Trigonometry Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણો:
$a \cos \theta + b \sin \theta = p$ ....$(1)$
$a \sin \theta - b \cos \theta = q$ ....$(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^{2} = p^{2}$
$a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta = p^{2}$ ....$(3)$
$(a \sin \theta - b \cos \theta)^{2} = q^{2}$
$a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = q^{2}$ ....$(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a^{2} \cos^{2} \theta + a^{2} \sin^{2} \theta) + (b^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta) + (2ab \sin \theta \cos \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta) = p^{2} + q^{2}$
$a^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = p^{2} + q^{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી:
$a^{2} + b^{2} = p^{2} + q^{2}$

(C) લંબચોરસ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ લંબચોરસને બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $\angle CAD = \theta$. $AD \parallel BC$ હોવાથી,$\angle CAD = \angle ACB = \theta$.
વળી,$\angle BAC = 90^{\circ} - \theta$.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$(\tan^2 \angle CAD + 1) \sin^2 \angle BAC = \sec^2 \angle CAD \cdot \sin^2 \angle BAC$
$= \frac{1}{\cos^2 \angle CAD} \cdot \sin^2 (90^{\circ} - \angle CAD)$
$= \frac{1}{\cos^2 \angle CAD} \cdot \cos^2 \angle CAD = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan x = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \sin 30^{\circ}$
પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા:
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\tan x = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{2}$
$\tan x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$
$\tan x = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\tan x = \tan 45^{\circ}$
આમ,$x = 45^{\circ}$.

(C) આપણે પદાવલિ $\sqrt{\frac{\sec \theta - 1}{\sec \theta + 1}}$ થી શરૂઆત કરીએ છીએ.
$\sec \theta$ ને $\frac{1}{\cos \theta}$ માં ફેરવતા,આપણને $\sqrt{\frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{1}{\cos \theta} + 1}} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ મળે છે.
અંશ અને છેદને $(1 - \cos \theta)$ વડે ગુણતા,આપણને $\sqrt{\frac{(1 - \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta}}$ મળે છે.
નિત્યસમ $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\sqrt{\frac{(1 - \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે ખૂણાઓ $A$ અને $B$ છે,જ્યાં $A > B$ છે.
આપેલ છે કે ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi$ રેડિયન છે.
$\pi$ રેડિયનને અંશમાં ફેરવતા: $\pi \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 180^{\circ}$.
તેથી,$A + B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે ખૂણાઓનો તફાવત $\frac{\pi}{12}$ રેડિયન છે.
$\frac{\pi}{12}$ રેડિયનને અંશમાં ફેરવતા: $\frac{\pi}{12} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 15^{\circ}$.
તેથી,$A - B = 15^{\circ}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(A + B) + (A - B) = 180^{\circ} + 15^{\circ}$.
$2A = 195^{\circ} \Rightarrow A = 97.5^{\circ}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(A + B) - (A - B) = 180^{\circ} - 15^{\circ}$.
$2B = 165^{\circ} \Rightarrow B = 82.5^{\circ}$.
નોંધ: વિકલ્પ $B$ મુજબ,જો સરવાળો $135^{\circ}$ હોય,તો $A = 75^{\circ}$ અને $B = 60^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $\angle B = \frac{\pi}{3}$,$\angle C = \frac{\pi}{4}$ અને $\frac{BD}{DC} = \frac{1}{3}$.
$\Delta ABD$ માં,સાઈન (Sine) ના નિયમ મુજબ:
$\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin \angle B}$
$\Rightarrow \frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)} = \frac{AD}{\sqrt{3}/2}$
$\Rightarrow AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{BD}{\sin \angle BAD}$ .... $(1)$
$\Delta ADC$ માં,સાઈન (Sine) ના નિયમ મુજબ:
$\frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AD}{\sin \angle C}$
$\Rightarrow \frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AD}{\sin(\pi/4)} = \frac{AD}{1/\sqrt{2}}$
$\Rightarrow AD = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{DC}{\sin \angle CAD}$ .... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{DC}{\sin \angle CAD}$
$\Rightarrow \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} \cdot \frac{BD}{DC}$
$\Rightarrow \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(A) આપેલ છે: $\sin 3A = \cos (A - 26^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \cos (90^{\circ} - \theta)$.
