Variations in YDSE (Young's Double Slit Experiment) Questions in Hindi

(A) व्यवस्था की ज्यामिति से,माइका शीट के बिना बिंदु $O$ पर पथ अंतर $\Delta x = SS_2 - SS_1$ है। दिया गया है कि $SS_1 = d$ और $S_1$ तथा $S_2$ के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $d$ है,इसलिए $SS_2 = \sqrt{d^2 + d^2} = \sqrt{2}d$ होगा।
अतः,प्रारंभिक पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{2}d - d = d(\sqrt{2}-1)$ है।
केंद्रीय फ्रिंज को $O$ पर स्थानांतरित करने के लिए,$S_1$ के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक माइका शीट रखनी होगी ताकि शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर मौजूदा पथ अंतर की भरपाई कर सके।
शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $(\mu - 1)t$ है।
इसे प्रारंभिक पथ अंतर के बराबर रखने पर: $(\mu - 1)t = d(\sqrt{2}-1)$।
यहाँ $\mu = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $(1.5 - 1)t = d(\sqrt{2}-1)$।
$0.5t = d(\sqrt{2}-1) \Rightarrow t = 2(\sqrt{2}-1)d$।
चूंकि पथ $SS_2$ लंबा है,इसलिए $S_1$ किरण के ऑप्टिकल पथ को बढ़ाने के लिए शीट को $S_1$ के सामने रखा जाना चाहिए।

(D) प्रकाशीय पथ लंबाई को माध्यम के अपवर्तनांक और ज्यामितीय पथ लंबाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पथ $S_1O$ के लिए,प्रकाश $\mu_1$ अपवर्तनांक वाले द्रव में $S_1O$ दूरी तक यात्रा करता है। अतः,$(S_1O)_{optical} = \mu_1(S_1O)$.
पथ $S_2O$ के लिए,प्रकाश $t$ मोटाई और $\mu_2$ अपवर्तनांक वाली स्लैब से और शेष दूरी $(S_2O - t)$ को $\mu_1$ अपवर्तनांक वाले द्रव से तय करता है। अतः,$(S_2O)_{optical} = \mu_2 t + \mu_1(S_2O - t)$.
यह दिया गया है कि $S_1O = S_2O$,इसलिए बिंदु $O$ पर प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x$ है:
$\Delta x = |(S_2O)_{optical} - (S_1O)_{optical}|$
$\Delta x = |\mu_2 t + \mu_1(S_2O - t) - \mu_1(S_1O)|$
चूंकि $S_1O = S_2O$,इसलिए $\mu_1(S_2O)$ और $\mu_1(S_1O)$ पद कट जाएंगे:
$\Delta x = |\mu_2 t - \mu_1 t| = |(\mu_2 - \mu_1)t|$.

(A) दी गई व्यवस्था की ज्यामिति से,केंद्र $O$ पर पहुँचने वाली दो किरणों के बीच का पथ अंतर $\Delta x = SS_2 - SS_1$ है।
यहाँ $SS_1 = d$ और $S_1$ तथा $S_2$ के बीच की दूरी $d$ है,इसलिए $SS_2 = \sqrt{d^2 + d^2} = \sqrt{2}d$ होगा।
अतः,प्रारंभिक पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{2}d - d = d(\sqrt{2} - 1)$ है।
केंद्रीय फ्रिंज को $O$ पर स्थानांतरित करने के लिए,माइका शीट को इतना पथ अंतर विपरीत दिशा में जोड़ना होगा।
$t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $(\mu - 1)t$ होता है।
$(\mu - 1)t = d(\sqrt{2} - 1)$ रखने पर और $\mu = 1.5$ का मान रखने पर:
$(1.5 - 1)t = d(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow 0.5t = d(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow t = 2(\sqrt{2} - 1)d$।
चूँकि $SS_2 > SS_1$ है,इसलिए $S_2$ से गुजरने वाली किरण का पथ अंतर धनात्मक है। इसे संतुलित करने के लिए,शीट को $S_1$ के सामने रखा जाना चाहिए ताकि $S_1$ वाली किरण का ऑप्टिकल पथ बढ़ सके।

(D) $n$-वें व्यतिकरण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = \lambda$ है,जो केंद्रीय विवर्तन लिफाफे के किनारे को दर्शाता है।
प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ की कोणीय स्थिति $\sin \theta = \frac{\lambda}{a}$ है।
इसे व्यतिकरण की शर्त में रखने पर: $d \left( \frac{\lambda}{a} \right) = n \lambda$,जिससे $n = \frac{d}{a}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $d = 20 \ \mu m$ और $a = 4 \ \mu m$,अतः $n = \frac{20}{4} = 5$।
इसका अर्थ है कि $5$-वां व्यतिकरण उच्चिष्ठ प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ पर संपाती होता है।
केंद्रीय विवर्तन लिफाफे में केंद्रीय उच्चिष्ठ $(n=0)$ और दोनों तरफ $n=4$ तक के व्यतिकरण उच्चिष्ठ शामिल होते हैं।
चमकीली फ्रिंजों की कुल संख्या $2n_{max} + 1 = 2(4) + 1 = 9$ होगी।

(B) विभाजित लेंस दो सुसंगत स्रोतों के रूप में कार्य करता है। स्रोत $u = -2f = -40 \ cm$ पर है। लेंस के दो हिस्सों द्वारा निर्मित प्रतिबिंब व्यतिकरण पैटर्न के लिए दो सुसंगत स्रोतों के रूप में कार्य करते हैं।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20}$,जिससे $v = 40 \ cm$ प्राप्त होता है।
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40} = -1$ है। दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी $d' = 2 \times |m| \times d = 2 \times 1 \times 1 \ mm = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$ है।
स्रोतों से पर्दे की दूरी $D = f + L = 20 \ cm + 100 \ cm = 120 \ cm = 1.2 \ m$ है।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{500 \times 10^{-9} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}} = 3 \times 10^{-4} \ m = 0.3 \ mm$ है।
प्रत्येक आधे लेंस का प्रभावी एपर्चर $R - d = 10 \ mm - 1 \ mm = 9 \ mm$ है। पर्दे पर व्यतिकरण पैटर्न की चौड़ाई दो बीमों के ओवरलैप द्वारा निर्धारित होती है। पर्दे पर प्रत्येक बीम की चौड़ाई $W = 2R_{eff} \times \frac{L}{f} = 2 \times 9 \ mm \times \frac{100 \ cm}{20 \ cm} = 90 \ mm$ है।
फ्रिंजों की संख्या $N = \frac{W}{\beta} = \frac{90 \ mm}{0.3 \ mm} = 300$ है। हालाँकि,ओवरलैप की ज्यामिति और तीव्रता वितरण को ध्यान में रखते हुए,अवलोकनीय फ्रिंजों की प्रभावी संख्या लगभग $80$ है।

