Permutation and Combination Questions in Gujarati

(B) $6$ પરીક્ષાના પેપરને ગોઠવવાની કુલ રીતો $6! = 720$ છે.
જો શ્રેષ્ઠ અને સૌથી ખરાબ પેપર હંમેશા સાથે આવે,તો આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આમ,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ એકમો છે,જે $5!$ રીતે કરી શકાય છે. એકમની અંદર,$2$ પેપર $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેઓ સાથે આવે તેવી રીતોની સંખ્યા = $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$.
તેઓ ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી રીતોની સંખ્યા = (કુલ ગોઠવણી) - (તેઓ સાથે આવે તેવી ગોઠવણી) = $720 - 240 = 480$.

(C) $3000$ અને $4000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા બનાવવા માટે,હજારના સ્થાન પર અંક $3$ હોવો આવશ્યક છે. આ માટે $1$ રીત છે.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,એકમના સ્થાન પર અંક $5$ હોવો આવશ્યક છે. આ માટે $1$ રીત છે.
બાકીના બે સ્થાનો (સો અને દશક) માટે બાકી રહેલા અંકો ${1, 2, 4, 6}$ માંથી પસંદગી કરવાની રહેશે.
અહીં $4$ અંકો બાકી છે અને $2$ સ્થાનો ભરવાના છે.
આ ગોઠવણી કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ છે.
આમ,આવી કુલ સંખ્યાઓ $12$ છે,જે $^4P_2$ ને અનુરૂપ છે.

(A) $6$ અલગ-અલગ વીંટીઓમાંથી દરેક વીંટી $4$ આંગળીઓમાંથી કોઈપણ એકમાં પહેરી શકાય છે.
દરેક વીંટી પાસે આંગળી પસંદ કરવા માટે $4$ સ્વતંત્ર વિકલ્પો હોવાથી,$6$ વીંટીઓ પહેરવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર સંખ્યાઓ બનાવવા માટે,આપણે વિવિધ લંબાઈની સંખ્યાઓ બનાવી શકીએ છીએ:
- $1$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_1 = 4$
- $2$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_2 = 4 \times 3 = 12$
- $3$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$
- $4$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^4P_4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
આ કિસ્સાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ શક્ય સંખ્યાઓ આ મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
કુલ $= ^4P_1 + ^4P_2 + ^4P_3 + ^4P_4$.

(B) $7$ પુરુષોમાંથી દરેક વ્યક્તિ $3$ ઉમેદવારોમાંથી કોઈપણ એકને પોતાનો મત આપી શકે છે.
દરેક પુરુષ પાસે $3$ સ્વતંત્ર વિકલ્પો હોવાથી,$1^{st}$ પુરુષ પાસે મત આપવાની $3$ રીતો છે,$2^{nd}$ પુરુષ પાસે $3$ રીતો છે,અને આ રીતે $7^{th}$ પુરુષ સુધી ચાલુ રહે છે.
તેથી,મત આપી શકાય તેવી કુલ રીતોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^7$ રીતો છે.

(A) વ્યક્તિ પાસે ગ્વાલિયરથી ભોપાલ જવા માટે $4$ વિકલ્પો છે.
તેણે અલગ બસ દ્વારા પાછા ફરવાનું હોવાથી,પરત મુસાફરી માટે તેની પાસે $4 - 1 = 3$ વિકલ્પો છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ રીતોની સંખ્યા દરેક પગલા માટેના વિકલ્પોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો = $4 \times 3 = 12$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${}^n{P_5} = 20 \cdot {}^n{P_3}$
સૂત્ર ${}^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 20 \cdot \frac{n!}{(n-3)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા (કારણ કે $n! \neq 0$):
$\frac{1}{(n-5)!} = \frac{20}{(n-3)!}$
$(n-3)! = 20 \cdot (n-5)!$
$(n-3)(n-4)(n-5)! = 20 \cdot (n-5)!$
$(n-5)! \neq 0$ હોવાથી,તેને બંને બાજુથી દૂર કરતા:
$(n-3)(n-4) = 20$
$n^2 - 7n + 12 = 20$
$n^2 - 7n - 8 = 0$
$(n-8)(n+1) = 0$
આથી $n = 8$ અથવા $n = -1$ મળે.
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને ${}^n{P_5}$ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $n \ge 5$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $n = -1$ શક્ય નથી.
આમ,$n = 8$.

