Permutation and Combination Questions in Hindi

(B) चूंकि आवश्यक संख्याएँ $1000$ से कम हैं,इसलिए वे $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय संख्याएँ हो सकती हैं।
$(i)$ $1$-अंकीय विषम संख्याओं के लिए: इकाई के स्थान पर विषम अंक होना चाहिए। उपलब्ध विषम अंक $5$ और $7$ हैं। अतः,$2$ संभावित $1$-अंकीय विषम संख्याएँ हैं।
(ii) $2$-अंकीय विषम संख्याओं के लिए: इकाई के स्थान को $5$ या $7$ द्वारा ($2$ तरीकों से) भरा जा सकता है। दहाई के स्थान को $0$ को छोड़कर किसी भी अंक,यानी $2, 5$ या $7$ द्वारा ($3$ तरीकों से) भरा जा सकता है। कुल $2$-अंकीय विषम संख्याएँ $= 2 \times 3 = 6$.
(iii) $3$-अंकीय विषम संख्याओं के लिए: इकाई के स्थान को $5$ या $7$ द्वारा ($2$ तरीकों से) भरा जा सकता है। दहाई के स्थान को दिए गए $4$ अंकों $(0, 2, 5, 7)$ में से किसी भी एक द्वारा ($4$ तरीकों से) भरा जा सकता है। सैकड़े के स्थान को $0$ को छोड़कर किसी भी अंक,यानी $2, 5$ या $7$ द्वारा ($3$ तरीकों से) भरा जा सकता है। कुल $3$-अंकीय विषम संख्याएँ $= 2 \times 4 \times 3 = 24$.
कुल विषम संख्याओं की संख्या $= 2 + 6 + 24 = 32$.

(A) $3$-अंकीय संख्या में तीन स्थान होते हैं: सैकड़ा,दहाई और इकाई।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए प्रत्येक स्थान को दिए गए $1, 2, 3, 4, 5, 9$ अंकों (कुल $6$ अंक) में से किसी भी अंक से भरा जा सकता है।
सैकड़े के स्थान के लिए,संख्या को $600$ से कम रखने के लिए अंक $6$ से छोटा होना चाहिए। अतः,सैकड़े के स्थान को $1, 2, 3, 4$ या $5$ से भरा जा सकता है। इसके लिए $5$ संभावित तरीके हैं।
दहाई के स्थान को $6$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5, 9)$ में से किसी भी अंक से $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
इकाई के स्थान को $6$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5, 9)$ में से किसी भी अंक से $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,ऐसी कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 6 \times 6 = 180$ होंगी।

(A) कुल $26$ भिन्न अंग्रेजी वर्णमालाएँ हैं।
$3$ भिन्न वर्णमालाओं का शब्द बनाने के लिए:
पहला अक्षर $26$ तरीकों से चुना जा सकता है।
दूसरा अक्षर $25$ तरीकों से चुना जा सकता है (क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)।
तीसरा अक्षर $24$ तरीकों से चुना जा सकता है।
अतः,$3$ अक्षरों वाले शब्दों की कुल संख्या $= 26 \times 25 \times 24 = 15600$ है।

(B) $100$ और $1000$ के बीच की कोई भी संख्या $3$ अंकों की होती है।
चूंकि अंक भिन्न होने चाहिए,इसलिए ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ समुच्चय से अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।
$3$ अंकों की संख्या के लिए,सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता है।
$1$. सैकड़े के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $1$ से $9$)।
$2$. दहाई के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (सैकड़े के स्थान पर उपयोग किए गए अंक को छोड़कर शेष $9$ अंक,जिसमें $0$ शामिल है)।
$3$. इकाई के स्थान को $8$ तरीकों से भरा जा सकता है (पहले उपयोग किए गए दो अंकों को छोड़कर शेष $8$ अंक)।
ऐसी कुल $3$ अंकों की संख्याएँ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।

(C) $1000$ और $10000$ के बीच की कोई भी पूर्णांक संख्या $4$ अंकों की होती है।
प्रत्येक $4$ स्थान (हजार,सैकड़ा,दहाई और इकाई) को केवल $4, 5$ या $6$ अंकों का उपयोग करके भरा जा सकता है।
चूँकि प्रत्येक $4$ स्थानों के लिए $3$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसी कुल संख्याओं की गणना गुणन सिद्धांत द्वारा की जाती है।
कुल संख्याएँ $= 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$.

