Permutation and Combination Questions in Hindi

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $n = 6$ है।
आवश्यक सही उत्तरों की संख्या $r = 4$ है।
प्रत्येक प्रश्न के लिए,$1$ सही उत्तर और $3$ गलत उत्तर हैं।
$6$ में से $4$ प्रश्नों को सही चुनने के तरीके संचय के सूत्र ${}^{6}C_{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$4$ सही प्रश्नों के लिए,प्रत्येक का सही उत्तर देने का केवल $1$ तरीका है $(1^4)$।
शेष $6 - 4 = 2$ प्रश्नों के लिए,प्रत्येक का उत्तर गलत होना चाहिए,और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए $3$ विकल्प हैं $(3^2)$।
अतः,कुल तरीकों की संख्या ${}^{6}C_{4} \times 1^4 \times 3^2 = 15 \times 1 \times 9 = 135$ है।

(B) दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + {}^{48}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ है।
हॉकी-स्टिक सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जो बताती है कि $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$,हम योग को फिर से लिख सकते हैं।
सबसे पहले,ध्यान दें कि ${}^{30}C_{6} = {}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7}$।
वैकल्पिक रूप से,हम ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ गुण का बार-बार उपयोग कर सकते हैं:
$S = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{31}C_{6} + {}^{30}C_{6}$।
${}^{30}C_{7}$ को जोड़ने और घटाने पर:
$S = ({}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6} + {}^{30}C_{7}) - {}^{30}C_{7}$।
${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
${}^{30}C_{6} + {}^{30}C_{7} = {}^{31}C_{7}$।
${}^{31}C_{6} + {}^{31}C_{7} = {}^{32}C_{7}$।
इस प्रक्रिया को ${}^{50}C_{6} + {}^{50}C_{7} = {}^{51}C_{7}$ तक जारी रखने पर।
अतः,योग ${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ के बराबर है।

(D) मान लीजिए कि खंड $A, B,$ और $C$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः $n_1, n_2,$ और $n_3$ है,ताकि $n_1 + n_2 + n_3 = 5$,जहाँ $n_i \ge 1$ है।
$5$ को $3$ भागों में (प्रत्येक $\ge 1$) विभाजित करने की संभावनाएँ:
$1) (1, 2, 2)$ किसी भी क्रम में: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$.
$2) (1, 1, 3)$ किसी भी क्रम में: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$.
स्थिति $(1, 2, 2)$ के लिए:
चयन के तरीके $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$.
चूंकि $(1, 2, 2)$ के $3$ क्रमचय हैं,कुल तरीके $= 3 \times 500 = 1500$.
स्थिति $(1, 1, 3)$ के लिए:
चयन के तरीके $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$.
चूंकि $(1, 1, 3)$ के $3$ क्रमचय हैं,कुल तरीके $= 3 \times 250 = 750$.
कुल तरीके $= 1500 + 750 = 2250$.

(D) '$SYLLABUS$' शब्द में $8$ अक्षर हैं: $S, S, L, L, Y, A, B, U$.
यहाँ $2$ समान अक्षरों के जोड़े ($S, S$ और $L, L$) हैं और $4$ भिन्न अक्षर $(Y, A, B, U)$ हैं।
हमें $2$ समान और $2$ भिन्न अक्षरों के साथ $4$ अक्षरों का शब्द बनाना है।
चरण $1$: समान अक्षरों का जोड़ा चुनें। $2$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके = $^2C_1 = 2$.
चरण $2$: शेष $5$ अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनें (क्योंकि यदि हम $S, S$ लेते हैं तो $L$ भी एक भिन्न अक्षर के रूप में गिना जाएगा) = $^5C_2 = 10$.
चरण $3$: इन $4$ अक्षरों की व्यवस्था = $\frac{4!}{2!} = 12$.
कुल शब्द = $2 \times 10 \times 12 = 240$.

(C) "$LETTER$" शब्द में $6$ अक्षर हैं: $L, E, T, T, E, R$.
स्वर $E, E$ हैं और व्यंजन $L, T, T, R$ हैं।
सबसे पहले,व्यंजनों $L, T, T, R$ को व्यवस्थित करें। इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके (जहाँ $T$ दो बार आता है) $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
अब,यह सुनिश्चित करने के लिए कि स्वर कभी एक साथ न आएं,हम उन्हें व्यंजनों द्वारा बनाई गई रिक्तियों में रखेंगे:
_ $L$ _ $T$ _ $T$ _ $R$ _
$2$ समान स्वरों $(E, E)$ के लिए $5$ रिक्त स्थान उपलब्ध हैं।
$5$ में से $2$ स्थान चुनने के तरीके $^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ हैं।
चूंकि स्वर समान हैं,इसलिए उन्हें चुने गए स्थानों में रखने का केवल $1$ तरीका है।
कुल शब्दों की संख्या = $12 \times 10 = 120$।

