Permutation and Combination Questions in Hindi

(B) $6$ परीक्षा पत्रों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $6! = 720$ हैं।
यदि सबसे अच्छा और सबसे खराब पेपर हमेशा एक साथ आते हैं,तो हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। इस प्रकार,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $5!$ तरीकों से किया जा सकता है। इकाई के भीतर,$2$ पेपर $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं।
वे तरीके जिनमें वे एक साथ आते हैं = $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$।
वे तरीके जिनमें वे कभी एक साथ नहीं आते = (कुल व्यवस्था) - (वे व्यवस्थाएं जिनमें वे एक साथ आते हैं) = $720 - 240 = 480$।

(C) $3000$ और $4000$ के बीच की संख्या बनाने के लिए,हजार के स्थान पर अंक $3$ होना अनिवार्य है। इसके लिए $1$ तरीका है।
संख्या के $5$ से विभाज्य होने के लिए,इकाई के स्थान पर अंक $5$ होना अनिवार्य है। इसके लिए $1$ तरीका है।
शेष दो स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को शेष अंकों ${1, 2, 4, 6}$ से भरा जाना चाहिए।
यहाँ $4$ अंक शेष हैं और $2$ स्थान भरने हैं।
इनकी व्यवस्था करने के तरीकों की संख्या $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ है।
अतः,ऐसी कुल संख्याएँ $12$ हैं,जो $^4P_2$ के बराबर है।

(A) $6$ अलग-अलग अंगूठियों में से प्रत्येक अंगूठी को $4$ उंगलियों में से किसी भी एक उंगली में पहना जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक अंगूठी के पास उंगली चुनने के लिए $4$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए $6$ अंगूठियों को पहनने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6$ होंगे।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके पुनरावृत्ति के बिना संख्याएँ बनाने के लिए,हम विभिन्न लंबाई की संख्याएँ बना सकते हैं:
- $1$ अंक वाली संख्याओं की संख्या $= ^4P_1 = 4$
- $2$ अंकों वाली संख्याओं की संख्या $= ^4P_2 = 4 \times 3 = 12$
- $3$ अंकों वाली संख्याओं की संख्या $= ^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$
- $4$ अंकों वाली संख्याओं की संख्या $= ^4P_4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
चूंकि ये स्थितियाँ परस्पर अनन्य हैं,इसलिए कुल संभावित संख्याओं की संख्या इन मानों का योग है:
कुल $= ^4P_1 + ^4P_2 + ^4P_3 + ^4P_4$.

(B) $7$ पुरुषों में से प्रत्येक व्यक्ति $3$ उम्मीदवारों में से किसी एक को अपना मत दे सकता है।
चूंकि प्रत्येक पुरुष के पास $3$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए $1^{st}$ पुरुष के पास मत देने के $3$ तरीके हैं,$2^{nd}$ पुरुष के पास $3$ तरीके हैं,और इसी तरह $7^{th}$ पुरुष तक चलता रहता है।
अतः,मत देने के कुल तरीकों की संख्या $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^7$ तरीके है।

(A) व्यक्ति के पास ग्वालियर से भोपाल जाने के लिए $4$ विकल्प हैं।
चूंकि उसे एक अलग बस से वापस आना है,इसलिए वापसी की यात्रा के लिए उसके पास $4 - 1 = 3$ विकल्प हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल तरीकों की संख्या प्रत्येक चरण के लिए विकल्पों का गुणनफल है।
कुल तरीके = $4 \times 3 = 12$।

(B) दिया गया समीकरण: ${}^n{P_5} = 20 \cdot {}^n{P_3}$
सूत्र ${}^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 20 \cdot \frac{n!}{(n-3)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने पर (चूंकि $n! \neq 0$):
$\frac{1}{(n-5)!} = \frac{20}{(n-3)!}$
$(n-3)! = 20 \cdot (n-5)!$
$(n-3)(n-4)(n-5)! = 20 \cdot (n-5)!$
चूंकि $(n-5)! \neq 0$,इसे दोनों पक्षों से काटने पर:
$(n-3)(n-4) = 20$
$n^2 - 7n + 12 = 20$
$n^2 - 7n - 8 = 0$
$(n-8)(n+1) = 0$
इससे $n = 8$ या $n = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और ${}^n{P_5}$ को परिभाषित करने के लिए $n \ge 5$ होना आवश्यक है,इसलिए $n = -1$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,$n = 8$।

