logarithm Questions in Gujarati

(B) આપણને આપેલ છે કે $\log _{10} 2986 = 3.4751$.
આપણે $\log _{10} 0.02986$ શોધવાનું છે.
$\log _{10} 0.02986 = \log _{10} \left( \frac{2986}{10^5} \right)$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \log _{10} 2986 - \log _{10} 10^5$
$= 3.4751 - 5$
$= -1.5249$
પૂર્ણાંશ અને અપૂર્ણાંશ સ્વરૂપમાં,$-1.5249 = -2 + 0.4751 = \overline{2}.4751$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log (2 a-3 b)=\log a-\log b$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log x - \log y = \log (x/y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log (2 a-3 b)=\log (a/b)$
બંને બાજુ એન્ટિ-લોગ લેતા:
$2 a-3 b = a/b$
બંને બાજુ $b$ વડે ગુણતા:
$2 a b - 3 b^{2} = a$
$a$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2 a b - a = 3 b^{2}$
$a(2 b-1) = 3 b^{2}$
તેથી,$a = \frac{3 b^{2}}{2 b-1}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log (x-y) - \log 5 - \frac{1}{2} \log x - \frac{1}{2} \log y = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\log (x-y) = \log 5 + \frac{1}{2} (\log x + \log y)$
લઘુગણકના ગુણધર્મો $\log a + \log b = \log (ab)$ અને $n \log a = \log (a^n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log (x-y) = \log 5 + \log (xy)^{1/2}$
$\log (x-y) = \log (5 \sqrt{xy})$
બંને બાજુ એન્ટિલોગ લેતા: $x-y = 5 \sqrt{xy}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-y)^2 = (5 \sqrt{xy})^2$
$x^2 - 2xy + y^2 = 25xy$
$x^2 + y^2 = 27xy$
બંને બાજુ $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{27xy}{xy}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 27$

(B) આપેલ છે કે $\frac{\log x}{3} = \frac{\log y}{4} = \frac{\log z}{5} = k$.
આના પરથી,આપણે લઘુગણકને નીચે મુજબ દર્શાવી શકીએ:
$\log x = 3k$,$\log y = 4k$,અને $\log z = 5k$.
આપણે $zx$ ની કિંમત શોધવી છે. લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\log(zx) = \log z + \log x$.
$k$ ના સ્વરૂપમાં કિંમતો મૂકતા:
$\log(zx) = 5k + 3k = 8k$.
કારણ કે $\log y = 4k$,આપણે $8k = 2(4k) = 2 \log y$ લખી શકીએ.
લઘુગણકના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2 \log y = \log(y^2)$.
તેથી,$\log(zx) = \log(y^2)$,જેનો અર્થ છે કે $zx = y^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3+\log _{5} x=2 \log _{25} y$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log _{25} y = \frac{\log _{5} y}{\log _{5} 25} = \frac{\log _{5} y}{2}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $3+\log _{5} x = 2 \cdot \frac{\log _{5} y}{2}$.
આથી સાદું રૂપ મળે છે: $3+\log _{5} x = \log _{5} y$.
આપણે $3$ ને $\log _{5} 125$ તરીકે લખી શકીએ,તેથી: $\log _{5} 125 + \log _{5} x = \log _{5} y$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log _{5}(125x) = \log _{5} y$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $125x = y$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y}{125}$.