(A) लॉक में $3$ पहिए हैं,और प्रत्येक पहिये को $10$ अंकों ($0$ से $9$) में से किसी एक पर सेट किया जा सकता है।
चूंकि $3$ अंकों के अनुक्रम में कोई पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए,इसलिए हम $10$ अलग-अलग वस्तुओं में से $3$ वस्तुओं को लेकर बनने वाले क्रमचयों (permutations) की संख्या ज्ञात कर रहे हैं।
पहले पहिये के लिए,$10$ संभावित विकल्प हैं।
दूसरे पहिये के लिए,चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,इसलिए शेष $9$ विकल्प हैं।
तीसरे पहिये के लिए,शेष $8$ विकल्प हैं।
इसलिए,संभावित अनुक्रमों की कुल संख्या $10 \times 9 \times 8 = 720$ है।

(B) कोड $3, 5, 6$ और $9$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनी एक $4$-अंकीय संख्या है।
कुल संभावित कोड की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें इन $4$ अलग-अलग अंकों के $4$ के समूह में क्रमचय (permutations) की संख्या की गणना करनी होगी।
$n$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 4$ है,इसलिए संभावित कोड की संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है।
अतः,सही कोड प्राप्त करने के लिए आवश्यक प्रयासों की अधिकतम संख्या $24$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(n+2)! = 2550(n!)$
हम जानते हैं कि $(n+2)! = (n+2)(n+1)(n!)$ होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(n+2)(n+1)(n!) = 2550(n!)$
चूंकि $n! \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित कर सकते हैं:
$(n+2)(n+1) = 2550$
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर:
$n^2 + 3n + 2 = 2550$
इसे द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$n^2 + 3n - 2548 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 + 52n - 49n - 2548 = 0$
$n(n + 52) - 49(n + 52) = 0$
$(n - 49)(n + 52) = 0$
इससे $n$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$n = 49$ या $n = -52$।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या $(n \in \mathbb{N})$ होनी चाहिए,इसलिए $n = -52$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$n = 49$।

(D) दिया गया समीकरण: $(n+1)! = 6(n-1)!$
हम जानते हैं कि $n! = n \times (n-1)!$,इसलिए $(n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1)!$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(n+1) \times n \times (n-1)! = 6(n-1)!$
चूंकि $(n-1)!$ शून्य नहीं है,इसलिए दोनों पक्षों को $(n-1)!$ से विभाजित करने पर:
$(n+1) \times n = 6$
$n^2 + n - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n+3)(n-2) = 0$
इससे $n = -3$ या $n = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि फैक्टोरियल परिभाषित होने के लिए $n$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए $n = -3$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,$n = 2$।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{n!}{2!(n-2)!} : \frac{n!}{4!(n-4)!} = 2:1$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{n!}{2!(n-2)!} \times \frac{4!(n-4)!}{n!} = \frac{2}{1}$.
अंश और हर से $n!$ को काटने पर: $\frac{4!(n-4)!}{2!(n-2)!} = 2$.
फैक्टोरियल का विस्तार करने पर: $\frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} \times \frac{(n-4)!}{(n-2)(n-3)(n-4)!} = 2$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{12}{(n-2)(n-3)} = 2$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{6}{(n-2)(n-3)} = 1$.
अतः,$(n-2)(n-3) = 6$.
द्विघात समीकरण का विस्तार करने पर: $n^2 - 5n + 6 = 6$.
$n^2 - 5n = 0$.
$n(n-5) = 0$.
चूंकि $(n-4)!$ को परिभाषित होने के लिए $n \ge 4$ होना आवश्यक है,इसलिए $n = 5$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: ${ }^{n} P_{4}=18 \cdot{ }^{n-1} P_{2}$
सूत्र ${ }^{n} P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-4)!} = 18 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-1-2)!}$
$\frac{n(n-1)!}{(n-4)!} = 18 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-3)!}$
दोनों पक्षों को $(n-1)!$ से भाग देने और $(n-4)!$ से गुणा करने पर:
$n = 18 \cdot \frac{(n-4)!}{(n-3)!}$
चूंकि $(n-3)! = (n-3)(n-4)!$,हमें प्राप्त होता है:
$n = \frac{18}{n-3}$
$n(n-3) = 18$
$n^2 - 3n - 18 = 0$
$(n-6)(n+3) = 0$
$n = 6$ या $n = -3$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और ${ }^{n} P_{4}$ को परिभाषित होने के लिए $n \ge 4$ होना चाहिए,इसलिए $n = -3$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,$n = 6$।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{P(56, r+6)}{P(54, r+3)} = \frac{30800}{1}$
सूत्र $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} : \frac{54!}{(54-(r+3))!} = 30800 : 1$
$\Rightarrow \frac{56!}{(50-r)!} : \frac{54!}{(51-r)!} = 30800 : 1$
$\Rightarrow \frac{56 \times 55 \times 54!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\Rightarrow \frac{56 \times 55 \times (51-r) \times (50-r)!}{(50-r)!} = 30800$
$\Rightarrow 3080 \times (51-r) = 30800$
$\Rightarrow 51-r = \frac{30800}{3080}$
$\Rightarrow 51-r = 10$
$\Rightarrow r = 51 - 10 = 41$
अतः,$r$ का मान $41$ है।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ (n फैक्टोरियल) द्वारा दी जाती है।
यहाँ,हमारे पास $n = 10$ लोग हैं।
इसलिए,उनके कतार में खड़े होने के तरीकों की संख्या $10!$ है।
$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $3628800$ है।