તેથી,$\cos (90^{\circ} - 3A) = \cos (A - 26^{\circ})$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા: $90^{\circ} - 3A = A - 26^{\circ}$.
પદોને ગોઠવતા: $90^{\circ} + 26^{\circ} = 3A + A$.
$116^{\circ} = 4A$.
$A = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta - 2 \sin ^{4} \theta}{2 \cos ^{4} \theta - \cos ^{2} \theta}$
અંશમાંથી $\sin^2 \theta$ અને છેદમાંથી $\cos^2 \theta$ સામાન્ય લેતા:
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta (1 - 2 \sin ^{2} \theta)}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
અંશમાં નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta [1 - 2(1 - \cos ^{2} \theta)]}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
કૌંસમાં રહેલા પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta (1 - 2 + 2 \cos ^{2} \theta)}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
સામાન્ય પદ $(2 \cos^2 \theta - 1)$ ને છેદતા:
$= \sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta$
નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ જવાબ $1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $x=a(\sin \theta+\cos \theta)$ અને $y=b(\sin \theta-\cos \theta)$.
અનુક્રમે $a$ અને $b$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{a}=\sin \theta+\cos \theta$ અને $\frac{y}{b}=\sin \theta-\cos \theta$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(\sin \theta+\cos \theta)^{2}+(\sin \theta-\cos \theta)^{2}$ મળે છે.
$(A+B)^2 = A^2+B^2+2AB$ અને $(A-B)^2 = A^2+B^2-2AB$ નો ઉપયોગ કરીને વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta)$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી પદાવલિ $1 + 2\sin \theta \cos \theta + 1 - 2\sin \theta \cos \theta$ માં સરળ બને છે.
આમ,પરિણામ $1 + 1 = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5 \theta = \cos 20^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\cos A = \sin(90^{\circ} - A)$.
જમણી બાજુએ આ નિત્યસમ લાગુ પાડતા: $\cos 20^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 20^{\circ}) = \sin 70^{\circ}$.
હવે,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\sin 5 \theta = \sin 70^{\circ}$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $5 \theta = 70^{\circ}$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા: $\theta = \frac{70^{\circ}}{5} = 14^{\circ}$.
આમ,$\theta$ નું મૂલ્ય $14^{\circ}$ છે.

(C) આપણને પદાવલિ આપવામાં આવી છે: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$.
નિત્યસમ $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ} = \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$.
$\tan 88^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 2^{\circ}) = \cot 2^{\circ} = \frac{1}{\tan 2^{\circ}}$.
આ ક્રમ $\tan 46^{\circ} = \cot 44^{\circ} = \frac{1}{\tan 44^{\circ}}$ સુધી ચાલુ રહે છે.
વચ્ચેનું પદ $\tan 45^{\circ} = 1$ છે.
આ કિંમતોને ગુણાકારમાં મૂકતા:
$(\tan 1^{\circ} \cdot \cot 1^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \cot 2^{\circ}) \cdots (\tan 44^{\circ} \cdot \cot 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,તેથી ગુણાકાર $1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1 = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\sin \alpha + \operatorname{cosec} \alpha)^{2} + (\cos \alpha + \sec \alpha)^{2}$
$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$= (\sin^{2} \alpha + \operatorname{cosec}^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \operatorname{cosec} \alpha) + (\cos^{2} \alpha + \sec^{2} \alpha + 2 \cos \alpha \sec \alpha)$
કારણ કે $\sin \alpha \operatorname{cosec} \alpha = 1$ અને $\cos \alpha \sec \alpha = 1$:
$= \sin^{2} \alpha + \operatorname{cosec}^{2} \alpha + 2 + \cos^{2} \alpha + \sec^{2} \alpha + 2$
$= (\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha) + \operatorname{cosec}^{2} \alpha + \sec^{2} \alpha + 4$
નિત્યસમ $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$,$\operatorname{cosec}^{2} \alpha = 1 + \cot^{2} \alpha$,અને $\sec^{2} \alpha = 1 + \tan^{2} \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 + (1 + \cot^{2} \alpha) + (1 + \tan^{2} \alpha) + 4$
$= 7 + \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$
આને $K + \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 7$ મળે છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવર તથા બિંદુ $P$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
બિંદુ $P$ થી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 60^{\circ} = h / d$,જેનો અર્થ છે કે $d = h / \sqrt{3}$.