(B) यहाँ तीन परिवार हैं: दो परिवार जिनमें प्रत्येक में $3$ सदस्य हैं और एक परिवार जिसमें $4$ सदस्य हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक ही परिवार के सदस्य अलग न हों,हम प्रत्येक परिवार को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
ऐसी $3$ इकाइयाँ (परिवार) हैं जिन्हें आपस में व्यवस्थित किया जाना है,जिसे $3!$ तरीकों से किया जा सकता है।
$3$ सदस्यों वाले पहले परिवार के भीतर,सदस्यों को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3$ सदस्यों वाले दूसरे परिवार के भीतर,सदस्यों को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$ सदस्यों वाले तीसरे परिवार के भीतर,सदस्यों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,उन्हें इस तरह बैठाने के कुल तरीके कि परिवार के सदस्य एक साथ रहें,$3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 4! = (3!)^3 \cdot 4!$ हैं।

(C) $TABLE$ शब्द में $5$ अलग-अलग अक्षर हैं: $T, A, B, L, E$।
$n$ अलग-अलग वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$TABLE$ शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$।

(D) $MATHEMATICS$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है:
$M$ दो बार आता है।
$A$ दो बार आता है।
$T$ दो बार आता है।
$H, E, I, C, S$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से कुछ वस्तुएं दोहराई जाती हैं,तो व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ...}$ है।
मान रखने पर: $\frac{11!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{11!}{2 \times 2 \times 2} = \frac{11!}{8}$।

(A) प्रत्येक $6$ पत्रों में से किसी भी पत्र को $5$ लेटर बॉक्स में से किसी एक में पोस्ट किया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पत्र के लिए $5$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए $6$ पत्रों को पोस्ट करने के कुल तरीके $5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^{6}$ होंगे।

(C) विषम अंकों का समूह ${1, 3, 5, 7, 9}$ है।
ऐसे कुल $5$ अंक उपलब्ध हैं।
भिन्न अंकों वाली $3$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें इन $5$ उपलब्ध विषम अंकों में से $3$ अंकों का चयन करके उन्हें व्यवस्थित करना होगा।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=5$ और $r=3$ है।
वैकल्पिक रूप से,गणना के मूलभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
पहला अंक $5$ तरीकों से चुना जा सकता है।
दूसरा अंक $4$ तरीकों से चुना जा सकता है (क्योंकि अंक भिन्न होने चाहिए)।
तीसरा अंक $3$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$3$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 5 \times 4 \times 3 = 60$।

(C) '$UNIVERSAL$' शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$.
चूंकि $E, R, S$ हमेशा एक साथ होने चाहिए,हम $(ERS)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,व्यवस्थित करने के लिए कुल इकाइयाँ ${U, N, I, V, A, L, (ERS)}$ यानी $7$ हैं,जिन्हें $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(ERS)$ समूह के भीतर,$3$ अक्षरों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 7! \times 3!$ होगी।
गणना करने पर: $7! = 5040$ और $3! = 6$.
कुल व्यवस्थाएं $= 5040 \times 6 = 30240$.

(A) '$ALGEBRA$' शब्द में $7$ अक्षर हैं,जिसमें '$A$' दो बार आता है और बाकी सभी अक्षर अलग हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$.
दोनों '$A$' के एक साथ आने वाली व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम दोनों '$A$' को एक इकाई '$AA$' मानते हैं। अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $6$ इकाइयाँ हैं: ${AA, L, G, E, B, R}$.
दोनों '$A$' के एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं की संख्या $= 6! = 720$.
दोनों '$A$' के एक साथ न आने वाली व्यवस्थाओं की संख्या = (कुल व्यवस्थाएं) - (दोनों '$A$' के एक साथ होने वाली व्यवस्थाएं)।
आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $= 2520 - 720 = 1800$.

(D) '$NUTAN$' शब्द में $5$ अक्षर हैं: $N, U, T, A, N$.
व्यंजन $N, T, N$ ($3$ अक्षर) हैं और स्वर $U, A$ ($2$ अक्षर) हैं।
कुल $5$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5$.
विषम स्थान $1, 3, 5$ ($3$ स्थान) हैं और सम स्थान $2, 4$ ($2$ स्थान) हैं।
व्यंजनों $(N, T, N)$ को $3$ विषम स्थानों पर आना चाहिए। उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है (क्योंकि $N$ दो बार दोहराया गया है)।
स्वरों $(U, A)$ को $2$ सम स्थानों पर आना चाहिए। उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $2! = 2$ है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 3 \times 2 = 6$.