(C) $EQUATION$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, Q, U, A, T, I, O, N$।
चूंकि सभी अक्षर भिन्न हैं और हमें प्रत्येक अक्षर का उपयोग केवल एक बार करना है,इसलिए बनने वाले शब्दों की संख्या $8$ अक्षरों के क्रमचय (permutations) के बराबर होगी।
यह $8!$ ($8$ का फैक्टोरियल) द्वारा दिया जाता है।
$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$।
अतः,कुल $40320$ शब्द बनाए जा सकते हैं।

(D) $10$ छात्रों द्वारा प्रथम $3$ पुरस्कार कितने तरीकों से जीते जा सकते हैं,यह निर्धारित करने के लिए हम क्रमचय (Permutation) की अवधारणा का उपयोग करते हैं क्योंकि जीतने का क्रम महत्वपूर्ण है।
$n$ भिन्न वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या का सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 3$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $^{10}P_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$ होगी।
इसकी गणना करने पर,हमें $10 \times 9 \times 8 = 720$ तरीके प्राप्त होते हैं।

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 5$ पुरुष $+ 4$ महिलाएं $= 9$ व्यक्ति।
$9$ स्थानों की एक पंक्ति में,सम स्थान $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}$ और $8^{th}$ हैं।
यहाँ $4$ सम स्थान उपलब्ध हैं और $4$ महिलाएं हैं जो इन स्थानों पर बैठ सकती हैं।
अतः,महिलाओं को सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $P(4, 4) = 4! = 24$ है।
शेष $5$ विषम स्थान $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th}, 9^{th})$ और $5$ पुरुष हैं जो इन स्थानों पर बैठ सकते हैं।
अतः,पुरुषों को शेष स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $P(5, 5) = 5! = 120$ है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $P(4, 4) \times P(5, 5) = 4! \times 5!$ होगी।
कुल व्यवस्थाएं $= 24 \times 120 = 2880$।

(C) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ (n फैक्टोरियल) द्वारा दी जाती है।
यहाँ,हमारे पास $n = 4$ भिन्न पुस्तकें हैं।
अतः,व्यवस्थाओं की कुल संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) चार उंगलियों में $3$ अलग-अलग अंगूठियां पहनना,जिसमें प्रत्येक उंगली में अधिकतम $1$ अंगूठी हो,$4$ में से $3$ उंगलियों का चयन करने और उन चुनी हुई उंगलियों में $3$ अलग-अलग अंगूठियों को व्यवस्थित करने के बराबर है।
चूंकि अंगूठियां अलग-अलग हैं,इसलिए व्यवस्था का क्रम मायने रखता है।
यह $4$ वस्तुओं में से एक बार में $3$ वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों (permutations) की संख्या ज्ञात करने के बराबर है,जिसे $P(4, 3)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 24$ तरीके।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $24$ है।

(A) यहाँ कुर्सियों की $4$ पंक्तियाँ हैं (मान लीजिए $I, II, III, IV$),जिनमें से प्रत्येक में $8$ कुर्सियाँ हैं। शर्त यह है कि प्रत्येक पंक्ति में सभी छात्र एक ही कक्षा के होने चाहिए और कोई भी दो आसन्न पंक्तियाँ एक ही कक्षा को आवंटित नहीं की जानी चाहिए।
चूँकि $2$ कक्षाएं ($C_1$ और $C_2$) हैं,पंक्तियों को वैकल्पिक (alternating) क्रम में आवंटित किया जाना चाहिए। कक्षाओं के लिए दो संभावित पैटर्न हैं:
पैटर्न $1$: पंक्ति $I$ $(C_1)$,पंक्ति $II$ $(C_2)$,पंक्ति $III$ $(C_1)$,पंक्ति $IV$ $(C_2)$।
पैटर्न $2$: पंक्ति $I$ $(C_2)$,पंक्ति $II$ $(C_1)$,पंक्ति $III$ $(C_2)$,पंक्ति $IV$ $(C_1)$।
इस प्रकार,कक्षाओं को पंक्तियों में आवंटित करने के $2$ तरीके हैं।
प्रत्येक कक्षा के लिए $16$ छात्र हैं जिन्हें उस कक्षा को आवंटित $16$ कुर्सियों में बैठाना है। $16$ छात्रों को $16$ कुर्सियों में बैठाने के तरीके $16!$ हैं।
चूँकि दोनों कक्षाओं में $16$ छात्र हैं,इसलिए उन्हें बैठाने के कुल तरीके $2 \times 16! \times 16!$ होंगे।

