Permutation and Combination Questions in Hindi

(D) '$CORPORATION$' शब्द में $11$ अक्षर हैं: $C, O, R, P, O, R, A, T, I, O, N$।
स्वर $O, O, A, I, O$ हैं (कुल $5$ स्वर,जिसमें $O$ तीन बार दोहराया गया है)।
व्यंजन $C, R, P, R, T, N$ हैं (कुल $6$ व्यंजन,जिसमें $R$ दो बार दोहराया गया है)।
$5$ स्वरों को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $6$ व्यंजन + $1$ स्वर की इकाई = $7$ वस्तुएं व्यवस्थित करने के लिए हैं।
इन $7$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके,जहाँ $R$ दो बार दोहराया गया है,$\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ हैं।
स्वर इकाई के भीतर,$5$ स्वरों $(O, O, O, A, I)$ को $\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $2520 \times 20 = 50400$।

(C) क्लब में $6$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं।
हमें $5$ लोगों की एक समिति बनानी है।
यदि किसी भी पुरुष का चयन नहीं किया जाता है,तो समिति के सभी $5$ सदस्यों को $8$ महिलाओं में से चुना जाना चाहिए।
$8$ में से $5$ महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय (combination) के सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें ${}^{8}C_{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ प्राप्त होता है।
अतः,समिति बनाने के कुल $56$ तरीके हैं।

(A) क्लब में कुल व्यक्तियों की संख्या $= 7 + 8 = 15$ है।
$15$ में से $6$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_6$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^{15}C_6 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005$।
कम से कम एक महिला के चयन के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाते हैं जिनमें कोई भी महिला नहीं चुनी जाती है (अर्थात,सभी $6$ पुरुष हैं)।
$7$ पुरुषों में से $6$ पुरुषों को चुनने के तरीके ${}^{7}C_6$ हैं।
${}^{7}C_6 = {}^{7}C_1 = 7$।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= {}^{15}C_6 - {}^{7}C_6 = 5005 - 7 = 4998$।

(B) '$EDUCATION$' शब्द में $9$ अक्षर हैं: $E, D, U, C, A, T, I, O, N$.
इसमें $5$ स्वर $(E, U, A, I, O)$ और $4$ व्यंजन $(D, C, T, N)$ हैं।
स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7, 9$ हैं (कुल $5$ स्थान)।
$5$ स्वरों को इन $5$ विषम स्थानों पर $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
$4$ व्यंजनों को शेष $4$ सम स्थानों $(2, 4, 6, 8)$ पर $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
अतः,शब्दों की कुल संख्या $= 5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$।

(D) कुल $10$ प्रश्न हैं,जिन्हें दो समूहों $A$ और $B$ में विभाजित किया गया है,प्रत्येक में $5$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को कुल $6$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें प्रत्येक समूह से अधिकतम $4$ प्रश्न लिए जा सकते हैं।
समूह $A$ और समूह $B$ से प्रश्नों के संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:

समूह $A$	समूह $B$
$4$	$2$
$3$	$3$
$2$	$4$

अतः,प्रश्नों को चुनने के कुल तरीके:
$= {}^{5}C_{4} \times {}^{5}C_{2} + {}^{5}C_{3} \times {}^{5}C_{3} + {}^{5}C_{2} \times {}^{5}C_{4}$
$= (5 \times 10) + (10 \times 10) + (10 \times 5)$
$= 50 + 100 + 50 = 200$

(C) पाँच अंकों की संख्या बनाने के लिए,पहला अंक (दस हज़ार का स्थान) $0$ नहीं हो सकता है।
पहले अंक के लिए $5$ विकल्प हैं: ${1, 2, 3, 5, 6}$।
शेष $4$ स्थानों के लिए,हमारे पास $5$ अंक उपलब्ध हैं (जिसमें $0$ और शेष $4$ अंक शामिल हैं)।
शेष $4$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ है।
कुल संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।

