Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Hindi

(D) व्यतिकरण,विवर्तन और परावर्तन की घटनाएं अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगों में देखी जाती हैं।
ध्रुवण केवल अनुप्रस्थ तरंगों का एक विशिष्ट गुण है क्योंकि इसमें तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलनों का अभिविन्यास शामिल होता है।
अनुदैर्ध्य तरंगें,जिनमें दोलन प्रसार की दिशा के समानांतर होते हैं,उन्हें ध्रुवित नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,दो प्रकार की तरंगों के बीच अंतर करने के लिए ध्रुवण सही गुणधर्म है।

(C) क्रिस्टलों को उनके प्रकाशीय गुणों के आधार पर आइसोट्रोपिक,यूनीएक्सियल (एक-अक्षीय) और बाइएक्सियल (द्वि-अक्षीय) क्रिस्टलों में वर्गीकृत किया जाता है।
$1$. आइसोट्रोपिक क्रिस्टल (जैसे,कांच,रॉक साल्ट) सभी दिशाओं में समान अपवर्तनांक रखते हैं।
$2$. यूनीएक्सियल क्रिस्टल (जैसे,कैल्साइट,क्वार्ट्ज,टूरमैलीन) में एक ऑप्टिकल अक्ष होता है।
$3$. बाइएक्सियल क्रिस्टल (जैसे,सेलेनाइट,माइका,एरागोनाइट) में दो ऑप्टिकल अक्ष होते हैं।
दिए गए विकल्पों में से,सेलेनाइट एक द्वि-अक्षीय क्रिस्टल है,जबकि कैल्साइट,क्वार्ट्ज और टूरमैलीन एक-अक्षीय क्रिस्टल हैं। इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) ध्रुवीकरण की घटना अनुप्रस्थ तरंगों का एक अनूठा गुण है। अनुदैर्ध्य तरंगें,जैसे कि ध्वनि तरंगें,ध्रुवीकृत नहीं हो सकती हैं क्योंकि उनके दोलन प्रसार की दिशा के अनुदिश होते हैं। चूंकि प्रकाश तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है,यह पुष्टि करता है कि प्रकाश तरंगें प्रकृति में अनुप्रस्थ होती हैं।

(A) ध्रुवीकरण एक ऐसी घटना है जो केवल अनुप्रस्थ तरंगों में ही होती है।
अनुप्रस्थ तरंगों में,माध्यम के कणों के दोलन (या प्रकाश के मामले में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश) तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं।
चूंकि प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं और उनके विद्युत क्षेत्र के सदिश प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं,इसलिए वे ध्रुवीकरण का गुण प्रदर्शित करती हैं।
अनुदैर्ध्य तरंगों,जैसे ध्वनि तरंगों,का ध्रुवीकरण नहीं किया जा सकता क्योंकि उनके दोलन प्रसार की दिशा के अनुदिश होते हैं।

(C) प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं,जबकि ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं।
ध्रुवण एक ऐसी घटना है जो केवल अनुप्रस्थ तरंगों में ही होती है।
चूंकि ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं,इसलिए उनका ध्रुवण नहीं किया जा सकता है।
अतः,ध्रुवण वह विशेषता है जो प्रकाश तरंगों को ध्वनि तरंगों से अलग करती है।

(D) पोलरॉइड से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I = I_0 \cos^2 \theta$,जहाँ $\theta$ आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल और पोलरॉइड की संचरण अक्ष के बीच का कोण है।
जैसे ही पोलरॉइड को $2\pi$ $(360^\circ)$ घुमाया जाता है,कोण $\theta$ का मान $0$ से $2\pi$ तक बदलता है।
- तीव्रता $I$ अधिकतम $(I = I_0)$ होती है जब $\theta = 0$ और $\theta = \pi$ हो (दो बार)।
- तीव्रता $I$ शून्य होती है जब $\theta = \pi/2$ और $\theta = 3\pi/2$ हो (दो बार)।
अतः,एक पूर्ण घूर्णन के दौरान,प्रकाश की तीव्रता दो बार अधिकतम और दो बार शून्य होती है।