(A) शब्द $UNIVERSAL$ में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$.
इन $9$ अलग-अलग अक्षरों में से $3$ अक्षरों का शब्द बनाने के लिए,हम क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है।
अतः,शब्दों की संख्या = $^9P_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

(C) क्रमचय (Permutation) का सूत्र ${}^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
दिया गया अनुपात: $\frac{{}^n{P_4}}{{}^n{P_5}} = \frac{1}{2}$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{n!}{(n-4)!} \div \frac{n!}{(n-5)!} = \frac{1}{2}$.
इसे सरल करने पर: $\frac{n!}{(n-4)!} \times \frac{(n-5)!}{n!} = \frac{1}{2}$.
अंश और हर से $n!$ को काटने पर: $\frac{(n-5)!}{(n-4)!} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $(n-4)! = (n-4) \times (n-5)!$,इसलिए: $\frac{(n-5)!}{(n-4)(n-5)!} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{n-4} = \frac{1}{2}$.
अतः,$n-4 = 2$,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।

(C) $mn$ पत्रों में से प्रत्येक पत्र को $n$ लेटर-बॉक्स में से किसी भी एक में पोस्ट किया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पत्र के लिए $n$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए $mn$ पत्रों को पोस्ट करने के कुल तरीके $n \times n \times n \times \dots \times n$ ($mn$ बार) होंगे।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $n^{mn}$ है।

(D) प्रत्येक सत्य-असत्य प्रश्न के $2$ संभावित परिणाम होते हैं: या तो 'सत्य' या 'असत्य'।
चूंकि $10$ स्वतंत्र प्रश्न हैं,इसलिए उत्तर देने के कुल तरीकों की संख्या प्रत्येक प्रश्न के विकल्पों के गुणनफल द्वारा ज्ञात की जा सकती है।
कुल तरीके = $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$।
$2^{10}$ की गणना करने पर,हमें $1024$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) यदि किसी संख्या का इकाई अंक सम है,तो वह संख्या सम होती है। उपलब्ध अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ हैं।
यहाँ उपलब्ध सम अंक ${2, 4, 6, 8}$ हैं।
चरण $1$: इकाई के स्थान को $4$ तरीकों से भरा जा सकता है (क्योंकि $2, 4, 6, 8$ में से कोई भी एक)।
चरण $2$: चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,इसलिए शेष $2$ स्थानों को भरने के लिए हमारे पास $8$ अंक शेष हैं।
चरण $3$: शेष $8$ अंकों में से $2$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $^8P_2 = 8 \times 7 = 56$ हैं।
चरण $4$: कुल सम संख्याएँ $= 4 \times 56 = 224$ होंगी।

(D) दिया गया समीकरण: $^nP_5 = 9 \times ^{n-1}P_4$
क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-1)!}{((n-1)-4)!}$
$\frac{n \times (n-1)!}{(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-1)!}{(n-5)!}$
चूंकि $(n-1)!$ और $(n-5)!$ शून्यतर हैं,इसलिए दोनों पक्षों से इन्हें काटने पर:
$n = 9$
अतः,$n$ का मान $9$ है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
हम जानते हैं कि $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ होता है।
विकल्प $A$ में दिए गए व्यंजक पर विचार करें: $^{n-1}{P_r} + r \cdot {^{n-1}}{P_{r-1}}$।
$= \frac{(n-1)!}{(n-1-r)!} + r \cdot \frac{(n-1)!}{(n-1-(r-1))!}$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r \cdot \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left[ 1 + \frac{r}{n-r} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left[ \frac{n-r+r}{n-r} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \cdot \frac{n}{n-r}$
$= \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-r) \cdot (n-r-1)!} = \frac{n!}{(n-r)!} = ^n{P_r}$।

