AP EAMCET 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) હિલિયમ અને ઓક્સિજનના મિશ્રણનો ઉપયોગ અસ્થમાની સારવારમાં થાય છે.
હિલિયમની ઘનતા ઓછી હોવાથી,આ મિશ્રણ શ્વસન માર્ગના સાંકડા ભાગોમાંથી સરળતાથી પસાર થઈ શકે છે,જેનાથી દર્દીને શ્વાસ લેવામાં સરળતા રહે છે.

(D) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n + 9)(n - 12) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.
આમ,બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = \left(\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta\right) \left(\frac{1}{3} - \tan^2 \theta\right)^{-1}$.
આપેલ છે કે $\tan^2 \theta \neq \frac{1}{3}$,તેથી આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(\theta) = \frac{\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta}{\frac{1}{3} - \tan^2 \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$.
નિત્યસમ $\tan(3\theta) = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(\theta) = \tan(3\theta)$ મળે છે.
$\tan(x)$ નું આવર્તમાન $\pi$ છે. તેથી,$\tan(3\theta)$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) આપેલ છે: $a \sin^2 \theta + b \cos^2 \theta = c$
બંને બાજુ $\cos^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$a \tan^2 \theta + b = c \sec^2 \theta$
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ હોવાથી:
$a \tan^2 \theta + b = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a \tan^2 \theta + b = c + c \tan^2 \theta$
$\tan^2 \theta$ ને કર્તા બનાવતા:
$a \tan^2 \theta - c \tan^2 \theta = c - b$
$(a - c) \tan^2 \theta = c - b$
$\tan^2 \theta = \frac{c - b}{a - c}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$
બંને બાજુ $2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(15^{\circ}) = \cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin(15^{\circ}) = \sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sin(\frac{\pi}{12}) \sin \theta + \cos(\frac{\pi}{12}) \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{4})$
$\cos x = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,જ્યાં $n \in Z$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+12y+15=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3$,$f=6$,અને $c=15$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$.
આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = 30\pi$ છે.
ધારો કે સમકેન્દ્રી વર્તુળ $x^2+y^2-6x+12y+k=0$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $r_2^2 = g^2+f^2-k = 45-k$ થાય.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi(45-k)$ છે.
આપેલ છે કે $A_2 = 2A_1$,તેથી $\pi(45-k) = 2(30\pi) = 60\pi$.
આમ,$45-k = 60$,જેનો અર્થ છે કે $k = -15$.
તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+12y-15=0$ છે.

(C) આપેલ છે,$r_1 = 15$ એકમ,$r_2 = 20$ એકમ,અને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = 25$ એકમ.
અહીં $r_1^2 + r_2^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = (C_1 C_2)^2$.
કે ત્રિજ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો એ કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતરના વર્ગ જેટલો હોવાથી,$\triangle A C_1 C_2$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C_1 A C_2 = 90^\circ$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ એ કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_1 C_2$ ને $D$ બિંદુએ લંબ છે.
$\triangle A C_1 C_2$ માં,કર્ણ $C_1 C_2$ પરનો વેધ $AD = \frac{r_1 \times r_2}{C_1 C_2}$ થાય.
$AD = \frac{15 \times 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ એકમ.
તેથી,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $= 2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ એકમ.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + k(S_1 - S_2) = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
$x^2+y^2+2x+3y+1 + k(2x+1) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $x = -\frac{1}{2}$ પર હોવાથી,$k = \frac{1}{2}$ મળે છે.
સમીકરણમાં $k = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $x^2+y^2+2x+3y+1 + \frac{1}{2}(2x+1) = 0$.
$x^2+y^2+3x+3y+\frac{3}{2} = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને સામાન્ય બનાવો જેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો $1$ થાય.
$S_1$ માટે: $x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}=0$
$S_2$ માટે: $x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5=0$
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}) - (x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5) = 0$
$-x + \frac{7}{4}x + \frac{18}{7} - 5 = 0$
$\frac{3}{4}x + \frac{18-35}{7} = 0$
$\frac{3}{4}x - \frac{17}{7} = 0$
$28$ વડે ગુણતા:
$21x - 68 = 0$