(A) निकोल प्रिज्म कैल्साइट क्रिस्टल से बना एक ऑप्टिकल उपकरण है जो समतल-ध्रुवित प्रकाश उत्पन्न करता है।
जब अध्रुवित प्रकाश निकोल प्रिज्म में प्रवेश करता है,तो यह द्वि-अपवर्तन के माध्यम से साधारण ($O$-किरण) और असाधारण ($E$-किरण) किरणों में विभाजित हो जाता है।
$O$-किरण को कनाडा बालसम परत पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा हटा दिया जाता है,जबकि $E$-किरण समतल-ध्रुवित प्रकाश के रूप में बाहर निकलती है,न कि दीर्घवृत्तीय ध्रुवित प्रकाश के रूप में।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया कथन गलत है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब अध्रुवित प्रकाश किसी पारदर्शी सतह पर ध्रुवण कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूर्णतः समतल-ध्रुवित होता है।
इस परावर्तित प्रकाश का विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन के तल के लंबवत दिशा में कंपन करता है।
दिए गए चित्र में,कांच की प्लेट को एक क्षैतिज मेज पर लंबवत रखा गया है। आपतन का तल वह तल है जिसमें आपतित किरण और सतह पर अभिलंब स्थित होते हैं। चूंकि प्रकाश एक ऊर्ध्वाधर सतह पर अभिलंब के साथ एक कोण पर आपतित हो रहा है,इसलिए आपतन का तल क्षैतिज है।
अतः,परावर्तित प्रकाश का विद्युत सदिश,क्षैतिज आपतन तल के लंबवत होने के कारण,एक ऊर्ध्वाधर (Vertical) तल में कंपन करेगा।

(A) पोलरॉइड ग्लास ध्रुवण (polarisation) के कारण प्रकाश की तीव्रता को आधा करके चकाचौंध (glare) और धुंध को कम करते हैं। इससे आंखों को अधिक आराम मिलता है और देखने वाला व्यक्ति बेहतर देख पाता है,इसीलिए इनका उपयोग धूप के चश्मों में किया जाता है।

(C) प्रकाश के $\text{ध्रुवण}$ $(Polarisation)$ की घटना यह स्थापित करती है कि प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ प्रकृति की होती हैं। इससे पहले यह माना जाता था कि प्रकाश तरंगें ध्वनि तरंगों की तरह अनुदैर्ध्य (longitudinal) तरंगें हैं। चूंकि केवल अनुप्रस्थ तरंगों का ही ध्रुवण किया जा सकता है, इसलिए ध्रुवण का अवलोकन प्रकाश की अनुप्रस्थ प्रकृति की पुष्टि करता है।

(D) आयामों के लिए मेलस के नियम के अनुसार,एक विश्लेषक के माध्यम से प्रेषित प्रकाश का आयाम $A' = A \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रारंभिक आयाम है और $\theta$ ध्रुवक और विश्लेषक के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
दिया गया है,$A = A$ और $\theta = 60^o$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A' = A \cos(60^o)$.
चूंकि $\cos(60^o) = 1/2$,इसलिए विश्लेषक द्वारा प्रेषित प्रकाश का आयाम $A' = A \times (1/2) = A/2$ होगा।

(D) एक द्वि-अपवर्तक क्रिस्टल में,आपतित अध्रुवित प्रकाश दो समतल-ध्रुवित किरणों में विभाजित हो जाता है।
$1$. साधारण किरण ($O$-ray) अपवर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती है और इसके कंपन मुख्य अनुभाग (आपतन तल) के लंबवत होते हैं।
$2$. असाधारण किरण ($E$-ray) अपवर्तन के सामान्य नियमों का पालन नहीं करती है और इसके कंपन मुख्य अनुभाग (आपतन तल) के भीतर होते हैं।
इसलिए,$E$-ray आपतन तल में ध्रुवीकृत होती है,और $O$-ray आपतन तल के लंबवत ध्रुवीकृत होती है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) पोलरीमीटर ट्यूब द्वारा उत्पन्न घूर्णन $\theta = S \cdot l \cdot c$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ विशिष्ट घूर्णन है,$l$ ट्यूब की लंबाई है,और $c$ सांद्रता है।
पहली ट्यूब के लिए (डेक्सट्रो-रोटेटरी): $\theta_1 = S_1 \cdot l \cdot c_1 = 0.01 \times 0.29 \times 60 = 0.174 \ rad$.
दूसरी ट्यूब के लिए (लेवो-रोटेटरी): $\theta_2 = S_2 \cdot l \cdot c_2 = 0.02 \times 0.29 \times 30 = 0.174 \ rad$.
चूंकि पहला घोल डेक्सट्रो-रोटेटरी (धनात्मक घूर्णन) है और दूसरा लेवो-रोटेटरी (ऋणात्मक घूर्णन) है,इसलिए शुद्ध घूर्णन $\theta_{net} = \theta_1 - \theta_2 = 0.174 - 0.174 = 0 \ rad$ है।
अतः,उत्पन्न शुद्ध घूर्णन $0^\circ$ है।