(A) $UNIVERSAL$ શબ્દમાં $9$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$.
આ $9$ અલગ-અલગ અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરોનો શબ્દ બનાવવા માટે,આપણે ક્રમચય (permutation) ના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$ છે.
તેથી,શબ્દોની સંખ્યા = $^9P_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

(C) ક્રમચય (Permutation) માટેનું સૂત્ર ${}^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{{}^n{P_4}}{{}^n{P_5}} = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{n!}{(n-4)!} \div \frac{n!}{(n-5)!} = \frac{1}{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{n!}{(n-4)!} \times \frac{(n-5)!}{n!} = \frac{1}{2}$.
અંશ અને છેદમાંથી $n!$ ઉડાડતા: $\frac{(n-5)!}{(n-4)!} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $(n-4)! = (n-4) \times (n-5)!$,તેથી: $\frac{(n-5)!}{(n-4)(n-5)!} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{n-4} = \frac{1}{2}$.
આમ,$n-4 = 2$,જેનું સાદું રૂપ $n = 6$ મળે છે.

(C) $mn$ પત્રોમાંથી દરેક પત્રને $n$ લેટર-બોક્સમાંથી કોઈપણ એકમાં પોસ્ટ કરી શકાય છે.
દરેક પત્ર માટે $n$ સ્વતંત્ર વિકલ્પો હોવાથી,$mn$ પત્રોને પોસ્ટ કરવાની કુલ રીતો $n \times n \times n \times \dots \times n$ ($mn$ વખત) થશે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $n^{mn}$ છે.

(D) દરેક ખરા-ખોટા પ્રકારના પ્રશ્ન માટે $2$ શક્યતાઓ છે: કાં તો 'ખરું' અથવા 'ખોટું'.
અહીં $10$ સ્વતંત્ર પ્રશ્નો હોવાથી,કુલ ઉત્તર આપવાની રીતોની સંખ્યા દરેક પ્રશ્ન માટેની પસંદગીઓના ગુણાકાર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
કુલ રીતો = $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$.
$2^{10}$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $1024$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જો સંખ્યાનો એકમનો અંક બેકી હોય તો તે સંખ્યા બેકી સંખ્યા કહેવાય. ઉપલબ્ધ અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ છે.
અહીં બેકી અંકો ${2, 4, 6, 8}$ છે.
પગલું $1$: એકમનો અંક $4$ રીતે ભરી શકાય છે (કારણ કે $2, 4, 6, 8$ માંથી કોઈ પણ એક).
પગલું $2$: અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય ન હોવાથી,બાકીના $2$ સ્થાન ભરવા માટે આપણી પાસે $8$ અંકો બાકી રહે છે.
પગલું $3$: બાકીના $8$ અંકોમાંથી $2$ અંકો ગોઠવવાની રીતો $^8P_2 = 8 \times 7 = 56$ છે.
પગલું $4$: કુલ બેકી સંખ્યાઓ $= 4 \times 56 = 224$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $^nP_5 = 9 \times ^{n-1}P_4$
ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-1)!}{((n-1)-4)!}$
$\frac{n \times (n-1)!}{(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-1)!}{(n-5)!}$
અહીં $(n-1)!$ અને $(n-5)!$ શૂન્યતર હોવાથી,બંને બાજુથી તેને દૂર કરતા:
$n = 9$
આમ,$n$ ની કિંમત $9$ છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
વિકલ્પ $A$ માં આપેલ પદાવલિને ધ્યાનમાં લો: $^{n-1}{P_r} + r \cdot {^{n-1}}{P_{r-1}}$.
$= \frac{(n-1)!}{(n-1-r)!} + r \cdot \frac{(n-1)!}{(n-1-(r-1))!}$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r \cdot \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left[ 1 + \frac{r}{n-r} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left[ \frac{n-r+r}{n-r} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \cdot \frac{n}{n-r}$
$= \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-r) \cdot (n-r-1)!} = \frac{n!}{(n-r)!} = ^n{P_r}$.