(A) चार अंकों की एक संख्या विषम होती है यदि उसका इकाई का अंक विषम हो। दिए गए समुच्चय ${0, 1, 2, 3, 4, 7, 8}$ में से विषम अंक ${1, 3, 7}$ हैं।
$1$. इकाई के स्थान को $3$ विषम अंकों में से किसी एक द्वारा $^3P_1 = 3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$2$. हजार का स्थान $0$ नहीं हो सकता। चूँकि एक विषम अंक पहले ही इकाई के स्थान पर उपयोग किया जा चुका है,इसलिए हजार के स्थान के लिए $6 - 1 = 5$ अंक उपलब्ध हैं ($0$ और इकाई के स्थान पर प्रयुक्त अंक को छोड़कर)। अतः,इसे $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$3$. शेष दो स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को शेष $5$ अंकों में से $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,चार अंकों की कुल विषम संख्याओं की संख्या $3 \times 5 \times 20 = 300$ है।

(C) $4$ अंकों की संख्या $5$ से विभाज्य होती है यदि उसका इकाई अंक $0$ या $5$ हो।
स्थिति $1$: यदि इकाई का अंक $0$ है,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों से $^4P_3 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि इकाई का अंक $5$ है,तो हजार के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता। अतः,हजार के स्थान के लिए $3$ विकल्प हैं और शेष $2$ स्थानों को $3$ अंकों से $^3P_2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $3 \times 6 = 18$ तरीके।
कुल संख्याएँ $= 24 + 18 = 42$। दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $60$ है।

(A) $8$ पुरुषों और $6$ महिलाओं में से सात व्यक्तियों का एक समूह बनाया जाना है। शर्त यह है कि समूह में कम से कम दो महिलाएं होनी चाहिए।
संभावित संयोजन $(2W, 5M), (3W, 4M), (4W, 3M), (5W, 2M)$ और $(6W, 1M)$ हैं।
कुल तरीकों की संख्या:
$= {}^{6}C_{2} \times {}^{8}C_{5} + {}^{6}C_{3} \times {}^{8}C_{4} + {}^{6}C_{4} \times {}^{8}C_{3} + {}^{6}C_{5} \times {}^{8}C_{2} + {}^{6}C_{6} \times {}^{8}C_{1}$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= (15 \times 56) + (20 \times 70) + (15 \times 56) + (6 \times 28) + (1 \times 8)$
$= 840 + 1400 + 840 + 168 + 8 = 3256$
वैकल्पिक रूप से,$14$ में से $7$ चुनने के कुल तरीके ${}^{14}C_{7} = 3432$ हैं। इसमें से $0$ महिलाएं $({}^{6}C_{0} \times {}^{8}C_{7} = 8)$ और $1$ महिला $({}^{6}C_{1} \times {}^{8}C_{6} = 168)$ वाले मामलों को घटाने पर:
$3432 - (8 + 168) = 3256$.
अतः,आवश्यक समूहों की संख्या $3256$ है।

(C) '$EQUATOR$' शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, Q, U, A, T, O, R$.
हमें '$A$' या '$E$' से शुरू होने वाले $4$ अक्षरों के शब्द बनाने हैं।
चरण $1$: पहला अक्षर '$A$' या '$E$' होना चाहिए। इसे $^2P_1 = 2$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $2$: पहला अक्षर निश्चित करने के बाद,'$EQUATOR$' शब्द से $6$ अक्षर शेष बचते हैं।
चरण $3$: हमें शेष $3$ स्थानों को भरने के लिए $6$ उपलब्ध अक्षरों का उपयोग करना है। इसे $^6P_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
$^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीके।
चरण $4$: शब्दों की कुल संख्या पहले अक्षर को चुनने के तरीकों और शेष स्थानों को भरने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल शब्द $= 2 \times 120 = 240$।

(D) '$EXCELLENT$' शब्द में कुल $9$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है: $E$ तीन बार आता है,$X$ एक बार आता है,$C$ एक बार आता है,$L$ दो बार आता है,$N$ एक बार आता है और $T$ एक बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{p!q!...}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अक्षरों की कुल संख्या है और $p, q, ...$ दोहराए गए अक्षरों की आवृत्ति हैं।
यहाँ,$n = 9$,$p = 3$ ($E$ के लिए),और $q = 2$ ($L$ के लिए)।
$\text{आवश्यक व्यवस्थाएं} = \frac{9!}{3! \times 2!} = \frac{362880}{6 \times 2} = \frac{362880}{12} = 30240$.