(C) द्वि-अपवर्तन में,एक आपतित प्रकाश किरण दो किरणों में विभाजित हो जाती है: साधारण किरण ($O$-किरण) और असाधारण किरण ($E$-किरण)।
कैल्साइट जैसे नकारात्मक एक-अक्षीय क्रिस्टल के लिए,असाधारण किरण का वेग $(V_E)$,साधारण किरण के वेग $(V_o)$ से अधिक होता है,जिसका अर्थ है $\mu_E < \mu_o$ या $\mu_o > \mu_E$।
अतः,कैल्साइट के लिए $V_o < V_E$ और $\mu_o > \mu_E$ होता है।
क्वार्ट्ज जैसे सकारात्मक एक-अक्षीय क्रिस्टल के लिए,असाधारण किरण का वेग $(V_E)$,साधारण किरण के वेग $(V_o)$ से कम होता है,जिसका अर्थ है $\mu_E > \mu_o$।
इसलिए,विकल्प $(c)$ कैल्साइट के लिए संबंध का सही वर्णन करता है।

(D) मेलस के नियम के अनुसार,जब $I_0$ तीव्रता का समतल-ध्रुवित प्रकाश एक विश्लेषक से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ विश्लेषक की संचरण अक्ष और आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,यदि संचरण अक्ष ध्रुवण तल के साथ संरेखित है,तो $\theta = 0^{\circ}$,तब $I = I_0 \cos^2(0^{\circ}) = I_0$ (अधिकतम तीव्रता)।
जैसे ही विश्लेषक को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,कोण $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बदल जाता है।
$\theta = 90^{\circ}$ पर,तीव्रता $I = I_0 \cos^2(90^{\circ}) = 0$ (न्यूनतम तीव्रता)।
अतः,जैसे-जैसे विश्लेषक को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,तीव्रता अधिकतम मान $(I_0)$ से शून्य तक लगातार बदलती रहती है।
इसलिए,सही उत्तर विकल्प $(D)$ है।

(A) कथन $A$ सही है: न्यूक्लिक एसिड ऑप्टिकली सक्रिय अणु होते हैं। गोलाकार ध्रुवीकृत प्रकाश इन अणुओं की हेलिकल संरचना के साथ अलग तरह से प्रतिक्रिया करता है,जिससे शोधकर्ताओं को सर्कुलर डिकोइज़्म जैसी तकनीकों का उपयोग करके उनकी संरचना का अध्ययन करने की अनुमति मिलती है।
कथन $B$ सही है: ऑप्टिकल अक्ष को क्रिस्टल के भीतर एक विशिष्ट दिशा के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसके साथ साधारण और असाधारण किरणें समान वेग से यात्रा करती हैं। यह एक दिशा है,न कि अंतरिक्ष में कोई निश्चित रेखा,जिसका अर्थ है कि इस दिशा के समानांतर कोई भी रेखा भी एक ऑप्टिकल अक्ष है।

(C) माना आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले निकोल प्रिज्म (ध्रुवक) से गुजरता है,तो पारगमित ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे निकोल प्रिज्म (विश्लेषक) से गुजरता है,जो पहले प्रिज्म के साथ $\theta = 60^\circ$ के कोण पर स्थित है,तो पारगमित तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_2 = \frac{I_0}{2} \cos^2(60^\circ) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$।
पारगमित प्रकाश का प्रतिशत $\frac{I_2}{I_0} \times 100 = \frac{1}{8} \times 100 = 12.5\%$ है।

(B) मान लीजिए $I_0$ अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है।
जब यह पहले ध्रुवक (polarizer) से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
जब यह प्रकाश दूसरे ध्रुवक से गुजरता है,तो अंतिम पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_2$ मेलस के नियम द्वारा दी जाती है: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$,जहाँ $\theta$ शीटों की अभिलक्षणिक दिशाओं के बीच का कोण है।
दिया गया है कि अंतिम तीव्रता $I_2$ पहले पारगमित पुंज की अधिकतम तीव्रता $(I_1)$ का एक-तिहाई है,इसलिए $I_2 = \frac{1}{3} I_1$ है।
इसे समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{3} I_1 = I_1 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ है।
कोण की गणना करने पर: $\theta = \cos^{-1}(0.577) \approx 54.7^o$,जो लगभग $55^o$ है।