(C) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે ...$(i)$
આપેલ બિંદુઓ $(0, 4), (1, 9)$ અને $(4, 5)$ સમીકરણ $(i)$ નું સમાધાન કરે છે.
$(0, 4)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $4 = A(0)^2 + B(0) + C \Rightarrow C = 4$ ...(ii)
$(1, 9)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $9 = A(1)^2 + B(1) + 4 \Rightarrow A + B = 5$ ...(iii)
$(4, 5)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $5 = A(4)^2 + B(4) + 4 \Rightarrow 16A + 4B = 1$ ...(iv)
(iv) ને $4$ વડે ભાગતા,$4A + B = \frac{1}{4}$ ...$(v)$
$(v)$ માંથી (iii) બાદ કરતા: $3A = \frac{1}{4} - 5 = -\frac{19}{4} \Rightarrow A = -\frac{19}{12}$
$A$ ની કિંમત (iii) માં મૂકતા: $B = 5 + \frac{19}{12} = \frac{79}{12}$
આમ,પરવલયનું સમીકરણ $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 8(x-3)$ છે. અહીં શિરોબિંદુ $(3,0)$ અને $a=2$ છે.
નાભિ $S(5,0)$ છે અને નિયામિકા $x=1$ છે.
$P$ ના યામ $(3+2t^2, 4t)$ લેતા,$M$ ના યામ $(1, 4t)$ થશે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે $SP = SM$ હોવું જોઈએ.
$SP = 2(t^2+1)$ અને $SM = 4\sqrt{1+t^2}$.
$2(t^2+1) = 4\sqrt{1+t^2}$ લેતા,$t^2=3$ મળે છે.
તેથી $P(9, 4\sqrt{3})$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે સંયુગ્મી રેખાઓ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ અને $x - y + k = 0$ $(ii)$ છે.
બે રેખાઓ પરવલયના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી ત્યારે કહેવાય જ્યારે એક રેખાનો ધ્રુવ (pole) બીજી રેખા પર હોય.
ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ ના સાપેક્ષમાં રેખા $2x + 3y + 12 = 0$ નો ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $yy_1 = 4(x + x_1)$ છે,જે $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આને આપેલ રેખા $2x + 3y + 12 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$
$2 = \frac{-y_1}{3} \Rightarrow y_1 = -6$
$2 = \frac{x_1}{3} \Rightarrow x_1 = 6$
આમ,ધ્રુવ $(6, -6)$ છે.
રેખાઓ સંયુગ્મી હોવાથી,ધ્રુવ $(6, -6)$ એ બીજી રેખા $x - y + k = 0$ પર હોવો જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા,$6 - (-6) + k = 0$.
$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

(D) આપેલ છે,$a_n = 6^n - 5n$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$
આપણે $6^n$ ને $(1 + 5)^n$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots$
$6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots)$
હવે,આ કિંમતને $a_n$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a_n = (1 + 5n + 25k) - 5n$,જ્યાં $k = {^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots$
$a_n = 1 + 25k$
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે $a_n$ ને $25$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $1$ મળે છે.

(B) આપણને આપેલ છે $n = 1! + 4! + 7! + \ldots + 400!$.
પ્રથમ,ફેક્ટોરિયલની કિંમતો ગણો:
$1! = 1$
$4! = 24$
$7! = 5040$
$10! = 3628800$
કોઈપણ $k \ge 10$ માટે,$k!$ ઓછામાં ઓછા બે શૂન્ય સાથે સમાપ્ત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $k!$ ના છેલ્લા બે અંકો $00$ છે.
આમ,$n$ નો $100$ વડે ભાગાકાર કરતા મળતી શેષ પ્રથમ થોડા પદોના સરવાળા દ્વારા નક્કી થાય છે:
$n \equiv 1! + 4! + 7! + 10! + \ldots + 400! \pmod{100}$
$n \equiv 1 + 24 + 40 + 0 + \ldots + 0 \pmod{100}$
$n \equiv 65 \pmod{100}$
$n$ ના છેલ્લા બે અંકો $65$ છે.
તેથી,$n$ નો દશકનો અંક $6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k y^k$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $y = 2x+3x^2$:
$(1+(2x+3x^2))^{10} = {}^{10}C_0 + {}^{10}C_1(2x+3x^2) + {}^{10}C_2(2x+3x^2)^2 + \ldots$
$= 1 + 10(2x+3x^2) + 45(4x^2+12x^3+9x^4) + \ldots$
$= 1 + 20x + 30x^2 + 180x^2 + 540x^3 + 405x^4 + \ldots$
$= 1 + 20x + 210x^2 + \ldots$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a_1 = 20$
$a_2 = 210$
તેથી,$\frac{a_2}{a_1} = \frac{210}{20} = 10.5$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{(1-5 x)(1-4 x)}$ છે,જ્યાં $|x| < \frac{1}{5}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણના સૂત્ર $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-5x)^{-1} = 1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots$
$(1-4x)^{-1} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots$
આ બંને શ્રેણીનો ગુણાકાર કરતા:
$(1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots)(1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots)$
$x^3$ નો સહગુણક મેળવવા માટે જે પદોનો ઘાતનો સરવાળો $3$ થાય તેનો ગુણાકાર કરીએ:
$= (1 \cdot 64) + (5x \cdot 16x^2) + (25x^2 \cdot 4x) + (125x^3 \cdot 1)$
$= 64 + 80 + 100 + 125$
$= 369$

