા ભાગની ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2} (M/2) (3 u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} (M/2) (9 u^2 \cos^2 \theta) = \frac{9}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
$E_1$ અને $E_2$ ની સરખામણી કરતા:
$E_2 = 9 \times (\frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta) = 9 E_1$.

(A) સાંદ્ર $H_2SO_4$ એક શક્તિશાળી નિર્જલીકરણ કરતા પદાર્થ છે.
જ્યારે તે ખાંડ $(C_{12}H_{22}O_{11})$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે પાણીના અણુઓને દૂર કરે છે,જેનાથી કાર્બનનો કાળો અવશેષ બાકી રહે છે.
આ પ્રક્રિયાને ખાંડનું કાર્બનીકરણ કહેવામાં આવે છે.
$C_{12}H_{22}O_{11} \xrightarrow{\text{conc. } H_2SO_4} 12C + 11H_2O$.

(C) આપેલ પ્રક્રિયા એ ડીકાર્બોક્સિલેશન પ્રક્રિયા છે,જેને સોડા-લાઈમ ડીકાર્બોક્સિલેશન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
જ્યારે કાર્બોક્સિલિક એસિડના સોડિયમ ક્ષારને સોડા લાઈમ $(NaOH + CaO)$ સાથે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $CO_2$ નો અણુ ગુમાવીને મૂળ કાર્બોક્સિલિક એસિડ કરતા એક કાર્બન પરમાણુ ઓછો ધરાવતો આલ્કેન બનાવે છે.
$CH_3-CH_2-CO_2^{\ominus} Na^{\oplus} + NaOH \xrightarrow{CaO, \Delta} CH_3-CH_3 + Na_2CO_3$
અહીં,સોડિયમ પ્રોપેનોએટ ($3$ કાર્બન) પ્રક્રિયા કરીને ઈથેન ($2$ કાર્બન) બનાવે છે.
તેથી,$Z$ એ ઈથેન છે.

(A) બંધ લંબાઈ એટલે અણુમાં બે બંધિત પરમાણુઓના કેન્દ્ર વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર. તે પરમાણુના કદ, સંકરણ અને વિદ્યુતઋણતાના તફાવત જેવા પરિબળો પર આધાર રાખે છે।
પરમાણુનું કદ વધતા બંધ લંબાઈ સામાન્ય રીતે વધે છે।
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$C-C$ બંધ લંબાઈ આશરે $154 \ pm$ છે।
$C-H$ બંધ લંબાઈ આશરે $109 \ pm$ છે।
$C-N$ બંધ લંબાઈ આશરે $147 \ pm$ છે।
$C-O$ બંધ લંબાઈ આશરે $143 \ pm$ છે।
તેથી, આપેલા વિકલ્પોમાં $C-C$ બંધની લંબાઈ સૌથી વધુ છે।

(C) ઈથાઈન $(C_2H_2)$: કાર્બન પરમાણુ $sp$ સંકરણ ધરાવે છે જેમાં $2$ $\sigma$-બંધ અને $0$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ હોય છે,પરિણામે તેનો આકાર રેખીય હોય છે.
મિથેન $(CH_4)$: કાર્બન પરમાણુ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે જેમાં $4$ $\sigma$-બંધ અને $0$ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ હોય છે,પરિણામે તેનો આકાર ટેટ્રાહેડ્રલ હોય છે.
તેથી,આકારો રેખીય અને ટેટ્રાહેડ્રલ છે.

(B) હાઇડ્રોજન બંધ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુ અને વધુ વિદ્યુતઋણ પરમાણુ વચ્ચેનું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું દ્વિધ્રુવ-દ્વિધ્રુવ આકર્ષણ છે.
$HF$ અણુમાં,$H$ અને $F$ વચ્ચે વિદ્યુતઋણતાનો મોટો તફાવત હોવાથી,તે કાયમી દ્વિધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.
પરિણામે,$HF$ અણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયા એ દ્વિધ્રુવ-દ્વિધ્રુવ આંતરક્રિયાનું એક સ્વરૂપ છે.
વાયુ અવસ્થામાં,ઘણા $HF$ અણુઓ $H$-બંધન દ્વારા પોલિમરાઇઝ થાય છે.