(C) $1000$ और $10000$ के बीच की संख्या एक $4$-अंकीय संख्या होती है।
हमारे पास $7$ अलग-अलग अंक उपलब्ध हैं: ${1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}$।
चूंकि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं हो रही है,इसलिए हमें $7$ उपलब्ध अंकों में से $4$ अंकों को व्यवस्थित करना है।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 7$ और $r = 4$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ है।

(D) $3, 1, 7, 0, 9, 5$ अंकों का उपयोग करके $6$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि पहला अंक $0$ न हो।
$6$ अलग-अलग अंकों के कुल क्रमचय $6! = 720$ हैं।
यदि पहला अंक $0$ है,तो शेष $5$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $5!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5! = 120$।
अतः,$6$ अंकों की ऐसी संख्याएँ जो $0$ से शुरू नहीं होती हैं,उनकी संख्या $6! - 5! = 720 - 120 = 600$ है।

(A) बिना किसी अंक को दोहराए $3$-अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमारे पास तीन स्थान हैं: सैकड़ा,दहाई और इकाई।
$1$. सैकड़े के स्थान को ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ में से किसी भी अंक से भरा जा सकता है। अतः,$9$ विकल्प हैं।
$2$. दहाई के स्थान को शेष $9$ अंकों में से (जिसमें $0$ शामिल है और सैकड़े के स्थान पर उपयोग किया गया अंक शामिल नहीं है) किसी भी अंक से भरा जा सकता है। अतः,$9$ विकल्प हैं।
$3$. इकाई के स्थान को शेष $8$ अंकों में से किसी भी अंक से भरा जा सकता है। अतः,$8$ विकल्प हैं।
कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।

(B) हमारे पास $6$ पीरियड और $5$ विषय हैं। प्रत्येक विषय को कम से कम एक बार पढ़ाया जाना चाहिए।
चूंकि $6$ पीरियड और $5$ विषय हैं,इसलिए एक विषय दो बार और बाकी चार विषय एक-एक बार पढ़ाए जाएंगे।
चरण $1$: उस विषय का चयन करें जिसे दो बार पढ़ाया जाना है। यह $\binom{5}{1} = 5$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $2$: $6$ पीरियड में $6$ विषयों की व्यवस्था (जहाँ एक विषय दो बार दोहराया जाता है) $\frac{6!}{2!} = 360$ तरीकों से की जा सकती है।
चरण $3$: कुल व्यवस्थाएं $= 5 \times 360 = 1800$। हालांकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $3600$ उत्तर है,जो यह दर्शाता है कि विषयों के चयन और क्रम में $2$ से गुणा किया गया है,अतः $3600$ सही विकल्प है।

(B) यह प्रश्न $4$ अलग-अलग अक्षरों $(E, K, S, V)$ से बनाए जा सकने वाले क्रमित युग्मों की संख्या के बारे में है।
चूंकि अक्षरों का क्रम मायने रखता है (क्योंकि इनका उपयोग आद्याक्षरों के रूप में किया जाना है),हम क्रमचय (Permutation) के सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$n = 4$ (कुल अक्षर) और $r = 2$ (युग्म के लिए चुने जाने वाले अक्षरों की संख्या)।
क्रमित युग्मों की संख्या $= P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12$.
अतः,क्रमित युग्मों की कुल संख्या $12$ है।

(A) कुल छात्रों की संख्या $= 8$ है।
सबसे पहले,अलग-अलग विषयों के $5$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। वे $5!$ तरीकों से बैठ सकते हैं।
$5! = 120$ तरीके।
ये $5$ छात्र $6$ संभावित रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाते हैं जहाँ $3$ गणित के छात्रों को बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो गणित के छात्र एक-दूसरे के बगल में न बैठें।
इन $6$ स्थानों में $3$ गणित के छात्रों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $P(6, 3)$ द्वारा दी गई है।
$P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल तरीकों की संख्या $= 5! \times P(6, 3) = 120 \times 120 = 14400$ है।