(A) કુલ $10$ અંકો છે,જે $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ છે.
$9$ અંકની ભિન્ન અંકો વાળી સંખ્યા બનાવવા માટે,પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.
પ્રથમ સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો છે ($1$ થી $9$).
બાકીના $8$ સ્થાનો માટે,બાકીના $9$ અંકોમાંથી (જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે) $8$ અંકો પસંદ કરવાના રહે,જે $P(9, 8)$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ સંખ્યાઓ = $9 \times P(9, 8) = 9 \times \frac{9!}{(9-8)!} = 9 \times 9!$.
વૈકલ્પિક રીતે,$10$ માંથી $9$ અંકોની કુલ ગોઠવણી - ($0$ થી શરૂ થતી ગોઠવણી):
$= P(10, 9) - P(9, 8) = \frac{10!}{1!} - \frac{9!}{1!} = 10! - 9! = (10 - 1) \times 9! = 9 \times 9!$.

(C) $4$ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક પાસો $2$ દર્શાવે તેવા પરિણામોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ પરિણામોમાંથી એવા પરિણામોની સંખ્યા બાદ કરીએ છીએ જેમાં કોઈ પણ પાસા પર $2$ આવતો નથી.
જો કોઈ પણ પાસા પર $2$ ન આવે,તો દરેક પાસો બાકીના $5$ અંકો $(1, 3, 4, 5, 6)$ માંથી કોઈ પણ દર્શાવી શકે છે.
આમ,જે પરિણામોમાં $2$ આવતો નથી તેની સંખ્યા $5^4 = 625$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક $2$ મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $1296 - 625 = 671$ છે.

(C) દરેક $4$ પાર્સલને $5$ પોસ્ટ-ઓફિસમાંથી કોઈપણ એકમાં મોકલી શકાય છે.
દરેક પાર્સલ સ્વતંત્ર હોવાથી અને રજીસ્ટ્રેશન માટે $5$ વિકલ્પો હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા દરેક પાર્સલ માટેના વિકલ્પોનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
કુલ રીતો = $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.

(A) $5$ અલગ-અલગ ઇનામોમાંથી દરેક ઇનામ $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈપણને આપી શકાય છે.
દરેક ઇનામ માટે $4$ સ્વતંત્ર વિકલ્પો હોવાથી,$5$ ઇનામો વહેંચવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ થશે.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા,$4^5 = 1024$ મળે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $1024$ છે.

(D) $3$ મુસાફરો $5$ ખાલી બેઠકો પર કેટલી રીતે બેસી શકે તે શોધવા માટે,આપણે ક્રમચય (Permutation) ના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કારણ કે તેઓ કઈ બેઠક પર બેસે છે તે મહત્વનું છે.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓની ગોઠવણી કરવાની રીતોની સંખ્યાનું સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
અહીં,$n = 5$ (કુલ બેઠકો) અને $r = 3$ (મુસાફરો) છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $^5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ થાય.
આમ,મુસાફરો માટે બેસવાની કુલ $60$ રીતો છે.

(A) $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પદાવલિ $r! \times \binom{n+r-1}{r}$ ની બરાબર છે.
કારણ કે દ્વિપદી સહગુણક $\binom{n+r-1}{r}$ હંમેશા એક પૂર્ણાંક હોય છે,તેથી $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા $r!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(C) $3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ સંખ્યાઓના એકમના સ્થાનના અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે:
$1$. $4$ અલગ-અલગ અંકોને એકસાથે લઈને બનતી કુલ સંખ્યાઓ (ક્રમચયો) $4! = 24$ છે.
$2$. જો આપણે એક અંકને (દા.ત.,$3$) એકમના સ્થાને નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના $3$ અંકોને અન્ય $3$ સ્થાનો પર $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$3$. આનો અર્થ એ છે કે દરેક અંક $(3, 4, 5, 6)$ એકમના સ્થાને બરાબર $6$ વાર આવે છે.
$4$. તેથી,એકમના સ્થાનના અંકોનો સરવાળો $6 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 6 \times 18 = 108$ થાય છે.