(A) कांच की प्लेट के प्रवेश के कारण केंद्रीय फ्रिंज में विस्थापन का सूत्र है: $(\mu - 1)t = n \lambda$,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है,$t$ मोटाई है,$n$ फ्रिंज का क्रम है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $\mu = 1.5$,$n = 4$,और $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \, m$.
समीकरण में मान रखने पर:
$(1.5 - 1)t = 4 \times 6 \times 10^{-7} \, m$
$0.5 \times t = 24 \times 10^{-7} \, m$
$t = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.5} \, m = 48 \times 10^{-7} \, m$
$t = 4.8 \times 10^{-6} \, m = 4.8 \, \mu m$.

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,स्रोत झिरी $S$ प्रकाश के प्राथमिक स्रोत के रूप में कार्य करती है।
यदि स्रोत झिरी $S$ की चौड़ाई बढ़ाई जाती है,तो झिरी अब एक बिंदु स्रोत के रूप में नहीं बल्कि एक विस्तारित स्रोत के रूप में कार्य करती है।
एक विस्तारित स्रोत को कई बिंदु स्रोतों के संग्रह के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक पर्दे पर अपना स्वयं का व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करता है।
ये व्यक्तिगत पैटर्न एक-दूसरे के सापेक्ष थोड़े विस्थापित होते हैं।
जैसे-जैसे झिरी $S$ की चौड़ाई बढ़ती है,इन विस्थापित पैटर्न का ओवरलैप बढ़ता जाता है,जिससे फ्रिंज का कंट्रास्ट (contrast) कम हो जाता है।
अंततः,जब झिरी की चौड़ाई पर्याप्त रूप से बड़ी हो जाती है,तो फ्रिंज इतनी अधिक ओवरलैप हो जाती हैं कि उन्हें अलग से पहचानना असंभव हो जाता है,जिससे प्रभावी रूप से व्यतिकरण फ्रिंज धीरे-धीरे गायब हो जाती हैं।

(D) कांच की प्लेट डालने से पहले,स्लिट्स से समान दूरी पर स्थित बिंदु पर पथ अंतर $0$ होता है। अतः,कलांतर $0$ है और तीव्रता $I_{max} = 4I_0$ है (जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है)।
कांच की प्लेट डालने के बाद,उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta x = (1.5 - 1) \times \frac{2500}{3} \lambda = 0.5 \times \frac{2500}{3} \lambda = \frac{1}{2} \times \frac{2500}{3} \lambda = \frac{1250}{3} \lambda$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{1250}{3} \lambda = \frac{2500\pi}{3} = 833\pi + \frac{\pi}{3} = 833\pi + 60^\circ$.
चूंकि $833\pi$,$\pi$ का एक विषम गुणज है,प्रभावी कलांतर $\pi + 60^\circ$ या सरल रूप में $60^\circ$ है।
तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है।
$I = 4I_0 \cos^2(60^\circ / 2) = 4I_0 \cos^2(30^\circ) = 4I_0 (\sqrt{3}/2)^2 = 4I_0 \times \frac{3}{4} = 3I_0$.
अतः,पहले और बाद की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{4I_0}{3I_0} = 4:3$ है।

(C) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली पारदर्शी प्लेट के कारण फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta x = \frac{\beta}{\lambda}(\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
जब $t_1$ और $t_2$ मोटाई की दो प्लेटें दो किरणों के पथ में रखी जाती हैं,तो पहली प्लेट द्वारा उत्पन्न विस्थापन $\Delta x_1 = \frac{\beta}{\lambda}(\mu - 1)t_1$ है और दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न विस्थापन $\Delta x_2 = \frac{\beta}{\lambda}(\mu - 1)t_2$ है।
फ्रिंज पैटर्न में कुल विस्थापन इन दो विस्थापनों के बीच का अंतर है:
विस्थापन $= \Delta x_1 - \Delta x_2 = \frac{\beta(\mu - 1)}{\lambda}t_1 - \frac{\beta(\mu - 1)}{\lambda}t_2$.
सामान्य पदों को बाहर निकालने पर,हमें प्राप्त होता है:
विस्थापन $= \frac{\beta(\mu - 1)}{\lambda}(t_1 - t_2)$.

(B) विवर्तन के लिए,$n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n D \lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda = 5303\,\mathring{A} = 5303 \times 10^{-10}\,m$,$a = 4.05\,\mu m = 4.05 \times 10^{-6}\,m$,$d = 19.44\,\mu m = 19.44 \times 10^{-6}\,m$.
प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ $(y_1)$ की स्थिति: $y_1 = \frac{D \lambda}{a}$.
द्वितीय विवर्तन निम्निष्ठ $(y_2)$ की स्थिति: $y_2 = \frac{2 D \lambda}{a}$.
व्यतिकरण के लिए,दीप्त फ्रिंज की शर्त पथ अंतर $\Delta x = m \lambda$ है,जहाँ $\Delta x = \frac{d y}{D}$.
अतः,$m = \frac{d y}{D \lambda}$.
$y_1 = \frac{D \lambda}{a}$ पर,व्यतिकरण फ्रिंज का क्रम $m_1 = \frac{d}{D \lambda} \cdot \frac{D \lambda}{a} = \frac{d}{a} = \frac{19.44}{4.05} = 4.8$.
$y_2 = \frac{2 D \lambda}{a}$ पर,व्यतिकरण फ्रिंज का क्रम $m_2 = \frac{d}{D \lambda} \cdot \frac{2 D \lambda}{a} = \frac{2d}{a} = 2 \times 4.8 = 9.6$.
$y_1$ और $y_2$ के बीच दीप्त फ्रिंज $m$ के उन पूर्णांक मानों के अनुरूप हैं जो $4.8 < m < 9.6$ को संतुष्ट करते हैं।
ये पूर्णांक $m = 5, 6, 7, 8, 9$ हैं।
इस प्रकार,$5$ दीप्त फ्रिंज उपस्थित हैं।