(D) ધારો કે $\frac{\log _{2} a}{2}=\frac{\log _{3} b}{3}=\frac{\log _{4} c}{4}=k$.
આના પરથી,આપણને $\log _{2} a = 2k \Rightarrow a = 2^{2k}$,$\log _{3} b = 3k \Rightarrow b = 3^{3k}$,અને $\log _{4} c = 4k \Rightarrow c = 4^{4k}$ મળે છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $a^{1/2} \cdot b^{1/3} \cdot c^{1/4} = 24$ માં મૂકતા:
$(2^{2k})^{1/2} \cdot (3^{3k})^{1/3} \cdot (4^{4k})^{1/4} = 24$
$2^k \cdot 3^k \cdot 4^k = 24$
$(2 \cdot 3 \cdot 4)^k = 24$
$24^k = 24^1 \Rightarrow k = 1$.
હવે,$k=1$ ને $a, b,$ અને $c$ ના પદોમાં મૂકતા:
$a = 2^{2(1)} = 4$
$b = 3^{3(1)} = 27$
$c = 4^{4(1)} = 256$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $c=256$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{\log _{2} x}{3}=\frac{\log _{2} y}{4}=\frac{\log _{2} z}{5 k} = \lambda$.
તેથી $\log _{2} x = 3\lambda$,$\log _{2} y = 4\lambda$,અને $\log _{2} z = 5k\lambda$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{z}{x^{3} y^{4}}=1$,બંને બાજુ $\log _{2}$ લેતા:
$\log _{2} z - \log _{2} (x^{3} y^{4}) = \log _{2} 1$
$\log _{2} z - 3 \log _{2} x - 4 \log _{2} y = 0$.
$\log _{2} x, \log _{2} y, \log _{2} z$ ની કિંમતો મૂકતા:
$5k\lambda - 3(3\lambda) - 4(4\lambda) = 0$
$5k\lambda - 9\lambda - 16\lambda = 0$
$5k\lambda - 25\lambda = 0$
અહીં $\lambda \neq 0$ હોવાથી,$5k - 25 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $k = 5$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{3 + \log_{10} 343}{2 + \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{49}{4}\right) + \frac{1}{3} \log_{10} \left(\frac{1}{125}\right)}$
અંશ: $3 + \log_{10} 7^3 = 3 + 3 \log_{10} 7 = 3(1 + \log_{10} 7) = 3(\log_{10} 10 + \log_{10} 7) = 3 \log_{10} 70$.
છેદ: $2 + \log_{10} \left(\frac{49}{4}\right)^{1/2} + \log_{10} \left(\frac{1}{125}\right)^{1/3} = 2 + \log_{10} \left(\frac{7}{2}\right) + \log_{10} \left(\frac{1}{5}\right)$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ થશે: $2 + \log_{10} \left(\frac{7}{2} \times \frac{1}{5}\right) = 2 + \log_{10} \left(\frac{7}{10}\right)$.
કારણ કે $2 = \log_{10} 100$,છેદ થશે: $\log_{10} 100 + \log_{10} 0.7 = \log_{10} (100 \times 0.7) = \log_{10} 70$.
આમ,$E = \frac{3 \log_{10} 70}{\log_{10} 70} = 3$.

(C) ધારો કે દરેક ગુણોત્તર એક અચળાંક $k$ બરાબર છે.
તેથી,$\log x = k(a^2 + ab + b^2)$,$\log y = k(b^2 + bc + c^2)$,અને $\log z = k(c^2 + ca + a^2)$.
પ્રથમ સમીકરણને $(a-b)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$(a-b) \log x = k(a-b)(a^2 + ab + b^2) = k(a^3 - b^3)$.
આમ,$\log x^{a-b} = k(a^3 - b^3)$.
તે જ રીતે,$(b-c) \log y = k(b^3 - c^3)$ અને $(c-a) \log z = k(c^3 - a^3)$.
હવે,ધારો કે $E = x^{a-b} \cdot y^{b-c} \cdot z^{c-a}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log E = \log x^{a-b} + \log y^{b-c} + \log z^{c-a}$
$\log E = k(a^3 - b^3) + k(b^3 - c^3) + k(c^3 - a^3)$
$\log E = k(a^3 - b^3 + b^3 - c^3 + c^3 - a^3) = k(0) = 0$.
કારણ કે $\log E = 0$,તેથી $E = 10^0 = 1$ અથવા $E = e^0 = 1$.
તેથી,$x^{a-b} \cdot y^{b-c} \cdot z^{c-a} = 1$.

