Mix Examples - Number Systems Questions in Hindi

(A) $625^{\frac{3}{4}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले $625$ को $5$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
चूँकि $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$,इसलिए हम $625 = 5^{4}$ लिख सकते हैं।
अब,इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $625^{\frac{3}{4}} = (5^{4})^{\frac{3}{4}}$.
घात के घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $5^{4 \times \frac{3}{4}}$ प्राप्त होता है।
घातांक को सरल करने पर,$4 \times \frac{3}{4} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $5^{3}$ हो जाता है।
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$ की गणना करने पर उत्तर $125$ प्राप्त होता है।

(B) $64^{\frac{5}{6}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले $64$ को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम जानते हैं कि $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$64^{\frac{5}{6}} = (2^{6})^{\frac{5}{6}}$.
घातांक के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हम घातों का गुणा करते हैं:
$2^{6 \times \frac{5}{6}} = 2^{5}$.
अंत में,$2^{5}$ की गणना करने पर:
$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\left(\frac{125}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}$
सबसे पहले,ऋणात्मक घातांक को हटाने के लिए $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं:
$\left(\frac{64}{125}\right)^{\frac{2}{3}}$
इसके बाद,$64$ को $4^3$ और $125$ को $5^3$ के रूप में व्यक्त करते हैं:
$\left(\frac{4^3}{5^3}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\left(\frac{4}{5}\right)^3\right)^{\frac{2}{3}}$
घातांक नियम $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ का उपयोग करते हुए:
$\left(\frac{4}{5}\right)^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \left(\frac{4}{5}\right)^2$
अंत में,वर्ग की गणना करते हैं:
$\frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

(A) दिया गया व्यंजक: $(343)^{-\frac{2}{3}}$
हम जानते हैं कि $343 = 7^3$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $(7^3)^{-\frac{2}{3}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $7^{3 \times (-\frac{2}{3})}$
$= 7^{-2}$
$= \frac{1}{7^2}$
$= \frac{1}{49}$

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(625)^{-\frac{3}{4}}$
हम जानते हैं कि $625 = 5^4$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $(5^4)^{-\frac{3}{4}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5^{4 \times (-\frac{3}{4})}$
$= 5^{-3}$
$= \frac{1}{5^3}$
$= \frac{1}{125}$

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\sqrt[5]{(243)^{-3}}$ है।
हम जानते हैं कि $243 = 3^5$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $\sqrt[5]{(3^5)^{-3}}$।
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें $(3^5)^{-3} = 3^{-15}$ प्राप्त होता है।
अब,अभिव्यक्ति $\sqrt[5]{3^{-15}}$ हो जाती है।
करणी नियम $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ का उपयोग करने पर,हमें $(3^{-15})^{1/5} = 3^{-15 \times 1/5} = 3^{-3}$ प्राप्त होता है।
$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$।

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{(25)^{\frac{3}{2}} \times (243)^{\frac{3}{5}}}{(16)^{\frac{5}{4}} \times (8)^{\frac{4}{3}}}$
चरण $1$: प्रत्येक आधार को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घात के रूप में लिखें।
$25 = 5^2$,$243 = 3^5$,$16 = 2^4$,$8 = 2^3$.
चरण $2$: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$= \frac{(5^2)^{\frac{3}{2}} \times (3^5)^{\frac{3}{5}}}{(2^4)^{\frac{5}{4}} \times (2^3)^{\frac{4}{3}}}$
चरण $3$: घात का नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ लागू करें:
$= \frac{5^{2 \times \frac{3}{2}} \times 3^{5 \times \frac{3}{5}}}{2^{4 \times \frac{5}{4}} \times 2^{3 \times \frac{4}{3}}}$
$= \frac{5^3 \times 3^3}{2^5 \times 2^4}$
चरण $4$: घातों को सरल करें:
$= \frac{125 \times 27}{2^{5+4}}$
$= \frac{3375}{2^9}$
$= \frac{3375}{512}$