બિંદુ $Q$ એ $P$ થી $10\, m$ ઊંચાઈએ છે. ટાવરના તળિયાનો અવસેધકોણ $30^{\circ}$ છે. આ $10\, m$ ઊંચાઈ અને $d$ પાયા ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી $\tan 30^{\circ} = 10 / d$,જેનો અર્થ છે કે $d = 10 / \tan 30^{\circ} = 10\sqrt{3}$.
$d$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $h / \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
તેથી,$h = 10\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30\, m$.

(A) આપેલ છે કે $\sin 21^{\circ} = \frac{x}{y}.$
કારણ કે $\cos 21^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^{2} 21^{\circ}},$ તેથી $\cos 21^{\circ} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{y^{2}}} = \frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}.$
હવે,$\sec 21^{\circ} = \frac{1}{\cos 21^{\circ}} = \frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}.$
વળી,$\sin 69^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 21^{\circ}) = \cos 21^{\circ} = \frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}.$
તેથી,$\sec 21^{\circ} - \sin 69^{\circ} = \frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}} - \frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}.$
લસાઅ $y\sqrt{y^{2}-x^{2}}$ લેતા,આપણને મળે:
$= \frac{y^{2} - (y^{2}-x^{2})}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}} = \frac{x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}.$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec^{2} \alpha - \tan^{2} \alpha = 1$ છે.
આને અવયવ પાડતા $(\sec \alpha + \tan \alpha)(\sec \alpha - \tan \alpha) = 1$ મળે.
આપેલ છે કે $\sec \alpha + \tan \alpha = 2,$ તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$2(\sec \alpha - \tan \alpha) = 1 \implies \sec \alpha - \tan \alpha = 0.5.$
હવે,બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\sec \alpha + \tan \alpha) + (\sec \alpha - \tan \alpha) = 2 + 0.5 = 2.5.$
$2 \sec \alpha = 2.5 \implies \sec \alpha = 1.25 = 5/4.$
કારણ કે $\cos \alpha = 1 / \sec \alpha,$ તેથી $\cos \alpha = 4/5 = 0.8.$
$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{2} \alpha = 1 - (4/5)^{2} = 1 - 16/25 = 9/25.$
$0 < \alpha < 90^{\circ}$ હોવાથી,$\sin \alpha$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $\sin \alpha = \sqrt{9/25} = 3/5 = 0.6.$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$3 \sin \theta + 5 \cos \theta = 5$ ..... $(1)$
$5 \sin \theta - 3 \cos \theta = x$ ..... $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતા:
$(3 \sin \theta + 5 \cos \theta)^2 + (5 \sin \theta - 3 \cos \theta)^2 = 5^2 + x^2$
$(9 \sin^2 \theta + 25 \cos^2 \theta + 30 \sin \theta \cos \theta) + (25 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta - 30 \sin \theta \cos \theta) = 25 + x^2$
$(9 + 25) \sin^2 \theta + (25 + 9) \cos^2 \theta = 25 + x^2$
$34(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25 + x^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$34 = 25 + x^2$
$x^2 = 34 - 25 = 9$
$x = \pm 3$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,તેથી સમીકરણ $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$ થશે.
ધારો કે $x = \tan \theta$. તો $x + \frac{1}{x} = 2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 - 2x + 1 = 0$ મળે.
આ $(x - 1)^2 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
તેથી,$\tan \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$ (કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે).
હવે,આપણે $\tan^{5} \theta + \cot^{5} \theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan \theta = 1$ અને $\cot \theta = 1$ મૂકતા:
$1^{5} + 1^{5} = 1 + 1 = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ થાય છે.