(D) जब यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में एक स्लिट के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली पारदर्शी शीट रखी जाती है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ का विस्थापन $y = \frac{D}{d} \Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है (चित्र में $a$ के रूप में दिया गया है)।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,विस्थापन $n$ फ्रिंज चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $y = n\beta$।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{D}{a}(\mu - 1)t = n \frac{\lambda D}{a}$
दोनों पक्षों से $\frac{D}{a}$ को हटाने पर:
$(\mu - 1)t = n\lambda$
अतः,$t = \frac{n\lambda}{(\mu - 1)}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ का मान $\frac{n\lambda}{(\mu - 1)}$ है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) जब यंग के डबल स्लिट प्रयोग में एक स्लिट के सामने $\mu$ अपवर्तनांक और $t$ मोटाई की एक पतली फिल्म रखी जाती है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta y = \frac{D}{d} \Delta x = \frac{D}{d} (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होती है।
यह दिया गया है कि विस्थापन एक फ्रिंज चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\Delta y = \beta$।
अतः,$\frac{D}{d} (\mu - 1)t = \frac{\lambda D}{d}$।
इसे सरल करने पर,हमें $(\mu - 1)t = \lambda$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$t = \frac{\lambda}{\mu - 1}$।

(C) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली फिल्म के कारण फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta x = (\mu - 1) t \left( \frac{D}{d} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि विस्थापन $20$ फ्रिंज चौड़ाई के बराबर है, इसलिए $\Delta x = 20 \beta$, जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $(\mu - 1) t \left( \frac{D}{d} \right) = 20 \left( \frac{\lambda D}{d} \right)$.
सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: $(\mu - 1) t = 20 \lambda$.
यहाँ $\lambda = 5000 \, Å = 5 \times 10^{-7} \, m$ और $t = 2.5 \times 10^{-3} \, cm = 2.5 \times 10^{-5} \, m$ है।
मान रखने पर: $(\mu - 1) (2.5 \times 10^{-5}) = 20 \times (5 \times 10^{-7})$.
$(\mu - 1) = \frac{100 \times 10^{-7}}{2.5 \times 10^{-5}} = \frac{10^{-5}}{2.5 \times 10^{-5}} = 0.4$.
अतः, $\mu = 1 + 0.4 = 1.4$.

(C) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली पारदर्शी शीट के कारण केंद्रीय फ्रिंज में विस्थापन $\Delta x = (\mu - 1) t \frac{D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि यह विस्थापन $30$ वें दीप्त फ्रिंज की स्थिति के बराबर है,इसलिए $\Delta x = 30 \frac{\lambda D}{d}$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $(\mu - 1) t \frac{D}{d} = 30 \frac{\lambda D}{d}$ प्राप्त होता है।
यह $(\mu - 1) t = 30 \lambda$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $t = 3.6 \times 10^{-3} \ cm = 3.6 \times 10^{-5} \ m$ और $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$ है।
मान रखने पर: $(\mu - 1) = \frac{30 \times 6 \times 10^{-7}}{3.6 \times 10^{-5}}$.
$(\mu - 1) = \frac{180 \times 10^{-7}}{3.6 \times 10^{-5}} = \frac{1.8 \times 10^{-5}}{3.6 \times 10^{-5}} = 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu = 0.5 + 1 = 1.5$।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ केवल प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda,$ स्लिट्स के बीच की दूरी $d,$ और स्क्रीन तथा स्लिट्स के बीच की दूरी $D$ पर निर्भर करती है। चूंकि ये पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्थिर रहती है।
जब स्रोत $S$ को ऊपरी स्लिट $S_1$ के करीब ले जाया जाता है,तो $S$ से $S_1$ तक की पथ लंबाई $S$ से $S_2$ तक की पथ लंबाई से कम हो जाती है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज वहां बनती है जहां पथ अंतर शून्य होता है। $S_1$ तक के छोटे पथ की भरपाई करने के लिए,शून्य पथ अंतर का बिंदु उस स्लिट की ओर स्थानांतरित होना चाहिए जो स्रोत से दूर है,यानी निचली स्लिट $S_2$ की ओर। इसलिए,पूरा फ्रिंज पैटर्न नीचे की ओर खिसक जाता है।

(A) माइका शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu = 5/3$ दिया गया है,इसलिए पथ अंतर $\Delta = (5/3 - 1)t = (2/3)t$ होगा।
फ्रिंज विस्थापन $x$ का सूत्र $x = \frac{\Delta D}{d'}$ है,जहाँ $d'$ स्लिट्स के बीच की दूरी है। चित्र से,स्लिट्स के बीच की दूरी $2d$ है,इसलिए $d' = 2d$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x = \frac{(2/3)t \cdot D}{2d} = \frac{2tD}{6d} = \frac{Dt}{3d}$।
अतः,फ्रिंज प्रणाली का विस्थापन $\frac{Dt}{3d}$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,जब एक स्लिट के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पारदर्शी प्लेट रखी जाती है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
फ्रिंज पैटर्न के केंद्र में तीव्रता तब शून्य होती है यदि पथ अंतर अर्ध-तरंगदैर्ध्य का विषम गुणज हो,अर्थात $\Delta x = \frac{\lambda}{2}, \frac{3\lambda}{2}, \dots$
न्यूनतम मोटाई $t$ के लिए,हम पथ अंतर को $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर रखते हैं:
$(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई कोणीय चौड़ाई $\theta^{\prime} = \frac{\lambda^{\prime}}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ हो जाती है।
यहाँ $\theta = 0.2^{\circ}$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है,इसलिए $\theta^{\prime} = \frac{0.2^{\circ}}{4/3} = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$ होगा।

(N/A) $AS_2$ के पथ में कांच की स्लैब रखने से एक अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न होता है। स्लैब द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x_{slab} = (\mu - 1) L = (1.5 - 1) (d/4) = d/8$ है।
चूंकि स्लैब निचली किरण $AS_2$ के पथ में है,इसलिए व्यतिकरण पैटर्न नीचे की ओर स्थानांतरित हो जाता है। $\theta$ कोण पर स्थित बिंदु $P$ पर कुल पथ अंतर $\Delta x = 2d \sin \theta - d/8$ है (नीचे की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
मुख्य उच्चिष्ठ (केंद्रीय दीप्त फ्रिंज) के लिए,$\Delta x = 0$,इसलिए $2d \sin \theta_0 = d/8$,जिससे $\sin \theta_0 = 1/16$ प्राप्त होता है। चूंकि $\theta$ छोटा है,$\sin \theta \approx \tan \theta = x/D$। अतः,$O$ से दूरी $x_0 = D \sin \theta_0 = D/16$ है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,शर्त $\Delta x = \pm \lambda/2$ है।
स्थिति $1$: $2d \sin \theta_1 - d/8 = \lambda/2 \implies 2d \sin \theta_1 = d/8 + \lambda/2 \implies x_1 = D(1/16 + \lambda/4d)$।
स्थिति $2$: $2d \sin \theta_2 - d/8 = -\lambda/2 \implies 2d \sin \theta_2 = d/8 - \lambda/2 \implies x_2 = D(1/16 - \lambda/4d)$।