(A) चूंकि पद अलग-अलग हैं,इसलिए चयन का क्रम मायने रखता है।
पहले पद के लिए $7$ विकल्प हैं।
दूसरे पद के लिए $6$ शेष विकल्प हैं।
तीसरे पद के लिए $5$ शेष विकल्प हैं।
इसलिए,पदों को भरने के कुल तरीके $7 \times 6 \times 5 = 210$ हैं।

(D) $3$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमारे पास तीन स्थान हैं: सैकड़ा,दहाई और इकाई।
$1$. सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता क्योंकि $3$ अंकों की संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती। उपलब्ध अंक ${2, 3, 5, 7}$ हैं। अतः,सैकड़े के स्थान के लिए $4$ विकल्प हैं।
$2$. दहाई के स्थान पर दिए गए अंकों ${0, 2, 3, 5, 7}$ में से कोई भी आ सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है। अतः,दहाई के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं।
$3$. इकाई के स्थान पर भी दिए गए अंकों ${0, 2, 3, 5, 7}$ में से कोई भी आ सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है। अतः,इकाई के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं।
कुल $3$ अंकों की संख्याएँ $= 4 \times 5 \times 5 = 100$.

(A) स्तंभ $A$ की $1^{\text{ली}}$ वस्तु को स्तंभ $B$ की $6$ वस्तुओं में से किसी के भी साथ मिलाया जा सकता है।
स्तंभ $A$ की $2^{\text{री}}$ वस्तु को स्तंभ $B$ की शेष $5$ वस्तुओं में से किसी के भी साथ मिलाया जा सकता है।
स्तंभ $A$ की $3^{\text{री}}$ वस्तु को स्तंभ $B$ की शेष $4$ वस्तुओं में से किसी के भी साथ मिलाया जा सकता है।
स्तंभ $A$ की $4^{\text{थी}}$ वस्तु को स्तंभ $B$ की शेष $3$ वस्तुओं में से किसी के भी साथ मिलाया जा सकता है।
स्तंभ $A$ की $5^{\text{वीं}}$ वस्तु को स्तंभ $B$ की शेष $2$ वस्तुओं में से किसी के भी साथ मिलाया जा सकता है।
स्तंभ $A$ की $6^{\text{वीं}}$ वस्तु को स्तंभ $B$ की अंतिम शेष $1$ वस्तु के साथ मिलाया जा सकता है।
अतः,वस्तुओं को मिलाने के कुल संभावित तरीकों की संख्या $6$ वस्तुओं के क्रमचय (permutation) द्वारा दी जाती है,जो $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ है।

(C) $2$ अंकों की एक संख्या को $XY$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $X$ दहाई का अंक है और $Y$ इकाई का अंक है।
संख्या के सम होने के लिए,इकाई का अंक $Y$,समुच्चय $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ से होना चाहिए।
प्रश्न के अनुसार इकाई के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $Y \in \{2, 4, 6, 8\}$। अतः,इकाई के स्थान के लिए $4$ विकल्प हैं।
दहाई के अंक $X$ के लिए $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में से कोई भी अंक लिया जा सकता है। ध्यान दें कि $2$ अंकों की संख्या में दहाई के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता। अतः,दहाई के स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं।
ऐसी कुल सम $2$ अंकीय संख्याओं की संख्या $= (\text{दहाई के स्थान के लिए विकल्प}) \times (\text{इकाई के स्थान के लिए विकल्प}) = 9 \times 4 = 36$।

(B) $3$-अंकीय संख्या में सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता है।
इसलिए,सैकड़े के स्थान के लिए अंकों की संभावित संख्या $= 9$ है।
दहाई के स्थान के लिए अंकों की संभावित संख्या $= 9$ है (क्योंकि $0$ का उपयोग किया जा सकता है लेकिन सैकड़े वाले अंक का नहीं)।
इकाई के स्थान के लिए अंकों की संभावित संख्या $= 8$ है (क्योंकि सैकड़े और दहाई वाले अंकों का उपयोग नहीं किया जा सकता है)।
कुल संख्या $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।