જ્યારે $\theta = 45^{\circ}$ હોય, ત્યારે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેથી, $\sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$ અને $\operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2}$ મળે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sec 45^{\circ} + \operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta - 1$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan^{2} \theta}{\sec \theta + 1} - \sec \theta = \frac{\sec^{2} \theta - 1}{\sec \theta + 1} - \sec \theta$
બીજગણિતના નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\sec^{2} \theta - 1$ ને $(\sec \theta - 1)(\sec \theta + 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$= \frac{(\sec \theta - 1)(\sec \theta + 1)}{\sec \theta + 1} - \sec \theta$
સામાન્ય પદ $(\sec \theta + 1)$ ને છેદતા:
$= (\sec \theta - 1) - \sec \theta$
$= \sec \theta - 1 - \sec \theta = -1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.
ધારો કે $a = \sin^2 \theta$ અને $b = \cos^2 \theta$.
તેથી,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3(\sin^2 \theta)(\cos^2 \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,આ કિંમત મૂકતા:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (1)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (1)$.
તેથી,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,તેથી: $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$.
ધારો કે $x = \tan \theta$. તો $x + \frac{1}{x} = 2$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,$x^2 + 1 = 2x$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2x + 1 = 0$ થાય છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(x - 1)^2 = 0$.
તેથી,$x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 1$.
$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan \theta = 1$ પરથી $\theta = 45^{\circ}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sec 60^{\circ} = 2$,અને $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} - \frac{3}{2} \times 2 \times \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \frac{4}{5} \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} \times (\sqrt{3})^{2} = 0$
$x \left( \frac{3}{4} \right) - 3 \times \left( \frac{1}{3} \right) + \frac{4}{5} \times \left( \frac{1}{2} \right) \times 3 = 0$
$\frac{3x}{4} - 1 + \frac{6}{5} = 0$
$\frac{3x}{4} = 1 - \frac{6}{5}$
$\frac{3x}{4} = -\frac{1}{5}$
$x = -\frac{1}{5} \times \frac{4}{3} = -\frac{4}{15}$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,બાજુ $AB$ એ ખૂણા $\angle C = 30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ છે અને $AC$ એ કર્ણ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\sin$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{AC}$
અહીં $\angle C = 30^{\circ}$ અને $AB = 6$ એકમ આપેલ છે:
$\sin 30^{\circ} = \frac{6}{AC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{AC}$
$AC = 6 \times 2 = 12$ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણ $7 \sin a = 24 \cos a$ છે.
બંને બાજુ $\cos a$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a = \frac{24}{7}$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^2 a = 1 + \tan^2 a$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 a = 1 + (\frac{24}{7})^2 = 1 + \frac{576}{49} = \frac{49 + 576}{49} = \frac{625}{49}$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sec a = \frac{25}{7}$ મળે.
કારણ કે $\cos a = \frac{1}{\sec a}$,તેથી $\cos a = \frac{7}{25}$ થાય.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિ $14 \tan a - 75 \cos a - 7 \sec a$ માં મૂકતા:
$= 14(\frac{24}{7}) - 75(\frac{7}{25}) - 7(\frac{25}{7})$
$= 2(24) - 3(7) - 25$
$= 48 - 21 - 25$
$= 48 - 46 = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\operatorname{cosec} 30^{\circ} = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{1/2} = 2$,અને $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(2)^{2} + x(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} - \frac{3}{4}(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2} = 10$
$2(4) + x(\frac{3}{4}) - \frac{3}{4}(\frac{1}{3}) = 10$
$8 + \frac{3x}{4} - \frac{1}{4} = 10$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$32 + 3x - 1 = 40$
$31 + 3x = 40$
$3x = 40 - 31$
$3x = 9$
$x = 3$

(D) આપણે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1.$
આ નિત્યસમને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\tan^2 \theta - \sec^2 \theta = -1.$
અહીં પદાવલિ $(\tan^2 \theta - \sec^2 \theta)$ એ $\theta$ ની કિંમત પર આધારિત નથી (જો $\theta$ એ વિધેયોના પ્રદેશમાં હોય),તેથી આપેલ સમીકરણ $2 \sin \theta + \cos \theta = \frac{7}{3}$ એ અંતિમ પરિણામ માટે બિનજરૂરી છે.
તેથી,તેની કિંમત $-1$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$29 \tan \theta = 31 \implies \tan \theta = \frac{31}{29}$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,તેથી $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{31}{29}$ મળે.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \frac{31 + 29}{31 - 29} = \frac{60}{2} = 30$ થાય.