(B) $P_1$ और $P_2$ की संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta_1 = 30^\circ$ (दिया गया है)।
अंतिम पोलराइज़र $P_3$ की संचरण अक्ष पहले पोलराइज़र $P_1$ के साथ लंबवत है,जिसका अर्थ है कि $P_1$ और $P_3$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
इसलिए,$P_2$ और $P_3$ की संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta_2 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ होगा।
पहले पोलराइज़र $P_1$ द्वारा प्रेषित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{32}{2} = 16 \ W m^{-2}$ है।
मेलस के नियम के अनुसार,$P_2$ द्वारा प्रेषित प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ) = 16 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 16 \times \frac{3}{4} = 12 \ W m^{-2}$ है।
इसी प्रकार,$P_3$ द्वारा प्रेषित प्रकाश की तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(60^\circ) = 12 \times (\frac{1}{2})^2 = 12 \times \frac{1}{4} = 3 \ W m^{-2}$ है।

(B) ऑप्टिकल घूर्णन के लिए समीकरण: $\theta = a + \frac{b}{\lambda^2}$.
$\lambda_1 = 5000 \ \mathring{A}$ पर,$\theta_1 = 30^\circ$ प्रति mm: $30 = a + \frac{b}{(5000)^2} \quad (1)$.
$\lambda_2 = 4000 \ \mathring{A}$ पर,$\theta_2 = 50^\circ$ प्रति mm: $50 = a + \frac{b}{(4000)^2} \quad (2)$.
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$50 - 30 = b \left( \frac{1}{4000^2} - \frac{1}{5000^2} \right) = b \left( \frac{5000^2 - 4000^2}{4000^2 \times 5000^2} \right)$.
$20 = b \left( \frac{1000 \times 9000}{400 \times 10^{12}} \right) = b \left( \frac{9 \times 10^6}{400 \times 10^{12}} \right) = b \left( \frac{9}{400 \times 10^6} \right)$.
$b = \frac{20 \times 400 \times 10^6}{9} = \frac{8000 \times 10^6}{9}$.
$b$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a = 30 - \frac{8000 \times 10^6}{9 \times 25 \times 10^6} = 30 - \frac{8000}{225} = 30 - \frac{320}{9} = \frac{270 - 320}{9} = - \frac{50^\circ}{9} \text{ प्रति mm}$.

(B) एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में,अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ को $\vec{E} = E_0 \sin(kx - \omega t) \hat{n}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$E_0$ आयाम है,$k$ तरंग संख्या है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $t$ समय है।
विद्युत क्षेत्र सदिश का परिमाण $|\vec{E}| = |E_0 \sin(kx - \omega t)|$ है।
चूंकि साइन फलन $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए किसी भी निश्चित स्थान $x$ पर विद्युत क्षेत्र सदिश का परिमाण समय के साथ आवर्ती रूप से बदलता रहता है।

(A) एक प्रकाशिक सक्रिय यौगिक वह पदार्थ है जिसमें समतल ध्रुवित प्रकाश के कंपन तल को घुमाने की क्षमता होती है।
जब समतल ध्रुवित प्रकाश ऐसे पदार्थ से होकर गुजरता है,तो ध्रुवण का तल प्रकाश के संचरण की दिशा के चारों ओर एक निश्चित कोण से घूम जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) न्यूक्लिक एसिड,जैसे कि $DNA$,की हेलिकल संरचना का अध्ययन $X$-ray क्रिस्टलोग्राफी का उपयोग करके किया जाता है।
इस तकनीक में,संरचना निर्धारित करने के लिए मुख्य रूप से $X$-ray के विवर्तन का उपयोग किया जाता है।
हालाँकि,जैविक अणुओं की हेलिकल प्रकृति से जुड़े विशिष्ट ऑप्टिकल अध्ययनों के संदर्भ में,इन अणुओं की हेलिकल संरचना और उनकी दिशा (handedness) का विश्लेषण करने के लिए ध्रुवण (विशेष रूप से सर्कुलर डाइक्रोइज्म) के गुण का उपयोग किया जाता है।
इसलिए,इस विशिष्ट अध्ययन के लिए ध्रुवण ही सही गुण है।

(A) विशिष्ट घूर्णन का सूत्र $\alpha = \frac{\theta}{l \cdot c}$ है,जहाँ $\theta$ ऑप्टिकल रोटेशन है,$l$ ट्यूब की लंबाई है और $c$ शुद्ध चीनी की सांद्रता है।
शुद्ध चीनी की सांद्रता ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $c = \frac{\theta}{\alpha \cdot l}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $c = \frac{0.4}{0.01 \times 0.25} = \frac{0.4}{0.0025} = 160 \ kg/m^3$.
शुद्धता का प्रतिशत शुद्ध चीनी की सांद्रता और अशुद्ध नमूने की सांद्रता के अनुपात को $100$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
शुद्धता का प्रतिशत $= \left( \frac{160}{200} \right) \times 100 = 80\%$.