(D) एक $2$-अंकीय संख्या में दहाई का स्थान और इकाई का स्थान होता है।
दहाई के स्थान के लिए,संभावित अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ हैं। अतः,दहाई के स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं।
इकाई के स्थान के लिए,अंक ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ में से कोई भी हो सकता है,लेकिन यह दहाई के स्थान के लिए चुने गए अंक से भिन्न होना चाहिए।
चूंकि एक अंक पहले ही दहाई के स्थान पर उपयोग किया जा चुका है,इसलिए इकाई के स्थान के लिए $10 - 1 = 9$ विकल्प शेष बचते हैं।
अतः,भिन्न अंकों वाली $2$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $9 \times 9 = 81$ है।

(A) भिन्न अंकों वाली $4$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमारे पास $4$ स्थान हैं: हजार,सैकड़ा,दहाई और इकाई।
$1$. हजार के स्थान के लिए,हम $0$ का उपयोग नहीं कर सकते। इसलिए,हमारे पास $9$ विकल्प हैं $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$।
$2$. सैकड़े के स्थान के लिए,हम $0$ का उपयोग कर सकते हैं,लेकिन हजार के स्थान पर रखे गए अंक का उपयोग नहीं कर सकते। इसलिए,हमारे पास $9$ विकल्प हैं ($0$ और शेष $8$ अंक)।
$3$. दहाई के स्थान के लिए,हम पहले से रखे गए $2$ अंकों का उपयोग नहीं कर सकते। इसलिए,हमारे पास $8$ विकल्प हैं।
$4$. इकाई के स्थान के लिए,हम पहले से रखे गए $3$ अंकों का उपयोग नहीं कर सकते। इसलिए,हमारे पास $7$ विकल्प हैं।
भिन्न अंकों वाली $4$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$।

(C) '$DETAIL$' शब्द में $6$ अक्षर हैं: $3$ स्वर $(A, E, I)$ और $3$ व्यंजन $(D, T, L)$।
कुल $6$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$।
विषम स्थान $1, 3,$ और $5$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
सम स्थान $2, 4,$ और $6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
हमें $3$ स्वरों को $3$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करना है,जिसे $3! = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
हमें $3$ व्यंजनों को $3$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करना है,जिसे $3! = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।

(B) $3$-अंकीय सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर एक सम अंक ($0$ या $2$) होना चाहिए।
स्थिति $1$: इकाई के स्थान पर $0$ हो।
शेष दो स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को शेष $4$ अंकों $(2, 3, 5, 7)$ द्वारा भरा जा सकता है।
सैकड़े के स्थान को भरने के तरीके $4$ हैं और दहाई के स्थान को भरने के तरीके $3$ हैं।
स्थिति $1$ के लिए कुल तरीके $= 4 \times 3 = 12$।
स्थिति $2$: इकाई के स्थान पर $2$ हो।
सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता,और $2$ भी नहीं हो सकता (क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है)।
अतः,सैकड़े के स्थान को शेष $3$ अंकों $(3, 5, 7)$ में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है।
दहाई के स्थान को शेष $3$ अंकों में से (जिसमें $0$ शामिल है,लेकिन सैकड़े और इकाई के स्थान पर उपयोग किए गए अंकों को छोड़कर) भरा जा सकता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल तरीके $= 3 \times 3 = 9$।
कुल सम संख्याएँ $= 12 + 9 = 21$।

(C) पहले $3$ प्रश्नों में से प्रत्येक के $4$ विकल्प हैं। इन प्रश्नों के उत्तर देने के तरीकों की संख्या $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ है।
अगले $3$ प्रश्नों में से प्रत्येक के $5$ विकल्प हैं। इन प्रश्नों के उत्तर देने के तरीकों की संख्या $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$ है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,उत्तरों के कुल अनुक्रम,प्रत्येक प्रश्नों के सेट के उत्तर देने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल अनुक्रम = $64 \times 125 = 8000$.

(D) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 7 + 6 = 13$ है।
हमें $5$ व्यक्तियों का चयन इस प्रकार करना है कि कम से कम $3$ पुरुष हों।
यह निम्नलिखित मामलों में किया जा सकता है:
स्थिति $1$: $3$ पुरुष और $2$ महिलाएँ।
तरीकों की संख्या $= {}^{7}C_{3} \times {}^{6}C_{2} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 35 \times 15 = 525$.
स्थिति $2$: $4$ पुरुष और $1$ महिला।
तरीकों की संख्या $= {}^{7}C_{4} \times {}^{6}C_{1} = {}^{7}C_{3} \times 6 = 35 \times 6 = 210$.
स्थिति $3$: $5$ पुरुष और $0$ महिलाएँ।
तरीकों की संख्या $= {}^{7}C_{5} \times {}^{6}C_{0} = {}^{7}C_{2} \times 1 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
कुल तरीकों की संख्या $= 525 + 210 + 21 = 756$.