હવે,પદાવલિ $\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta}{1-2 \sin \theta \cos \theta}$ ને ધ્યાનમાં લો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{(\sin \theta + \cos \theta)^2}{(\sin \theta - \cos \theta)^2}$.
અગાઉ મેળવેલ કિંમત મૂકતા:
$= \left( \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} \right)^2 = (30)^2 = 900$.

(B) આપેલ છે: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ .... $(1)$
ધારો કે $x = \cos \theta - \sin \theta$ .... $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{2} \cos \theta)^2 \Rightarrow \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cos^2 \theta$
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cos^2 \theta$ .... $(3)$
$x^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$
$x^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$ .... $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta + x^2 = 2 \cos^2 \theta + 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$
$1 + x^2 = 2 \cos^2 \theta + 1$
$x^2 = 2 \cos^2 \theta$ (નોંધ: અહીં નિત્યસમ $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\cos \theta - \sin \theta)^2 = 2$ નો ઉપયોગ કરતા)
$x^2 = 2 - (\sqrt{2} \cos \theta)^2 = 2 - 2 \cos^2 \theta = 2(1 - \cos^2 \theta) = 2 \sin^2 \theta$
તેથી,$x = \sqrt{2} \sin \theta$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x \sin 45^{\circ} = y \operatorname{cosec} 30^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા: $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
તેથી,$x \times \frac{1}{\sqrt{2}} = y \times 2$.
ગુણોત્તર $\frac{x}{y}$ શોધવા માટે: $\frac{x}{y} = 2 \sqrt{2}$.
હવે,$\frac{x^{4}}{y^{4}}$ ની ગણતરી કરતા: $\left(\frac{x}{y}\right)^{4} = (2 \sqrt{2})^{4}$.
$(2 \sqrt{2})^{4} = 2^{4} \times (\sqrt{2})^{4} = 16 \times 4 = 64$.
કારણ કે $64 = 4^{3}$,તેથી જવાબ $4^{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,તેથી સમીકરણ $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$ થશે.
બંને બાજુ $\tan \theta$ વડે ગુણતા,આપણને $\tan^2 \theta + 1 = 2 \tan \theta$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$ મળે છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(\tan \theta - 1)^2 = 0$.
તેથી,$\tan \theta = 1$.
જો $\tan \theta = 1$ હોય,તો $\cot \theta = \frac{1}{1} = 1$ થાય.
હવે,આ કિંમતોને $\tan^{100} \theta + \cot^{100} \theta$ માં મૂકતા,આપણને $1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$ છે.
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ મૂકતા:
$= \frac{\tan \theta}{1-\frac{1}{\tan \theta}} + \frac{\frac{1}{\tan \theta}}{1-\tan \theta} = \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta - 1} + \frac{1}{\tan \theta(1-\tan \theta)}$.
બીજા પદને સામાન્ય છેદ $(\tan \theta - 1)$ માં ફેરવતા:
$= \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta - 1} - \frac{1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$.
અપૂર્ણાંકોને ભેગા કરતા:
$= \frac{\tan^3 \theta - 1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \tan \theta$ અને $b = 1$:
$= \frac{(\tan \theta - 1)(\tan^2 \theta + \tan \theta + 1)}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$.
સામાન્ય પદ $(\tan \theta - 1)$ ને છેદતા:
$= \frac{\tan^2 \theta + \tan \theta + 1}{\tan \theta} = \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta} + \frac{\tan \theta}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \theta}$.
$= \tan \theta + 1 + \cot \theta = 1 + \tan \theta + \cot \theta$.

(B) આપેલ છે કે $\sec \theta = x + \frac{1}{4x} = \frac{4x^2 + 1}{4x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$.
$\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\left(x + \frac{1}{4x}\right)^2 - 1}$.
$\tan \theta = \sqrt{x^2 + 2(x)(\frac{1}{4x}) + \frac{1}{16x^2} - 1} = \sqrt{x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2} - 1} = \sqrt{x^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2}}$.
આને $\sqrt{\left(x - \frac{1}{4x}\right)^2} = x - \frac{1}{4x}$ તરીકે લખી શકાય (કારણ કે $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$,તેથી $\tan \theta > 0$).