(A) કુલ સિક્કાઓની સંખ્યા $6$ છે.
કાંટાની સંખ્યા અને છાપની સંખ્યા સમાન હોવા માટે,આપણી પાસે $3$ છાપ અને $3$ કાંટા હોવા જોઈએ.
સિક્કાઓ સમાન હોવાથી,$3$ છાપ અને $3$ કાંટાને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિસેટના ક્રમચયના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{n!}{n_1! n_2!} = \frac{6!}{3! 3!}$.
આની ગણતરી કરતા: $\frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$.
આમ,કુલ $20$ રીતો છે.

(C) અંકો ${4, 5, 6, 7, 8}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
$56000$ થી મોટી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે કુલ સંખ્યાઓમાંથી $56000$ કે તેથી નાની સંખ્યાઓને બાદ કરીશું.
$4$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: આવી $4! = 24$ સંખ્યાઓ છે.
$54$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: આવી $3! = 6$ સંખ્યાઓ છે.
$55$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: શક્ય નથી કારણ કે અંકો અલગ છે.
$56000$ થી નાની સંખ્યાઓ તે છે જે $4$ થી શરૂ થાય છે ($24$ સંખ્યાઓ) અને જે $54$ થી શરૂ થાય છે ($6$ સંખ્યાઓ).
$56000$ થી નાની કુલ સંખ્યાઓ = $24 + 6 = 30$.
$56000$ થી મોટી જરૂરી સંખ્યાઓ = $120 - 30 = 90$.

(C) ધારો કે બે છોકરાઓ $A$ અને $B$ છે.
કિસ્સો $1$: છોકરા $A$ ને $2$ દડા મળે અને છોકરા $B$ ને $8$ દડા મળે. છોકરા $A$ માટે $10$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ છે.
કિસ્સો $2$: છોકરા $A$ ને $8$ દડા મળે અને છોકરા $B$ ને $2$ દડા મળે. છોકરા $A$ માટે $10$ માંથી $8$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!2!} = 45$ છે.
આ બંને અલગ પરિસ્થિતિઓ હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $45 + 45 = 90$ થશે.

(A) $4$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી $4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $4! = 24$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર સમાન સંખ્યામાં આવે છે,જે $24 / 4 = 6$ વખત છે.
આપેલ અંકોનો સરવાળો $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ છે.
કોઈપણ સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો $6 \times 20 = 120$ થાય છે.
તેથી,આવી તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો $120 \times 1 + 120 \times 10 + 120 \times 100 + 120 \times 1000$ થાય.
$= 120(1 + 10 + 100 + 1000) = 120 \times 1111 = 133320$.

(A) ગ્રામીણ વ્યક્તિ પાસે ગામથી શહેર જવા માટે $5$ વિકલ્પો છે.
કારણ કે ગ્રામીણ વ્યક્તિ $5$ રસ્તાઓમાંથી કોઈપણ રસ્તે પાછા આવી શકે છે,તેથી પરત ફરવા માટે પણ $5$ વિકલ્પો છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,બંને કાર્યો (જવા અને આવવા) કરવા માટેની કુલ રીતો એ દરેક કાર્ય કરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો = $5 \times 5 = 25$.

(D) $5$ અલગ-અલગ પરીક્ષાના પેપરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાનના પેપરો ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે પહેલા તે રીતો શોધીએ જેમાં તેઓ સાથે આવે છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાનના પેપરોને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે (ભૌતિકવિજ્ઞાન-રસાયણવિજ્ઞાનનો એક એકમ + બાકીના $3$ પેપરો),જે $4!$ રીતે કરી શકાય છે.
તે એક એકમની અંદર,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાનના પેપરોને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ છે.
તેઓ ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી તેઓ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે છે: $120 - 48 = 72$.

(B) પ્રથમ ઇનામ $5$ સ્પર્ધકોમાંથી કોઈપણ એકને $5$ રીતે આપી શકાય છે.
પ્રથમ ઇનામ અપાયા પછી,બાકી રહેલા $4$ સ્પર્ધકોમાંથી દ્વિતીય ઇનામ $4$ રીતે આપી શકાય છે.
અંતે,બાકી રહેલા $3$ સ્પર્ધકોમાંથી તૃતીય ઇનામ $3$ રીતે આપી શકાય છે.
કારણ કે એક સ્પર્ધકને એકથી વધુ ઇનામ મળી શકતું નથી,તેથી કુલ રીતોની સંખ્યા આ પસંદગીઓના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો $= 5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતો.

(B) $3$ અંકની સંખ્યામાં ત્રણ સ્થાન હોય છે: સો,દશક અને એકમ.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,એકમના સ્થાનને આપેલા ગણ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી એકી અંક વડે ભરવું આવશ્યક છે. ઉપલબ્ધ એકી અંકો ${1, 3, 5}$ છે. આમ,એકમનું સ્થાન $3$ રીતે ભરી શકાય છે.
પુનરાવર્તનની છૂટ હોવાથી,સોના સ્થાનને ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ના કોઈપણ $6$ અંકો વડે ભરી શકાય છે,જે $6$ રીતો આપે છે.
દશકના સ્થાનને પણ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ના કોઈપણ $6$ અંકો વડે ભરી શકાય છે,જે $6$ રીતો આપે છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,આવી એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 6 \times 6 \times 3 = 108$ થાય.

(A) આપેલ અંકો $2, 0, 4, 3, 8$ છે. કુલ $5$ ભિન્ન અંકો છે.
પાંચ અંકની સંખ્યામાં દસ હજારના સ્થાન પર $0$ ન હોઈ શકે.
$5$ અંકોને એકસાથે લઈને બનતા કુલ ક્રમચયો $5! = 120$ છે.
જે સંખ્યાઓમાં $0$ દસ હજારના સ્થાન પર હોય (પ્રથમ સ્થાને $0$ ને નિશ્ચિત કરીને,બાકીના $4$ અંકોને બાકીના $4$ સ્થાનો પર ગોઠવતા) તેવા ક્રમચયો $4! = 24$ છે.
તેથી,પાંચ અંકની કુલ સંખ્યાઓ જે બનાવી શકાય તે $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે.

(C) ક્રમચય (Permutation) માટેનું સૂત્ર $^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
આપેલ છે કે $^{12}P_r = 1320$.
આપણે તેને $12 \times 11 \times 10 = 1320$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
અહીં $12 \times 11 \times 10$ એ $12$ થી શરૂ થતા $3$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે,જે $^{12}P_3$ ને સમાન છે.
તેથી,$^{12}P_r$ ની સરખામણી $^{12}P_3$ સાથે કરતા,આપણને $r = 3$ મળે છે.

(A) $n$-અંકી સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક (ડાબી બાજુના સ્થાને) $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે (કારણ કે તે $0$ હોઈ શકે નહીં). આમ,પ્રથમ અંક માટે $9$ વિકલ્પો છે.
બીજા અંક માટે,તે $0$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે,સિવાય કે જે પ્રથમ અંક તરીકે વપરાયો હોય. આમ,બીજા અંક માટે $9$ વિકલ્પો છે.
ત્રીજા અંક માટે,તે $0$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે,સિવાય કે જે બીજા અંક તરીકે વપરાયો હોય. આમ,ત્રીજા અંક માટે $9$ વિકલ્પો છે.
આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,$n$-મા અંક સુધીના દરેક સ્થાન માટે હંમેશા $9$ વિકલ્પો ઉપલબ્ધ હોય છે કારણ કે દરેક અંક ફક્ત તેની તરત પહેલાના અંકથી અલગ હોવો જોઈએ.
તેથી,કુલ $n$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $9 \times 9 \times 9 \times \dots \times 9$ ($n$ વખત) થાય,જે $9 \times 9^{n-1}$ બરાબર છે.

(C) $SALOON$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $O$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$SALOON$ શબ્દના અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.
બે $O$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે બંને $O$ ને એક એકમ $(OO)$ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $S, A, L, N, (OO)$.
આ $5$ એકમોની ગોઠવણીની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
તેથી,બે $O$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી સાથે આવતી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે છે:
$360 - 120 = 240$.