(C) '$LEADING$' शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $L, E, A, D, I, N, G$।
इस शब्द में स्वर $E, A, I$ हैं (कुल $3$ स्वर)।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि स्वर हमेशा एक साथ आएं,हम $(E, A, I)$ के समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास ${L, D, N, G}$ अक्षर और एक इकाई $(E, A, I)$ है।
इस प्रकार,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए कुल $4 + 1 = 5$ इकाइयाँ हैं।
इन $5$ इकाइयों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$।
$(E, A, I)$ समूह के भीतर,$3$ स्वरों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$ है।

(C) चरण $1$: $7$ में से $3$ व्यंजनों का चयन करें। चयन के तरीकों की संख्या ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ है।
चरण $2$: $4$ में से $2$ स्वरों का चयन करें। चयन के तरीकों की संख्या ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
चरण $3$: चुने गए कुल अक्षरों की संख्या $3 + 2 = 5$ है। इन $5$ अक्षरों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ है।
चरण $4$: बनाए जा सकने वाले कुल शब्दों की संख्या चयन और व्यवस्था के तरीकों का गुणनफल है।
कुल शब्द $= 35 \times 6 \times 120 = 210 \times 120 = 25200$।

(D) बच्चों की कुल संख्या $= 6 + 4 = 10$ है।
$10$ में से $4$ बच्चों को चुनने के कुल तरीके ${}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ हैं।
एक भी लड़का न चुनने (अर्थात सभी $4$ लड़कियाँ हों) के तरीके ${}^{4}C_{4} = 1$ हैं।
कम से कम एक लड़का चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटा देंगे जिनमें एक भी लड़का नहीं है।
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{4} - {}^{4}C_{4} = 210 - 1 = 209$।

(D) $5$ से विभाज्य $3$-अंकीय संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर $5$ होना अनिवार्य है।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती,इसलिए इकाई के स्थान के लिए हमारे पास $1$ विकल्प है (जो $5$ है)।
शेष $2$ स्थानों (दहाई और सैकड़ा) के लिए,हमारे पास $5$ शेष अंक उपलब्ध हैं $(2, 3, 6, 7, 9)$।
सैकड़े के स्थान को भरने के तरीकों की संख्या $5$ है।
दहाई के स्थान को भरने के तरीकों की संख्या $4$ है।
कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 4 \times 1 = 20$।

(C) $8$ पुरुषों में से $5$ पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
${}^{8}C_{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
$10$ महिलाओं में से $6$ महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{10}C_{6}$ है।
${}^{10}C_{6} = {}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.
समिति बनाने के कुल तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पुरुषों और महिलाओं को चुनने के तरीकों का गुणा करते हैं:
कुल तरीके $= 56 \times 210 = 11760$.

(A) $MEDITERRANEAN$ शब्द में $13$ अक्षर हैं: $M, E, D, I, T, E, R, R, A, N, E, A, N$. अक्षरों की आवृत्ति है: $E:3, R:2, A:2, N:2, M:1, D:1, I:1, T:1$. कुल $8$ अलग प्रकार के अक्षर उपलब्ध हैं: ${M, E, D, I, T, R, A, N}$.
हमें $4$ अक्षरों का शब्द बनाना है जिसमें पहला अक्षर $E$ और अंतिम अक्षर $R$ हो। शब्द की संरचना $E . . R$ है।
हमें बीच के $2$ स्थानों को भरना है। $E$ और $R$ को निश्चित करने के बाद शेष अक्षर हैं: $E:2, R:1, A:2, N:2, M:1, D:1, I:1, T:1$. कुल $11$ अक्षर शेष हैं।
स्थिति $1$: दोनों मध्य अक्षर समान हों। जो अक्षर दो या अधिक बार आते हैं वे $E, A, N$ हैं। हम इन $3$ जोड़ों में से एक चुन सकते हैं। तरीकों की संख्या $= 3$.
स्थिति $2$: दोनों मध्य अक्षर अलग हों। हमें $8$ उपलब्ध प्रकारों ${M, E, D, I, T, R, A, N}$ में से $2$ अलग अक्षर चुनने हैं। $2$ अलग अक्षरों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ हैं।
कुल शब्दों की संख्या $= 56 + 3 = 59$.