(A) '$ORIENTAL$' शब्द में कुल $8$ अक्षर हैं।
शब्द में स्वर हैं: $O, I, E, A$ (कुल $4$ स्वर)।
शब्द में व्यंजन हैं: $R, N, T, L$ (कुल $4$ व्यंजन)।
कुल $8$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$।
विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
स्वरों को इन $4$ विषम स्थानों पर आना है। $4$ स्वरों को $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $P(4, 4) = 4! = 24$ हैं।
शेष $4$ स्थानों $(2, 4, 6, 8)$ पर $4$ व्यंजनों को व्यवस्थित करना है। $4$ व्यंजनों को $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $P(4, 4) = 4! = 24$ हैं।
अतः,कुल बनने वाले शब्दों की संख्या $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ है।

(B) कोई भी संख्या $10$ से तभी विभाज्य होती है जब उसका इकाई का अंक $0$ हो।
दिए गए अंक ${1, 2, 7, 0, 9, 5}$ हैं।
$6$-अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमारे पास $6$ स्थान हैं।
चूँकि संख्या $10$ से विभाज्य होनी चाहिए,इसलिए इकाई के स्थान पर $0$ होना अनिवार्य है। अतः इकाई के स्थान के लिए $1$ विकल्प है।
शेष $5$ स्थानों को शेष $5$ अंकों ${1, 2, 7, 9, 5}$ द्वारा $5!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल तरीकों की संख्या $= 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
अतः,ऐसी कुल $6$-अंकीय संख्याओं की संख्या $120$ है।

(B) $(i)$ '$UNIVERSAL$' शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं। इन $9$ अक्षरों की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $9! = 362880$ है।
(ii) उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें $E, R, S$ हमेशा एक साथ आते हैं,हम $(E, R, S)$ के समूह को एक इकाई या ब्लॉक के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास ${U, N, I, V, A, L, (ERS)}$ अक्षर हैं,जो कुल $7$ इकाइयाँ बनाते हैं।
इन $7$ इकाइयों को $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
ब्लॉक के भीतर,$3$ अक्षरों $E, R, S$ को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$E, R, S$ के एक साथ आने वाली कुल व्यवस्थाओं की संख्या $7! \times 3! = 5040 \times 6 = 30240$ है।

(B) $5$ छात्रों के लिए $5$ स्थान हैं।
दूसरा स्थान लड़के $SUNIL$ के लिए निश्चित है।
इससे शेष $4$ छात्रों के लिए $4$ स्थान बचते हैं।
चूंकि $GITA$ और $NITA$ हमेशा साथ होने चाहिए,हम उन्हें एक इकाई $(GITA, NITA)$ के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास इकाई $(GITA, NITA)$ और अन्य $2$ छात्र हैं,इस प्रकार कुल $3$ इकाइयों को शेष स्थानों में व्यवस्थित करना है।
चूंकि $SUNIL$ दूसरे स्थान पर निश्चित है,हम इन $3$ इकाइयों को शेष स्थानों में व्यवस्थित करते हैं।
मान लीजिए स्थान $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ हैं। $P_2$ पर $SUNIL$ है।
शेष स्थान $P_1, P_3, P_4, P_5$ हैं।
इकाई $(GITA, NITA)$ स्थानों $(P_3, P_4)$ या $(P_4, P_5)$ पर आ सकती है।
स्थिति $1$: इकाई $(P_3, P_4)$ पर है। अन्य $2$ छात्रों को $P_1$ और $P_5$ में $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इकाई को $(GITA, NITA)$ या $(NITA, GITA)$ के रूप में $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। कुल $= 2! \times 2! = 4$.
स्थिति $2$: इकाई $(P_4, P_5)$ पर है। अन्य $2$ छात्रों को $P_1$ और $P_3$ में $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इकाई को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। कुल $= 2! \times 2! = 4$.
कुल व्यवस्थाएं $= 4 + 4 = 8$.

(A) $ALGEBRA$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, L, G, E, B, R, A$। यहाँ,$A$ दो बार आता है,और $L, G, E, B, R$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
$(I)$ जब दोनों $A$ साथ हों,तो हम $(AA)$ के जोड़े को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $6$ इकाइयाँ हैं: $(AA), L, G, E, B, R$। इन $6$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $6! = 720$ है।
$(II)$ उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ दोनों $A$ साथ न हों,हम कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं की संख्या घटाते हैं जहाँ वे साथ हैं।
कुल व्यवस्थाएँ = $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$।
जहाँ दोनों $A$ साथ न हों,उन तरीकों की संख्या = $\text{कुल} - \text{साथ} = 2520 - 720 = 1800$।

(A) प्रत्येक $6$ सेब इस अर्थ में अलग हैं कि उन्हें $3$ लड़कों में से किसी को भी दिया जा सकता है।
पहले सेब के लिए,लड़कों के $3$ विकल्प हैं।
दूसरे सेब के लिए,लड़कों के $3$ विकल्प हैं।
यह प्रक्रिया सभी $6$ सेबों के लिए जारी रहती है।
चूंकि प्रत्येक सेब को स्वतंत्र रूप से वितरित किया जा सकता है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{6}$ है।
मान की गणना करने पर,$3^{6} = 729$ प्राप्त होता है।

(C) '$KURUKSHETRA$' शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है:
$K$ दो बार आता है।
$U$ दो बार आता है।
$R$ दो बार आता है।
$S, H, E, T, A$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से कुछ वस्तुएं समान हों,तो व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
अतः,आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{11!}{2! 2! 2!} = \frac{39916800}{2 \times 2 \times 2} = \frac{39916800}{8} = 4989600$.