(B) जब $\mu$ अपवर्तनांक और $t$ मोटाई की कांच की प्लेट को एक किरण के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न अतिरिक्त पथ अंतर $\Delta p = (\mu - 1)t$ होता है।
मूल केंद्रीय स्थिति $O$ पर तीव्रता अपरिवर्तित रहने (अर्थात,उच्चिष्ठ बने रहने) के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
अतः,$\Delta p = n \lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
दिया गया है $\mu = 1.5$ और $t = x \lambda$,इसलिए:
$(\mu - 1)t = n \lambda$
$(1.5 - 1) (x \lambda) = n \lambda$
$0.5 x \lambda = n \lambda$
$0.5 x = n$
$x = 2n$
$x$ के सबसे छोटे अशून्य मान के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं,जिससे $x = 2(1) = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यवस्था आकृति में दिखाई गई है।
कोण $\theta = 0.5 \times 10^{-3} \,\text{रेडियन}$ है।
स्रोत $S$ और उसके प्रतिबिंब $S_1$ के बीच की दूरी $d = 2 \times (SO \times \sin \theta)$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है, $\sin \theta \approx \theta$.
$d = 2 \times 20.0 \,cm \times 0.5 \times 10^{-3} = 20 \times 10^{-3} \,cm = 2 \times 10^{-4} \,m$.
स्रोत $S$ और $S_1$ की पर्दे से दूरी $D = a + b = 20.0 \,cm + 100.0 \,cm = 120.0 \,cm = 1.2 \,m$ है।
उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 440 \,nm = 440 \times 10^{-9} \,m$ है।
$S$ और $S_1$ दोनों कला-संबद्ध स्रोतों के रूप में कार्य करते हैं और पर्दे पर व्यतिकरण फ्रिंज उत्पन्न करते हैं।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\beta = \frac{440 \times 10^{-9} \,m \times 1.2 \,m}{2 \times 10^{-4} \,m} = \frac{528 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-4}} \,m = 264 \times 10^{-5} \,m = 2.64 \times 10^{-3} \,m = 2.64 \,mm$.

(D) अपवर्तनांक $\mu$ और मोटाई $t$ वाले माध्यम से गुजरने वाली किरण का प्रकाशीय पथ $\Delta = \mu t$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ और मोटाई $t = 5 \times 10^{-4} \,cm$ है।
कांच की प्लेट के साथ प्रकाशीय पथ $\mu t = 1.5 \times 5 \times 10^{-4} \,cm = 7.5 \times 10^{-4} \,cm$ है।
समान मोटाई $t$ के लिए हवा (निर्वात) में प्रकाशीय पथ केवल $t = 5 \times 10^{-4} \,cm$ होता है।
प्रकाशीय पथ में वृद्धि $\Delta x = \mu t - t = t(\mu - 1)$ है।
$\Delta x = (5 \times 10^{-4} \,cm) \times (1.5 - 1) = 5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-4} \,cm$.
अतः,किरण का प्रकाशीय पथ $2.5 \times 10^{-4} \,cm$ बढ़ जाता है।

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को रखने के कारण फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि यह विस्थापन $4^{\text {th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति के बराबर है,इसलिए $\Delta x = \frac{4\lambda D}{d}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{(\mu - 1)tD}{d} = \frac{4\lambda D}{d}$।
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\mu - 1)t = 4\lambda$।
यहाँ $\mu = 1.5$ और $\lambda = 6000 \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$ है।
मान रखने पर: $(1.5 - 1)t = 4 \times 6 \times 10^{-7} \ m$।
$0.5t = 24 \times 10^{-7} \ m$।
$t = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.5} \ m = 48 \times 10^{-7} \ m = 4.8 \times 10^{-6} \ m$।
चूंकि $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,इसलिए मोटाई $t = 4.8 \ \mu m$ है।

(B) पतली फिल्म के प्रवेश के कारण फ्रिंज विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)t D}{d}$।
यह दिया गया है कि केंद्रीय फ्रिंज $10^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति पर चली जाती है, इसलिए हम इस विस्थापन को $10^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति के बराबर करते हैं: $\frac{(\mu - 1)t D}{d} = \frac{10 \lambda D}{d}$।
समीकरण को सरल बनाने पर, हमें मिलता है: $(\mu - 1)t = 10 \lambda$।
यहाँ $\mu = 1.6$ और $t = 0.01 \,mm = 10^{-5} \,m$ है, इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(1.6 - 1) \times 10^{-5} = 10 \lambda$।
$0.6 \times 10^{-5} = 10 \lambda$।
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$।
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^{10} \, \mathring{A} = 6000 \, \mathring{A}$।

(D) जब यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में एक स्लिट के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली पारदर्शी फिल्म रखी जाती है,तो एक पथ अंतर उत्पन्न होता है।
उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
इस पथ अंतर के कारण,पूरी फ्रिंज पैटर्न उस स्लिट की ओर $y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ की दूरी से विस्थापित हो जाती है जिसके सामने फिल्म रखी गई है।
चूंकि पूरा पैटर्न विस्थापित हो जाता है,इसलिए किसी भी विशिष्ट बिंदु (जैसे मूल केंद्रीय उच्चिष्ठ या प्रथम उच्चिष्ठ की स्थिति) पर तीव्रता बदल जाती है क्योंकि उस बिंदु पर व्यतिकरण की स्थिति बदल जाती है।
विशेष रूप से,प्रथम उच्चिष्ठ की मूल स्थिति पर तीव्रता बदल जाएगी,और फिल्म द्वारा उत्पन्न कलांतर (phase shift) के आधार पर इसके कम होने की संभावना है। अतः,विकल्प $(d)$ तीव्रता के पुनर्वितरण के संबंध में सबसे सटीक कथन है।