(C) આપેલ વક્ર $2 x^2+y^2=2 x$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $2 x^2-2 x+y^2=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $2(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2}$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/2} = 1$.
આ એક ઉપવલય છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, 0)$,$a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)$ લો.
બિંદુ $Q(a, 0)$ થી અંતર $PQ^2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \theta - a)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta)^2$ છે.
ગણતરી કરતા,$PQ^2 = -\frac{1}{4} \cos^2 \theta + (\frac{1}{2}-a) \cos \theta + (\frac{1}{2}-a)^2 + \frac{1}{2}$.
મહત્તમ કિંમત માટે $\cos \theta = 1-2a$ લેતા,અંતર $\sqrt{2a^2 - 2a + 1}$ મળે છે.

(C) અનંતસ્પર્શકો $L_1=0$ અને $L_2=0$ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $L_1 \cdot L_2 + k = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અનંતસ્પર્શકો $(4x+3y-7)=0$ અને $(x-2y-1)=0$ છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ થશે ...$(i)$
અતિવલય બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$

(B) ધારો કે $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ છે.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ થી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબનું અંતર $P_1 = \frac{|\sec \theta + \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ છે.
બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ થી રેખા $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબનું અંતર $P_2 = \frac{|\sec \theta - \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ છે.
તેથી,$P_1 P_2 = \frac{|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta|}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીએ:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6})}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$.

(A) પોલિડિસ્પર્સિટી ઇન્ડેક્સ $(PDI)$ એ વજન સરેરાશ આણ્વીય દળ અને સંખ્યા સરેરાશ આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર છે:
$PDI = \frac{\bar{M}_w}{\bar{M}_n}$
આપેલ છે:
$\bar{M}_n = 40000$
$\bar{M}_w = 60000$
કિંમતો મૂકતા:
$PDI = \frac{60000}{40000} = 1.5$
તેથી,$PDI > 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\angle C = 90^{\circ}$. કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$c^2 = a^2 + b^2$ થાય.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = c \sin A$ અને $b = c \sin B$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(c \sin A)^2 - (c \sin B)^2}{c^2} = \sin^2 A - \sin^2 B$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$ અને $C = 90^{\circ}$,તેથી $A+B = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\sin(A+B) = \sin 90^{\circ} = 1$.
આમ,$\sin^2 A - \sin^2 B = 1 \cdot \sin(A-B) = \sin(A-B)$.