(A) '$MATHEMATICS$' शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, A, T, H, E, M, A, T, I, C, S$.
स्वर $A, A, E, I$ हैं (कुल $4$ स्वर)।
व्यंजन $M, T, H, M, T, C, S$ हैं (कुल $7$ व्यंजन)।
$4$ स्वरों को एक इकाई के रूप में लेने पर,हमारे पास $7$ व्यंजन + $1$ स्वर की इकाई = $8$ इकाइयाँ व्यवस्थित करने के लिए हैं।
इन $8$ इकाइयों में,$M$ दो बार और $T$ दो बार दोहराया गया है।
इन $8$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{40320}{4} = 10080$ है।
स्वर इकाई के भीतर,$4$ स्वरों $(A, A, E, I)$ को $\frac{4!}{2!}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (क्योंकि $A$ दो बार आता है)।
$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $10080 \times 12 = 120960$।

(B) $6$ पुरुषों में से $2$ पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
$6$ पुरुषों में से $2$ पुरुषों को चुनने के तरीके = $6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
$8$ महिलाओं में से $3$ महिलाओं को चुनने के तरीके = $8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
चूंकि पुरुषों और महिलाओं का चयन स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए समिति बनाने के तरीकों की कुल संख्या इन दोनों मानों का गुणनफल होगी।
कुल तरीकों की संख्या = $15 \times 56 = 840$.

(A) केवल पुरुषों से बनी $5$ लोगों की समिति बनाने के लिए,हमें उपलब्ध $6$ पुरुषों में से $5$ पुरुषों का चयन करना होगा।
$n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय (combination) के सूत्र द्वारा दी जाती है: ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
यहाँ,$n = 6$ और $r = 5$ है।
तरीकों की संख्या = ${}^{6}C_{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \times 1!} = \frac{6 \times 5!}{5! \times 1} = 6$.
अतः,समिति चुनने के कुल $6$ तरीके हैं।

(D) कुल लोगों की संख्या $= 6 + 8 = 14$ है।
$14$ लोगों में से $5$ लोगों को चुनने के कुल तरीके ${}^{14}C_{5} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002$ हैं।
ऐसे तरीकों की संख्या जिनमें कोई भी महिला न चुनी जाए,का अर्थ है कि सभी $5$ लोग $6$ पुरुषों में से चुने गए हैं। यह ${}^{6}C_{5} = 6$ है।
कम से कम एक महिला को चुनने के तरीकों की संख्या = (कुल तरीके) - (बिना किसी महिला वाले तरीके)।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 2002 - 6 = 1996$।

(C) अधिक से अधिक एक पुरुष का अर्थ है कि या तो कोई पुरुष नहीं चुना गया है या ठीक एक पुरुष चुना गया है।
स्थिति $1$: कोई पुरुष नहीं चुना गया है।
इसका अर्थ है कि सभी $5$ सदस्य $8$ महिलाओं में से चुने गए हैं।
तरीकों की संख्या $= {}^{8}C_{5} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
स्थिति $2$: ठीक एक पुरुष चुना गया है।
इसका अर्थ है कि $6$ पुरुषों में से $1$ पुरुष और $8$ महिलाओं में से $4$ महिलाएँ चुनी गई हैं।
तरीकों की संख्या $= {}^{6}C_{1} \times {}^{8}C_{4} = 6 \times \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 70 = 420$.
कुल तरीकों की संख्या $= 56 + 420 = 476$.

(C) चार अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर $0, 2, 4,$ या $6$ होना चाहिए।
स्थिति $I$: जब इकाई के स्थान पर $0$ हो।
इकाई का स्थान $1$ तरीके से भरा जा सकता है। शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ का उपयोग करके $^6P_3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times ^6P_3 = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
स्थिति $II$: जब इकाई के स्थान पर $0$ न हो।
इकाई का स्थान $2, 4,$ या $6$ द्वारा $3$ तरीकों से भरा जा सकता है। हजार का स्थान $0$ नहीं हो सकता और इकाई के स्थान पर उपयोग किया गया अंक भी नहीं हो सकता,इसलिए इसे $5$ तरीकों से भरा जा सकता है (शेष $6$ अंकों में से)। शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 3 \times 5 \times ^5P_2 = 15 \times \frac{5!}{3!} = 15 \times 20 = 300$.
कुल सम संख्याएँ $= 120 + 300 = 420$.