(D) चरण $1$: प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करें।
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$
चरण $2$: $(0.01)^{-\frac{1}{2}}$ को सरल करें।
$(0.01)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} = (100)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$
चरण $3$: $(27)^{\frac{2}{3}}$ को सरल करें।
$(27)^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$
चरण $4$: परिणामों को संयोजित करें।
$0.125 + 10 - 9 = 0.125 + 1 = 1.125$
अतः,सरल मान $1.125$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $125^{x} = \frac{25}{5^{x}}$
सभी पदों को आधार $5$ में व्यक्त करें:
$(5^{3})^{x} = \frac{5^{2}}{5^{x}}$
घात के घात नियम $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ का उपयोग करते हुए:
$5^{3x} = 5^{2} \cdot 5^{-x}$
गुणन नियम $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$5^{3x} = 5^{2-x}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करें:
$3x = 2 - x$
$3x + x = 2$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(A) दिया गया है कि $a = \frac{\sqrt{5}}{8}$।
हमें समीकरण $\frac{8}{a} = b \sqrt{5}$ दिया गया है।
समीकरण में $a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{8}{\frac{\sqrt{5}}{8}} = b \sqrt{5}$
$8 \times \frac{8}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$\frac{64}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$b$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{5}}$ से गुणा करने पर:
$b = \frac{64}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$
$b = \frac{64}{5}$।

(C) दिया गया समीकरण: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 36$
हम जानते हैं कि $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$.
अतः,समीकरण इस प्रकार होगा: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 2^2 \cdot 3^2$.
दोनों पक्षों में $2$ और $3$ के घातों की तुलना करने पर:
$2$ के आधार के लिए: $x - 2 = 2 \implies x = 4$.
$3$ के आधार के लिए: $2x - 6 = 2 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
चूंकि दोनों स्थितियों में $x = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x$ का मान $4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $(\frac{2}{5})^{5} \times (\frac{25}{4})^{3} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
सबसे पहले,सभी आधारों को $(\frac{5}{2})$ के रूप में व्यक्त करें:
$(\frac{2}{5})^{5} = (\frac{5}{2})^{-5}$
$(\frac{25}{4})^{3} = ((\frac{5}{2})^{2})^{3} = (\frac{5}{2})^{6}$
अब इन मानों को समीकरण में रखें:
$(\frac{5}{2})^{-5} \times (\frac{5}{2})^{6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$(\frac{5}{2})^{-5+6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
$(\frac{5}{2})^{1} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$1 = 3x - 2$
$3x = 3$
$x = 1$

(B) संख्याओं $\sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{10}$ की तुलना करने के लिए,हम उन्हें एक सामान्य घातांक (common index) के साथ घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
$1$. घातांक $2, 3, 4$ हैं। $2, 3, 4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
$2$. प्रत्येक संख्या को $12$ वें मूल में बदलें:
$\sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{6/12} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$
$\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{4/12} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$
$\sqrt[4]{10} = 10^{1/4} = 10^{3/12} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000}$
$3$. $12$ वें मूल के अंदर के मानों की तुलना करने पर: $256 < 729 < 1000$।
$4$. अतः,आरोही क्रम $\sqrt[12]{256} < \sqrt[12]{729} < \sqrt[12]{1000}$ है,जो $\sqrt[3]{4} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$ के अनुरूप है।

(N/A) घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,विशेष रूप से $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ और $(x^m)^n = x^{m \times n}$:
चरण $1$: प्रत्येक पद को सरल करें।
$\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{a+b} = (x^{a-b})^{a+b} = x^{(a-b)(a+b)} = x^{a^2-b^2}$.
$\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{b+c} = (x^{b-c})^{b+c} = x^{(b-c)(b+c)} = x^{b^2-c^2}$.
$\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{c+a} = (x^{c-a})^{c+a} = x^{(c-a)(c+a)} = x^{c^2-a^2}$.
चरण $2$: $x^m \times x^n = x^{m+n}$ का उपयोग करके सरल किए गए पदों का गुणा करें।
$x^{a^2-b^2} \times x^{b^2-c^2} \times x^{c^2-a^2} = x^{(a^2-b^2) + (b^2-c^2) + (c^2-a^2)}$.
चरण $3$: घातांक को सरल करें।
$a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - a^2 = 0$.
अतः,$x^0 = 1$। इसलिए,व्यंजक का मान $1$ है।

(N/A) चरण $1$: बाएँ पक्ष $(LHS)$ पर कोष्ठक के अंदर का योग ज्ञात करें:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225$.
चरण $2$: $LHS$ का मान ज्ञात करें:
$(225)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{225} = 15$.
चरण $3$: दाएँ पक्ष $(RHS)$ पर पहले कोष्ठक के अंदर का योग ज्ञात करें:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.
चरण $4$: $RHS$ का मान ज्ञात करें:
$(100)^{\frac{1}{2}} + (5^{3})^{\frac{1}{3}} = \sqrt{100} + 5^{(3 \times \frac{1}{3})} = 10 + 5^{1} = 10 + 5 = 15$.
चरण $5$: चूँकि $LHS = 15$ और $RHS = 15$,इसलिए समीकरण सिद्ध होता है।