(B) આપેલ છે $\Delta = a^2 - (b - c)^2$.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta = (a - b + c)(a + b - c)$.
$2s = a + b + c$ હોવાથી,$a + b - c = 2s - 2c$ અને $a - b + c = 2s - 2b$.
તેથી,$\Delta = (2s - 2b)(2s - 2c) = 4(s - b)(s - c)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = 4(s - b)(s - c)$.
બંને બાજુ $\sqrt{(s - b)(s - c)}$ વડે ભાગતા,$\sqrt{s(s - a)} = 4\sqrt{(s - b)(s - c)}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}} = \frac{1}{4}$.
$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$ હોવાથી,$\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
સૂત્ર $\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan A = \frac{2(1/4)}{1 - (1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{det}(I+A) \neq 0$,જે સૂચવે છે કે $(I+A)$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
આપણને $A^3 = O$ આપેલ છે.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ જાણીએ છીએ.
$x=A$ અને $y=I$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - AI + I^2)$.
$I^3 = I$ અને $A^3 = O$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
$I = (A+I)(A^2 - A + I)$.
$(A+I)$ વ્યસ્ત હોવાથી,આપણે બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $(A+I)^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I)$.
$(A+I)^{-1} = I - A + A^2$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$.
આપણે નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right|=0$.
બીજા નિશ્ચાયકમાંથી $xyz$ સામાન્ય લેતા: $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|+xyz\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|=0$.
સ્તંભોની અદલાબદલી ($C_1 \leftrightarrow C_2$ અને પછી $C_2 \leftrightarrow C_3$) કરવાથી,બીજો નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|$ બની જાય છે.
આમ,$(1+xyz)\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right|=0$.
કારણ કે $x \neq y \neq z$,તેથી નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| \neq 0$.
તેથી,$1+xyz=0$,જેનો અર્થ છે કે $xyz = -1$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકના વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime}(x)$ એ ત્રણ નિશ્ચાયકોનો સરવાળો છે જ્યાં દરેક હારનું વારાફરતી વિકલન કરવામાં આવે છે:
$f^{\prime}(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 \sin x & 1 & 0 \\ 1 & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 0 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & -2 \sin x & 1 \\ 0 & 0 & 2 \cos x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 0 \\ 0 & 1 & -2 \sin x \end{array} \right|$.
હવે,$x = \pi$ મૂકતા. કારણ કે $\sin \pi = 0$ અને $\cos \pi = -1$:
$f^{\prime}(\pi) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
દરેક નિશ્ચાયકની કિંમત શોધતા:
$1$. $\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right| = 0 - 1(-2 - 0) + 0 = 2$.
$2$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right| = 0$ (કારણ કે બીજી સ્તંભ શૂન્ય છે).
$3$. $\left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right| = 0$ (કારણ કે ત્રીજી સ્તંભ શૂન્ય છે).
તેથી,$f^{\prime}(\pi) = 2 + 0 + 0 = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tanh ^{-1} x = a \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,જ્યાં $|x| < 1$ ...$(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક ટેન્જેન્ટ વિધેયનું પ્રમાણિત લઘુગણકીય સ્વરૂપ: $\tanh ^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ ...(ii) છે.
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ (ii) ની સરખામણી કરતા,આપણે લઘુગણકીય પદના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ છીએ.
તેથી,$a = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$.
તેથી,$\tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) + \tan ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $A = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ અને $B = \tan ^{-1} z$.
તો $\tan(A+B) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right) = \infty$.
પદ અવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1 - \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) z = 0$.
$1 - \frac{z(x+y)}{1-xy} = 0$.
$1 - xy - z(x+y) = 0$.
$1 - xy - zx - zy = 0$.
તેથી,$1 - xy - yz - zx = 0$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$,જ્યાં $x \in \mathbb{R}$.
ધારો કે $y = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$.
$y(x^2+2x+1) = x^2-6x+5$.
$yx^2 + 2yx + y = x^2 - 6x + 5$.
$(y-1)x^2 + (2y+6)x + (y-5) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (2y+6)^2 - 4(y-1)(y-5) \geq 0$.
$4(y+3)^2 - 4(y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 - 6y + 5) \geq 0$.
$12y + 4 \geq 0$.
$12y \geq -4$.
$y \geq -\frac{1}{3}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin x + \cos x$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = \cos x - \sin x$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x) = -\sin x - \cos x$.
તૃતીય વિકલન: $f'''(x) = -\cos x + \sin x$.
ચતુર્થ વિકલન: $f^{(iv)}(x) = \sin x + \cos x$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ માટે કિંમત મેળવતા:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તે જ રીતે,$f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$.
તેથી,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) f^{(iv)}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sin(m \sin^{-1} x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \cos(m \sin^{-1} x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - x^2}}$
$y_1 \sqrt{1 - x^2} = m \cos(m \sin^{-1} x)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 \cos^2(m \sin^{-1} x) = m^2 (1 - \sin^2(m \sin^{-1} x)) = m^2 (1 - y^2)$
$y_1^2 (1 - x^2) = m^2 - m^2 y^2$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 y_1 y_2 (1 - x^2) + y_1^2 (-2x) = -2 m^2 y y_1$
$2 y_1$ વડે ભાગતા ($y_1 \neq 0$ ધારીને):
$y_2 (1 - x^2) - x y_1 = -m^2 y$

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \prod_{r=1}^n \cos(rx)$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln|f(x)| = \sum_{r=1}^n \ln|\cos(rx)|$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f(x)} f^{\prime}(x) = \sum_{r=1}^n \frac{1}{\cos(rx)} \cdot (-\sin(rx) \cdot r)$.
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = -\sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
બંને બાજુ $f(x)$ વડે ગુણતા:
$f^{\prime}(x) = -f(x) \sum_{r=1}^n r \tan(rx)$.
પદોને ગોઠવતા:
$f^{\prime}(x) + \sum_{r=1}^n (r \tan(rx)) f(x) = 0$.