(D) जब $I_0$ तीव्रता का प्राकृतिक (अध्रुवित) प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो संचरित तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
अगले $5$ पोलरॉइड्स के लिए,हम मालस के नियम का उपयोग करते हैं: $I_n = I_{n-1} \cos^2(\theta)$,जहाँ $\theta = 30^\circ$ है।
सभी $6$ पोलरॉइड्स से गुजरने के बाद अंतिम तीव्रता $I_6$ इस प्रकार है:
$I_6 = I_1 \times (\cos^2 30^\circ)^5 = \frac{I_0}{2} \times (\cos^2 30^\circ)^5$.
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का मान रखने पर:
$I_6 = \frac{I_0}{2} \times \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{I_0}{2} \times \frac{243}{1024} = \frac{243}{2048} I_0 \approx 0.1186 I_0$.
प्रतिशत में बदलने पर: $0.1186 \times 100 \approx 11.86\% \approx 12\%$.

(A) मेलस के नियम के अनुसार,संचरित प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ है,जहाँ $I_0$ आपतित तीव्रता है और $\theta$ ध्रुवीकरण दिशा और पोलराइज़र अक्ष के बीच का कोण है।
चूंकि पोलराइज़र घूम रहा है,इसलिए एक परिक्रमण में $\theta$ का मान $0$ से $2\pi$ तक बदलता है।
औसत तीव्रता $I_{av} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} I_0 \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{I_0}{2}$ प्राप्त होती है।
आपतित शक्ति $P = 10^{-3} \, W$ है। आपतित तीव्रता $I_0 = \frac{P}{A} = \frac{10^{-3}}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10}{3} \, W/m^2$ है।
संचरित औसत शक्ति $P_{av} = I_{av} \times A = \frac{I_0}{2} \times A = \frac{P}{2} = \frac{10^{-3}}{2} = 0.5 \times 10^{-3} \, W$ है।
एक परिक्रमण के लिए समय अवधि $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \times 3.14}{31.4} = 0.2 \, s$ है।
प्रति परिक्रमण पोलराइज़र से गुजरने वाली ऊर्जा $E = P_{av} \times T = (0.5 \times 10^{-3}) \times 0.2 = 10^{-4} \, J$ है।

(C) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले निकोल प्रिज्म (ध्रुवक) से गुजरता है,तो निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे निकोल प्रिज्म (विश्लेषक) से गुजरता है जो पहले प्रिज्म के साथ $\theta = 60^o$ के कोण पर है,तो निर्गत तीव्रता $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = I_1 \cos^2 \theta = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2(60^o)$.
चूंकि $\cos(60^o) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\cos^2(60^o) = \frac{1}{4}$ होगा।
अतः,$I = \left(\frac{I_0}{2}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{I_0}{8}$.
निकाय से गुजरने वाले प्रकाश का प्रतिशत $\left(\frac{I}{I_0}\right) \times 100 = \left(\frac{I_0/8}{I_0}\right) \times 100 = \frac{100}{8} = 12.5\%$ है।

(B) पोलराइज़र एक ऑप्टिकल उपकरण है जो अध्रुवित प्रकाश को ध्रुवित प्रकाश में परिवर्तित करता है। यह केवल उन प्रकाश तरंगों को गुजरने देता है जिनके विद्युत क्षेत्र सदिश एक विशिष्ट तल में दोलन करते हैं। इसलिए,पोलराइज़र का प्राथमिक कार्य ध्रुवित प्रकाश उत्पन्न करना है।

(A) ध्रुवीकरण केवल अनुप्रस्थ तरंगों में होने वाली एक घटना है। चूंकि प्रकाश तरंगें ध्रुवीकरण प्रदर्शित करती हैं,यह पुष्टि करता है कि प्रकाश प्रकृति में एक अनुप्रस्थ तरंग है। अनुदैर्ध्य तरंगों,जैसे कि ध्वनि तरंगों,का ध्रुवीकरण नहीं किया जा सकता है क्योंकि उनके दोलन तरंग संचरण की दिशा में होते हैं।

(B) मालस के नियम के अनुसार,पोलेरॉइड से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,कोण $\theta = 45^\circ$ है।
मान रखने पर: $I = I_0 \cos^2(45^\circ)$.
चूंकि $\cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $\cos^2(45^\circ) = 1/2$ होगा।
अतः,$I = I_0 \times (1/2) = I_0 / 2$।