(D) दी गई व्यंजक: $\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$
सबसे पहले,$27$ को $3$ की घात के रूप में व्यक्त करें: $27 = 3^3$.
अतः,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $(3^{-3})^{-\frac{2}{3}}$.
घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $3^{-3 \times -\frac{2}{3}}$.
घातांक को सरल करने पर: $-3 \times -\frac{2}{3} = 2$.
इसलिए,व्यंजक का मान $3^2 = 9$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $64^{-\frac{1}{3}}\left(64^{\frac{1}{3}}-64^{\frac{2}{3}}\right)$
हम जानते हैं कि $64 = 4^3$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (4^3)^{-\frac{1}{3}} \left((4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{3 \times -\frac{1}{3}} \left(4^{3 \times \frac{1}{3}} - 4^{3 \times \frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{-1} \left(4^1 - 4^2\right)$
$= \frac{1}{4} \left(4 - 16\right)$
$= \frac{1}{4} \left(-12\right)$
$= -3$

(B) $\frac{8^{1/3} \times 16^{1/3}}{32^{-1/3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक आधार को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,और $32 = 2^5$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(2^3)^{1/3} \times (2^4)^{1/3}}{(2^5)^{-1/3}} = \frac{2^{3 \times 1/3} \times 2^{4 \times 1/3}}{2^{5 \times -1/3}} = \frac{2^1 \times 2^{4/3}}{2^{-5/3}}$.
घातांक के नियमों $a^m \times a^n = a^{m+n}$ और $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$= 2^{1 + 4/3 - (-5/3)} = 2^{1 + 4/3 + 5/3} = 2^{1 + 9/3} = 2^{1 + 3} = 2^4$.
$2^4 = 16$.

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
चरण $1$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ या $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ के गुणधर्म का उपयोग करके प्रत्येक पद को सरल करें।
प्रथम पद: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} = 4 \times (216)^{\frac{2}{3}} = 4 \times ((6^3)^{\frac{2}{3}}) = 4 \times 6^2 = 4 \times 36 = 144$.
द्वितीय पद: $\frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} = 1 \times (256)^{\frac{3}{4}} = (4^4)^{\frac{3}{4}} = 4^3 = 64$.
तृतीय पद: $\frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}} = 2 \times (243)^{\frac{1}{5}} = 2 \times ((3^5)^{\frac{1}{5}}) = 2 \times 3^1 = 6$.
चरण $2$: परिणामों को जोड़ें:
$144 + 64 + 6 = 214$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
पूर्ण संख्याएँ ${0, 1, 2, 3, ...}$ का समूह होती हैं।
पूर्णांक ${..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}$ का समूह होते हैं।
चूंकि ऋणात्मक संख्याएँ (जैसे $-1, -2, -3$) पूर्णांक तो हैं लेकिन पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं,इसलिए यह कथन कि 'प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है' गलत है।

(B) यह कथन असत्य है।
गणना: $(-5)^{2} = (-5) \times (-5) = 25$।
चूंकि $25 \neq -25$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह कथन सत्य है।
जब किसी ऋणात्मक संख्या की घात एक विषम संख्या होती है,तो परिणाम ऋणात्मक होता है।
चूंकि $11$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{11} = -1 \times -1 \times ... \times -1$ ($11$ बार) $= -1$ होगा।

(B) यह कथन असत्य है।
करणी (radicals) के नियमों के अनुसार,किन्हीं भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ होता है।
इस नियम को लागू करने पर: $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$।
चूंकि $\sqrt{15} \neq \sqrt{8}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) यह कथन असत्य है।
व्याख्या:
हम जानते हैं कि $\sqrt{49} = 7$ होता है।
चूंकि $7$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है (उदाहरण के लिए,$\frac{7}{1}$),इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः,यह कथन कि $\sqrt{49}$ एक अपरिमेय संख्या है,असत्य है।

(A) माना कि $x = 0.\overline{3} = 0.333\dots$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 3.333\dots$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$10x - x = 3.333\dots - 0.333\dots$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
अतः,$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ है।

(B) माना $x = 4.185185185...$ (समीकरण $1$)
यहाँ $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 4185.185185...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 4185.185185... - 4.185185...$
$999x = 4181$
$x = \frac{4181}{999}$
इसे मिश्र भिन्न में बदलने पर:
$x = 4 + \frac{185}{999}$
भिन्न $\frac{185}{999}$ को $37$ से विभाजित करने पर:
$185 \div 37 = 5$
$999 \div 37 = 27$
अतः,$x = 4 \frac{5}{27}$.