(A) कुल $10$ अंक हैं,जो $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हैं।
$9$ अंकों की भिन्न अंकों वाली संख्या बनाने के लिए,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता।
पहले स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं ($1$ से $9$ तक)।
शेष $8$ स्थानों के लिए,हमें शेष $9$ अंकों में से (जिसमें $0$ शामिल है) $8$ अंक चुनने हैं,जिन्हें $P(9, 8)$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल संख्याएँ = $9 \times P(9, 8) = 9 \times \frac{9!}{(9-8)!} = 9 \times 9!$।
वैकल्पिक रूप से,$10$ में से $9$ अंकों के कुल क्रमचय - ($0$ से शुरू होने वाले क्रमचय):
$= P(10, 9) - P(9, 8) = \frac{10!}{1!} - \frac{9!}{1!} = 10! - 9! = (10 - 1) \times 9! = 9 \times 9!$।

(C) $4$ पासे फेंके जाने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^4 = 1296$ है।
उन परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें कम से कम एक पासा $2$ दर्शाता है,हम कुल परिणामों में से उन परिणामों की संख्या घटाते हैं जिनमें किसी भी पासे पर $2$ नहीं आता है।
यदि किसी भी पासे पर $2$ नहीं आता है,तो प्रत्येक पासा शेष $5$ फलकों $(1, 3, 4, 5, 6)$ में से कोई भी दिखा सकता है।
अतः,उन परिणामों की संख्या जिनमें $2$ नहीं आता है,$5^4 = 625$ है।
इसलिए,कम से कम एक $2$ वाले परिणामों की संख्या $1296 - 625 = 671$ है।

(C) प्रत्येक $4$ पार्सल को $5$ डाकघरों में से किसी एक में भेजा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पार्सल स्वतंत्र है और पंजीकरण के लिए $5$ विकल्प हैं,इसलिए कुल तरीकों की संख्या प्रत्येक पार्सल के विकल्पों को गुणा करके प्राप्त की जाती है।
कुल तरीके = $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.

(A) $5$ अलग-अलग पुरस्कारों में से प्रत्येक पुरस्कार $4$ छात्रों में से किसी को भी दिया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पुरस्कार के लिए $4$ स्वतंत्र विकल्प हैं,इसलिए $5$ पुरस्कारों को वितरित करने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ होंगे।
इस मान की गणना करने पर,$4^5 = 1024$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $1024$ है।

(D) $3$ यात्रियों के $5$ खाली सीटों पर बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम क्रमचय (Permutation) की अवधारणा का उपयोग करते हैं क्योंकि उनके बैठने का क्रम मायने रखता है।
$n$ विभिन्न वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या का सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
यहाँ,$n = 5$ (कुल सीटें) और $r = 3$ (यात्री) हैं।
इसलिए,तरीकों की संख्या $^5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ है।
अतः,यात्रियों के बैठने के कुल $60$ तरीके हैं।

(A) $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)$ द्वारा दिया जाता है।
यह व्यंजक $r! \times \binom{n+r-1}{r}$ के बराबर है।
चूंकि द्विपद गुणांक $\binom{n+r-1}{r}$ हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।

(C) $3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सभी संख्याओं के इकाई स्थान के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए:
$1$. $4$ अलग-अलग अंकों को एक साथ लेकर बनने वाले कुल क्रमचय (permutations) $4! = 24$ हैं।
$2$. यदि हम एक अंक (जैसे $3$) को इकाई स्थान पर स्थिर करते हैं,तो शेष $3$ अंकों को अन्य $3$ स्थानों पर $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3$. इसका अर्थ है कि प्रत्येक अंक $(3, 4, 5, 6)$ इकाई स्थान पर ठीक $6$ बार आता है।
$4$. अतः,इकाई स्थान के अंकों का योग $6 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 6 \times 18 = 108$ है।

(A) सिक्कों की कुल संख्या $6$ है।
पट की संख्या और चित की संख्या बराबर होने के लिए,हमारे पास $3$ चित और $3$ पट होने चाहिए।
चूंकि सिक्के समान हैं,इसलिए $3$ चित और $3$ पट को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या मल्टीसेट के क्रमचय के सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{n!}{n_1! n_2!} = \frac{6!}{3! 3!}$।
इसकी गणना करने पर: $\frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$।
अतः,कुल $20$ तरीके हैं।