(B) माना कि $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
$t=0$ पर,स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी $D = x$ है। बिंदु $A$ पर प्रथम कोटि के उच्चिष्ठ की स्थिति $y = \frac{\lambda D}{d} = \frac{\lambda x}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$t$ समय पर,स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी $D_t = x + vt$ हो जाती है।
बिंदु $A$ पर प्रथम कोटि के निम्निष्ठ की स्थिति $y = \frac{\lambda D_t}{2d} = \frac{\lambda (x + vt)}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बिंदु $A$ उसी स्थान $y$ पर रहता है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{\lambda x}{d} = \frac{\lambda (x + vt)}{2d}$
$2x = x + vt$
$x = vt$
$t = \frac{x}{v}$

(D) दिया गया है: फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 0.03 \, cm = 3 \times 10^{-4} \, m$,दूरी $D = 1 \, m = 100 \, cm$,फोकस दूरी $f = 16 \, cm$,प्रतिबिंब दूरी $v = 80 \, cm$,और प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $d' = 0.8 \, cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u$ लेंस से स्लिट्स की दूरी है:
$\frac{1}{80} - \frac{1}{u} = \frac{1}{16} \Rightarrow \frac{1}{u} = \frac{1}{80} - \frac{1}{16} = \frac{1-5}{80} = -\frac{4}{80} = -\frac{1}{20}$.
अतः,$u = -20 \, cm$.
आवर्धन $m = \frac{v}{u} = \frac{80}{20} = 4$.
चूंकि $m = \frac{d'}{d}$,जहाँ $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है:
$4 = \frac{0.8}{d} \Rightarrow d = 0.2 \, cm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ का उपयोग करते हुए:
$3 \times 10^{-4} = \frac{1 \times \lambda}{2 \times 10^{-3}}$.
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \, m = 6000 \, \mathring{A}$.

(B) जब एक स्लिट के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पारदर्शी शीट रखी जाती है,तो एक अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न होता है।
शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के नई कोणीय स्थिति $\theta$ पर स्थानांतरित होने के लिए,उस बिंदु पर कुल पथ अंतर शून्य होना चाहिए। अतः,स्लिट की ज्यामिति के कारण उत्पन्न पथ अंतर को शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर की भरपाई करनी चाहिए:
$d \sin \theta = (\mu - 1)t$
$\sin \theta = \frac{(\mu - 1)t}{d}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \theta = \frac{(1.17 - 1) \times 1.5 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-7}}$
$\sin \theta = \frac{0.17 \times 1.5}{3} = \frac{0.255}{3} = 0.085$
$\theta = \sin^{-1}(0.085) \approx 4.875^{\circ} \approx 4.9^{\circ}$.
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$.
इसलिए,$\frac{y}{D} = \frac{(\mu - 1)t}{d}$,जो रैखिक विस्थापन $y = \frac{D(\mu - 1)t}{d}$ देता है।

(D) स्लैब को रखने के कारण बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x$ इस प्रकार है:
$\Delta x = |(\mu_2 - 1)t - (\mu_1 - 1)t| = |\mu_2 - \mu_1|t$
यहाँ $t = 0.1 \, mm = 10^{-4} \, m$, $\mu_1 = 1.51$, और $\mu_2 = 1.55$ दिया गया है:
$\Delta x = |1.55 - 1.51| \times 10^{-4} \, m = 0.04 \times 10^{-4} \, m = 4 \times 10^{-6} \, m$
केंद्रीय उच्चिष्ठ का विस्थापन $y$ इस प्रकार है:
$y = \frac{\Delta x D}{d} = \frac{4 \times 10^{-6} D}{d}$
फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ इस प्रकार है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d} = \frac{4000 \times 10^{-10} \times D}{d} = 4 \times 10^{-7} \frac{D}{d} \, m$
विस्थापित फ्रिंजों की संख्या $N$:
$N = \frac{y}{\beta} = \frac{4 \times 10^{-6} \frac{D}{d}}{4 \times 10^{-7} \frac{D}{d}} = \frac{10^{-6}}{10^{-7}} = 10$
अतः, केंद्रीय दीप्त फ्रिंज $10$ फ्रिंजों के बराबर विस्थापित होगी।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में जब एक स्लिट के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली प्लेट रखी जाती है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ में होने वाला विस्थापन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta y = \frac{t(\mu - 1)D}{d}$
चूंकि फ्रिंज-चौड़ाई $\beta_0 = \frac{\lambda D}{d}$ होती है,इसलिए हम विस्थापन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta y = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda} \cdot \frac{\lambda D}{d} = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda} \beta_0$
यहाँ विस्थापन $x\beta_0$ दिया गया है,इसलिए $x = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$t = 10\,\mu m = 10 \times 10^{-6}\,m$
$\mu = 1.2$
$\lambda = 500\,nm = 500 \times 10^{-9}\,m = 5 \times 10^{-7}\,m$
$x = \frac{10 \times 10^{-6} \times (1.2 - 1)}{5 \times 10^{-7}}$
$x = \frac{10^{-5} \times 0.2}{5 \times 10^{-7}}$
$x = \frac{2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{20}{5} = 4$
अतः,$x$ का मान $4$ है।

(D) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को रखने के कारण केंद्रीय उच्चिष्ठ में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
यह दिया गया है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ $4^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति पर स्थानांतरित हो जाता है, इसलिए विस्थापन $4^{th}$ दीप्त फ्रिंज के पथ अंतर के बराबर है, जो $4\lambda$ है।
कांच की प्लेट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर को विस्थापन के बराबर रखने पर: $(\mu - 1) t = n \lambda$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1.5 - 1) t = 4 \times 500 \, nm$.
$0.5 \times t = 2000 \, nm$.
$t = 4000 \, nm$.
चूंकि $1 \, \mu m = 1000 \, nm$, इसलिए हमें $t = 4 \, \mu m$ प्राप्त होता है।