(C) व्यंजक $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ को हल करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{5}$ और $b = \sqrt{3}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) संख्या $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}}$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}} = \sqrt{\frac{50}{98}}$
अंश और हर दोनों को $2$ से विभाजित करने पर:
$\sqrt{\frac{50 \div 2}{98 \div 2}} = \sqrt{\frac{25}{49}}$
चूंकि $\sqrt{25} = 5$ और $\sqrt{49} = 7$ है,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\frac{5}{7}$ प्राप्त होता है।
वह संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,एक परिमेय संख्या कहलाती है।
अतः,$\frac{5}{7}$ एक परिमेय संख्या है।

(A) घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति पर इसे लागू करने पर: $(5^{-2})^{3} = 5^{-2 \times 3} = 5^{-6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$,इसलिए $5^{-6} = \frac{1}{5^{6}}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $a - \sqrt{b}$ के रूप वाले व्यंजक का परिमेयकारी गुणक ज्ञात करने के लिए,हम इसे इसके संयुग्मी $a + \sqrt{b}$ से गुणा करते हैं ताकि वर्गमूल समाप्त हो जाए।
यहाँ,दिया गया व्यंजक $4 - \sqrt{5}$ है।
$4 - \sqrt{5}$ को $4 + \sqrt{5}$ से गुणा करने पर $(4)^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$ प्राप्त होता है,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,$4 - \sqrt{5}$ का परिमेयकारी गुणक $4 + \sqrt{5}$ है।

(C) माना $x = 0.3\overline{6} = 0.3666...$ (समीकरण $1$)
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर: $10x = 3.666...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $100$ से गुणा करने पर: $100x = 36.666...$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 36.666... - 3.666...$
$90x = 33$
$x = \frac{33}{90}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{11}{30}$

(D) $\sqrt{5^{2}+12^{2}}$ संख्या की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सबसे पहले वर्गमूल के अंदर के मान की गणना करते हैं।
चरण $1$: वर्गों की गणना करें: $5^{2} = 25$ और $12^{2} = 144$।
चरण $2$: मानों को जोड़ें: $25 + 144 = 169$।
चरण $3$: वर्गमूल ज्ञात करें: $\sqrt{169} = 13$।
चूंकि $13$ एक धनात्मक पूर्णांक है,यह प्राकृत संख्याओं के समूह में आता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ है।
चूंकि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है और एक गैर-शून्य परिमेय संख्या $(2)$ तथा एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{5})$ का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है,इसलिए $2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) संख्या $(\sqrt{5}+3)^{2}$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसे बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करके विस्तारित करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{5}$ और $b = 3$ है।
$(\sqrt{5}+3)^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2}$
$= 5 + 6\sqrt{5} + 9$
$= 14 + 6\sqrt{5}$.
चूंकि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $6\sqrt{5}$ भी अपरिमेय है। एक परिमेय संख्या $(14)$ और एक अपरिमेय संख्या $(6\sqrt{5})$ का योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।
अतः,$(\sqrt{5}+3)^{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(C) दिया गया व्यंजक $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ है।
वर्गमूल के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी $a \ge 0$ के लिए $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ होता है।
इसलिए,$\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ प्राप्त होता है।
संख्या $5$ एक धनात्मक पूर्णांक है,जो प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots\}$ में आती है।
अतः,$\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ एक प्राकृत संख्या है।