(C) अंकों ${4, 5, 6, 7, 8}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली $5$ अंकों की कुल संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
$56000$ से बड़ी संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम कुल संख्याओं में से $56000$ या उससे छोटी संख्याओं को घटाते हैं।
$4$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ऐसी $4! = 24$ संख्याएँ हैं।
$54$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ऐसी $3! = 6$ संख्याएँ हैं।
$55$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: संभव नहीं है क्योंकि अंक अलग-अलग हैं।
$56000$ से छोटी संख्याएँ वे हैं जो $4$ से शुरू होती हैं ($24$ संख्याएँ) और जो $54$ से शुरू होती हैं ($6$ संख्याएँ)।
$56000$ से छोटी कुल संख्याएँ = $24 + 6 = 30$.
$56000$ से बड़ी आवश्यक संख्याएँ = $120 - 30 = 90$.

(C) मान लीजिए कि दो लड़के $A$ और $B$ हैं।
स्थिति $1$: लड़के $A$ को $2$ गेंदें मिलती हैं और लड़के $B$ को $8$ गेंदें मिलती हैं। लड़के $A$ के लिए $10$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ है।
स्थिति $2$: लड़के $A$ को $8$ गेंदें मिलती हैं और लड़के $B$ को $2$ गेंदें मिलती हैं। लड़के $A$ के लिए $10$ में से $8$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!2!} = 45$ है।
चूंकि ये दो अलग-अलग स्थितियां हैं,इसलिए कुल तरीकों की संख्या $45 + 45 = 90$ होगी।

(A) $4$ भिन्न अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $4$ अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $4! = 24$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर समान संख्या में आता है,जो $24 / 4 = 6$ बार है।
दिए गए अंकों का योग $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ है।
किसी भी स्थान पर अंकों का योग $6 \times 20 = 120$ होता है।
अतः,ऐसी सभी संख्याओं का योग $120 \times 1 + 120 \times 10 + 120 \times 100 + 120 \times 1000$ है।
$= 120(1 + 10 + 100 + 1000) = 120 \times 1111 = 133320$।

(A) ग्रामीण व्यक्ति के पास गाँव से शहर जाने के लिए $5$ विकल्प हैं।
चूँकि ग्रामीण व्यक्ति $5$ सड़कों में से किसी भी सड़क से वापस आ सकता है,इसलिए वापसी की यात्रा के लिए भी $5$ विकल्प हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,दोनों कार्यों (जाने और आने) को करने के कुल तरीकों की संख्या प्रत्येक कार्य को करने के तरीकों की संख्या का गुणनफल है।
कुल तरीके = $5 \times 5 = 25$।

(D) $5$ अलग-अलग परीक्षा पत्रों की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ है।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें भौतिकी और रसायन विज्ञान के पेपर कभी एक साथ न आएं,हम पहले उन तरीकों की गणना करते हैं जिनमें वे एक साथ आते हैं।
भौतिकी और रसायन विज्ञान के पत्रों को एक इकाई के रूप में मानें। अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं (भौतिकी-रसायन विज्ञान की एक इकाई + शेष $3$ पेपर),जिसे $4!$ तरीकों से किया जा सकता है।
उस एक इकाई के भीतर,भौतिकी और रसायन विज्ञान के पत्रों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,उन व्यवस्थाओं की संख्या जिनमें वे एक साथ आते हैं,$4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ है।
वे तरीके जिनमें वे कभी एक साथ नहीं आते,कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं को घटाने पर प्राप्त होते हैं जिनमें वे एक साथ हैं: $120 - 48 = 72$।

(B) प्रथम पुरस्कार $5$ प्रतियोगियों में से किसी को भी $5$ तरीकों से दिया जा सकता है।
प्रथम पुरस्कार दिए जाने के बाद,द्वितीय पुरस्कार शेष $4$ प्रतियोगियों में से किसी को भी $4$ तरीकों से दिया जा सकता है।
अंत में,तृतीय पुरस्कार शेष $3$ प्रतियोगियों में से किसी को भी $3$ तरीकों से दिया जा सकता है।
चूंकि एक प्रतियोगी को एक से अधिक पुरस्कार नहीं मिल सकता है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या इन विकल्पों के गुणनफल द्वारा प्राप्त की जाती है।
कुल तरीके $= 5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीके।