(C) આપેલ છે કે $3^{x-2} = 5$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$(x-2) \log_{10} 3 = \log_{10} 5$
કારણ કે $\log_{10} 5 = \log_{10} (10/2) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.30103 = 0.69897$.
તેથી,$(x-2) (0.4771) = 0.69897$.
$x-2 = \frac{0.69897}{0.4771} = 1.465038...$
$x = 2 + 1.465038 = 3.465038$.
અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરતા: $3 \frac{22187}{47710} = 3 + \frac{22187}{47710} \approx 3 + 0.465038 = 3.465038$.
આમ,$x = 3 \frac{22187}{47710}$.

(D) ધારો કે $x = (648)^{5}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log x = 5 \log (648)$ મળે.
કારણ કે $648 = 2^3 \times 3^4$,તેથી $\log x = 5 \log (2^3 \times 3^4)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log x = 5 (3 \log 2 + 4 \log 3)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\log x = 5 (3 \times 0.30103 + 4 \times 0.4771)$.
$\log x = 5 (0.90309 + 1.9084) = 5 (2.81149) = 14.05745$.
કોઈપણ સંખ્યા $x$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} x \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\lfloor 14.05745 \rfloor + 1 = 14 + 1 = 15$.
તેથી,$(648)^{5}$ માં અંકોની સંખ્યા $15$ છે.

(C) ધારો કે $\frac{\log x}{1} = \frac{\log y}{2} = \frac{\log z}{5} = k$.
તેથી,$\log x = k$,$\log y = 2k$,અને $\log z = 5k$ થાય.
આપણે $x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદનો લઘુગણક (logarithm) લેતા:
$\log(x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2}) = 4 \log x + 3 \log y - 2 \log z$.
$\log x, \log y,$ અને $\log z$ ની કિંમતો $k$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$= 4(k) + 3(2k) - 2(5k)$
$= 4k + 6k - 10k$
$= 10k - 10k = 0$.
તેથી,$\log(x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2}) = 0$ હોવાથી,$x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2} = 10^{0} = 1$ મળે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\log \sqrt{27}+\log \sqrt{1000}+\log 8}{\log 120}$
પગલું $1$: અંશના પદોનું સાદું રૂપ આપો.
$\log \sqrt{27} = \log (3^3)^{1/2} = \frac{3}{2} \log 3$
$\log \sqrt{1000} = \log (10^3)^{1/2} = \frac{3}{2} \log 10$
$\log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 = \frac{3}{2} \log 2^2 = \frac{3}{2} \log 4$
પગલું $2$: આ કિંમતોને અંશમાં મૂકો.
અંશ $= \frac{3}{2} \log 3 + \frac{3}{2} \log 10 + \frac{3}{2} \log 4 = \frac{3}{2} (\log 3 + \log 10 + \log 4)$
પગલું $3$: $\log a + \log b + \log c = \log (a \cdot b \cdot c)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
અંશ $= \frac{3}{2} \log (3 \cdot 10 \cdot 4) = \frac{3}{2} \log 120$
પગલું $4$: છેદ વડે ભાગાકાર કરો.
$\frac{\frac{3}{2} \log 120}{\log 120} = \frac{3}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ $y = \frac{10^{\log_{10} x}}{x^2}$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $10^{\log_{10} x} = x$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $y = \frac{x}{x^2}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y = \frac{1}{x}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{y} = y^{-1}$.
આપેલ છે કે $x = y^a$,તેથી ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા આપણને $a = -1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \log_{4/3}(1/2)$. અહીં આધાર $4/3 > 1$ છે અને સંખ્યા $1/2 < 1$ છે,તેથી $x$ ની કિંમત ઋણ છે $(x < 0)$.
આપેલ છે કે $y = \log_{1/2}(1/3)$. લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \log_{2^{-1}} (3^{-1}) = \frac{-1}{-1} \log_2 3 = \log_2 3$ મળે છે. અહીં આધાર $2 > 1$ છે અને સંખ્યા $3 > 1$ છે,તેથી $y$ ની કિંમત ધન છે $(y > 0)$.
આમ,$x < 0$ અને $y > 0$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $x < y$.