अपरिमेय संख्याओं $\sqrt{2}$ और $\sqrt{5}$ के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

दो अपरिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{a \cdot b}$,$\sqrt{a \cdot \sqrt{a \cdot b}}$ आदि के रूप का उपयोग कर सकते हैं,या ऐसी संख्याएँ ढूँढ सकते हैं जिनका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) हो।
$1$. पहली संख्या: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{10}} = 10^{\frac{1}{4}} \approx 1.778$.
$2$. दूसरी संख्या: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot 10^{\frac{1}{4}}} = (2^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 10^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \approx 1.682$.
$3$. तीसरी संख्या: $\sqrt{10^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5}} = (10^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{3}{8}} \approx 1.880$.
ये मान $\sqrt{2} \approx 1.414$ और $\sqrt{5} \approx 2.236$ के बीच स्थित हैं।