(C) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે અને શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPB$ માં,જ્યાં $O$ એ ગોળાનું કેન્દ્ર છે,$P$ એ શંકુના પાયાનું કેન્દ્ર છે અને $B$ એ શંકુના પાયાના પરિઘ પરનું બિંદુ છે:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$r^2 = R^2 - (h - R)^2 = R^2 - (h^2 - 2Rh + R^2) = 2Rh - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા:
$\frac{\pi}{3} h(4R - 3h) = 0$.
$h \neq 0$ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)$.
$h = \frac{4R}{3}$ માટે,$\frac{d^2V}{dh^2} = \frac{\pi}{3} (4R - 6(\frac{4R}{3})) = \frac{\pi}{3} (4R - 8R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3}$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.

(A) $f(x)$ શોધવા માટે,આપણે આપેલા વિકલ્પોનું વિકલન કરીશું જેથી જાણી શકાય કે કયું વિકલન સંકલ્ય $\frac{7x^8+8x^7}{(1+x+x^8)^2}$ આપે છે.
ધારો કે $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x^8$ અને $v = 1+x+x^8$ છે:
$f'(x) = \frac{(1+x+x^8)(8x^7) - (x^8)(1+8x^7)}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{8x^7 + 8x^8 + 8x^{15} - x^8 - 8x^{15}}{(1+x+x^8)^2}$
$f'(x) = \frac{7x^8 + 8x^7}{(1+x+x^8)^2}$
આમ,વિકલ્પ $A$ નું વિકલન સંકલ્ય સાથે મેળ ખાય છે,તેથી $f(x) = \frac{x^8}{1+x+x^8}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f_n(x) = \log(\log(\ldots \log x))$ ($n$ વખત).
ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x)}$.
ધારો કે $t = f_n(x) = \log(f_{n-1}(x))$.
તેથી,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{f_{n-1}(x)} \cdot \frac{d}{dx}(f_{n-1}(x)) = \frac{1}{f_{n-1}(x) f_{n-2}(x) \ldots f_1(x) \cdot x}$.
આમ,$dx = (x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x)) dt}{x f_1(x) f_2(x) \ldots f_{n-1}(x) f_n(x)} = \int \frac{dt}{f_n(x)}$.
અહીં $t = f_n(x)$ લેતા,$dt = \frac{dx}{x f_1(x) \ldots f_{n-1}(x)}$.
તેથી,$I = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + c = \log|f_n(x)| + c$.
કારણ કે $f_{n+1}(x) = \log(f_n(x))$,તેથી $I = f_{n+1}(x) + c$.

(D) બે વર્તુળો $x^2+y^2=1$ $(i)$ અને $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) ના છેદબિંદુઓ $(i)$ માંથી $y^2=1-x^2$ ને (ii) માં મૂકતા મળે છે:
$(x-1)^2+(1-x^2)=1$
$x^2-2x+1+1-x^2=1$
$2-2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ મળે,તેથી $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
છેદબિંદુઓ $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ અને $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \int_{0}^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + 2 \times \int_{1/2}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/2}^1$
$= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) \right] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$
$= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) સંકલન $\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx$ ના અંદાજ માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\int_{x_0}^{x_n} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) ]$
અહીં,$h = 1$ ($x$ ના ક્રમિક મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે).
મૂલ્યો $y_0=2, y_1=3, y_2=6, y_3=11, y_4=18, y_5=27$ છે.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ (2 + 27) + 2(3 + 6 + 11 + 18) ]$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 2(38) ]$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ 29 + 76 ]$
ક્ષેત્રફળ $\approx \frac{1}{2} [ 105 ] = 52.5$ ચોરસ એકમ.