(B) फुटबॉल खेल के लिए दो पक्ष (पक्ष $A$ और पक्ष $B$) बनाने के लिए,जिनमें से प्रत्येक में एक महिला और एक पुरुष हो:
चरण $1$: $5$ महिलाओं और $4$ पुरुषों में से पक्ष $A$ के लिए एक महिला और एक पुरुष का चयन करें।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{1} \times {}^{4}C_{1} = 5 \times 4 = 20$ तरीके।
चरण $2$: पक्ष $A$ के लिए एक महिला और एक पुरुष चुनने के बाद,हमारे पास $4$ महिलाएं और $3$ पुरुष शेष बचते हैं।
अब,शेष $4$ महिलाओं और $3$ पुरुषों में से पक्ष $B$ के लिए एक महिला और एक पुरुष का चयन करें।
तरीकों की संख्या $= {}^{4}C_{1} \times {}^{3}C_{1} = 4 \times 3 = 12$ तरीके।
चरण $3$: दोनों पक्षों को बनाने के तरीकों की कुल संख्या प्रत्येक पक्ष को बनाने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल तरीके $= 20 \times 12 = 240$।

(D) $15$ अलग-अलग पुस्तकों को $5-5$ पुस्तकों के $3$ समान समूहों में विभाजित करने के लिए,हम पहले समूह के लिए $5$ पुस्तकें,फिर दूसरे के लिए $5$ और शेष $5$ पुस्तकें तीसरे समूह के लिए चुनते हैं।
समूहों को चुनने के तरीकों की संख्या $= {}^{15}C_{5} \times {}^{10}C_{5} \times {}^{5}C_{5}$ है।
चूंकि $3$ समूहों का क्रम मायने नहीं रखता है,इसलिए अधिक गणना से बचने के लिए हम $3!$ से विभाजित करते हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= \frac{{}^{15}C_{5} \times {}^{10}C_{5} \times {}^{5}C_{5}}{3!} = \frac{3003 \times 252 \times 1}{6} = \frac{756756}{6} = 126126$.

(B) $15$ अलग-अलग पुस्तकों को $5$ समान समूहों में विभाजित करने के लिए,प्रत्येक समूह में $15 / 5 = 3$ पुस्तकें होंगी।
सबसे पहले,हम पुस्तकों को $5$ अलग-अलग समूहों में वितरित करने के तरीकों की संख्या की गणना करते हैं:
तरीकों की संख्या $= {}^{15}C_{3} \times {}^{12}C_{3} \times {}^{9}C_{3} \times {}^{6}C_{3} \times {}^{3}C_{3}$.
चूंकि समूहों का क्रम मायने नहीं रखता (वे समान सेट हैं),इसलिए हमें समूहों के क्रमपरिवर्तन को हटाने के लिए $5!$ से विभाजित करना होगा।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= \frac{{}^{15}C_{3} \times {}^{12}C_{3} \times {}^{9}C_{3} \times {}^{6}C_{3} \times {}^{3}C_{3}}{5!}$.
गणना:
${}^{15}C_{3} = 455$,${}^{12}C_{3} = 220$,${}^{9}C_{3} = 84$,${}^{6}C_{3} = 20$,${}^{3}C_{3} = 1$.
कुल $= \frac{455 \times 220 \times 84 \times 20 \times 1}{120} = 1401400$.

(B) हमें कुल $12$ सदस्यों में से $6$ सदस्यों का चयन करना है।
चूंकि एक विशेष सदस्य को हमेशा शामिल किया जाना है,इसलिए हमने $1$ सदस्य का चयन पहले ही कर लिया है।
अब,हमें शेष $12 - 1 = 11$ सदस्यों में से शेष $6 - 1 = 5$ सदस्यों का चयन करना है।
$11$ में से $5$ सदस्यों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय (combination) के सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,चयन के तरीकों की संख्या ${}^{11}C_{5} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$ है।

(C) कुल उपलब्ध सदस्यों की संख्या $= 12$.
चुने जाने वाले सदस्यों की संख्या $= 6$.
चूंकि एक विशेष सदस्य को हमेशा बाहर रखना है,इसलिए हमें प्रभावी रूप से शेष $(12 - 1) = 11$ सदस्यों में से $6$ सदस्यों का चयन करना होगा।
$11$ में से $6$ सदस्यों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय (combination) के सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें ${}^{11}C_{6} = \frac{11!}{6!(11-6)!} = \frac{11!}{6! \times 5!}$ प्राप्त होता है।
${}^{11}C_{6} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6! \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120} = 462$.
अतः,चयन करने के कुल तरीकों की संख्या $462$ है।

