$ALLAHABAD$ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

$2$ महिलाओं,$2$ वृद्ध पुरुषों और $4$ युवा पुरुषों में से $4$ व्यक्तियों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि इसमें कम से कम $1$ महिला,कम से कम $1$ वृद्ध पुरुष और अधिक से अधिक $2$ युवा पुरुष हों। तो इस समिति को बनाने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

यदि $^{n^2 - n}C_2 = ^{n^2 - n}C_{10}$ है,तो $n = $

$25$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है,यदि उनमें से $6$ को हमेशा शामिल किया जाना है और $5$ को हमेशा बाहर रखा जाना है?

एक परीक्षा में $6$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। यदि पहले तीन प्रश्नों में से प्रत्येक के $4$ विकल्प हैं और अगले तीन प्रश्नों में से प्रत्येक के $5$ विकल्प हैं,तो उत्तरों के कितने अनुक्रम संभव हैं?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $4$ और $2$ अवयव हैं। तो समुच्चय $A \times B$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें कम से कम $3$ अवयव हों: