$BALLOON$ शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दो $L$ एक साथ न आएं?

एक शहर में किन्हीं भी दो व्यक्तियों के दांतों का सेट समान नहीं है और ऐसा कोई व्यक्ति नहीं है जिसके एक भी दांत न हो। साथ ही,किसी भी व्यक्ति के $32$ से अधिक दांत नहीं हैं। यदि हम दांतों के आकार और माप को अनदेखा करें और केवल $32$ स्थानों पर दांत की उपस्थिति या अनुपस्थिति पर विचार करें,तो शहर की अधिकतम जनसंख्या क्या है?

$3$ अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं,जिनमें अंक भिन्न हों और प्रत्येक अंक विषम (odd) हो?

$12$ सज्जन एक गोल मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठ सकते हैं ताकि तीन निर्दिष्ट सज्जन हमेशा एक साथ रहें?

$2, 3, 5, 7, 9$ अंकों का उपयोग करके अंकों को दोहराए बिना $5$-अंकीय संख्याएँ बनाई जानी हैं। यदि $p$ ऐसी संख्याओं की संख्या है जो $20000$ से अधिक हैं और $q$ उन संख्याओं की संख्या है जो $30000$ और $90000$ के बीच स्थित हैं,तो $p : q$ है

एक समुच्चय में $(2n + 1)$ अवयव हैं। उस समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें अधिकतम $n$ अवयव हैं,क्या होगी?