(A) પ્રક્રિયા $A + B \rightleftharpoons C + D$ છે.
શરૂઆતના મોલ $(t = 0)$: $A = 1 \ mol$,$B = 1 \ mol$,$C = 0 \ mol$,$D = 0 \ mol$.
સંતુલને $B$ નો $40 \%$ ભાગ વપરાય છે,એટલે કે $0.4 \ mol$ $B$ વપરાય છે.
સંતુલને મોલ: $A = (1 - 0.4) = 0.6 \ mol$,$B = (1 - 0.4) = 0.6 \ mol$,$C = 0.4 \ mol$,$D = 0.4 \ mol$.
કદ $10 \ L$ હોવાથી,સાંદ્રતા $[A] = 0.06 \ M$,$[B] = 0.06 \ M$,$[C] = 0.04 \ M$,$[D] = 0.04 \ M$ થશે.
$K_C = \frac{[C][D]}{[A][B]} = \frac{0.04 \times 0.04}{0.06 \times 0.06} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0.44$.

(D) સમૂહ $13$ ના તત્વો માટે,પરમાણુ કદમાં વધારાને કારણે વિદ્યુતઋણતા $(EN)$ $B$ થી $Al$ સુધી ઘટે છે.
$Al$ થી $Tl$ સુધી,$d$ અને $f$ કક્ષકોની નબળી શીલ્ડિંગ અસરને કારણે વિદ્યુતઋણતામાં ક્રમશઃ વધારો થાય છે,જે અસરકારક કેન્દ્રીય વીજભારમાં વધારો કરે છે.
$EN$ ના મૂલ્યો (પોલિંગ સ્કેલ પર) આ મુજબ છે: $B (2.0)$,$Al (1.5)$,$Ga (1.6)$,$In (1.7)$,અને $Tl (1.8)$.
આમ,સાચો ફેરફાર $B$ થી $Al$ સુધી ઘટાડો અને ત્યારબાદ $Al$ થી $Tl$ સુધી વધારો દર્શાવે છે.

(C) સંયોજકતા કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે મધ્યસ્થ પરમાણુની આસપાસના કુલ બંધકારક અને અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મોની ગણતરી કરીએ છીએ.
$SCl_2$ માં,મધ્યસ્થ પરમાણુ $S$ (સલ્ફર) છે.
સલ્ફર પાસે $6$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે.
તે $Cl$ પરમાણુઓ સાથે $2$ એકલ બંધ બનાવે છે,જેમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન વપરાય છે.
$S$ પર અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મોની સંખ્યા $= \frac{6 - 2}{2} = 2$.
$S$ ની આસપાસ કુલ ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મો $= 2 \text{ (બંધકારક યુગ્મો)} + 2 \text{ (અબંધકારક યુગ્મો)} = 4 \text{ યુગ્મો}$.
સંયોજકતા કક્ષામાં કુલ ઇલેક્ટ્રોન $= 4 \times 2 = 8$ ઇલેક્ટ્રોન.
આમ,$SCl_2$ અષ્ટકનો નિયમ પાળે છે.

(A) આવર્ત કોષ્ટકમાં,જ્યારે આપણે આવર્તમાં ડાબેથી જમણે જઈએ છીએ,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રીય વીજભાર વધે છે જ્યારે કક્ષાની સંખ્યા સમાન રહે છે.
આના પરિણામે કેન્દ્ર અને સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું આકર્ષણ વધે છે,જેના કારણે પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા ઘટે છે.
આપેલા તમામ તત્વો $(Na, Mg, Al, Si, S)$ $3^{rd}$ આવર્તના છે.
ડાબેથી જમણે જતાં પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા ઘટવાના વલણને અનુસરીએ તો,ક્રમ $Na > Mg > Al > Si > S$ મળે છે.
તેથી,ચડતો ક્રમ $S < Si < Al < Mg < Na$ છે.