(A) $ALLAHABAD$ शब्द में कुल $9$ अक्षर हैं।
इस शब्द में,अक्षर $A$ $4$ बार,अक्षर $L$ $2$ बार और अक्षर $H, B, D$ प्रत्येक एक-एक बार आते हैं।
अतः,आवश्यक क्रमचयों (permutations) की संख्या इस प्रकार है:
$\text{क्रमचयों की संख्या} = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$
मान रखने पर: $\frac{9!}{4! 2! 1! 1! 1!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1 \times 1 \times 1}$
$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2} = 9 \times 8 \times 7 \times 3 \times 5 = 7560$.

(B) $3$ अंकों की संख्या बनाने के लिए $3$ स्थानों को भरा जाना है।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति संभव है,इसलिए प्रत्येक $3$ स्थान को दिए गए $4$ अंकों $(1, 3, 6, 8)$ में से किसी भी अंक द्वारा $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,कुल बनने वाली $3$ अंकों की संख्याएँ $= 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ होंगी।

(C) $3$-अंकीय संख्या में तीन स्थान होते हैं: सैकड़ा,दहाई और इकाई।
$1$. सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता क्योंकि $0$ से शुरू होने वाली संख्या $3$-अंकीय संख्या नहीं होती है। उपलब्ध अंक ${0, 2, 3, 6, 8}$ हैं। $0$ को छोड़कर,सैकड़े के स्थान के लिए $4$ विकल्प $(2, 3, 6, 8)$ हैं।
$2$. चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए दहाई के स्थान को $5$ अंकों $(0, 2, 3, 6, 8)$ में से किसी भी अंक द्वारा $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$3$. इसी प्रकार,इकाई के स्थान को $5$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $= 4 \times 5 \times 5 = 100$।

(B) '$BHARAT$' शब्द में $6$ अक्षर हैं,जिसमें '$A$' अक्षर $2$ बार दोहराया गया है।
कुल क्रमचयों (permutations) की संख्या $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
उन शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें '$B$' और '$H$' कभी एक साथ न हों,हम कुल शब्दों में से उन शब्दों की संख्या घटाएंगे जिनमें '$B$' और '$H$' एक साथ हैं।
'$BH$' को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: ${BH}, A, R, A, T$। चूँकि '$A$' दो बार आता है,इसलिए '$B$' और '$H$' के एक साथ होने की व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{2!} \times 2! = 120 \times 1 = 120$ है।
अतः,उन शब्दों की संख्या जिनमें '$B$' और '$H$' कभी एक साथ नहीं हैं $= 360 - 120 = 240$ है।

(C) '$ARRANGEMENT$' शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है: $A = 2$,$R = 2$,$N = 2$,$G = 1$,$E = 2$,$M = 1$,$T = 1$।
विन्यास की कुल संख्या ज्ञात करने का सूत्र: $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ... n_k!}$ है।
यहाँ,$n = 11$ है,और पुनरावृत्त अक्षर $A(2)$,$R(2)$,$N(2)$,और $E(2)$ हैं।
विन्यास की संख्या $= \frac{11!}{2! 2! 2! 2!} = \frac{39916800}{16} = 2494800$।

(B) $EXAMINATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, A, E, I, I, M, N, N, O, T, X$।
$E$ से शुरू होने वाले पहले शब्द से पहले के शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $A$ से शुरू होने वाले सभी शब्दों की गणना करनी होगी।
यदि हम पहले स्थान पर $A$ को स्थिर करते हैं,तो हमारे पास $10$ अक्षर शेष बचते हैं: $A, E, I, I, M, N, N, O, T, X$।
इन $10$ अक्षरों में,$I$ दो बार और $N$ दो बार आता है।
इन $10$ अक्षरों के क्रमचयों की संख्या $\frac{10!}{2!2!}$ द्वारा दी जाती है।
गणना: $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2} = 907200$।
अतः,शब्दकोश में $E$ से शुरू होने वाले किसी भी शब्द से पहले $A$ से शुरू होने वाले $907200$ शब्द होंगे।

