Permutation and Combination Questions in Hindi

(A) दिया गया अनुपात $C(2n, 3) : C(n, 3) = 11 : 1$ है।
सूत्र $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = \frac{11}{1}$
$\Rightarrow \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{n(n-1)(n-2)} = 11$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 11$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 11$
$\Rightarrow 8n - 4 = 11(n - 2)$
$\Rightarrow 8n - 4 = 11n - 22$
$\Rightarrow 22 - 4 = 11n - 8n$
$\Rightarrow 18 = 3n$
$\Rightarrow n = 6$.

(A) हम संचय (combinations) का गुणधर्म जानते हैं: ${ }^{n} C_{a} = { }^{n} C_{b}$ का अर्थ है कि या तो $a = b$ है या $a + b = n$ है।
दिया गया समीकरण: ${ }^{2 n} C_{r} = { }^{2 n} C_{r+2}$ है।
यहाँ,$r \neq r+2$ है,इसलिए निचले पदों का योग ऊपरी पद के बराबर होना चाहिए:
$r + (r + 2) = 2n$
$2r + 2 = 2n$
$2r = 2n - 2$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r = n - 1$.

(A) दिया गया है कि ${ }^{18} C_{r}={ }^{18} C_{r+2}$ है।
हम जानते हैं कि ${ }^{n} C_{a}={ }^{n} C_{b}$ गुणधर्म के अनुसार या तो $a=b$ होता है या $a+b=n$ होता है।
यहाँ,$r \neq r+2$,इसलिए $r + (r+2) = 18$ होगा।
$2r + 2 = 18$
$2r = 16$
$r = 8$.
अब,हमें ${ }^{r} C_{5} = { }^{8} C_{5}$ का मान ज्ञात करना है।
${ }^{8} C_{5} = { }^{8} C_{8-5} = { }^{8} C_{3}$.
${ }^{8} C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.

(B) दिया गया समीकरण: $12 \cdot {}^{n}C_{2} = {}^{2n}C_{3}$।
सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$12 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}$
$12 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}$
$6n(n-1) = \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{6}$
$6n(n-1) = \frac{4n(2n-1)(n-1)}{6}$
दोनों पक्षों को $2n(n-1)$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $n > 1$):
$3 = \frac{2(2n-1)}{6}$
$18 = 4n - 2$
$20 = 4n$
$n = 5$.

(B) व्यंजक $\sum_{r=1}^{5} C(5, r) = C(5, 1) + C(5, 2) + C(5, 3) + C(5, 4) + C(5, 5)$ है।
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{n} C(n, r) = 2^n$ होता है।
यहाँ,$n = 5$ है,इसलिए $\sum_{r=0}^{5} C(5, r) = 2^5 = 32$ होगा।
दिया गया योग $\sum_{r=1}^{5} C(5, r) = \left( \sum_{r=0}^{5} C(5, r) \right) - C(5, 0)$ है।
चूँकि $C(5, 0) = 1$ है,इसलिए $32 - 1 = 31$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $n$ वस्तुओं के समूह में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या संचय के सूत्र द्वारा दी जाती है: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
यहाँ,$n = 10$ और $r = 5$ है।
अतः,चयन के तरीकों की संख्या $= C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!}$.
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$.
$= \frac{30240}{120} = 252$.

(D) $16$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की टीम चुनने के लिए,जिसमें $2$ विशेष खिलाड़ी हमेशा शामिल हों,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. चूंकि $2$ खिलाड़ी पहले से ही निश्चित हैं,इसलिए हमें केवल शेष $11 - 2 = 9$ खिलाड़ियों का चयन करना है।
$2$. शेष उपलब्ध खिलाड़ियों की संख्या $16 - 2 = 14$ है।
$3$. $14$ में से $9$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय (combination) के सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
$4$. मान रखने पर: ${}^{14}C_{9} = \frac{14!}{9!5!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002$ तरीके।

(B) $16$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की टीम चुनने के लिए,जिसमें $1$ विशेष खिलाड़ी को हमेशा बाहर रखा जाना है,हमें शेष $15$ खिलाड़ियों $(16 - 1 = 15)$ में से $11$ खिलाड़ियों का चयन करना होगा।
इसकी गणना संचय (combination) के सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करके की जाती है।
यहाँ,$n = 15$ और $r = 11$ है।
तरीकों की संख्या = ${}^{15}C_{11} = {}^{15}C_{15-11} = {}^{15}C_{4}$.
${}^{15}C_{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15 \times 7 \times 13 = 1365$ तरीके।