(A) त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
$12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_{3}$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
चूंकि $4$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन $4$ बिंदुओं में से किन्हीं भी $3$ बिंदुओं को चुनने पर त्रिभुज नहीं बनेगा।
इन $4$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके ${}^{4}C_{3} = 4$ हैं।
अतः,निर्मित त्रिभुजों की कुल संख्या = ${}^{12}C_{3} - {}^{4}C_{3} = 220 - 4 = 216$।

(C) कुल गेंदों की संख्या $= 2 + 3 + 4 = 9$.
काली गेंदों की संख्या $= 3$.
काली न होने वाली गेंदों की संख्या $= 2 + 4 = 6$.
हमें $3$ गेंदें इस प्रकार चुननी हैं कि कम से कम एक काली गेंद हो।
यह निम्नलिखित तरीकों से किया जा सकता है:
$1$ काली और $2$ काली न होने वाली गेंदें: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} = 3 \times 15 = 45$.
$2$ काली और $1$ काली न होने वाली गेंद: ${}^{3}C_{2} \times {}^{6}C_{1} = 3 \times 6 = 18$.
$3$ काली और $0$ काली न होने वाली गेंद: ${}^{3}C_{3} \times {}^{6}C_{0} = 1 \times 1 = 1$.
कुल तरीके $= 45 + 18 + 1 = 64$.

(A) $7$ पुरुषों में से $5$ पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{7}C_{5}$ है।
${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,${}^{7}C_{5} = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ है।
$3$ महिलाओं में से $2$ महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{3}C_{2}$ है।
${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,${}^{3}C_{2} = {}^{3}C_{1} = 3$ है।
अतः,समूह बनाने के कुल तरीकों की संख्या ${}^{7}C_{5} \times {}^{3}C_{2} = 21 \times 3 = 63$ है।

(D) समिति में $5$ व्यक्ति हैं जिनमें कम से कम $3$ पुरुष होने चाहिए। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
स्थिति $1$: $3$ पुरुष और $2$ महिलाएँ।
स्थिति $2$: $4$ पुरुष और $1$ महिला।
स्थिति $3$: $5$ पुरुष और $0$ महिलाएँ।
समिति बनाने के तरीकों की संख्या:
$= ({}^{7}C_{3} \times {}^{6}C_{2}) + ({}^{7}C_{4} \times {}^{6}C_{1}) + ({}^{7}C_{5} \times {}^{6}C_{0})$
$= (35 \times 15) + (35 \times 6) + (21 \times 1)$
$= 525 + 210 + 21$
$= 756$

(D) $5$ से विभाज्य तीन अंकों की संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर $5$ होना अनिवार्य है।
चूंकि अंक $5$ का उपयोग इकाई के स्थान पर किया गया है और अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,इसलिए शेष दो स्थानों को भरने के लिए हमारे पास $5$ अंक $(2, 3, 6, 7, 9)$ शेष हैं।
दहाई के स्थान को शेष $5$ अंकों में से किसी भी एक अंक द्वारा $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
सैकड़े के स्थान को शेष $4$ अंकों में से किसी भी एक अंक द्वारा $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,ऐसी कुल तीन अंकों की संख्याएँ $1 \times 5 \times 4 = 20$ होंगी।

(C) '$TRIVANDRUM$' शब्द में $10$ अक्षर हैं: $T, R, I, V, A, N, D, R, U, M$.
इस शब्द में,'$R$' अक्षर दो बार आता है,जबकि अन्य सभी अक्षर एक बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से $p$ वस्तुएं समान हों,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{p!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 10$ और $p = 2$ है।
अतः,बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या = $\frac{10!}{2!} = \frac{3,628,800}{2} = 1,814,400$ होगी।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न या विकल्पों में त्रुटि प्रतीत होती है। यदि शब्द '$TRIVANDUM$' होता (जिसमें '$R$' केवल एक बार हो),तो उत्तर $9!$ होता।

(C) '$LEADER$' शब्द में कुल $6$ अक्षर हैं: $L, E, A, D, E, R$।
इस शब्द में,'$E$' अक्षर $2$ बार दोहराया गया है,जबकि अन्य सभी अक्षर एक बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से $p$ वस्तुएं एक ही प्रकार की हों,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{p!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 6$ और $p = 2$ है।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।