(B) $3$ अंकों की संख्या में तीन स्थान होते हैं: सैकड़ा,दहाई और इकाई।
संख्या के विषम होने के लिए,इकाई के स्थान को दिए गए समुच्चय ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ में से किसी एक विषम अंक से भरा जाना चाहिए। उपलब्ध विषम अंक ${1, 3, 5}$ हैं। अतः,इकाई का स्थान $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चूँकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,सैकड़े के स्थान को ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ के किसी भी $6$ अंकों से भरा जा सकता है,जो $6$ तरीके देता है।
दहाई के स्थान को भी ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ के किसी भी $6$ अंकों से भरा जा सकता है,जो $6$ तरीके देता है।
गणना के मूलभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए,ऐसी विषम संख्याओं की कुल संख्या $= 6 \times 6 \times 3 = 108$ है।

(A) दिए गए अंक $2, 0, 4, 3, 8$ हैं। कुल $5$ भिन्न अंक हैं।
पाँच अंकों की संख्या में दस हजार के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता है।
$5$ अंकों को एक साथ लेकर बनने वाले कुल क्रमचय $5! = 120$ हैं।
वे क्रमचय जिनमें $0$ दस हजार के स्थान पर है (प्रथम स्थान पर $0$ को निश्चित करके,शेष $4$ अंकों को शेष $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने पर) उनकी संख्या $4! = 24$ है।
अतः,पाँच अंकों की कुल संख्याएँ जो बनाई जा सकती हैं,वे $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ हैं।

(C) क्रमचय (Permutation) का सूत्र $^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ होता है।
दिया गया है कि $^{12}P_r = 1320$ है।
हम इसे $12 \times 11 \times 10 = 1320$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $12 \times 11 \times 10$,$12$ से शुरू होने वाले $3$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह $^{12}P_3$ के बराबर है।
अतः,$^{12}P_r$ की तुलना $^{12}P_3$ से करने पर,हमें $r = 3$ प्राप्त होता है।

(A) $n$-अंकीय संख्या के लिए,पहला अंक (सबसे बाईं ओर के स्थान पर) $1$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है (क्योंकि यह $0$ नहीं हो सकता)। अतः,पहले अंक के लिए $9$ विकल्प हैं।
दूसरे अंक के लिए,यह $0$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,सिवाय उस अंक के जो पहले स्थान पर उपयोग किया गया है। अतः,दूसरे अंक के लिए $9$ विकल्प हैं।
तीसरे अंक के लिए,यह $0$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,सिवाय उस अंक के जो दूसरे स्थान पर उपयोग किया गया है। अतः,तीसरे अंक के लिए $9$ विकल्प हैं।
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,$n$-वें अंक तक के प्रत्येक स्थान के लिए हमेशा $9$ विकल्प उपलब्ध होते हैं क्योंकि प्रत्येक अंक को केवल अपने ठीक पहले वाले अंक से भिन्न होना चाहिए।
इसलिए,कुल $n$-अंकीय संख्याओं की संख्या $9 \times 9 \times 9 \times \dots \times 9$ ($n$ बार) होगी,जो $9 \times 9^{n-1}$ के बराबर है।

(C) $SALOON$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जिसमें $O$ दो बार आता है।
$SALOON$ शब्द के अक्षरों के कुल विन्यासों की संख्या $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।
उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें दोनों $O$ एक साथ आते हैं,हम दोनों $O$ को एक इकाई $(OO)$ के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $S, A, L, N, (OO)$।
इन $5$ इकाइयों के विन्यासों की संख्या $5! = 120$ है।
अतः,उन विन्यासों की संख्या जिनमें दोनों $O$ एक साथ नहीं आते हैं,कुल विन्यासों में से एक साथ आने वाले विन्यासों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$360 - 120 = 240$।