(A) कुल उपलब्ध खिलाड़ी = $16$ हैं।
हमें $11$ खिलाड़ियों की एक टीम का चयन करना है।
दी गई शर्तें:
$1$. $2$ विशेष खिलाड़ियों को शामिल किया जाना है।
$2$. $1$ विशेष खिलाड़ी को बाहर रखा जाना है।
चूंकि $2$ खिलाड़ी पहले से ही शामिल हैं,इसलिए हमें $11 - 2 = 9$ और खिलाड़ियों का चयन करना होगा।
चूंकि $1$ खिलाड़ी को बाहर रखा गया है और $2$ पहले से ही शामिल हैं,इसलिए चयन के लिए उपलब्ध खिलाड़ियों की संख्या $16 - 2 - 1 = 13$ है।
इसलिए,$13$ खिलाड़ियों में से शेष $9$ खिलाड़ियों का चयन करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
तरीकों की संख्या = ${}^{13}C_{9} = {}^{13}C_{13-9} = {}^{13}C_{4}$।
${}^{13}C_{4} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 11 \times 5 = 715$।

(D) भाग $A$ में $10$ में से $8$ प्रश्नों को चुनने के तरीकों की संख्या $C(10, 8)$ है।
भाग $B$ में $10$ में से $5$ प्रश्नों को चुनने के तरीकों की संख्या $C(10, 5)$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र चयन हैं,इसलिए कुल तरीकों की संख्या दोनों संयोजनों का गुणनफल होगी:
कुल तरीके $= C(10, 8) \times C(10, 5)$
$= \frac{10!}{8!2!} \times \frac{10!}{5!5!}$
$= \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$= 45 \times 252 = 11340$.

(C) भाग $1$: $15$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीकों की संख्या $C(15, 11)$ द्वारा दी जाती है।
$C(15, 11) = C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$.
भाग $2$: यदि एक विशेष खिलाड़ी को शामिल किया जाना है,तो हमने पहले ही $1$ खिलाड़ी चुन लिया है। अब,हमें शेष $14$ खिलाड़ियों में से $10$ खिलाड़ियों को चुनना है।
यह $C(14, 10)$ द्वारा दिया जाता है।
$C(14, 10) = C(14, 4) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$.
अतः,एक विशेष खिलाड़ी को शामिल करने के तरीकों की संख्या $1001$ है।

(C) '$INVOLUTE$' शब्द में कुल $8$ अलग-अलग अक्षर हैं।
शब्द में स्वर $\{I, O, U, E\}$ हैं,जिनकी संख्या $4$ है।
शब्द में व्यंजन $\{N, V, L, T\}$ हैं,जिनकी संख्या $4$ है।
हमें $4$ स्वरों में से $3$ स्वर और $4$ व्यंजनों में से $2$ व्यंजन चुनने हैं।
अक्षरों को चुनने के तरीकों की संख्या $C(4, 3) \times C(4, 2) = 4 \times 6 = 24$ है।
इन $5$ चयनित अक्षरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
अतः,कुल बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या $24 \times 120 = 2880$ है।

(B) एक रेखा बनाने के लिए,हमें बिंदुओं के दिए गए समूह से $2$ अलग-अलग बिंदुओं का चयन करना होगा।
चूँकि वृत्त पर स्थित कोई भी $3$ बिंदु संरेख (collinear) नहीं हैं,इसलिए बिंदुओं का प्रत्येक जोड़ा एक अद्वितीय रेखा निर्धारित करता है।
$n$ बिंदुओं से होकर खींची जा सकने वाली रेखाओं की संख्या संचय के सूत्र $C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 21$ है।
अतः,रेखाओं की संख्या $p = C(21, 2) = \frac{21 \times 20}{2} = 21 \times 10 = 210$ रेखाएँ।

(C) $9$ गेंदों को इस प्रकार चुनने के लिए कि प्रत्येक रंग की $3$ गेंदें हों,हमें $6$ लाल गेंदों में से $3$,$5$ सफेद गेंदों में से $3$ और $5$ नीली गेंदों में से $3$ गेंदें चुननी होंगी।
$6$ लाल गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $C(6,3) = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
$5$ सफेद गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ है।
$5$ नीली गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल तरीकों की संख्या इन व्यक्तिगत चयनों का गुणनफल है:
$p = 20 \times 10 \times 10 = 2000$.