(B) जब अध्रुवित प्रकाश पहले निकोल प्रिज्म (ध्रुवक) पर आपतित होता है,तो निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{1}{2} I_0$ होती है,जहाँ $I_0$ आपतित प्रकाश की तीव्रता है।
प्रारंभ में,दोनों निकोल एक-दूसरे के लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta_{initial} = 90^{\circ}$ है।
जब उनमें से एक को $60^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो संचरण अक्षों के बीच का नया कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ हो जाता है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे निकोल प्रिज्म (विश्लेषक) से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_1 \cos^2 \theta$ होती है।
मान रखने पर: $I = (\frac{1}{2} I_0) \cos^2 30^{\circ}$।
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\cos^2 30^{\circ} = \frac{3}{4}$।
अतः,$I = \frac{1}{2} I_0 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} I_0$।
निकाय से गुजरने वाले आपतित प्रकाश का प्रतिशत $\frac{I}{I_0} \times 100 = \frac{3}{8} \times 100 = 37.5\%$ है।

(C) चरण $1$: जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $A$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता प्रारंभिक तीव्रता की आधी हो जाती है।
$I_A = \frac{I_0}{2}$
चरण $2$: मालस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड $B$ से गुजरता है,जिसका संचरण अक्ष $A$ के संचरण अक्ष के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाता है,तो निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I_B$ इस प्रकार दी जाती है:
$I_B = I_A \cos^2 \theta$
चरण $3$: मान रखने पर:
$I_B = \frac{I_0}{2} \cos^2(45^{\circ})$
चूंकि $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2(45^{\circ}) = \frac{1}{2}$।
$I_B = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$

(C) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक पोलराइजिंग शीट पर आपतित होता है,तो पारगमित तीव्रता अध्रुवित प्रकाश के लिए मैलस के नियम की अवधारणा के अनुसार $I = \frac{1}{2} I_0$ होती है।
चूंकि कुल आपतित तीव्रता $I_0$ है और पारगमित तीव्रता $\frac{1}{2} I_0$ है,इसलिए जो प्रकाश पारगमित नहीं होता है (अवशोषित तीव्रता) वह $I_{absorbed} = I_0 - \frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} I_0$ होगी।

(A) मालस के नियम के अनुसार,संचरित प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\theta$ पोलराइज़र और एनालाइज़र के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,तीव्रता अधिकतम है,जिसका अर्थ है कि अक्ष समानांतर हैं $(\theta = 0^{\circ})$।
जब एनालाइज़र को $60^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो नया कोण $\theta = 60^{\circ}$ हो जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$I = I_0 \cos^2(60^{\circ})$
$I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$I = \frac{I_0}{4}$

(C) प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ (transverse) प्रकृति की होती हैं और इन्हें ध्रुवित किया जा सकता है,जबकि ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य (longitudinal) प्रकृति की होती हैं और इन्हें ध्रुवित नहीं किया जा सकता है। इसलिए,ध्रुवण वह गुण है जो प्रकाश तरंगों को ध्वनि तरंगों से अलग करता है।

(D) मालस के नियम के अनुसार,एनालाइज़र से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $I_0$ एनालाइज़र पर आपतित प्रकाश की तीव्रता है और $\theta$ पोलराइज़र और एनालाइज़र के बीच का कोण है।
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए एनालाइज़र से बाहर निकलने वाले प्रकाश का आयाम $A' = A_0 \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ एनालाइज़र पर आपतित प्रकाश का आयाम है।
चूंकि पोलराइज़र पर आपतित प्रकाश का आयाम $A$ है,इसलिए पोलराइज़र से बाहर निकलने वाले प्रकाश का आयाम $A_0 = A$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $A' = A \cos(60^o) = A \times (1/2) = A/2$.

(A) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवण शीट पर आपतित होता है,तो संचरित ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_t = I_0 / 2$ होती है।
जो प्रकाश संचरित नहीं होता है (अवशोषित या परावर्तित हो जाता है) उसकी तीव्रता,आपतित तीव्रता और संचरित तीव्रता का अंतर होती है।
असंचरित प्रकाश की तीव्रता $= I_0 - I_t = I_0 - I_0 / 2 = I_0 / 2$।

(C) जब $I_0$ तीव्रता वाला अध्रुवित प्रकाश एक पोलराइज़र से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_{transmitted} = \frac{I_0}{2}$ होती है।
पोलराइज़र से न गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता,आपतित तीव्रता और पारगमित तीव्रता के बीच का अंतर है।
$I_{blocked} = I_0 - I_{transmitted} = I_0 - \frac{I_0}{2} = \frac{I_0}{2}$.