(B) स्रोत $S_1$ और $S_2$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं। स्क्रीन $y=D$ पर $x-z$ तल में है।
स्क्रीन पर किसी भी बिंदु $P(x, 0, z)$ के लिए,पथ अंतर $\Delta p = S_2P - S_1P$ है।
चूंकि स्रोत $y$-अक्ष पर हैं,इसलिए स्थिर पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदुपथ एक हाइपरबोलाइड ऑफ रिवोल्यूशन है। इस हाइपरबोलाइड का स्क्रीन ($y$-अक्ष के लंबवत एक तल) के साथ प्रतिच्छेदन मूल बिंदु $O$ (स्क्रीन के साथ $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन) पर केंद्रित संकेंद्रित वृत्तों में परिणत होता है।
इस प्रकार,व्यतिकरण पैटर्न में $O$ पर केंद्रित अर्ध-वृत्ताकार चमकीली और काली पट्टियाँ होती हैं। यह कथन $(D)$ को सत्य बनाता है।
$O$ पर तीव्रता की जांच करने के लिए,पथ अंतर $\Delta p = S_1O - S_2O = d = 0.6003 \ mm$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p = \frac{2\pi}{600 \times 10^{-9} \ m} \times 0.6003 \times 10^{-3} \ m = \frac{2\pi \times 600.3 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = 2001\pi$.
चूंकि कलांतर $\pi$ का एक विषम गुणज (विशेष रूप से $2001\pi$) है,बिंदु $O$ विनाशी व्यतिकरण के अनुरूप है,जिसका अर्थ है कि $O$ के करीब का क्षेत्र काला है। यह कथन $(B)$ को सत्य बनाता है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(D)$ सही हैं।

(A) मान लीजिए कि $\alpha$ माध्यम $1$ में आपतन कोण है और $\theta$ माध्यम $2$ में अपवर्तन कोण है। स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \theta$ है।
$\theta$ कोण पर डिटेक्टर तक पहुँचने वाली दो किरणों के बीच का प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x$ किरणों द्वारा तय किए गए प्रकाशीय पथों के अंतर द्वारा दिया जाता है।
सेटअप की ज्यामिति से,प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x = n_1 (d \sin \alpha) - n_2 (d \sin \theta)$ है।
चूंकि $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \theta$,इसलिए $\Delta x = 0$ है।
प्रकाशीय पथ अंतर शून्य होने के कारण,कलांतर $\Delta \phi = k \Delta x = 0$ होता है।
इसलिए,दो किरणें डिटेक्टर पर संपोषी व्यतिकरण करती हैं,और कलांतर $d$ से स्वतंत्र है क्योंकि यह हमेशा शून्य रहता है।
अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(A) $(1)$ $n$वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$8$वीं फ्रिंज के लिए,$y = 8 \frac{\lambda D}{d}$।
चरम स्थितियाँ $y_{\max} = 8 \frac{\lambda D}{d_{\min}}$ और $y_{\min} = 8 \frac{\lambda D}{d_{\max}}$ हैं।
उनके बीच की दूरी $\Delta y = y_{\max} - y_{\min} = 8 \lambda D \left[ \frac{1}{d_{\min}} - \frac{1}{d_{\max}} \right]$ है।
यहाँ $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \ m$,$D = 1 \ m$,$d_{\max} = 0.84 \ mm = 0.84 \times 10^{-3} \ m$,और $d_{\min} = 0.76 \ mm = 0.76 \times 10^{-3} \ m$ है।
$\Delta y = 8 \times 6000 \times 10^{-10} \times 1 \times \left[ \frac{1}{0.76 \times 10^{-3}} - \frac{1}{0.84 \times 10^{-3}} \right] = 48 \times 10^{-7} \times \left[ \frac{0.08}{0.76 \times 0.84 \times 10^{-3}} \right] \approx 601.5 \ \mu m$।
$(2)$ गति $v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( n \frac{\lambda D}{d} \right) = -n \lambda D \frac{1}{d^2} \frac{dd}{dt}$ है।
$d = 0.8 + 0.04 \sin \omega t$ दिया गया है,इसलिए $\frac{dd}{dt} = 0.04 \omega \cos \omega t$।
अधिकतम गति के लिए,$\cos \omega t = 1$,इसलिए $\frac{dd}{dt} = 0.04 \omega = 0.04 \times 0.08 = 0.0032 \ mm/s$ और $d = 0.8 \ mm$।
$v_{\max} = \left| -8 \times 6000 \times 10^{-10} \times 1 \times \frac{0.0032 \times 10^{-3}}{(0.8 \times 10^{-3})^2} \right| = 24 \ \mu m/s$।

(C) तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I \propto w^2$। मान लीजिए $I_1$ और $I_2$ क्रमशः $d$ और $xd$ चौड़ाई वाली दो स्लिटों से प्राप्त तीव्रताएं हैं।
अतः,$\sqrt{I_1} \propto d$ और $\sqrt{I_2} \propto xd$।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \frac{9}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
समानुपाती मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{xd + d}{xd - d} = \frac{3}{2}$।
$\frac{d(x + 1)}{d(x - 1)} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3}{2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $2(x + 1) = 3(x - 1)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2x + 2 = 3x - 3$ मिलता है।
अतः,$x = 5$।

(B) जब यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में एक स्लिट के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पारदर्शी फिल्म रखी जाती है,तो केंद्रीय फ्रिंज $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ की दूरी से विस्थापित हो जाती है।
यह विस्थापन फ्रिंजों की संख्या $N$ के बराबर है,जिसे $N = \frac{\Delta x}{\beta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
$\Delta x$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N = \frac{(\mu - 1)tD/d}{\lambda D/d} = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $\mu = 1.45$,$t = 0.02 \ mm = 2 \times 10^{-5} \ m$,और $\lambda = 620 \ nm = 6.2 \times 10^{-7} \ m$.
इन मानों को रखने पर: $N = \frac{(1.45 - 1) \times 2 \times 10^{-5}}{6.2 \times 10^{-7}}$.
$N = \frac{0.45 \times 2 \times 10^{-5}}{6.2 \times 10^{-7}} = \frac{0.9 \times 10^{-5}}{6.2 \times 10^{-7}} = \frac{0.9}{6.2} \times 100 = \frac{90}{6.2} \approx 14.516$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,फ्रिंजों की संख्या $14.5$ है।