(C) ઓપ્ટિકલ ફાઇબર માટે,એક્સેપ્ટન્સ એંગલ (સ્વીકૃતિ કોણ) $\theta_a$ નું સૂત્ર: $\sin \theta_a = \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$ છે,જ્યાં $\mu_1$ એ કોરનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_2$ એ ક્લેડિંગનો વક્રીભવનાંક છે,અને બહારનું માધ્યમ હવા $(\mu_0 = 1)$ છે.
આપેલ છે કે $\mu_1 = 1.5$ અને $\mu_2 = 1.414$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta_a = \sqrt{(1.5)^2 - (1.414)^2}$.
કારણ કે $(1.414)^2 \approx 2$,તેથી $\sin \theta_a = \sqrt{2.25 - 2} = \sqrt{0.25} = 0.5$.
તેથી,$\theta_a = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે આપાત પ્રકાશ ઓપ્ટિકલ ફાઇબરની ધરી સાથે $0^{\circ}$ થી $30^{\circ}$ ના ખૂણાની શ્રેણીમાં દાખલ થવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) ટેલિસ્કોપની વિભેદન મર્યાદા $(d\theta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 4538 \ \mathring{A} = 4538 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$a = 1 \ \text{m}$
કિંમતો મૂકતા:
$d\theta = \frac{1.22 \times 4538 \times 10^{-10}}{1}$
$d\theta = 5536.36 \times 10^{-10} \ \text{rad}$
$d\theta \approx 5.54 \times 10^{-7} \ \text{rad}$

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો છે,અને બંને પ્રિઝમના ખૂણાના $3/4$ ગણા છે:
$i = e = \frac{3}{4} \times A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
આપાતકોણ,નિર્ગમનકોણ,પ્રિઝમનો ખૂણો અને વિચલનકોણ $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i + e = A + \delta$
સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$45^{\circ} + 45^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta$
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(B) જ્યારે ક્લોરિન ગરમ અને સાંદ્ર સોડિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે વિષમીકરણ (disproportionation) પ્રક્રિયા દ્વારા સોડિયમ ક્લોરાઇડ,સોડિયમ ક્લોરેટ અને પાણી બનાવે છે.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$3Cl_{2(g)} + 6NaOH_{(aq, \text{hot conc})} \longrightarrow 5NaCl_{(aq)} + NaClO_{3(aq)} + 3H_2O_{(l)}$
આમ,સોડિયમ ક્લોરાઇડ સિવાય,સોડિયમ ક્લોરેટ $(NaClO_3)$ બને છે.

(C) સોલ્વે પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ સોડિયમ કાર્બોનેટ,$Na_2CO_3$ ના ઉત્પાદનમાં થાય છે. આ પ્રક્રિયામાં નીચેની પ્રતિક્રિયાઓ સામેલ છે:
$NH_3 + H_2O + CO_2 \longrightarrow NH_4HCO_3$
$NH_4HCO_3 + NaCl \longrightarrow NaHCO_3 + NH_4Cl$
એકંદર પ્રતિક્રિયા: $NH_3 + H_2O + CO_2 + NaCl \longrightarrow NaHCO_3 + NH_4Cl$
મેળવેલ સોડિયમ બાયકાર્બોનેટને ગરમ કરવાથી સોડિયમ કાર્બોનેટ મળે છે:
$2NaHCO_3 \xrightarrow{\Delta} Na_2CO_3 + H_2O + CO_2$
નોંધ: આ પ્રક્રિયા પોટેશિયમ કાર્બોનેટ $(K_2CO_3)$ ના ઉત્પાદન માટે વાપરી શકાતી નથી કારણ કે પોટેશિયમ બાયકાર્બોનેટ $(KHCO_3)$ પાણીમાં ખૂબ જ દ્રાવ્ય છે અને $NaHCO_3$ ની જેમ અવક્ષેપિત થતું નથી.

(D) કોમન-એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો કરંટ ગેઈન $\beta$ એ કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $(\Delta i_C)$ અને બેઝ પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $(\Delta i_B)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B}$
આપેલ છે: $\beta = 80$ અને $\Delta i_B = 250 \mu A = 250 \times 10^{-6} \text{ A}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$80 = \frac{\Delta i_C}{250 \times 10^{-6} \text{ A}}$
$\Delta i_C = 80 \times 250 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20,000 \times 10^{-6} \text{ A}$
$\Delta i_C = 20 \times 10^{-3} \text{ A} = 20 \text{ mA}$.
તેથી,કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $20 \text{ mA}$ છે.