(B) આપેલ છે: $L_1 = 108 \ mH$,$N_1 = 600$ આંટા,$N_2 = 500$ આંટા અને $L_2 = ?$
વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ આંટાની સંખ્યાના વર્ગ $N^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $L = \frac{\mu_0 \pi N^2 r}{2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને ગૂંચળા માટે ત્રિજ્યા $r$ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે સંબંધ છે:
$\frac{L_1}{L_2} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{108}{L_2} = \left(\frac{600}{500}\right)^2$
$\frac{108}{L_2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$
$L_2 = \frac{108 \times 25}{36}$
$L_2 = 3 \times 25 = 75 \ mH$
આમ,ગૂંચળાનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $75 \ mH$ છે.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3-2x^2+10x-8=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 10$
$\alpha\beta\gamma = 8$
આપણે $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ જોઈએ છે.
નવા બીજનો સરવાળો: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (2)^2 - 2(10) = 4 - 20 = -16$.
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = (10)^2 - 2(8)(2) = 100 - 32 = 68$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = (8)^2 = 64$.
જરૂરી ત્રિઘાત સમીકરણ: $x^3 - (\text{બીજનો સરવાળો})x^2 + (\text{બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો})x - (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$.
કિંમતો મુકતા: $x^3 - (-16)x^2 + 68x - 64 = 0$.
આમ,$x^3+16x^2+68x-64=0$.

(D) આપેલ છે કે $Z_r = \cos \left(\frac{\pi}{2^r}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^r}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^r}}$.
તેથી,ગુણાકાર $P = Z_1 Z_2 Z_3 \ldots \infty = e^{i \frac{\pi}{2^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^3}} \ldots$
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P = e^{i \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \right)}$.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{\pi}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
આ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\pi/2}{1 - 1/2} = \frac{\pi/2}{1/2} = \pi$ થાય.
આમ,$P = e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi$.
કારણ કે $\cos \pi = -1$ અને $\sin \pi = 0$,તેથી $P = -1 + i(0) = -1$.

(A) આપેલ છે: $x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$,અને $z=p \omega^2+q \omega$.
આપણે $xyz = (p+q)(p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$y$ અને $z$ નો ગુણાકાર કરતા:
$yz = (p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega) = p^2 \omega^3 + pq \omega^2 + pq \omega^4 + q^2 \omega^3$.
$\omega^3=1$ અને $\omega^4=\omega$ હોવાથી:
$yz = p^2(1) + pq(\omega^2+\omega) + q^2(1) = p^2 + pq(\omega^2+\omega) + q^2$.
ગુણધર્મ $1+\omega+\omega^2=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega+\omega^2=-1$.
તેથી,$yz = p^2 - pq + q^2$.
હવે,$xyz = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$xyz = p^3+q^3$.