હવે,$\sec \theta + \tan \theta = \left(x + \frac{1}{4x}\right) + \left(x - \frac{1}{4x}\right) = 2x$.

(C) ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi$ રેડિયન હોય છે.
આપેલ એક ખૂણો $\frac{5 \pi}{9}$ છે.
બાકીના બે ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi - \frac{5 \pi}{9} = \frac{4 \pi}{9}$ થાય.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,બે શક્યતાઓ છે:
કિસ્સો $1$: જો આપેલ ખૂણો શિરોબિંદુનો ખૂણો હોય,તો પાયાના બે ખૂણા સમાન હોય. દરેક પાયાનો ખૂણો $= \frac{1}{2} \times \frac{4 \pi}{9} = \frac{2 \pi}{9}$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો આપેલ ખૂણો પાયાનો એક ખૂણો હોય,તો બીજો પાયાનો ખૂણો પણ $\frac{5 \pi}{9}$ થાય. પરંતુ,બે ખૂણાઓનો સરવાળો $\frac{5 \pi}{9} + \frac{5 \pi}{9} = \frac{10 \pi}{9}$ થાય,જે $\pi$ કરતા વધારે છે. ત્રિકોણ માટે આ શક્ય નથી.
તેથી,અન્ય ખૂણાઓ $\frac{2 \pi}{9}$ હોવા જોઈએ.

(A) આપેલ છે:
$x = r \cos \theta \cos \phi$
$y = r \cos \theta \sin \phi$
$z = r \sin \theta$
આ કિંમતોને $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ માં મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (r \cos \theta \cos \phi)^{2} + (r \cos \theta \sin \phi)^{2} + (r \sin \theta)^{2}$
$= r^{2} \cos^{2} \theta \cos^{2} \phi + r^{2} \cos^{2} \theta \sin^{2} \phi + r^{2} \sin^{2} \theta$
પ્રથમ બે પદોમાંથી $r^{2} \cos^{2} \theta$ સામાન્ય લેતા:
$= r^{2} \cos^{2} \theta (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) + r^{2} \sin^{2} \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$:
$= r^{2} \cos^{2} \theta (1) + r^{2} \sin^{2} \theta$
$= r^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
વળી,$\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ હોવાથી:
$= r^{2} (1) = r^{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $5 \cos \theta + 12 \sin \theta = 13$
બંને બાજુ $13$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{13} \cos \theta + \frac{12}{13} \sin \theta = 1$
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ અને $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. તેથી $\tan \alpha = \frac{12}{5}$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta = 1$
$\cos(\theta - \alpha) = 1$
આનો અર્થ એ છે કે $\theta - \alpha = 0$,તેથી $\theta = \alpha$.
આમ,$\tan \theta = \tan \alpha = \frac{12}{5}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sec ^{2} 12^{\circ}-\frac{1}{\tan ^{2} 78^{\circ}}$
કારણ કે $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$,તેથી પદાવલિ $\sec ^{2} 12^{\circ}-\cot ^{2} 78^{\circ}$ બને છે.
કોટીકોણના નિત્યસમ $\cot(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cot 78^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 12^{\circ}) = \tan 12^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sec ^{2} 12^{\circ}-\tan ^{2} 12^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જવાબ $1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\tan \theta \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\tan \theta \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $\tan \theta = \sqrt{3}$
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $\theta = 60^{\circ}$ થાય.
હવે,આપણે $\sin (\theta - 15^{\circ})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા: $\sin (60^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 45^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan 2\theta \cdot \tan 3\theta = 1$ છે.
આને $\tan 3\theta = \frac{1}{\tan 2\theta} = \cot 2\theta$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $\cot A = \tan(90^{\circ} - A)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 3\theta = \tan(90^{\circ} - 2\theta)$ મળે.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,$3\theta = 90^{\circ} - 2\theta$,જે $5\theta = 90^{\circ}$ આપે છે,તેથી $\theta = 18^{\circ}$.
હવે,આપણે $(2 \cos^2 \frac{5\theta}{2} - 1)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$\theta = 18^{\circ}$ મૂકતા,$\frac{5\theta}{2} = \frac{5 \times 18^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ મળે.