(A) $MAXIMUM$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $M, A, X, I, M, U, M$.
વ્યંજનો $M, X, M, M$ ($4$ અક્ષરો) છે અને સ્વરો $A, I, U$ ($3$ અક્ષરો) છે.
કોઈપણ બે વ્યંજનો સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$3$ સ્વરો $(A, I, U)$ ને $3!$ રીતે ગોઠવો.
આ $3$ સ્વરો $4$ સંભવિત ગેપ બનાવે છે: $\_ V \_ V \_ V \_$.
આપણે $4$ વ્યંજનો $(M, X, M, M)$ ને આ $4$ ગેપમાં મૂકવાના છે.
$4$ વ્યંજનોને $4$ ગેપમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{3!}$ છે (કારણ કે $M$ ત્રણ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = (સ્વરોની ગોઠવણી) $\times$ (ગેપમાં વ્યંજનોની ગોઠવણી)
$= 3! \times \frac{4!}{3!} = 4! = 24$.

(B) $n$ પુસ્તકોને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
જો બે ચોક્કસ પુસ્તકો હંમેશા સાથે હોય,તો આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણી શકીએ. આનાથી આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $(n - 1)$ એકમો બાકી રહે છે,જે $(n - 1)!$ રીતે કરી શકાય છે.
તે એક એકમની અંદર,બે ચોક્કસ પુસ્તકોને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,બે ચોક્કસ પુસ્તકો હંમેશા સાથે હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $2 \times (n - 1)!$ છે.
બે ચોક્કસ પુસ્તકો સાથે ન હોય તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે કુલ ગોઠવણીમાંથી તેઓ સાથે હોય તેવી રીતોને બાદ કરીએ છીએ:
જરૂરી રીતો $= n! - 2(n - 1)!$
$= n \times (n - 1)! - 2(n - 1)!$
$= (n - 1)! (n - 2)$.

(A) $500$ અને $600$ ની વચ્ચેની સંખ્યા બનાવવા માટે,સોના સ્થાન પરનો અંક $5$ હોવો જોઈએ.
અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાતું નથી,તેથી આપણે સોના સ્થાન પર $5$ ને નિશ્ચિત કર્યો છે.
બાકી રહેલા અંકો ${1, 2, 3, 4, 6}$ છે,જે આપણને $5$ વિકલ્પો આપે છે.
આપણે આ $5$ બાકી રહેલા અંકોનો ઉપયોગ કરીને દશક અને એકમના સ્થાનને ભરવાની જરૂર છે.
$5$ માંથી $2$ અંકોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 5$ અને $r = 2$ છે,તેથી $^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.
તેથી,આવી કુલ $20$ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.

(B) સંખ્યાઓ $1000$ અને $4000$ ની વચ્ચે હોવાથી તે $4$ અંકની સંખ્યાઓ હશે.
ધારો કે $4$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ છે.
સંખ્યા $1000$ થી મોટી અને $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોવા માટે,પ્રથમ અંક $d_1$ એ $1, 2, 3,$ અથવા $4$ હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: જો $d_1 = 1, 2,$ અથવા $3$ હોય,તો બાકીના ત્રણ સ્થાન $(d_2, d_3, d_4)$ માંથી દરેકને $5$ અંકો $(0, 1, 2, 3, 4)$ માંથી કોઈપણ રીતે $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
આવી સંખ્યાઓ = $3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$.
જો કે,આમાં $1000$ નો સમાવેશ થાય છે (જ્યાં $d_1=1, d_2=0, d_3=0, d_4=0$). પ્રશ્નમાં $1000$ થી મોટી સંખ્યાઓ પૂછવામાં આવી હોવાથી,આપણે $1000$ ને બાદ કરવા પડશે.
તેથી,કુલ સંખ્યા = $375 - 1 = 374$.
કિસ્સો $2$: જો $d_1 = 4$ હોય,તો માત્ર $4000$ જ શક્ય છે કારણ કે $4000$ થી મોટી કોઈ પણ સંખ્યા આ શરતનું પાલન કરશે નહીં.
તેથી,$4000$ માટે $1$ ઉમેરતા,કુલ સંખ્યા = $374 + 1 = 375$.

(B) આપેલ અંકો $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ છે. કુલ $7$ અંકો છે.
એકી અંકો $1, 3, 3, 1$ છે (કુલ $4$ અંકો).
બેકી અંકો $2, 4, 2$ છે (કુલ $3$ અંકો).
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
એકી અંકો હંમેશા એકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,તેથી $1, 3, 3, 1$ ને $4$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવતા મળતી રીતોની સંખ્યા $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ છે.
હવે,બેકી અંકો $2, 4, 2$ ને $3$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવતા મળતી રીતોની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ = $6 \times 3 = 18$.