(A) ક્લોરોફ્લોરોકાર્બન (CFCs),જે ફ્રીઓન્સ તરીકે પણ ઓળખાય છે,તે સ્થિર,બિન-ઝેરી અને બિન-પ્રતિક્રિયાશીલ સંયોજનો છે જેનો ઉપયોગ રેફ્રિજરેશન અને એર કન્ડીશનિંગમાં થાય છે.
તેમના લાંબા વાતાવરણીય આયુષ્યને કારણે,તેઓ અંતે સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાં પહોંચે છે.
સ્ટ્રેટોસ્ફિયરમાં,તેઓ ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા $UV$ કિરણોત્સર્ગ દ્વારા વિઘટિત થાય છે,જેના પરિણામે ક્લોરિન મુક્ત મુલકો (free radicals) બને છે.
ડાયક્લોરોડાયફ્લોરોમિથેન $(CF_2Cl_2)$ માટેની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$CF_2Cl_2 \stackrel{hv}{\longrightarrow} \dot{C}F_2Cl + \dot{Cl}$
આમ,નીપજો $X$ અને $Y$ એ મુક્ત મુલકો $\dot{C}F_2Cl$ અને $\dot{Cl}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$\cos x = \tan y$,$\cot y = \tan z$ અને $\cot z = \tan x$.
આપેલ સમીકરણો પરથી,$\tan y = \cos x$ અને $\cot y = \frac{1}{\tan y} = \frac{1}{\cos x}$ મળે.
$\cot y = \tan z$ હોવાથી,$\tan z = \frac{1}{\cos x}$ મળે.
તેથી $\cot z = \frac{1}{\tan z} = \cos x$.
$\cot z = \tan x$ આપેલ હોવાથી,$\tan x = \cos x$ મળે.
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = \cos x$
$\Rightarrow \sin x = \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x = 1 - \sin^2 x$
$\Rightarrow \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે.
$\sin x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(C) અમે વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક વિધેયોના લઘુગણકીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sec h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ અને $\operatorname{cosec} h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
$\sec h^{-1} x$ માં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\sec h^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1-\frac{1}{4}}}{\frac{1}{2}}\right) = \log _e\left(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \log _e(2+\sqrt{3})$.
$\operatorname{cosec} h^{-1} x$ માં $x = \frac{3}{4}$ મૂકતા:
$\operatorname{cosec} h^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1+\frac{9}{16}}}{\frac{3}{4}}\right) = \log _e\left(\frac{1+\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}}\right) = \log _e\left(\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{4}}\right) = \log _e(3)$.
તેથી,$\sec h^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \operatorname{cosec} h^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log _e(2+\sqrt{3}) - \log _e(3) = \log _e\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.

(D) આપેલ છે,$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ અને $\sin x + \sin y = \frac{3}{4}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ $(1)$
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{4}$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
હવે,$\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x+y) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{4}{5}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+y^2=0$ છે. આ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
ધારો કે રેખાઓ $y=m_1x$ અને $y=m_2x$ છે. તેથી $m_1+m_2=3$ અને $m_1m_2=1$.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ અને $lx+my+n=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{|am^2-2hlm+bl^2|}$.
અહીં,$a=1, h=-\frac{3}{2}, b=1, l=1, m=1, n=1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1^2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2-(1)(1)}}{|(1)(1)^2-2(-\frac{3}{2})(1)(1)+(1)(1)^2|}$.
$\text{Area} = \frac{\sqrt{\frac{9}{4}-1}}{|1+3+1|} = \frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{5} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + \alpha y^2 + 2 \beta y - a^2 = 0$ છે.
રેખાઓની જોડીના વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ સાથે સરખાવતા:
$A = 1, B = \alpha, H = 0, G = 0, F = \beta, C = -a^2$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત $A + B = 0$ છે.
$1 + \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
રેખાઓની જોડી માટે નિશ્ચાયકની શરત:
$ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા:
$(1)(\alpha)(-a^2) + 0 - (1)(\beta)^2 - 0 - 0 = 0$.
$-\alpha a^2 - \beta^2 = 0$.
$\alpha = -1$ હોવાથી:
$-(-1)a^2 - \beta^2 = 0
$ $\Rightarrow a^2 - \beta^2 = 0
$ $\Rightarrow \beta^2 = a^2
$ $\Rightarrow \beta = a$.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ શક્તિઓ,સૌથી મજબૂત (પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ) ને $1$ તરીકે લેતા,નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $1$ ($f$ સાથે જોડાય છે)
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $10^{-2}$ ($e$ સાથે જોડાય છે)
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $10^{-13}$ ($h$ સાથે જોડાય છે)
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $10^{-39}$ ($i$ સાથે જોડાય છે)
તેથી,સાચી જોડ છે: $A-f, B-h, C-e, D-i$.