(C) समिति बनाने के लिए,हमें $8$ में से $5$ पुरुषों और $10$ में से $6$ महिलाओं का चयन करना होगा।
$8$ में से $5$ पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय (combination) के सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
${}^{8}C_{5} = {}^{8}C_{8-5} = {}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
$10$ में से $6$ महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{10}C_{6} = {}^{10}C_{10-6} = {}^{10}C_{4}$ है।
${}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$.
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,समिति बनाने के कुल तरीकों की संख्या ${}^{8}C_{5} \times {}^{10}C_{6} = 56 \times 210 = 11760$ है।

(D) '$AUCTION$' शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $A, U, C, T, I, O, N$।
इसमें $4$ स्वर $(A, U, I, O)$ और $3$ व्यंजन $(C, T, N)$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि स्वर हमेशा एक साथ आएं,हम $4$ स्वरों के समूह $(A, U, I, O)$ को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $4$ स्वरों का ब्लॉक और $3$ व्यंजन हैं,जिससे कुल $4$ इकाइयाँ बनती हैं: $(AUIO), C, T, N$।
इन $4$ इकाइयों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके।
स्वर ब्लॉक के भीतर,$4$ स्वरों को आपस में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ तरीके है।

(C) चरण $1$: $7$ व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनें। तरीकों की संख्या ${ }^{7} C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ है।
चरण $2$: $4$ स्वरों में से $2$ स्वर चुनें। तरीकों की संख्या ${ }^{4} C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
चरण $3$: $3$ व्यंजनों और $2$ स्वरों के कुल संचय $35 \times 6 = 210$ हैं।
चरण $4$: चूंकि इन $5$ अक्षरों (कुल $3+2$) को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए शब्दों की कुल संख्या $210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$ है।

(D) बच्चों की कुल संख्या $= 6 + 4 = 10$ है।
हमें $10$ में से $4$ बच्चों का चयन करना है।
$10$ में से $4$ बच्चों को चुनने के कुल तरीके ${}^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ हैं।
शर्त यह है कि कम से कम एक लड़का चुना जाना चाहिए।
यह इसके बराबर है: (कुल तरीके) - (बिना किसी लड़के वाले तरीके)।
बिना किसी लड़के का अर्थ है $4$ उपलब्ध लड़कियों में से $4$ लड़कियों का चयन करना,जो ${}^{4}C_4 = 1$ है।
अतः,कम से कम एक लड़का चुनने के तरीकों की संख्या $= 210 - 1 = 209$ है।

(D) '$BANKING$' शब्द में कुल $7$ अक्षर हैं: $B, A, N, K, I, N, G$.
इसमें $2$ स्वर $(A, I)$ और $5$ व्यंजन $(B, N, K, N, G)$ हैं।
चूंकि स्वर हमेशा एक साथ आने चाहिए,इसलिए हम $(AI)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $6$ इकाइयाँ हैं: ${B, N, K, N, G, (AI)}$,जिसमें '$N$' दो बार दोहराया गया है।
इन $6$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ हैं।
$(AI)$ समूह के भीतर,$2$ स्वरों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $360 \times 2 = 720$ है।

(A) '$JUDGE$' शब्द में $5$ अलग-अलग अक्षर हैं: $J, U, D, G, E$।
शब्द में स्वर $U$ और $E$ हैं। व्यंजन $J, D, G$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि स्वर हमेशा एक साथ आएं,हम $(UE)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं: ${J, D, G, (UE)}$।
इन $4$ इकाइयों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,जो $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके हैं।
$(UE)$ समूह के भीतर,$2$ स्वरों को आपस में $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,जो $2 \times 1 = 2$ तरीके हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $24 \times 2 = 48$ है।

(B) '$OPTICAL$' शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $O, P, T, I, C, A, L$.
शब्द में स्वर $O, I, A$ हैं। चूंकि उन्हें हमेशा एक साथ आना है,इसलिए हम उन्हें एक इकाई या ब्लॉक के रूप में मानते हैं: $(OIA)$.
अब,शेष अक्षर $P, T, C, L$ हैं।
ब्लॉक $(OIA)$ को शामिल करते हुए,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4 + 1 = 5$ इकाइयाँ हैं।
इन $5$ इकाइयों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
ब्लॉक $(OIA)$ के भीतर,$3$ स्वरों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$ तरीके।