(D) $7$ और $8$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक विकल्प का मान ज्ञात करते हैं:
$A) \frac{33}{5} = 6.6$ (यह $7$ से छोटी है)
$B) \frac{51}{6} = 8.5$ (यह $8$ से बड़ी है)
$C) \frac{60}{7} \approx 8.57$ (यह $8$ से बड़ी है)
$D) \frac{61}{8} = 7.625$ (चूंकि $7 < 7.625 < 8$,इसलिए यह $7$ और $8$ के बीच की सही परिमेय संख्या है)।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(\sqrt{5}+3)^{2} = a+b\sqrt{5}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = \sqrt{5}$ और $y = 3$ है:
$(\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2} = a+b\sqrt{5}$.
$5 + 6\sqrt{5} + 9 = a+b\sqrt{5}$.
$14 + 6\sqrt{5} = a+b\sqrt{5}$.
दोनों पक्षों के परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,हमें $a = 14$ और $b = 6$ प्राप्त होता है।

(B) परिमेय संख्या $-\frac{11}{4}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग करते हैं:
$11 \div 4 = 2.75$।
चूंकि भाग करने पर दशमलव के बाद अंकों की संख्या सीमित है,इसलिए यह दशमलव प्रसार सांत है।
अतः,$-\frac{11}{4} = -2.75$,जो एक सांत दशमलव है।

(C) घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$(5^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}}$
$= 5^{\frac{12}{12}}$
$= 5^1$
$= 5$

(IRRATIONAL) यदि किसी संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,तो उसे अपरिमेय संख्या कहा जाता है। चूँकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए इसका वर्गमूल $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) किसी संख्या $x$ का वर्गमूल वह मान $y$ है जिसके लिए $y^2 = x$ होता है।
चूंकि $7^2 = 7 \times 7 = 49$ है,इसलिए $49$ का मुख्य वर्गमूल $7$ है।
अतः,$\sqrt{49} = 7$।

(N/A) किसी संख्या $x$ का वर्गमूल वह मान है जिसे स्वयं से गुणा करने पर $x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $11 \times 11 = 121$ और $(-11) \times (-11) = 121$ होता है,इसलिए $121$ का वर्गमूल $11$ या $-11$ है।

(1 1/12) सबसे पहले,मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलें:
$1 \frac{25}{144} = \frac{1 \times 144 + 25}{144} = \frac{144 + 25}{144} = \frac{169}{144}$
अब,इस विषम भिन्न का वर्गमूल ज्ञात करें:
$\sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{144}} = \frac{13}{12}$
अंत में,विषम भिन्न को वापस मिश्रित भिन्न में बदलें:
$\frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$

(1/2) $(64)^{-\frac{1}{6}}$ को हल करने के लिए,हम सबसे पहले $64$ को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
हम जानते हैं कि $64 = 2^6$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2^6)^{-\frac{1}{6}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हम घातों का गुणा करते हैं:
$2^{6 \times (-\frac{1}{6})} = 2^{-1}$
चूंकि $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ होता है,इसलिए:
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

(B) $\frac{2}{3}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए, हम $2$ को $3$ से विभाजित करते हैं।
जब हम $2$ को $3$ से भाग देते हैं, तो हमें $0.666...$ प्राप्त होता है, जिसे $0.\overline{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि शेषफल कभी भी $0$ नहीं होता है और अंक $6$ अनंत तक दोहराया जाता है, इसलिए दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) प्रकार का है।

(B) $1$ का $n$-वाँ मूल उस संख्या $x$ के रूप में परिभाषित है जिसके लिए $x^n = 1$ होता है।
किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$1^n = 1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ होता है।
अतः,$\sqrt[11]{1} = 1$ है।

(C) $(729)^{\frac{1}{3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $729$ का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे।
$729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$.
वैकल्पिक रूप से,$729 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.
अतः,$(729)^{\frac{1}{3}} = (9^3)^{\frac{1}{3}}$.
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें $9^{3 \times \frac{1}{3}} = 9^1 = 9$ प्राप्त होता है।

(TERMINATING) $\frac{47}{50}$ के दशमलव प्रसार का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम पहले भिन्न को सरल करते हैं या हर की जाँच करते हैं।
दी गई भिन्न: $\frac{47}{50}$।
हर $50 = 2^1 \times 5^2$ है।
चूंकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,इसलिए दशमलव प्रसार सांत (terminating) है।
गणना: $\frac{47}{50} = \frac{47 \times 2}{50 \times 2} = \frac{94}{100} = 0.94$।
अतः,दशमलव प्रसार सांत है।

(A) व्यंजक $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}$ को हल करने के लिए,हम करणी के गुणधर्म $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के पदों का गुणा करें: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$।
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}$।
गुणधर्म $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $6$ है।

(B) संख्या $\pi$ को एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। इसलिए,$\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।