कथन 1: रेखाओं frac{x}{2} = frac{y}{-1} = frac | vedclass

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Question

(B) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ हैं।दोनों रेखाओं का दिशा सदि

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कथन $1$ सत्य है,कथन $2$ सत्य है,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(B) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ हैं।दोनों रेखाओं का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ समान है,इसलिए वे समांतर हैं।दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) 	imes \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ है।यहाँ,$\vec{a}_1 = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{a}_2 = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ है।अतः,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$.इसका परिमाण $|3\hat{i} - 3\hat{k}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।$\vec{b}$ का परिमाण $|2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ है।इसलिए,$d = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$.चूंकि गणना की गई दूरी $\sqrt{2}$ है,इसलिए कथन $1$ सत्य है।कथन $2$ समांतर रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी की मानक परिभाषा है,जो कि सत्य है।चूंकि कथन $2$ उस विधि को प्रदान करता है जिसका उपयोग कथन $1$ में दूरी की गणना के लिए किया गया है,इसलिए यह सही व्याख्या है।

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बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-2}$ और $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{1}$ पर लंब रेखा का समीकरण है

रेखाओं $\bar{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k})$ और $\bar{r}=(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

बिंदु $2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$ से रेखा $\vec{r} = (11 \hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k}) + \lambda(10 \hat{i} - 4 \hat{j} - 11 \hat{k})$ पर खींचे गए लंब की लंबाई है

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