(C) $5$ पुरुषों और $4$ महिलाओं में से $2$ पुरुषों और $1$ महिला वाली $3$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए:
चरण $1$: $5$ पुरुषों में से $2$ पुरुषों का चयन करें। इसे ${ }^{5} C_{2}$ तरीकों से किया जा सकता है।
${ }^{5} C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ तरीके।
चरण $2$: $4$ महिलाओं में से $1$ महिला का चयन करें। इसे ${ }^{4} C_{1}$ तरीकों से किया जा सकता है।
${ }^{4} C_{1} = 4$ तरीके।
चरण $3$: समिति बनाने के कुल तरीके पुरुषों और महिलाओं को चुनने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल तरीके $= 10 \times 4 = 40$ तरीके।

(C) $15$ व्यक्तियों के समूह में से $11$ सदस्यों की टीम बनाने के लिए,हम संचय (combination) के सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 15$ और $r = 11$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $^{15}C_{11}$ है।
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,हमें $^{15}C_{11} = ^{15}C_{15-11} = ^{15}C_4$ प्राप्त होता है।
$^{15}C_4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$ की गणना करने पर।
$= 15 \times 7 \times 13 = 1365$।

(C) '$EXPERTISE$' शब्द में $9$ अक्षर हैं: $E, X, P, E, R, T, I, S, E$.
यहाँ उपलब्ध भिन्न अक्षर: $E, X, P, R, T, I, S$ हैं। इस प्रकार,कुल $7$ भिन्न अक्षर हैं।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,इसलिए हमें इन $7$ भिन्न अक्षरों में से $3$ अक्षरों को चुनकर व्यवस्थित करना है।
$3$ अक्षरों वाले शब्द बनाने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 7$ और $r = 3$ है।
शब्दों की संख्या $= ^7P_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

(B) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो फ्रेंच पुस्तकें एक साथ न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$21$ संस्कृत पुस्तकों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। ये $21$ पुस्तकें $22$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनाती हैं जहाँ फ्रेंच पुस्तकें रखी जा सकती हैं।
$22$ उपलब्ध स्थानों में से $19$ स्थानों को चुनने के तरीके = ${}^{22}C_{19}$।
${}^{22}C_{19} = {}^{22}C_{3} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$।

(C) '$DETAIL$' शब्द में $6$ अक्षर हैं: $D, E, T, A, I, L$।
इसमें $3$ स्वर $(E, A, I)$ और $3$ व्यंजन $(D, T, L)$ हैं।
स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
विषम स्थान $1, 3$ और $5$ हैं।
$3$ स्वरों को इन $3$ विषम स्थानों पर आना चाहिए। स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^3P_3 = 3! = 6$ है।
शेष $3$ व्यंजनों को $3$ सम स्थानों ($2, 4$ और $6$) पर आना चाहिए। व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^3P_3 = 3! = 6$ है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।

(A) पहला पद $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
दूसरा पद $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
तीसरा पद $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,$3$ पदों को भरने के कुल तरीके $6 \times 5 \times 4 = 120$ हैं।

(B) स्कूल में कुल $36$ शिक्षक हैं।
प्रधानाचार्य की नियुक्ति के लिए,$36$ शिक्षकों में से किसी एक को चुना जा सकता है। अतः,प्रधानाचार्य की नियुक्ति के $36$ तरीके हैं।
प्रधानाचार्य की नियुक्ति के बाद,$35$ शिक्षक शेष बचते हैं। इन $35$ शिक्षकों में से,एक उप-प्रधानाचार्य को $35$ तरीकों से चुना जा सकता है।
इसलिए,प्रधानाचार्य और उप-प्रधानाचार्य की नियुक्ति करने के कुल तरीकों की संख्या $36 \times 35 = 1260$ है।

(D) दिल्ली से मुंबई जाने की पहली घटना $15$ तरीकों से की जा सकती है क्योंकि वह $15$ बसों में से किसी को भी चुन सकता है।
चूंकि व्यक्ति को एक अलग बस से वापस आना है,इसलिए मुंबई से दिल्ली वापस आने की घटना $15 - 1 = 14$ तरीकों से की जा सकती है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,दोनों घटनाओं को करने के कुल तरीके प्रत्येक घटना को करने के तरीकों का गुणनफल होते हैं।
अतः,कुल तरीके = $15 \times 14 = 210$ तरीके।