(B) उपलब्ध $9$ पाठ्यक्रमों में से,$2$ पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं।
चूंकि छात्र को कुल $5$ पाठ्यक्रम चुनने हैं और $2$ पहले से ही निश्चित हैं,इसलिए छात्र को शेष $9 - 2 = 7$ पाठ्यक्रमों में से $5 - 2 = 3$ पाठ्यक्रम चुनने होंगे।
$7$ में से $3$ पाठ्यक्रमों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय (combination) के सूत्र $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 7$ और $r = 3$ है।
$C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
अतः,कार्यक्रम चुनने के कुल $35$ तरीके हैं।

(C) प्रत्येक भाग से $4$ प्रश्न चुनने के लिए,हम संचय (combination) के सूत्र $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हैं।
भाग-$I$ ($6$ प्रश्न) से $4$ प्रश्न चुनने के तरीके: $C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
भाग-$II$ ($7$ प्रश्न) से $4$ प्रश्न चुनने के तरीके: $C(7, 4) = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
भाग-$III$ ($8$ प्रश्न) से $4$ प्रश्न चुनने के तरीके: $C(8, 4) = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.
कुल संयोजनों की संख्या = $C(6, 4) \times C(7, 4) \times C(8, 4) = 15 \times 35 \times 70 = 36750$.

(NONE) कुल $8$ व्यक्ति हैं और हमें $6$ व्यक्तियों का चयन करना है।
स्थिति $1$: व्यक्ति $A$ को नहीं चुना जाता है।
यदि $A$ को नहीं चुना जाता है,तो हमें शेष $7$ व्यक्तियों में से $6$ व्यक्तियों को चुनना होगा $(8 - 1 = 7)$। चूंकि $A$ नहीं चुना गया है,इसलिए $B$ के चयन की स्थिति पर कोई प्रतिबंध नहीं है। तरीकों की संख्या $= C(7, 6) = 7$.
स्थिति $2$: व्यक्ति $A$ को चुना जाता है।
यदि $A$ को चुना जाता है,तो $B$ को भी चुना जाना चाहिए। हमने $2$ व्यक्तियों ($A$ और $B$) को पहले ही चुन लिया है। अब हमें शेष $6$ व्यक्तियों में से $4$ और व्यक्तियों को चुनना है $(8 - 2 = 6)$। तरीकों की संख्या $= C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = 15$.
कुल तरीकों की संख्या $= 7 + 15 = 22$.

(D) '$THERAPY$' शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $T, H, E, R, A, P, Y$।
इसमें $2$ स्वर $(E, A)$ और $5$ व्यंजन $(T, H, R, P, Y)$ हैं।
सबसे पहले,सभी $7$ अक्षरों के कुल विन्यास की संख्या ज्ञात करें,जो $7! = 5040$ है।
इसके बाद,उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करें जिनमें $2$ स्वर एक साथ आते हैं। $2$ स्वरों को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास $5$ व्यंजन + $1$ इकाई = $6$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर के $2$ स्वरों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,स्वरों के एक साथ आने के तरीकों की संख्या $6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$ है।
जिन तरीकों में स्वर कभी एक साथ नहीं आते,उनकी संख्या कुल विन्यासों में से उन विन्यासों को घटाकर प्राप्त की जाती है जिनमें वे एक साथ हैं:
$5040 - 1440 = 3600$।

(A) '$PRAISE$' शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $P, R, A, I, S, E$.
चूंकि सभी अक्षर अलग हैं,इसलिए उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या अक्षरों की संख्या के फैक्टोरियल $(!)$ द्वारा दी जाती है।
व्यवस्था की कुल संख्या $= 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ तरीके।

(A) '$PRAISE$' शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $P, R, A, I, S, E$.
$n$ अलग-अलग वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 6$ है।
अतः,व्यवस्थाओं की कुल संख्या $= 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ होगी।

(D) '$BANKING$' शब्द में कुल $7$ अक्षर हैं,जिसमें '$N$' अक्षर $2$ बार दोहराया गया है।
जब $n$ वस्तुओं में से $p$ वस्तुएं एक समान हों,तो उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या का सूत्र $\frac{n!}{p!}$ होता है।
यहाँ,$n = 7$ और $p = 2$ है।
अतः,आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ होगी।