આમ,પદાવલિ $2 \cos^2 45^{\circ} - 1$ બને છે.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$2 \times (\frac{1}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\sin 17^{\circ} = \frac{x}{y}.$
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos 17^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^{2} 17^{\circ}}.$
$\cos 17^{\circ} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}}} = \frac{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}{y}.$
તેથી,$\sec 17^{\circ} = \frac{1}{\cos 17^{\circ}} = \frac{y}{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}.$
કોટીકોણના નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 73^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 17^{\circ}) = \cos 17^{\circ} = \frac{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}{y}.$
હવે,$(\sec 17^{\circ} - \sin 73^{\circ}) = \frac{y}{\sqrt{y^{2} - x^{2}}} - \frac{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}{y}$ ની ગણતરી કરતા.
લસાઅ લેતા: $\frac{y^{2} - (\sqrt{y^{2} - x^{2}})^{2}}{y \sqrt{y^{2} - x^{2}}} = \frac{y^{2} - (y^{2} - x^{2})}{y \sqrt{y^{2} - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{y \sqrt{y^{2} - x^{2}}}.$

(B) આપેલ છે: $XZ - YZ = 2$ અને $XY = 2\sqrt{6}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $XYZ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$
$(2\sqrt{6})^2 = XZ^2 - YZ^2$
$24 = (XZ - YZ)(XZ + YZ)$
કારણ કે $XZ - YZ = 2$,તેથી:
$24 = 2(XZ + YZ)$
$XZ + YZ = 12$
હવે,આપણી પાસે બે સુરેખ સમીકરણો છે:
$1$) $XZ - YZ = 2$
$2$) $XZ + YZ = 12$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2XZ = 14 \Rightarrow XZ = 7$
સમીકરણ $(1)$ માં $XZ = 7$ મૂકતા:
$7 - YZ = 2 \Rightarrow YZ = 5$
હવે,ખૂણા $X$ માટે:
$\sec X = \frac{\text{કર્ણ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{XZ}{XY} = \frac{7}{2\sqrt{6}}$
$\tan X = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{YZ}{XY} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$
તેથી,$\sec X + \tan X = \frac{7}{2\sqrt{6}} + \frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{12}{2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.

(B) ધારો કે $Z = \sin \theta + \cos \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Z^{2} = (\sin \theta + \cos \theta)^{2} = \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta + 2 \sin \theta \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી $Z^{2} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$.
જ્યારે $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંને ધન હોય છે,તેથી $2 \sin \theta \cos \theta > 0$.
તેથી,$Z^{2} = 1 + (\text{કોઈ ધન કિંમત}) > 1$.
વર્ગમૂળ લેતા,$Z > 1$.
આમ,$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ માટે $\sin \theta + \cos \theta$ ની કિંમત હંમેશા $1$ કરતા વધારે હોય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\tan 57^{\circ}+\cot 37^{\circ}}{\tan 33^{\circ}+\cot 53^{\circ}}$
કોટીકોણના નિત્યસમ $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ અને $\cot(90^{\circ}-\theta) = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 57^{\circ} = \tan(90^{\circ}-33^{\circ}) = \cot 33^{\circ}$
$\cot 37^{\circ} = \cot(90^{\circ}-53^{\circ}) = \tan 53^{\circ}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{\cot 33^{\circ} + \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ} + \cot 53^{\circ}}$
$= \frac{\frac{1}{\tan 33^{\circ}} + \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ} + \frac{1}{\tan 53^{\circ}}}$
$= \frac{\frac{1 + \tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ}}}{\frac{\tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ} + 1}{\tan 53^{\circ}}}$
$= \frac{1 + \tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ}} \times \frac{\tan 53^{\circ}}{1 + \tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ}}$
$= \frac{\tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ}} = \tan 53^{\circ} \cot 33^{\circ}$
કારણ કે $\tan 53^{\circ} = \cot 37^{\circ}$ અને $\cot 33^{\circ} = \tan 57^{\circ}$,તેથી પદાવલિની કિંમત $\tan 57^{\circ} \cot 37^{\circ}$ થાય છે.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta + \sec^{2} \theta + \operatorname{cosec}^{2} \theta + \tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta$ છે.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $E = 1 + \sec^{2} \theta + \operatorname{cosec}^{2} \theta + \tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta$.