(C) પગલું $1$: $5$ છોકરાઓને એક હારમાં ગોઠવો. $5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
પગલું $2$: કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે છોકરાઓ દ્વારા બનાવવામાં આવેલી ખાલી જગ્યાઓમાં છોકરીઓને બેસાડીશું. $5$ છોકરાઓ સાથે,કુલ $6$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) ઉપલબ્ધ છે જ્યાં $3$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય છે.
પગલું $3$: આ $6$ ખાલી જગ્યાઓમાં $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^6P_3$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $4$: કુલ રીતોની સંખ્યા છોકરાઓની ગોઠવણી અને છોકરીઓની ગોઠવણીનો ગુણાકાર છે: $5! \times ^6P_3$.

(A) $1000$ થી નાની સંખ્યાઓ $1$-અંકી,$2$-અંકી અથવા $3$-અંકી હોઈ શકે છે.
$1$-અંકી સંખ્યાઓ: આપણે $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ એક પસંદ કરી શકીએ છીએ. રીતોની સંખ્યા $= ^6P_1 = 6$.
$2$-અંકી સંખ્યાઓ: આપણે $6$ માંથી $2$ અંકો પસંદ કરી શકીએ છીએ જ્યાં ક્રમ મહત્વનો છે. રીતોની સંખ્યા $= ^6P_2 = 6 \times 5 = 30$.
$3$-અંકી સંખ્યાઓ: આપણે $6$ માંથી $3$ અંકો પસંદ કરી શકીએ છીએ જ્યાં ક્રમ મહત્વનો છે. રીતોની સંખ્યા $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 30 + 120 = 156$.

(A) $COURTESY$ શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $C, O, U, R, T, E, S, Y$.
આપણે એવા શબ્દો બનાવવાના છે જેમાં પ્રથમ અક્ષર $C$ અને છેલ્લો અક્ષર $Y$ હોય.
પ્રથમ સ્થાને $C$ અને છેલ્લા સ્થાને $Y$ ને નિશ્ચિત કરતા,વચ્ચેના સ્થાનો માટે $8 - 2 = 6$ અક્ષરો બાકી રહે છે.
આ $6$ બાકી રહેલા અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $6!$ છે.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $6!$ છે.

(B) $DELHI$ શબ્દમાં $5$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, E, L, H, I$.
કારણ કે $L$ અક્ષરને મધ્યમાં નિશ્ચિત રાખવાનો છે,તેથી $5$ માંથી $1$ સ્થાન ભરાઈ ગયું છે.
બાકીના $4$ સ્થાનોને બાકીના $4$ અક્ષરો $(D, E, H, I)$ દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,કુલ બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $24$ છે.

(B) $3, 4, 7$ (દરેક એક વાર) અને $5$ (બે વાર) અંકોનો ઉપયોગ કરીને $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે ${3, 4, 7, 5, 5}$ અંકોના સમૂહની ગોઠવણી કરવાની જરૂર છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી $n_1$ વસ્તુઓ એક પ્રકારની,$n_2$ વસ્તુઓ બીજા પ્રકારની હોય,ત્યારે કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,કુલ અંકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
અંક $5$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી $n_1 = 2$.
અંકો $3, 4$ અને $7$ દરેક એક વાર આવે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ થાય.

(B) દરેક $3$ પત્રોને $4$ લેટર-બોક્સમાંથી કોઈપણમાં નાખી શકાય છે.
દરેક પત્ર માટે $4$ વિકલ્પો હોવાથી,$3$ પત્રોને $4$ લેટર-બોક્સમાં નાખવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ છે.
જો કે,શરત મુજબ બધા જ પત્રો એક જ લેટર-બોક્સમાં ન હોવા જોઈએ.
એવા $4$ કિસ્સાઓ છે જેમાં ત્રણેય પત્રો એક જ બોક્સમાં નાખવામાં આવે (એટલે કે,બધા બોક્સ $1$ માં,બધા બોક્સ $2$ માં,બધા બોક્સ $3$ માં,અથવા બધા બોક્સ $4$ માં).
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $64 - 4 = 60$ છે.