(C) $5$-अंकीय सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर एक सम अंक होना चाहिए। उपलब्ध सम अंक $2$ और $4$ हैं।
स्थिति $1$: यदि इकाई के स्थान पर $2$ है,तो शेष अंक $1, 5, 5, 4$ हैं। इन $4$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
स्थिति $2$: यदि इकाई के स्थान पर $4$ है,तो शेष अंक $1, 2, 5, 5$ हैं। इन $4$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
कुल $5$-अंकीय सम संख्याएँ $= 12 + 12 = 24$।

(A) एक मिलियन से बड़ी संख्या में कम से कम सात अंक होने चाहिए। चूँकि हमें ठीक सात अंक $(2, 3, 0, 3, 4, 2, 3)$ दिए गए हैं,इसलिए सात अंकों की संख्या बनाने के लिए हमें उन सभी का उपयोग करना होगा।
इन $7$ अंकों के विन्यास की कुल संख्या,जिसमें $2$ दो बार और $3$ तीन बार दोहराया गया है,इस प्रकार है:
$\frac{7!}{2!3!} = \frac{5040}{2 \times 6} = \frac{5040}{12} = 420$.
हालाँकि,सात अंकों की संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती है। यदि पहला अंक $0$ है,तो शेष $6$ अंकों $(2, 3, 3, 4, 2, 3)$ को इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है:
$\frac{6!}{2!3!} = \frac{720}{2 \times 6} = \frac{720}{12} = 60$ तरीके।
इसलिए,सात अंकों की मान्य संख्याओं की संख्या कुल विन्यासों में से $0$ से शुरू होने वाले विन्यासों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$420 - 60 = 360$।

(D) '$ALGEBRA$' शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, L, G, E, B, R, A$।
स्वर $A, E, A$ हैं और व्यंजन $L, G, B, R$ हैं।
अक्षरों के स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
स्वर $1, 4, 7$ स्थान पर हैं और व्यंजन $2, 3, 5, 6$ स्थान पर हैं।
चूंकि सापेक्ष स्थानों को नहीं बदलना है,इसलिए स्वरों को $3$ निर्धारित स्वर स्थानों पर और व्यंजनों को $4$ निर्धारित व्यंजन स्थानों पर ही रहना होगा।
$3$ स्थानों में स्वरों $(A, A, E)$ को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
$4$ स्थानों में व्यंजनों $(L, G, B, R)$ को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4! = 24$ है।
कुल विन्यासों की संख्या $= 3 \times 24 = 72$।

(A) $BALLOON$ शब्द में कुल $7$ अक्षर हैं,जिसमें $L$ दो बार और $O$ दो बार आता है।
इन $7$ अक्षरों के कुल विन्यासों (arrangements) की संख्या $\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ है।
उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ दोनों $L$ एक साथ आते हैं,हम दोनों $L$ को एक इकाई $(LL)$ के रूप में मानते हैं। अब,हमें $6$ इकाइयों को व्यवस्थित करना है: $(LL), B, A, O, O, N$। इन $6$ इकाइयों में,$O$ दो बार दोहराया गया है।
दोनों $L$ के एक साथ आने वाले विन्यासों की संख्या $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें दोनों $L$ एक साथ नहीं आते हैं,कुल विन्यासों में से एक साथ आने वाले विन्यासों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$1260 - 360 = 900$।

(D) कुल झंडियों की संख्या $n = 3 + 2 + 2 = 7$ है।
चूंकि एक ही रंग की झंडियाँ एक समान हैं,इसलिए हम उन वस्तुओं के क्रमचय (permutations) के सूत्र का उपयोग करते हैं जहाँ कुछ वस्तुएँ समान होती हैं:
संकेतों की संख्या $= \frac{n!}{p_1! p_2! p_3!}$
यहाँ,$p_1 = 3$ (लाल),$p_2 = 2$ (पीली),और $p_3 = 2$ (हरी)।
संकेतों की संख्या $= \frac{7!}{3! 2! 2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)}$
$= \frac{5040}{6 \times 2 \times 2} = \frac{5040}{24} = 210$.
अतः,कुल अलग-अलग संकेतों की संख्या $210$ है।

(C) दिए गए अंक $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ हैं। कुल $7$ अंक हैं।
इनमें से विषम अंक $1, 3, 3, 1$ (कुल $4$ अंक) हैं और सम अंक $2, 4, 2$ (कुल $3$ अंक) हैं।
विषम स्थान $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}$ और $7^{th}$ (कुल $4$ स्थान) हैं।
सम स्थान $2^{nd}, 4^{th}$ और $6^{th}$ (कुल $3$ स्थान) हैं।
चूँकि विषम अंकों को विषम स्थानों पर ही आना है,इसलिए $4$ विषम अंकों $(1, 1, 3, 3)$ को $4$ विषम स्थानों पर $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3$ सम अंकों $(2, 2, 4)$ को $3$ सम स्थानों पर $\frac{3!}{2!1!} = \frac{6}{2} = 3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,संख्याएँ बनाने के कुल तरीके $6 \times 3 = 18$ हैं।