(B) આપેલ છે: $\tan y \frac{dy}{dx} = \sin(x+y) + \sin(x-y)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan y \frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos y$
ચલને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = 2 \sin x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sin y}{\cos^2 y} dy = \int 2 \sin x dx$
ધારો કે $t = \cos y$,તેથી $dt = -\sin y dy$,એટલે કે $\sin y dy = -dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$-\int \frac{dt}{t^2} = -2 \cos x + c$
$-(- \frac{1}{t}) = -2 \cos x + c$
$\frac{1}{\cos y} = -2 \cos x + c$
$\sec y = -2 \cos x + c$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{d y}{d x}=2 y^2-x^2$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}-\frac{x}{y}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા: $y \frac{d y}{d x}-\frac{2 y^2}{x}=-x$ $\ldots$ $(i)$.
ધારો કે $v=y^2$,તો $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d v}{d x}=2 y \frac{d y}{d x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $y \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}$.
આને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x}-\frac{2 v}{x}=-x$.
$2$ વડે ગુણતા: $\frac{d v}{d x}-\frac{4 v}{x}=-2 x$.
આ $\frac{d v}{d x}+P v=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-\frac{4}{x}$ અને $Q=-2 x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF=e^{\int P d x}=e^{\int-\frac{4}{x} d x}=e^{-4 \log x}=x^{-4}$.
ઉકેલ $v \cdot IF = \int Q \cdot IF d x + c$ છે.
$v \cdot x^{-4} = \int (-2 x) \cdot x^{-4} d x + c = -2 \int x^{-3} d x + c$.
$v x^{-4} = -2 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + c = x^{-2} + c$.
$v = x^2 + c x^4$.
કારણ કે $v=y^2$,વક્રોનો પરિવાર $y^2 = x^2 + c x^4$ છે.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ છે.
જેহেতু $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ એક સમતલમાં આવેલા છે,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ એ તે સમતલને લંબ સદિશ છે.
જો $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ ને સમાવતા સમતલને સમાંતર હોય,તો $\overrightarrow{c}$ એ લંબ સદિશ $\overrightarrow{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0$ થાય.
પ્રથમ,$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-9) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(3+4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
હવે,$\overrightarrow{c}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લઈએ:
$(-7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} + (2\lambda-1)\hat{k}) = 0$.
$-7\lambda + 7(1) + 7(2\lambda-1) = 0$.
$-7\lambda + 7 + 14\lambda - 7 = 0$.
$7\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{3}{25}$ અને $P(B - A) = \frac{8}{25}$.
ગણ અને સંભાવનાના ગુણધર્મો મુજબ,ઘટના $B$ ને બે અલગ-અલગ ગણના યોગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે: $(B - A)$ અને $(A \cap B)$.
તેથી,$P(B) = P(B - A) + P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(B) = \frac{8}{25} + \frac{3}{25} = \frac{11}{25}$.

(D) કિસ્સો $I$: પાત્ર $A$ માંથી પાત્ર $B$ માં સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પાત્ર $A$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_A) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ છે.
સ્થાનાંતર પછી,પાત્ર $B$ માં $7$ સફેદ અને $8$ કાળા દડા (કુલ $15$) છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_B|W_A) = \frac{7}{15}$ છે.
આ કિસ્સાની સંભાવના $P(W_A) \times P(W_B|W_A) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ છે.
કિસ્સો $II$: પાત્ર $A$ માંથી પાત્ર $B$ માં કાળો દડો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પાત્ર $A$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B_A) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ છે.
સ્થાનાંતર પછી,પાત્ર $B$ માં $6$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા (કુલ $15$) છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_B|B_A) = \frac{6}{15}$ છે.
આ કિસ્સાની સંભાવના $P(B_A) \times P(W_B|B_A) = \frac{5}{8} \times \frac{6}{15} = \frac{30}{120} = \frac{10}{40}$ છે.
પાત્ર $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની કુલ સંભાવના $\frac{7}{40} + \frac{10}{40} = \frac{17}{40}$ છે.

(C) ધારો કે $\lambda$ એ યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે પોઈસન વિતરણનો પ્રાચલ (મધ્યક) છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,તેથી:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda$ વડે ભાગતા આપણને $1 = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2$.
હવે,$P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \frac{\lambda^5 e^{-\lambda}}{5!} = \frac{2^5 e^{-2}}{120}$
$P(X=5) = \frac{32 e^{-2}}{120} = \frac{4}{15} e^{-2}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p = 1 - q$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે.
આપણે $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.