(A) $MAXIMUM$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $M, A, X, I, M, U, M$।
व्यंजन $M, X, M, M$ ($4$ अक्षर) हैं और स्वर $A, I, U$ ($3$ अक्षर) हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो व्यंजन एक साथ न आएं,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$3$ स्वरों $(A, I, U)$ को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
ये $3$ स्वर $4$ संभावित गैप बनाते हैं: $\_ V \_ V \_ V \_$।
हमें $4$ व्यंजनों $(M, X, M, M)$ को इन $4$ गैप में रखना है।
$4$ व्यंजनों को $4$ गैप में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{3!}$ हैं (क्योंकि $M$ तीन बार दोहराया गया है)।
कुल शब्दों की संख्या = (स्वरों की व्यवस्था) $\times$ (गैप में व्यंजनों की व्यवस्था)
$= 3! \times \frac{4!}{3!} = 4! = 24$।

(B) $n$ पुस्तकों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n!$ हैं।
यदि दो विशिष्ट पुस्तकें हमेशा एक साथ हों,तो हम उन्हें एक इकाई के रूप में मान सकते हैं। इससे हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $(n - 1)$ इकाइयाँ बचती हैं,जिन्हें $(n - 1)!$ तरीकों से किया जा सकता है।
उस एक इकाई के भीतर,दो विशिष्ट पुस्तकों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,दो विशिष्ट पुस्तकों के हमेशा एक साथ होने के तरीकों की संख्या $2 \times (n - 1)!$ है।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें दो विशिष्ट पुस्तकें एक साथ नहीं हैं,हम कुल व्यवस्थाओं में से उन तरीकों को घटाते हैं जिनमें वे एक साथ हैं:
आवश्यक तरीके $= n! - 2(n - 1)!$
$= n \times (n - 1)! - 2(n - 1)!$
$= (n - 1)! (n - 2)$.

(A) $500$ और $600$ के बीच की संख्या बनाने के लिए,सैकड़े के स्थान पर अंक $5$ होना अनिवार्य है।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती,इसलिए हमने सैकड़े के स्थान को $5$ से निश्चित कर दिया है।
शेष उपलब्ध अंक ${1, 2, 3, 4, 6}$ हैं,जो हमें $5$ विकल्प देते हैं।
हमें इन $5$ शेष अंकों का उपयोग करके दहाई और इकाई के स्थान को भरना है।
$5$ में से $2$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ और $r = 2$ है,इसलिए $^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20$।
अतः,ऐसी कुल $20$ संख्याएँ संभव हैं।

(B) चूँकि संख्याएँ $1000$ और $4000$ के बीच हैं,इसलिए वे $4$ अंकों की संख्याएँ होंगी।
माना $4$ अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ है।
संख्या के $1000$ से अधिक और $4000$ के बराबर या उससे कम होने के लिए,पहला अंक $d_1$,$1, 2, 3,$ या $4$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $d_1 = 1, 2,$ या $3$ है,तो शेष तीन स्थानों $(d_2, d_3, d_4)$ में से प्रत्येक को $5$ अंकों $(0, 1, 2, 3, 4)$ में से किसी भी अंक द्वारा $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
ऐसी संख्याओं की कुल संख्या = $3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$ है।
हालाँकि,इसमें $1000$ शामिल है (जहाँ $d_1=1, d_2=0, d_3=0, d_4=0$)। चूँकि प्रश्न में $1000$ से बड़ी संख्याएँ पूछी गई हैं,इसलिए हमें $1000$ को घटाना होगा।
अतः,कुल संख्या = $375 - 1 = 374$ है।
स्थिति $2$: यदि $d_1 = 4$ है,तो केवल $4000$ ही संभव है क्योंकि $4000$ से बड़ी कोई भी संख्या इस शर्त को पूरा नहीं करेगी।
अतः,$4000$ के लिए $1$ जोड़ने पर,कुल संख्या = $374 + 1 = 375$ है।

(B) दिए गए अंक $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ हैं। कुल $7$ अंक हैं।
विषम अंक $1, 3, 3, 1$ हैं (कुल $4$ अंक)।
सम अंक $2, 4, 2$ हैं (कुल $3$ अंक)।
विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ हैं (कुल $4$ स्थान)।
सम स्थान $2, 4, 6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
चूँकि विषम अंकों को विषम स्थानों पर ही होना चाहिए,इसलिए $1, 3, 3, 1$ को $4$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ है।
अब,सम अंकों $2, 4, 2$ को $3$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
अतः,कुल संख्याएँ = $6 \times 3 = 18$।