(B) चार अलग-अलग नोटों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली विभिन्न राशियों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इन नोटों के सभी संभावित गैर-रिक्त संयोजनों पर विचार करते हैं।
चूंकि प्रत्येक नोट अलग है,इसलिए चार नोटों में से किसी भी उपसमुच्चय (subset) को चुनने से एक अद्वितीय राशि प्राप्त होगी।
$4$ तत्वों के एक सेट के कुल गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 4$ है।
विभिन्न राशियों की संख्या $= 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$।
वैकल्पिक रूप से,इसकी गणना एक बार में $1, 2, 3$ या $4$ नोट लेने के संयोजनों के योग के रूप में की जा सकती है:
राशियों की संख्या $= {^4C_1} + {^4C_2} + {^4C_3} + {^4C_4} = 4 + 6 + 4 + 1 = 15$।

(A) $12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $(n-1)!$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $n=12$ है।
कुल व्यवस्थाएं $= (12-1)! = 11!$.
अब,हम उन तरीकों की गणना करते हैं जिनमें $2$ विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में बैठते हैं। हम इन $2$ व्यक्तियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब,हमारे पास गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए $11$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(11-1)! = 10!$ तरीकों से किया जा सकता है।
चूंकि इकाई के भीतर के $2$ व्यक्तियों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए उनके साथ बैठने के कुल तरीके $10! \times 2!$ हैं।
अंत में,उन व्यवस्थाओं की संख्या जिनमें $2$ विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं,कुल व्यवस्थाओं में से उनके साथ बैठने वाली व्यवस्थाओं को घटाने पर प्राप्त होती है:
$= 11! - (10! \times 2!)$
$= (11 \times 10!) - (2 \times 10!)$
$= (11-2) \times 10!$
$= 9 \times 10!$

(D) $ARTICLE$ शब्द में कुल $7$ अक्षर हैं।
इस शब्द में स्वर $A, I, E$ हैं,जिनकी संख्या $3$ है।
व्यंजन $R, T, C, L$ हैं,जिनकी संख्या $4$ है।
$7$ अक्षरों वाले शब्द में,स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं। सम स्थान $2, 4, 6$ हैं,जो कुल $3$ हैं।
चूंकि $3$ स्वरों को $3$ सम स्थानों पर आना है,इसलिए उन्हें व्यवस्थित करने के तरीके $^3P_3 = 3! = 6$ हैं।
शेष $4$ व्यंजन शेष $4$ विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7)$ पर आएंगे। उन्हें व्यवस्थित करने के तरीके $^4P_4 = 4! = 24$ हैं।
अतः,कुल बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ है।

(C) हमें ${1, 2, 3, 4, 5}$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $24,000$ से बड़ी $5$-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं।
स्थिति $1$: पहला अंक $2$ है। $24,000$ से बड़ी संख्या होने के लिए,दूसरा अंक $4$ या $5$ होना चाहिए।
- यदि दूसरा अंक $4$ है,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
- यदि दूसरा अंक $5$ है,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $1$ के लिए कुल संख्या $= 6 + 6 = 12$।
स्थिति $2$: पहला अंक $3, 4,$ या $5$ है ($3$ विकल्प)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल संख्या $= 3 \times 24 = 72$।
कुल संख्या $= 12 + 72 = 84$।

(D) $100$ से बड़ी संख्याएँ $3$ अंकों की या $4$ अंकों की हो सकती हैं।
किसी संख्या के $5$ से विभाज्य होने के लिए,इकाई के स्थान पर $5$ होना आवश्यक है।
स्थिति $I$: $3$ अंकों की संख्याएँ।
इकाई का स्थान $5$ पर निश्चित है। शेष $2$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(3, 4, 6)$ द्वारा $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $II$: $4$ अंकों की संख्याएँ।
इकाई का स्थान $5$ पर निश्चित है। शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(3, 4, 6)$ द्वारा $P(3, 3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः कुल आवश्यक संख्याएँ $= 6 + 6 = 12$ हैं।

(C) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो।
दिए गए अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
इन अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$ से विभाज्य $2$-अंकीय संख्याएँ हैं: $12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64$।
अंतिम दो अंकों के लिए ऐसी $8$ संभावित जोड़ियाँ हैं।
प्रत्येक जोड़ी के लिए,हमें शेष $4$ अंकों में से $3$ अंकों का चयन करके शेष $3$ स्थानों को भरना है।
$4$ में से $3$ अंकों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ हैं।
चूँकि ऐसी $8$ जोड़ियाँ हैं,इसलिए कुल $5$-अंकीय संख्याओं की संख्या $n = 8 \times 24 = 192$ है।