(C) प्रकाश की अनुप्रस्थ प्रकृति का अर्थ है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के दोलन तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं।
व्यतिकरण,अपवर्तन और वर्ण-विक्षेपण को अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों तरंग मॉडलों द्वारा समझाया जा सकता है।
ध्रुवण एक ऐसी घटना है जो केवल अनुप्रस्थ तरंगों में होती है,जहाँ दोलनों के अभिविन्यास को एक विशिष्ट तल तक सीमित किया जा सकता है।
चूंकि प्रकाश ध्रुवण प्रदर्शित करता है,यह पुष्टि करता है कि प्रकाश एक अनुप्रस्थ तरंग है।

(C) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले निकोल प्रिज्म (ध्रुवक) पर आपतित होता है,तो निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ होती है।
यह प्रकाश फिर दूसरे निकोल प्रिज्म (विश्लेषक) से गुजरता है,जिसका मुख्य तल पहले प्रिज्म के साथ $\theta = 60^o$ के कोण पर है।
मेलस के नियम के अनुसार,विश्लेषक से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_1 \cos^2 \theta$ होती है।
मान रखने पर: $I = (I_0 / 2) \cos^2(60^o) = (I_0 / 2) \times (1/2)^2 = I_0 / 8$।
निर्गत प्रकाश का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए: $(I / I_0) \times 100 = (1/8) \times 100 = 12.5\%$।

(A) ध्रुवीकृत धूप के चश्मों का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि वे पानी,सड़कों या बर्फ जैसी सतहों से परावर्तित प्रकाश के कारण होने वाली चकाचौंध (glare) को कम करते हैं। प्रकाश के क्षैतिज ध्रुवीकृत घटक को अवरुद्ध करके,वे आंखों के तनाव को काफी कम करते हैं और दृश्यता में सुधार करते हैं,जिससे आंखों को तीव्र प्रकाश से चकाचौंध होने से बचाया जा सकता है।

(D) मालस के नियम के अनुसार,संचरित प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ पोलरॉइड की संचरण अक्ष और आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच का कोण है।
जैसे ही पोलरॉइड एक पूर्ण घूर्णन ($0$ से $2\pi$) पूरा करता है,कोण $\theta$ लगातार बदलता रहता है।
तीव्रता $I$ तब अधिकतम होती है जब $\theta = 0$ और $\theta = \pi$ हो,और यह शून्य (न्यूनतम) तब होती है जब $\theta = \pi/2$ और $\theta = 3\pi/2$ हो।
इसलिए,एक पूर्ण घूर्णन के दौरान प्रकाश की तीव्रता दो बार अधिकतम और दो बार शून्य हो जाती है।

(D) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पोलराइज़र $A$ पर आपतित होता है,तो उससे निर्गत ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0/2$ होती है।
अब,यह $I_1 = I_0/2$ तीव्रता वाला ध्रुवित प्रकाश पोलराइज़र $B$ पर उसकी संचरण अक्ष के साथ $\theta = 45^\circ$ के कोण पर आपतित होता है।
मेलस के नियम के अनुसार,पोलराइज़र $B$ से निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I = I_1 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = (I_0/2) \cos^2(45^\circ) = (I_0/2) \times (1/\sqrt{2})^2 = (I_0/2) \times (1/2) = I_0/4$.

(C) जब एक कैल्साइट क्रिस्टल को घुमाया जाता है,तो प्रेषित प्रकाश की तीव्रता बदल जाती है क्योंकि आकाश से आने वाला प्रकाश प्रकीर्णन के कारण आंशिक रूप से ध्रुवीकृत होता है।
रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार,प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता $I \propto 1/\lambda^4$ होती है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ न्यूनतम होती है,इसलिए इसकी प्रकीर्णन तीव्रता $I$ अधिकतम होती है।
इस प्रकार,आकाश का प्रकाश वायुमंडलीय कणों द्वारा प्रकीर्णन के कारण ध्रुवीकृत होता है।
दोनों कथन सही हैं और कथन-$2$,कथन-$1$ में देखे गए ध्रुवीकरण के लिए सही व्याख्या प्रदान करता है।

(B) प्रकाशीय घूर्णन का सूत्र $\theta = [\alpha]_\lambda^T \cdot l \cdot C$ है,जहाँ $\theta$ घूर्णन है,$[\alpha]_\lambda^T$ विशिष्ट घूर्णन है,$l$ नली की लंबाई डेसीमीटर $(dm)$ में है और $C$ सांद्रता $g/cm^3$ में है।
दिया गया है: $l = 300 \, mm = 30 \, cm = 3 \, dm$,$\theta = 10^\circ$,$[\alpha]_\lambda^T = 60^\circ$,और आयतन $V = 60 \, cm^3$.
सबसे पहले,सांद्रता $C$ की गणना करें: $C = \frac{\theta}{[\alpha]_\lambda^T \cdot l} = \frac{10}{60 \cdot 3} = \frac{10}{180} = \frac{1}{18} \, g/cm^3$.
चीनी की कुल मात्रा $m$,$m = C \cdot V$ द्वारा दी जाती है।
$m = \frac{1}{18} \cdot 60 = \frac{60}{18} = 3.33 \, g$.