(C) चरण $1$: $5$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। $5$ लड़कों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
चरण $2$: यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें,हम लड़कियों को लड़कों द्वारा बनाई गई रिक्त जगहों में बैठाएंगे। $5$ लड़कों के साथ,कुल $6$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) उपलब्ध हैं जहाँ $3$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है।
चरण $3$: इन $6$ रिक्त स्थानों में $3$ लड़कियों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^6P_3$ द्वारा दी जाती है।
चरण $4$: कुल तरीकों की संख्या लड़कों की व्यवस्था और लड़कियों की व्यवस्था का गुणनफल है: $5! \times ^6P_3$।

(A) $1000$ से छोटी संख्याएँ $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय हो सकती हैं।
$1$-अंकीय संख्याएँ: हम $6$ अंकों में से कोई भी एक चुन सकते हैं। तरीकों की संख्या $= ^6P_1 = 6$.
$2$-अंकीय संख्याएँ: हम $6$ में से $2$ अंक चुन सकते हैं जहाँ क्रम महत्वपूर्ण है। तरीकों की संख्या $= ^6P_2 = 6 \times 5 = 30$.
$3$-अंकीय संख्याएँ: हम $6$ में से $3$ अंक चुन सकते हैं जहाँ क्रम महत्वपूर्ण है। तरीकों की संख्या $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
कुल संख्याएँ $= 6 + 30 + 120 = 156$.

(A) $COURTESY$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $C, O, U, R, T, E, S, Y$.
हमें ऐसे शब्द बनाने हैं जिनका पहला अक्षर $C$ और अंतिम अक्षर $Y$ हो।
पहले स्थान पर $C$ और अंतिम स्थान पर $Y$ को निश्चित करने के बाद,बीच के स्थानों के लिए $8 - 2 = 6$ अक्षर शेष बचते हैं।
इन $6$ शेष अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $6!$ है।
अतः,कुल शब्दों की संख्या $6!$ है।

(B) $DELHI$ शब्द में $5$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, E, L, H, I$।
चूंकि $L$ अक्षर को मध्य स्थान पर स्थिर रखना है,इसलिए $5$ में से $1$ स्थान भर गया है।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अक्षरों $(D, E, H, I)$ द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$।
अतः,कुल बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या $24$ है।

(B) $3, 4, 7$ (प्रत्येक एक बार) और $5$ (दो बार) अंकों का उपयोग करके $5$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें अंकों के समूह ${3, 4, 7, 5, 5}$ को व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।
जब $n$ वस्तुओं में से $n_1$ वस्तुएँ एक प्रकार की,$n_2$ वस्तुएँ दूसरे प्रकार की हों,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,कुल अंकों की संख्या $n = 5$ है।
अंक $5$ दो बार दोहराया गया है,इसलिए $n_1 = 2$ है।
अंक $3, 4$ और $7$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ है।

(B) प्रत्येक $3$ पत्रों को $4$ लेटर-बॉक्स में से किसी में भी डाला जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पत्र के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए $3$ पत्रों को $4$ लेटर-बॉक्स में डालने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ हैं।
हालाँकि,शर्त यह है कि सभी पत्र एक ही लेटर-बॉक्स में नहीं डाले जाने चाहिए।
ऐसे $4$ मामले हैं जिनमें तीनों पत्र एक ही बॉक्स में डाले जाते हैं (अर्थात,सभी बॉक्स $1$ में,सभी बॉक्स $2$ में,सभी बॉक्स $3$ में,या सभी बॉक्स $4$ में)।
इसलिए,आवश्यक तरीकों की संख्या $64 - 4 = 60$ है।