(C) शिक्षक को पहले अभ्यास से $1$ प्रश्न और दूसरे अभ्यास से $1$ प्रश्न का चयन करना है।
चूंकि पहले अभ्यास में $15$ प्रश्न हैं,इसलिए पहले प्रश्न को चुनने के तरीकों की संख्या $15$ है।
चूंकि दूसरे अभ्यास में $12$ प्रश्न हैं,इसलिए दूसरे प्रश्न को चुनने के तरीकों की संख्या $12$ है।
गणना के मौलिक सिद्धांत (गुणन सिद्धांत) के अनुसार,यदि एक घटना $m$ तरीकों से हो सकती है और दूसरी स्वतंत्र घटना $n$ तरीकों से हो सकती है,तो दोनों घटनाएं $m \times n$ तरीकों से हो सकती हैं।
इसलिए,$2$ प्रश्नों का चयन करने के कुल तरीकों की संख्या $15 \times 12 = 180$ है।

(A) यह प्रश्न उन $4$ छात्रों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या पूछता है जिन्होंने समान रैंक प्राप्त की है।
चूंकि $4$ अलग-अलग छात्र हैं,उन्हें एक क्रम में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय (permutations) द्वारा दी जाती है।
$n$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 4$ है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है।
इस प्रकार,शिक्षक को सभी संभावित व्यवस्थाओं को लिखने के लिए $24$ कागज़ के टुकड़ों की आवश्यकता होगी।

(A) $5$ सही-गलत प्रकार के प्रश्नों में से प्रत्येक का उत्तर $2$ तरीकों से दिया जा सकता है (सही या गलत)।
$5$ प्रश्नों के लिए उत्तरों के संभावित कुल क्रम $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ हैं।
यहाँ ठीक $1$ ऐसा क्रम है जो सभी सही उत्तरों को दर्शाता है।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,इसलिए हमें कुल संभावनाओं में से इस $1$ क्रम को घटाना होगा।
अतः,मान्य क्रमों की संख्या $32 - 1 = 31$ है।
चूंकि किन्हीं भी $2$ छात्रों ने उत्तरों का समान क्रम नहीं दिया है,इसलिए प्रत्येक छात्र ने शेष $31$ संभावनाओं में से एक अद्वितीय क्रम प्रदान किया होगा।
इस प्रकार,कक्षा में छात्रों की अधिकतम संख्या $31$ है।

(B) कोड वर्ड में $2$ अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर और उसके बाद $2$ अलग-अलग संख्याएँ होती हैं।
चरण $1$: $2$ अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का चयन।
कुल $26$ अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर हैं। $2$ अक्षरों को चुनने के तरीके $26 \times 25 = 650$ हैं।
चरण $2$: $1$ से $9$ के बीच की $2$ अलग-अलग संख्याओं का चयन।
कुल $9$ अंक उपलब्ध हैं $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$। $2$ अलग-अलग अंकों को चुनने के तरीके $9 \times 8 = 72$ हैं।
चरण $3$: कोड वर्ड की कुल संख्या।
कुल कोड $= 650 \times 72 = 46800$।

(D) पहले $3$ प्रश्नों में से प्रत्येक का उत्तर $4$ तरीकों से दिया जा सकता है।
अगले $3$ प्रश्नों में से प्रत्येक का उत्तर $5$ तरीकों से दिया जा सकता है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,उत्तरों के संभावित अनुक्रमों की कुल संख्या प्रत्येक प्रश्न के विकल्पों की संख्या का गुणनफल है।
कुल अनुक्रम $= 4 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5$
कुल अनुक्रम $= 4^3 \times 5^3 = 64 \times 125 = 8000$.

(C) गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,यदि एक घटना $m$ तरीकों से हो सकती है और दूसरी स्वतंत्र घटना $n$ तरीकों से हो सकती है,तो दोनों घटनाओं के एक साथ होने के कुल तरीके $m \times n$ होते हैं।
दिए गए $6$ प्रश्नों के लिए:
- $1$ ले प्रश्न में $3$ विकल्प हैं।
- $2$ रे प्रश्न में $3$ विकल्प हैं।
- $3$ रे प्रश्न में $4$ विकल्प हैं।
- $4$ थे प्रश्न में $4$ विकल्प हैं।
- $5$ वें प्रश्न में $5$ विकल्प हैं।
- $6$ ठे प्रश्न में $5$ विकल्प हैं।
उत्तरों के अनुक्रमों की कुल संख्या $= 3 \times 3 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5 = 3600$।