(B) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी $2$ महिलाएं एक साथ न बैठें,हम पहले $5$ सज्जनों को गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करते हैं। $n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
अतः,$5$ सज्जनों को $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
सज्जनों को बैठाने के बाद,उनके बीच $5$ रिक्त स्थान (गैप) बन जाते हैं (जैसा कि चित्र में $X$ चिह्नों द्वारा दिखाया गया है)।
चूंकि कोई भी $2$ महिलाएं एक साथ नहीं होनी चाहिए,इसलिए हमें $4$ महिलाओं को इन $5$ उपलब्ध स्थानों में बैठाना होगा।
$5$ स्थानों में से $4$ महिलाओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$n=5$ और $r=4$ है,इसलिए तरीकों की संख्या $^5P_4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{120}{1} = 120$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $24 \times 120 = 2880$ है।

(B) मान लीजिए लड़के $B_1, B_2, X$ हैं और लड़कियां $G_1, G_2, Y$ हैं।
चूंकि $X$ किसी भी लड़की को पड़ोसी के रूप में नहीं चाहता है,इसलिए $X$ को दो लड़कों $B_1$ और $B_2$ के बीच बैठना होगा।
चूंकि $Y$ किसी भी लड़के को पड़ोसी के रूप में नहीं चाहती है,इसलिए $Y$ को दो लड़कियों $G_1$ और $G_2$ के बीच बैठना होगा।
यह व्यवस्था लड़कों के एक ब्लॉक $(B_1, X, B_2)$ और लड़कियों के एक ब्लॉक $(G_1, Y, G_2)$ को मजबूर करती है।
इन दो ब्लॉकों की एक वृत्ताकार व्यवस्था में,उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(2-1)! = 1! = 1$ है।
लड़कों के ब्लॉक के भीतर,$B_1$ और $B_2$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
लड़कियों के ब्लॉक के भीतर,$G_1$ और $G_2$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $1 \times 2! \times 2! = 4$ है।

(C) मोतियों की कुल संख्या $n = 6 + 5 = 11$ है।
हार में मोतियों को व्यवस्थित करते समय,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है।
जब $n$ वस्तुओं में से $p$ एक प्रकार की और $q$ दूसरे प्रकार की हों,तो वृत्तीय क्रमचय की संख्या $\frac{(n-1)!}{p!q!}$ द्वारा दी जाती है।
हार के लिए,हम परावर्तन समरूपता (reflection symmetry) के लिए $2$ से विभाजित करते हैं।
अलग-अलग हारों की संख्या $= \frac{1}{2} \times \frac{(11-1)!}{6!5!} = \frac{10!}{2 \times 6! \times 5!}$.
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{2 \times 6! \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$.
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{2 \times 120} = \frac{5040}{240} = 21$.

(A) इसे हल करने के लिए,पंजाब और मद्रास के मुख्यमंत्रियों को एक इकाई के रूप में मानें।
अब,हमारे पास यह इकाई और शेष $9$ मुख्यमंत्री हैं,जिससे कुल $10$ इकाइयाँ हो जाती हैं जिन्हें एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करना है।
$n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
इसलिए,$10$ इकाइयों को $(10-1)! = 9!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,पंजाब और मद्रास के मुख्यमंत्री अपने स्थानों को $2!$ तरीकों से आपस में बदल सकते हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $9! \times 2!$ है।
मान की गणना करने पर: $9! = 362880$.
कुल तरीके = $362880 \times 2 = 725760$.

(B) हम संचय (combinations) का गुणधर्म जानते हैं: यदि $C(n, a) = C(n, b)$ है,तो या तो $a = b$ होगा या $n = a + b$ होगा।
दिया गया है कि $C(n, 7) = C(n, 5)$।
यहाँ,$7 \neq 5$ है,इसलिए $n = 7 + 5$ होना चाहिए।
अतः,$n = 12$।

(A) दिया गया है कि $C(n, 8) = C(n, 6)$।
गुणधर्म $C(n, r) = C(n, n-r)$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि यदि $C(n, a) = C(n, b)$ है,तो या तो $a = b$ होगा या $n = a + b$ होगा।
चूंकि $8 \neq 6$,इसलिए $n = 8 + 6 = 14$ होगा।
अब,हमें $C(n, 2) = C(14, 2)$ ज्ञात करना है।
$C(14, 2) = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 7 \times 13 = 91$।
अतः,सही मान $91$ है।