(D) शतरंज के बोर्ड पर $32$ काले और $32$ सफेद वर्ग होते हैं।
एक सफेद और एक काला वर्ग चुनने के कुल तरीके $= {}^{32}C_{1} \times {}^{32}C_{1} = 32 \times 32 = 1024$।
बोर्ड में $8$ पंक्तियाँ होती हैं और प्रत्येक पंक्ति में $4$ सफेद और $4$ काले वर्ग होते हैं।
एक ही पंक्ति में एक सफेद और एक काला वर्ग चुनने के तरीके $= 8 \times ({}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1}) = 8 \times 16 = 128$।
इसी प्रकार,$8$ स्तंभ होते हैं और प्रत्येक स्तंभ में $4$ सफेद और $4$ काले वर्ग होते हैं।
एक ही स्तंभ में एक सफेद और एक काला वर्ग चुनने के तरीके $= 8 \times ({}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1}) = 8 \times 16 = 128$।
कुल तरीके जिनमें वर्ग एक ही पंक्ति या स्तंभ में हैं $= 128 + 128 = 256$।
अतः,अभीष्ट तरीकों की संख्या $= 1024 - 256 = 768$।

(B) यह सुनिश्चित करने के लिए कि हमारे पास एक ही रंग की कम से कम दो गेंदें हों,हम 'पिजनहोल सिद्धांत' (Pigeonhole Principle) का उपयोग करते हैं।
यदि हम $1$ गेंद निकालते हैं,तो वह काली या सफेद हो सकती है।
यदि हम $2$ गेंदें निकालते हैं,तो वे एक काली और एक सफेद हो सकती हैं (अलग-अलग रंगों की)।
यदि हम $3$ गेंदें निकालते हैं,तो पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार,चूंकि केवल $2$ ही रंग उपलब्ध हैं,इसलिए कम से कम $2$ गेंदें एक ही रंग की होनी चाहिए।
अतः,आवश्यक गेंदों की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(C) कुल उपलब्ध अंकों की संख्या $n = 5$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ है।
हमें $r = 4$ अंकों की एक संख्या बनानी है।
चूँकि संख्या बनाने में अंकों का क्रम महत्वपूर्ण होता है,इसलिए हम क्रमचय (permutation) के सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करेंगे।
मान रखने पर: $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
अतः,$120$ चार अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(D) प्रत्येक प्रश्न के $2$ संभावित परिणाम हैं: सत्य $(T)$ या असत्य $(F)$।
चूंकि $10$ प्रश्न हैं और प्रत्येक का उत्तर स्वतंत्र रूप से दिया गया है,इसलिए संभावित क्रमों की कुल संख्या गुणन सिद्धांत द्वारा ज्ञात की जा सकती है।
क्रमों की कुल संख्या $= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$।
$2^{10} = 1024$।

(D) हस्तमिलाप (handshakes) की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $10$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों का चयन करना होगा।
यह एक संचय (combination) की समस्या है क्योंकि हाथ मिलाने वाले दो व्यक्तियों का क्रम मायने नहीं रखता है।
संचय का सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 2$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ है।
अतः,दस व्यक्तियों के एक-दूसरे से हाथ मिलाने के $45$ संभावित तरीके हैं।

(B) यह सुनिश्चित करने के लिए कि $A$ और $B$ हमेशा साथ रहें,हम उन्हें एक एकल इकाई या ब्लॉक $(AB)$ के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास यह ब्लॉक $(AB)$ और शेष दो बच्चे हैं,जिससे कुल $3$ इकाइयाँ व्यवस्थित करने के लिए हो जाती हैं।
इन $3$ इकाइयों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
ब्लॉक $(AB)$ के भीतर,दो बच्चे $A$ और $B$ स्वयं को $2! = 2 \times 1 = 2$ तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं (अर्थात $AB$ या $BA$)।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$ है।

(D) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,व्यक्तियों की संख्या $n = 6$ है।
इसलिए,उन्हें एक कतार में व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ है।

(B) $3$ अंकों की संख्या में तीन स्थान होते हैं: सैकड़ा,दहाई और इकाई।
सैकड़े के स्थान के लिए,'$0$' अंक का उपयोग नहीं किया जा सकता क्योंकि $3$ अंकों की संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती। अतः,हम ${1, 3, 5, 7}$ में से चुन सकते हैं,जो $4$ विकल्प देता है।
दहाई के स्थान के लिए,चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए सभी $5$ अंकों ${0, 1, 3, 5, 7}$ का उपयोग किया जा सकता है,जो $5$ विकल्प देता है।
इकाई के स्थान के लिए,चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,इसलिए सभी $5$ अंकों ${0, 1, 3, 5, 7}$ का उपयोग किया जा सकता है,जो $5$ विकल्प देता है।
इसलिए,$3$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 4 \times 5 \times 5 = 100$।