(A) $4$ अनुभागों में से प्रत्येक से $1$ छात्र प्रतिनिधि चुनने के लिए,हम $40 \times 40 \times 40 \times 40$ तरीकों से चयन कर सकते हैं।
गणना: $40^4 = 2560000$.
अतः,$4$ छात्र प्रतिनिधियों के एक समूह को चुनने के कुल तरीके $2560000$ हैं।

(B) $5$ पत्रों को $5$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ हैं।
इन $120$ तरीकों में,केवल $1$ तरीका ऐसा है जिसमें प्रत्येक पत्र अपने सही (निर्देशित) लिफाफे में होता है।
प्रश्न में पूछा गया है कि ऐसे कितने तरीके हैं जिनमें सभी पत्र अपने सही लिफाफों में न हों। यह कुल क्रमपरिवर्तनों में से उस स्थिति को घटाने के बराबर है जहाँ सभी पत्र अपने सही लिफाफों में हैं।
तरीकों की संख्या $= 120 - 1 = 119$.

(D) घोड़ा $H_{1}$ $7$ भागों में से ($P_{1}$ से $P_{7}$) किसी भी एक को चुन सकता है,इसलिए $H_{1}$ के लिए $7$ तरीके हैं।
चूंकि कोई भी $2$ घोड़े एक ही भाग में प्रवेश नहीं कर सकते,इसलिए $H_{1}$ द्वारा एक भाग चुन लेने के बाद,$H_{2}$ के लिए $6$ भाग शेष बचते हैं। अतः,$H_{2}$ के लिए $6$ तरीके हैं।
$H_{1}$ और $H_{2}$ द्वारा अपने-अपने भाग ले लेने के बाद,$H_{3}$ के लिए $5$ भाग शेष बचते हैं। अतः,$H_{3}$ के लिए $5$ तरीके हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,$3$ घोड़े कुल $7 \times 6 \times 5 = 210$ तरीकों से खेत की घास चर सकते हैं।

(B) $2$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें दो स्थानों को भरना होगा: दहाई का स्थान और इकाई का स्थान।
पहला स्थान (दहाई का स्थान) दिए गए $6$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ में से किसी भी एक अंक द्वारा भरा जा सकता है। अतः,पहले स्थान को भरने के $6$ तरीके हैं।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,इसलिए दूसरा स्थान (इकाई का स्थान) शेष $5$ अंकों में से किसी भी एक अंक द्वारा भरा जा सकता है। अतः,दूसरे स्थान को भरने के $5$ तरीके हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,$2$ अंकों की संख्या बनाने के कुल तरीके $6 \times 5 = 30$ हैं।

(A) $(i)$ जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है: चूँकि हमें $3$ अंकों की विषम संख्या बनानी है,इसलिए इकाई के स्थान पर विषम अंक होना चाहिए। इकाई का स्थान $1, 3$ या $5$ द्वारा भरा जा सकता है,यानी $3$ तरीकों से।
अब,दहाई का स्थान शेष $5$ अंकों में से किसी भी एक द्वारा $5$ तरीकों से भरा जा सकता है और सैकड़े का स्थान शेष $4$ अंकों द्वारा $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,$3$ अंकों की कुल विषम संख्याएँ $= 3 \times 5 \times 4 = 60$।
(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है: इकाई का स्थान $1, 3$ या $5$ द्वारा $3$ तरीकों से भरा जा सकता है। चूँकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,दहाई का स्थान $6$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा $6$ तरीकों से और सैकड़े का स्थान भी $6$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,$3$ अंकों की कुल विषम संख्याएँ $= 3 \times 6 \times 6 = 108$।

(B) $2$ अंकों की संख्या में एक इकाई का स्थान और एक दहाई का स्थान होता है।
संख्या के विषम होने के लिए,इकाई के स्थान पर एक विषम अंक होना चाहिए। दिए गए समुच्चय ${1, 2, 3, 4, 5, 8}$ में उपलब्ध विषम अंक $1, 3$ और $5$ हैं।
अतः,इकाई के स्थान को भरने के $3$ तरीके हैं।
चूँकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए दहाई के स्थान को दिए गए $5$ अंकों ${1, 2, 3, 4, 5, 8}$ में से किसी भी अंक से भरा जा सकता है।
इसलिए,$2$ अंकों की कुल विषम संख्याएँ $= 3 \times 5 = 15$ होंगी।