(B) $P_1$ पर आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। $P_1$ से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
$P_3$ से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता,जो $P_1$ के साथ $\theta_1 = 45^{\circ}$ के कोण पर है,मालस के नियम के अनुसार: $I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4}$ है।
$P_3$ और $P_2$ की अक्षों के बीच का कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
$P_2$ से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{8}$ है।

(C) ध्रुवकों (polarizers) के एक जोड़े से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I = I_0 \cos^2 \theta$,जहाँ $\theta$ दो ध्रुवकों के संचरण अक्षों (transmission axes) के बीच का कोण है।
पहले ध्रुवक पर आपतित अध्रुवित प्रकाश के लिए,तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है। दूसरे ध्रुवक के बाद तीव्रता $I = I_1 \cos^2 \theta = (I_0 / 2) \cos^2 \theta$ होती है।
जोड़ों को क्रमबद्ध करने के लिए,हम प्रत्येक स्थिति के लिए दो शीटों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करते हैं:
$(i)$ पहली शीट ऊर्ध्वाधर से $30^\circ$ पर है,दूसरी क्षैतिज से $60^\circ$ पर है। उनके बीच का कोण $\theta = 90^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 0^\circ$ है। अतः,$\cos^2(0^\circ) = 1$ है।
(ii) पहली शीट ऊर्ध्वाधर से $30^\circ$ पर है,दूसरी क्षैतिज से $60^\circ$ पर है। उनके बीच का कोण $\theta = 60^\circ$ है। अतः,$\cos^2(60^\circ) = 0.25$ है।
(iii) पहली शीट क्षैतिज से $30^\circ$ पर है,दूसरी क्षैतिज से $60^\circ$ पर है। उनके बीच का कोण $\theta = 30^\circ$ है। अतः,$\cos^2(30^\circ) = 0.75$ है।
(iv) पहली शीट क्षैतिज से $30^\circ$ पर है,दूसरी क्षैतिज से $60^\circ$ पर है। उनके बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है। अतः,$\cos^2(90^\circ) = 0$ है।
मानों की तुलना करने पर: $1 > 0.75 > 0.25 > 0$,जो $(i) > (iii) > (ii) > (iv)$ के अनुरूप है।

(C) जब $I_o$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवण शीट पर आपतित होता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_t = \frac{I_o}{2}$ होती है।
जो प्रकाश संचरित नहीं होता है,उसकी तीव्रता आपतित तीव्रता और संचरित तीव्रता का अंतर होती है।
$\text{असंचरित प्रकाश की तीव्रता} = I_o - I_t$
$\text{असंचरित प्रकाश की तीव्रता} = I_o - \frac{I_o}{2} = \frac{I_o}{2}$.

(D) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड $A$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलरॉइड $B$ से गुजरता है,जिसका संचरण अक्ष $A$ के अक्ष के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाता है,तो निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I_R$ इस प्रकार दी जाती है:
$I_R = I_1 \cos^2(\theta)$
मान रखने पर:
$I_R = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2(45^{\circ})$
चूंकि $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2(45^{\circ}) = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$I_R = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$।

(C) मेलस के नियम के अनुसार,निर्गत किरण की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए कि किरण $A$ की प्रारंभिक तीव्रता $I_A$ है और किरण $B$ की $I_B$ है। जब पोलेरॉइड उस स्थिति में होता है जहाँ किरण $A$ की तीव्रता अधिकतम होती है,तो पोलेरॉइड की संचरण अक्ष और किरण $A$ के ध्रुवण तल के बीच का कोण $0^{\circ}$ होता है,और किरण $B$ के लिए यह $90^{\circ}$ होता है।
पोलेरॉइड को $30^{\circ}$ घुमाने के बाद,किरण $A$ के लिए नया कोण $\theta_A = 30^{\circ}$ और किरण $B$ के लिए $\theta_B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ हो जाता है।
पोलेरॉइड से गुजरने के बाद किरणों की तीव्रताएँ:
$I_A' = I_A \cos^2(30^{\circ}) = I_A \cdot \frac{3}{4}$
$I_B' = I_B \cos^2(60^{\circ}) = I_B \cdot \frac{1}{4}$
यह दिया गया है कि किरणें समान रूप से चमकीली दिखाई देती हैं,इसलिए $I_A' = I_B'$:
$I_A \cdot \frac{3}{4} = I_B \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{1}{3}$