(D) $ATTEND$ शब्द में कुल $6$ अक्षर हैं।
इस शब्द में,अक्षर $T$,$2$ बार आता है,जबकि अन्य सभी अक्षर $(A, E, N, D)$ एक बार आते हैं।
$n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या,जहाँ $p$ वस्तुएं एक प्रकार की हों,$q$ वस्तुएं दूसरे प्रकार की हों,आदि,का सूत्र $\frac{n!}{p!q!...}$ है।
यहाँ,$n = 6$ और $T$ की आवृत्ति $2$ है।
अतः,आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।

(D) '$CYCLE$' शब्द में कुल $5$ अक्षर हैं।
इस शब्द में,'$C$' अक्षर $2$ बार आता है,जबकि '$Y$','$L$',और '$E$' अक्षर प्रत्येक $1$ बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से $p$ वस्तुएं एक ही प्रकार की हों,तो व्यवस्थाओं की कुल संख्या $\frac{n!}{p!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ और '$C$' की आवृत्ति $2$ है।
अतः,व्यवस्थाओं की कुल संख्या $= \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ तरीके।

(C) छात्रों की कुल संख्या $= 54 \times 30 = 1620$ है।
जब इन छात्रों को $45$ की पंक्तियों में व्यवस्थित किया जाता है,तो बनने वाली पंक्तियों की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल छात्रों की संख्या को प्रति पंक्ति छात्रों की संख्या से विभाजित किया जाता है।
पंक्तियों की संख्या $= \frac{1620}{45} = 36$.
अतः,कुल $36$ पंक्तियाँ बनेंगी।

(D) $ATTEND$ शब्द में कुल $6$ अक्षर हैं।
इस शब्द में,अक्षर $T$,$2$ बार आता है,और अन्य सभी अक्षर $(A, E, N, D)$ प्रत्येक $1$ बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से $p$ वस्तुएं एक ही प्रकार की हों,तो व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{p!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 6$ और $p = 2$ ($T$ अक्षर के लिए)।
अतः,व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।

(A) $5$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए,हम दिए गए दो मामलों पर विचार करते हैं:
मामला $1$: समिति में सभी $4$ प्रोफेसर और $1$ अनुसंधान सहयोगी हों।
$4$ प्रोफेसरों में से $4$ प्रोफेसर चुनने के तरीके ${}^{4}C_{4} = 1$ हैं।
$6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $1$ अनुसंधान सहयोगी चुनने के तरीके ${}^{6}C_{1} = 6$ हैं।
मामला $1$ के लिए कुल तरीके $= 1 \times 6 = 6$ हैं।
मामला $2$: समिति में सभी $3$ प्रशिक्षु और $2$ प्रोफेसर हों।
$3$ प्रशिक्षुओं में से $3$ प्रशिक्षु चुनने के तरीके ${}^{3}C_{3} = 1$ हैं।
$4$ प्रोफेसरों में से $2$ प्रोफेसर चुनने के तरीके ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
मामला $2$ के लिए कुल तरीके $= 1 \times 6 = 6$ हैं।
चूंकि ये मामले परस्पर अनन्य हैं,इसलिए कुल तरीकों की संख्या दोनों मामलों के तरीकों का योग होगी:
कुल तरीके $= 6 + 6 = 12$।

(C) समिति बनाने के लिए,हमें $3$ उपलब्ध प्रशिक्षुओं में से $2$ प्रशिक्षुओं और $6$ उपलब्ध अनुसंधान सहयोगियों में से $3$ अनुसंधान सहयोगियों का चयन करना होगा।
$3$ में से $2$ प्रशिक्षुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या संयोजन सूत्र ${ }^{n} C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
${ }^{3} C_{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2!}{2! \times 1!} = 3$.
$6$ में से $3$ अनुसंधान सहयोगियों का चयन करने के तरीकों की संख्या:
${ }^{6} C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
चूंकि ये चयन स्वतंत्र हैं,इसलिए समिति बनाने के कुल तरीकों की संख्या इन दो मानों का गुणनफल है:
कुल तरीके $= { }^{3} C_{2} \times { }^{6} C_{3} = 3 \times 20 = 60$.

(A) '$OFFICES$' शब्द में कुल $7$ अक्षर हैं।
इस शब्द में,'$F$' अक्षर $2$ बार दोहराया गया है,जबकि अन्य सभी अक्षर $(O, I, C, E, S)$ एक बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से $p$ वस्तुएं एक ही प्रकार की हों,तो व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\frac{n!}{p!}$ है।
यहाँ,$n = 7$ और $p = 2$ ('$F$' अक्षर के लिए)।
अतः,आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$।