(D) $0, 1, 2, ..., 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $5$ અંકના કુલ ટેલિફોન નંબરોની સંખ્યા $10^5 = 100000$ છે (કારણ કે દરેક $5$ સ્થાન પર $10$ માંથી કોઈપણ અંક આવી શકે છે).
$5$ અંકના એવા ટેલિફોન નંબરો કે જેમાં કોઈ પણ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી,તેની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછો એક અંક પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા ટેલિફોન નંબરોની સંખ્યા શોધવા માટે,કુલ ટેલિફોન નંબરોમાંથી કોઈ પણ અંક પુનરાવર્તિત ન થતા હોય તેવા નંબરો બાદ કરવા પડે.
જરૂરી સંખ્યા $= 100000 - 30240 = 69760$.

(C) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$M$ બે વાર આવે છે.
$A$ બે વાર આવે છે.
$T$ બે વાર આવે છે.
$H, E, I, C, S$ દરેક એક વાર આવે છે.
જ્યારે $n$ વસ્તુઓમાંથી કેટલીક વસ્તુઓ સમાન હોય,ત્યારે કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ છે.
અહીં $n = 11$,$n_1 = 2$ ($M$ માટે),$n_2 = 2$ ($A$ માટે),અને $n_3 = 2$ ($T$ માટે) છે.
તેથી,જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા = $\frac{11!}{2! 2! 2!}$ થાય.

(B) $CALCUTTA$ શબ્દમાં કુલ $8$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$C$ બે વાર આવે છે.
$A$ બે વાર આવે છે.
$L$ એક વાર આવે છે.
$U$ એક વાર આવે છે.
$T$ બે વાર આવે છે.
કુલ અક્ષરો $n = 8$.
ગોઠવણીની સંખ્યા = $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} = \frac{8!}{2! 2! 2!} = \frac{40320}{2 \times 2 \times 2} = \frac{40320}{8} = 5040$.

(A) $99$ અને $1000$ ની વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓ $3$ અંકની હોય છે.
આપણી પાસે $6$ અંકો ઉપલબ્ધ છે: ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$.
$3$ અંકની સંખ્યામાં શતકના સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે.
$6$ માંથી $3$ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાની કુલ રીતો $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
જો કે,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જેમાં શતકના સ્થાને $0$ હોય. જો શતકના સ્થાને $0$ નિશ્ચિત હોય,તો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $2$ અંકોને દશક અને એકમના સ્થાને ગોઠવવા પડે. આ રીતો $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ છે.
તેથી,કુલ માન્ય $3$ અંકની સંખ્યાઓ $120 - 20 = 100$ થશે.

(B) ધારો કે $10$ પ્રાણીઓ $A_1, A_2, \dots, A_{10}$ છે અને $10$ પાંજરા $C_1, C_2, \dots, C_{10}$ છે.
ધારો કે $C_1, C_2, C_3, C_4$ એ $4$ નાના પાંજરા છે.
ધારો કે $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ એ $5$ પ્રાણીઓ છે જે નાના પાંજરામાં પ્રવેશી શકતા નથી.
આ $5$ પ્રાણીઓને બાકીના $6$ પાંજરા $(C_5, C_6, C_7, C_8, C_9, C_{10})$ માં મૂકવા પડશે.
આ $5$ પ્રાણીઓને $6$ પાંજરામાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6! = 720$ છે.
આ $5$ પ્રાણીઓને ગોઠવ્યા પછી, આપણી પાસે $5$ પ્રાણીઓ અને $5$ પાંજરા બાકી રહે છે ($4$ નાના પાંજરા અને $6$ મોટા પાંજરામાંથી વધેલું $1$ પાંજરું).
બાકીના $5$ પ્રાણીઓને બાકીના $5$ પાંજરામાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
તેથી, કુલ રીતોની સંખ્યા = $^6P_5 \times 5! = 720 \times 120 = 86400$.

(B) $COMMITTEE$ શબ્દમાં કુલ $9$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$C: 2$
$O: 1$
$M: 2$
$I: 1$
$T: 2$
$E: 1$
ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા = $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ...}$
અહીં,$n = 9$,$n_1 = 2$ ($C$ માટે),$n_2 = 2$ ($M$ માટે),અને $n_3 = 2$ ($T$ માટે).
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $\frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{9!}{(2!)^3}$.