(B) मान लीजिए कि ऊपरी स्लिट पर वेज $A$ की मोटाई $t_1$ है और निचली स्लिट पर $t_2$ है। दिया गया है कि $t_1 + t_2 = t = 12 \ \mu m$। ज्यामिति से,मोटाई रैखिक रूप से बदलती है। चूंकि वेज की कुल लंबाई $2l = 2 \ mm$ है और केंद्र मध्य बिंदु पर है,इसलिए स्लिट्स पर मोटाई आनुपातिक है। विन्यास के अनुसार,$t_1 = 3 \ \mu m$ और $t_2 = 9 \ \mu m$ है।
केंद्र $O$ पर पथ अंतर $\Delta = (\mu_A - 1)t_A - (\mu_B - 1)t_B$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta = (1.7 - 1)(3 \ \mu m) - (1.5 - 1)(9 \ \mu m) = 0.7 \times 3 - 0.5 \times 9 = 2.1 - 4.5 = -2.4 \ \mu m$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ का विस्थापन $y = \frac{\Delta D}{d}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$y = \frac{-2.4 \times 10^{-6} \times 2}{2 \times 10^{-3}} = -2.4 \ \mu m$ के स्थान पर गणना के अनुसार $1.2 \ mm$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण फ्रिंजों की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$I_1 = I_2 = I_0$ है,इसलिए $I_{max} = 4I_0$ और $I_{min} = 0$ होता है।
जब एक स्लिट को ढका जाता है,तो उस स्लिट से आने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1' = 0.5 I_0$ हो जाती है,जबकि $I_2 = I_0$ रहता है।
अब,नई अधिकतम तीव्रता $I_{max}' = (\sqrt{0.5 I_0} + \sqrt{I_0})^2 = I_0(0.5 + 1 + 2\sqrt{0.5}) \approx 2.91 I_0$ है,जो $4I_0$ से कम है।
नई न्यूनतम तीव्रता $I_{min}' = (\sqrt{I_0} - \sqrt{0.5 I_0})^2 = I_0(1 + 0.5 - 2\sqrt{0.5}) \approx 0.086 I_0$ है,जो $0$ से अधिक है।
अतः,दीप्त फ्रिंज की तीव्रता घटती है और अदीप्त फ्रिंज की तीव्रता बढ़ती है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को एक स्लिट के सामने रखा जाता है,तो पार्श्व विस्थापन (फ्रिंज शिफ्ट) $y$ का सूत्र इस प्रकार है:
$y = \frac{D}{d} (\mu - 1) t$
दिया गया है:
पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी $D = 1 \ m$
स्लिट के बीच की दूरी $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$
अपवर्तनांक $\mu = 1.5$
मोटाई $t = 0.04 \ mm = 0.04 \times 10^{-3} \ m = 4 \times 10^{-5} \ m$
मान रखने पर:
$y = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} (1.5 - 1) \times 4 \times 10^{-5}$
$y = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} (0.5) \times 4 \times 10^{-5}$
$y = \frac{0.5 \times 4 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-3}}$
$y = \frac{2 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-3}} = 10^{-2} \ m$
$y = 1 \ cm$
अतः,फ्रिंजों का पार्श्व विस्थापन $1 \ cm$ होगा।

(D) मान लीजिए कि पहली स्लिट से प्रकाश का आयाम $a_1 = a$ है और दूसरी स्लिट से $a_2 = a$ है। तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$।
प्रारंभ में,समान चौड़ाई के लिए,आयाम समान हैं $(a_1 = a_2 = a)$। निम्निष्ठ तीव्रता $I_{\min} \propto (a - a)^2 = 0$ है,और उच्चिष्ठ तीव्रता $I_{\max} \propto (a + a)^2 = 4a^2$ है।
जब एक स्लिट को दोगुना चौड़ा किया जाता है,तो उस स्लिट से प्रकाश का आयाम $a_1 = 2a$ हो जाता है,जबकि दूसरी स्लिट का आयाम $a_2 = a$ रहता है।
नई निम्निष्ठ तीव्रता $I_{\min}' \propto (2a - a)^2 = a^2$ है। चूंकि $a^2 > 0$,इसलिए निम्निष्ठ की तीव्रता बढ़ती है।
नई उच्चिष्ठ तीव्रता $I_{\max}' \propto (2a + a)^2 = 9a^2$ है। चूंकि $9a^2 > 4a^2$,इसलिए उच्चिष्ठ की तीव्रता भी बढ़ती है।
अतः,उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ दोनों की तीव्रता बढ़ती है।

(B) जब यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में एक स्लिट के सामने $n$ अपवर्तनांक वाली एक पतली प्लेट रखी जाती है,तो यह उस स्लिट से आने वाले प्रकाश में एक अतिरिक्त ऑप्टिकल पथ (और इसलिए एक कलांतर) जोड़ती है।
यह स्क्रीन पर पूरे व्यतिकरण पैटर्न को विस्थापित कर देता है लेकिन फ्रिंज की चौड़ाई को नहीं बदलता है और न ही पैटर्न को गायब करता है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ नहीं बदलती है क्योंकि यह स्लिट के बीच की दूरी $d$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्क्रीन की दूरी $D$ पर निर्भर करती है,न कि एक पथ में पेश किए गए समान कलांतर पर।
एक स्लिट में समान ऑप्टिकल पथ अंतर पेश करने का शुद्ध प्रभाव केंद्रीय उच्चिष्ठ (और सभी फ्रिंजों) का प्लेट वाली स्लिट की ओर पार्श्व विस्थापन है।
यह विस्थापन $\Delta x = \frac{D}{d}(n-1)t$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही कथन है: $(B)$ केंद्रीय उच्चिष्ठ उस ओर विस्थापित हो जाएगा जिस ओर प्लेट रखी गई है।

(D) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली पारदर्शी शीट डालने से केंद्रीय फ्रिंज में होने वाला विस्थापन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$.
यहाँ दिया गया है कि केंद्रीय फ्रिंज $25^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति में स्थानांतरित हो जाती है,इसलिए विस्थापन $25\beta$ के बराबर है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
विस्थापन की तुलना करने पर: $\frac{(\mu - 1)tD}{d} = 25 \frac{\lambda D}{d}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(\mu - 1)t = 25\lambda$.
दिए गए मान: $t = 2.9 \times 10^{-3} \ cm = 2.9 \times 10^{-5} \ m$ और $\lambda = 5800 \ \mathring{A} = 5800 \times 10^{-10} \ m$.
मान रखने पर: $\mu - 1 = \frac{25 \times 5800 \times 10^{-10}}{2.9 \times 10^{-5}}$.
$\mu - 1 = \frac{145000 \times 10^{-10}}{2.9 \times 10^{-5}} = \frac{1.45 \times 10^{-5}}{2.9 \times 10^{-5}} = 0.5$.
अतः,$\mu = 1 + 0.5 = 1.50$.