$\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ અને $\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + (1 + \tan^{2} \theta) + (1 + \cot^{2} \theta) + \tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta$.
$E = 3 + 2(\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta)$.
સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક અસમતા મુજબ,$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta \ge 2 \sqrt{\tan^{2} \theta \cdot \cot^{2} \theta} = 2(1) = 2$.
તેથી,$E$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $3 + 2(2) = 3 + 4 = 7$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,તેથી સમીકરણ $2(1) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$ થાય છે.
આપણે નિત્યસમ $(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ જાણીએ છીએ.
આ નિત્યસમમાં $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(x - \frac{1}{x})^{2} = 2 - 2 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x - \frac{1}{x} = 0$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=2$.
$\sin ^{2} \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,સમીકરણ $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=2$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin ^{2} \alpha=1$ અને $\sin ^{2} \beta=1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \alpha = \pm 1$ અને $\sin \beta = \pm 1$.
$\sin ^{2} \alpha=1$ માટે,$\alpha = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ અને $\sin ^{2} \beta=1$ માટે,$\beta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ મળે.
મુખ્ય મૂલ્યો લેતા,$\alpha = \frac{\pi}{2}$ અને $\beta = \frac{\pi}{2}$ મળે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\cot \frac{\pi}{20} \cdot \cot \frac{3 \pi}{20} \cdot \cot \frac{5 \pi}{20} \cdot \cot \frac{7 \pi}{20} \cdot \cot \frac{9 \pi}{20}$
અહીં $\pi = 180^{\circ}$ હોવાથી:
$= \cot 9^{\circ} \cdot \cot 27^{\circ} \cdot \cot 45^{\circ} \cdot \cot 63^{\circ} \cdot \cot 81^{\circ}$
નિત્યસમ $\cot(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cot 9^{\circ} \cdot \cot 27^{\circ} \cdot \cot 45^{\circ} \cdot \cot(90^{\circ} - 27^{\circ}) \cdot \cot(90^{\circ} - 9^{\circ})$
$= \cot 9^{\circ} \cdot \cot 27^{\circ} \cdot \cot 45^{\circ} \cdot \tan 27^{\circ} \cdot \tan 9^{\circ}$
$\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ હોવાથી:
$= (\cot 9^{\circ} \cdot \tan 9^{\circ}) \cdot (\cot 27^{\circ} \cdot \tan 27^{\circ}) \cdot \cot 45^{\circ}$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(D) આપેલ છે: $\sin \theta + \cos \theta = \frac{17}{13}$ ..... $(1)$
ધારો કે $\sin \theta - \cos \theta = x$ ..... $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{17}{13})^2 \Rightarrow \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{289}{169}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{289}{169} \Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{289}{169} - 1 = \frac{120}{169}$ ..... $(3)$
હવે,$x^2 = (\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$
$x^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$
સમીકરણ $(3)$ ની કિંમત મુકતા:
$x^2 = 1 - \frac{120}{169} = \frac{169 - 120}{169} = \frac{49}{169}$
$x = \pm \sqrt{\frac{49}{169}} = \pm \frac{7}{13}$
અહીં $0 < \theta < 90^{\circ}$ હોવાથી,સાચો જવાબ $\frac{7}{13}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta \cdot \tan 2 \theta = 1.$
આનો અર્થ એ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{\tan 2 \theta} = \cot 2 \theta.$
આપણે $\cot 2 \theta$ ને $\tan(90^{\circ} - 2 \theta)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} - 2 \theta).$
ખૂણાઓને સરખાવતા,$\theta = 90^{\circ} - 2 \theta \Rightarrow 3 \theta = 90^{\circ} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}.$
હવે,$\theta = 30^{\circ}$ ની કિંમત $\sin ^{2} 2 \theta + \tan ^{2} 2 \theta$ માં મૂકતા.
આ પદ $\sin ^{2} 60^{\circ} + \tan ^{2} 60^{\circ}$ બને છે.
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3},$
તેથી આપણને $(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = \frac{3}{4} + 3 = 3 \frac{3}{4}$ મળે છે.