(D) $0, 1, 2, ..., 9$ अंकों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $5$ अंकों के कुल टेलीफोन नंबरों की संख्या $10^5 = 100000$ है (क्योंकि प्रत्येक $5$ स्थानों में से किसी भी स्थान पर $10$ में से कोई भी अंक आ सकता है)।
$5$ अंकों के ऐसे टेलीफोन नंबर जिनमें कोई भी अंक दोहराया नहीं जाता है,उनकी संख्या क्रमचय (permutation) के सूत्र $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ द्वारा दी जाती है।
कम से कम एक अंक की पुनरावृत्ति वाले टेलीफोन नंबरों की संख्या ज्ञात करने के लिए,कुल टेलीफोन नंबरों में से उन नंबरों को घटाना होगा जिनमें कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है।
अभीष्ट संख्या $= 100000 - 30240 = 69760$।

(C) $MATHEMATICS$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है:
$M$ दो बार आता है।
$A$ दो बार आता है।
$T$ दो बार आता है।
$H, E, I, C, S$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
जब $n$ वस्तुओं में से कुछ वस्तुएं समान हों,तो क्रमचय (permutations) की संख्या का सूत्र $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ होता है।
यहाँ $n = 11$,$n_1 = 2$ ($M$ के लिए),$n_2 = 2$ ($A$ के लिए),और $n_3 = 2$ ($T$ के लिए) है।
अतः,आवश्यक शब्दों की संख्या = $\frac{11!}{2! 2! 2!}$ होगी।

(B) $CALCUTTA$ शब्द में कुल $8$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है:
$C$ दो बार आता है।
$A$ दो बार आता है।
$L$ एक बार आता है।
$U$ एक बार आता है।
$T$ दो बार आता है।
कुल अक्षर $n = 8$ हैं।
विन्यासों की संख्या = $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} = \frac{8!}{2! 2! 2!} = \frac{40320}{2 \times 2 \times 2} = \frac{40320}{8} = 5040$.

(A) $99$ और $1000$ के बीच की सभी संख्याएँ $3$ अंकों की होती हैं।
हमारे पास $6$ अंक उपलब्ध हैं: ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$।
$3$ अंकों की संख्या में सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता है।
$6$ में से $3$ अंकों को चुनकर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ हैं।
हालाँकि,हमें उन मामलों को बाहर करना होगा जिनमें सैकड़े के स्थान पर $0$ है। यदि सैकड़े के स्थान पर $0$ निश्चित है,तो हमें शेष $5$ अंकों में से $2$ अंकों को दहाई और इकाई के स्थान पर व्यवस्थित करना होगा। यह तरीके $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ हैं।
अतः,कुल मान्य $3$ अंकों की संख्याएँ $120 - 20 = 100$ होंगी।

(B) मान लीजिए $10$ जानवर $A_1, A_2, \dots, A_{10}$ हैं और $10$ पिंजरे $C_1, C_2, \dots, C_{10}$ हैं।
मान लीजिए $C_1, C_2, C_3, C_4$ वे $4$ छोटे पिंजरे हैं।
मान लीजिए $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ वे $5$ जानवर हैं जो छोटे पिंजरों में प्रवेश नहीं कर सकते।
इन $5$ जानवरों को शेष $6$ पिंजरों $(C_5, C_6, C_7, C_8, C_9, C_{10})$ में रखा जाना चाहिए।
इन $5$ जानवरों को $6$ पिंजरों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6! = 720$ है।
इन $5$ जानवरों को रखने के बाद, हमारे पास $5$ जानवर और $5$ पिंजरे शेष बचते हैं ($4$ छोटे पिंजरे और $6$ बड़े पिंजरों में से बचा हुआ $1$ पिंजरा)।
शेष $5$ जानवरों को शेष $5$ पिंजरों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
अतः, कुल तरीकों की संख्या = $^6P_5 \times 5! = 720 \times 120 = 86400$।

(B) $COMMITTEE$ शब्द में कुल $9$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है:
$C: 2$
$O: 1$
$M: 2$
$I: 1$
$T: 2$
$E: 1$
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ...}$
यहाँ,$n = 9$,$n_1 = 2$ ($C$ के लिए),$n_2 = 2$ ($M$ के लिए),और $n_3 = 2$ ($T$ के लिए)।
अतः,कुल शब्दों की संख्या = $\frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{9!}{(2!)^3}$।