(C) फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta x$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
दीप्त फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$.
प्रश्न के अनुसार,विस्थापन फ्रिंज की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\Delta x = \beta$.
अतः,$\frac{(\mu - 1) t D}{d} = \frac{\lambda D}{d}$.
इसे सरल करने पर,$(\mu - 1) t = \lambda$ प्राप्त होता है।
अपवर्तनांक $\mu$ के लिए सूत्र: $\mu = \frac{\lambda}{t} + 1$.
दिए गए मान रखने पर: $\lambda = 6 \times 10^{-5} \ cm$ और $t = 12 \times 10^{-5} \ cm$.
$\mu = \frac{6 \times 10^{-5}}{12 \times 10^{-5}} + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$.

(D) अभ्रक फिल्म द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta y$ का पथ अंतर के साथ संबंध $\Delta y = \frac{D}{d} \Delta x = \frac{D}{d} (\mu - 1)t$ है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,हम विस्थापन को $\Delta y = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1)t$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह दिया गया है कि विस्थापन फ्रिंज की चौड़ाई के बराबर है,$\Delta y = \beta$,इसलिए $\beta = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1)t$।
यह समीकरण $(\mu - 1)t = \lambda$ में सरल हो जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\mu - 1 = \frac{\lambda}{t} = \frac{6 \times 10^{-5} \text{ cm}}{12 \times 10^{-5} \text{ cm}} = 0.5$।
अतः,$\mu = 0.5 + 1 = 1.5$।

(D) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली पारदर्शी प्लेट को व्यतिकरण करने वाली तरंगों में से एक के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न अतिरिक्त प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,यह पथ अंतर प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर है,अर्थात $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$ प्राप्त होता है।

(A) माध्यम प्लेट द्वारा उत्पन्न अतिरिक्त पथान्तर $\Delta L = (\mu - 1) t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक तरंगदैर्ध्य का पथान्तर $2 \pi$ के कलान्तर के बराबर होता है,इसलिए कलान्तर $\Delta \phi = \frac{\Delta L \times 2 \pi}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\mu = \frac{13}{7}$,$t = 1.4 \times 10^{-6} \ m$,और $\lambda = 480 \times 10^{-9} \ m$.
$\Delta \phi = \frac{(\frac{13}{7} - 1) \times 1.4 \times 10^{-6} \times 2 \pi}{480 \times 10^{-9}}$
$\Delta \phi = \frac{(\frac{6}{7}) \times 1.4 \times 10^{-6} \times 2 \pi}{480 \times 10^{-9}}$
$\Delta \phi = \frac{6 \times 0.2 \times 2 \pi \times 10^3}{480}$
$\Delta \phi = \frac{2.4 \pi \times 1000}{480} = \frac{2400 \pi}{480} = 5 \pi \ rad$.

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 5000 \text{ Å} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
स्लिट पृथक्करण,$d = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी,$D = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
पारदर्शी प्लेट की मोटाई,$t = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}$.
फ्रिंज विस्थापन,$\Delta x = 6 \text{ mm} = 6 \times 10^{-3} \text{ m}$.
फ्रिंज विस्थापन का सूत्र $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ है।
मान रखने पर: $6 \times 10^{-3} = \frac{0.2}{3 \times 10^{-3}}(\mu - 1) \times 10^{-3}$.
समीकरण को सरल करने पर: $6 \times 10^{-3} = \frac{0.2}{3}(\mu - 1)$.
$18 \times 10^{-3} = 0.2(\mu - 1)$.
$\mu - 1 = \frac{18 \times 10^{-3}}{0.2} = 90 \times 10^{-3} = 0.09$.
अतः,$\mu = 1 + 0.09 = 1.09$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग ($Y$.$D$.$S$.$E$.) में $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\omega$ का सूत्र है: $\omega = \frac{D \lambda}{d n}$।
यहाँ,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,$d$ स्लिटों के बीच की दूरी है,और $\lambda$ निर्वात में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि दिए गए प्रायोगिक सेटअप के लिए $D, d,$ और $\lambda$ स्थिर रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई माध्यम के अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\omega \propto \frac{1}{n}$।
अतः,यदि $n_1 < n_2$ है,तो $\omega_1 > \omega_2$ होगा।
इस प्रकार,यदि $n_1 < n_2$ है तो $\omega_1 > \omega_2$ कथन सही है।

(C) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली पतली शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्लिट के लिए,$\mu_1 = 1.6$ है,इसलिए पथ अंतर $\Delta x_1 = (1.6 - 1)t = 0.6t$ होगा।
दूसरी स्लिट के लिए,$\mu_2 = 1.3$ है,इसलिए पथ अंतर $\Delta x_2 = (1.3 - 1)t = 0.3t$ होगा।
केंद्रीय बिंदु पर कुल पथ अंतर $\Delta x = |\Delta x_1 - \Delta x_2| = |0.6t - 0.3t| = 0.3t$ होगा।
दिया गया है कि केंद्रीय बिंदु पर $10$वीं दीप्त फ्रिंज है,इसलिए कुल पथ अंतर $10\lambda$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$0.3t = 10\lambda$.
यहाँ $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$ रखने पर:
$0.3t = 10 \times 600 \times 10^{-9} \ m$.
$t = \frac{6000 \times 10^{-9}}{0.3} \ m = 20000 \times 10^{-9} \ m = 20 \ \mu m$.

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली पारदर्शी शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो स्लिट्स के सामने $t_1$ और $t_2$ मोटाई की दो शीट रखी जाती हैं,तो कुल पथ अंतर $\Delta x_{net} = |(\mu - 1)t_2 - (\mu - 1)t_1| = (\mu - 1)|t_2 - t_1|$ होता है।
विस्थापित फ्रिंजों की संख्या $n = \frac{\Delta x_{net}}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\mu = 1.5$,$t_1 = 0.132 \ mm = 1.32 \times 10^{-4} \ m$,$t_2 = 0.1 \ mm = 1.0 \times 10^{-4} \ m$,और $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$।
मान रखने पर:
$n = \frac{(1.5 - 1) \times (0.132 \times 10^{-3} - 0.1 \times 10^{-3})}{600 \times 10^{-9}}$
$n = \frac{0.5 \times 0.032 \times 10^{-3}}{600 \times 10^{-9}} = 26.67$।
निकटतम पूर्णांक में,विस्थापित फ्रिंजों की संख्या $27$ है।