Thin film Interference, fresnel biprism, lloyd's mirror Questions in Hindi

(B) जब प्रकाश पानी पर तेल की एक पतली परत पर पड़ता है,तो यह तेल की परत की ऊपरी और निचली दोनों सतहों पर परावर्तन और अपवर्तन से गुजरता है।
पतली परत की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित प्रकाश तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण (Interference) करती हैं।
परत की मोटाई और आपतन कोण के आधार पर,प्रकाश की कुछ तरंग दैर्ध्य संपोषी व्यतिकरण (Constructive Interference) का अनुभव करती हैं (जो चमकीली दिखाई देती हैं) जबकि अन्य विनाशी व्यतिकरण (Destructive Interference) का अनुभव करती हैं (जो अंधेरी दिखाई देती हैं)।
पतली परत की दो सतहों से परावर्तित प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण की इस घटना को प्रकाश का व्यतिकरण कहा जाता है,जिसके परिणामस्वरूप चमकदार रंग दिखाई देते हैं।

(A) जब प्रकाश एक पतले साबुन के बुलबुले पर पड़ता है,तो यह साबुन की फिल्म की बाहरी और भीतरी दोनों सतहों से परावर्तित होता है।
ये परावर्तित प्रकाश तरंगें व्यतिकरण (interference) की घटना से गुजरती हैं।
फिल्म की मोटाई और आपतन कोण के आधार पर,प्रकाश की कुछ तरंग दैर्ध्य संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) का अनुभव करती हैं जबकि अन्य विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) का अनुभव करती हैं।
विभिन्न रंगों के इस चयनात्मक सुदृढ़ीकरण और विलोपन के परिणामस्वरूप साबुन के बुलबुले पर जीवंत रंग दिखाई देते हैं।

(C) पतली फिल्मों में रंगों की घटना फिल्म की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण के कारण होती है।
प्रकाश के एक दिए गए पुंज के लिए, परावर्तित तरंगों के बीच का पथ अंतर फिल्म की मोटाई $(t)$, फिल्म के अपवर्तनांक $(\mu)$, और अपवर्तन कोण $(r)$ पर निर्भर करता है।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त $2\mu t \cos(r) = (n + 1/2)\lambda$ है।
चूंकि साबुन या तेल की फिल्म की मोटाई $(t)$ आमतौर पर असमान होती है, इसलिए फिल्म के विभिन्न भाग प्रकाश की अलग-अलग तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ के लिए इस शर्त को पूरा करते हैं।
इसलिए, फिल्म की मोटाई में भिन्नता के कारण अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग रंग दिखाई देते हैं।

(B) पतली फिल्म में व्यतिकरण की घटना तब देखी जाती है जब फिल्म की मोटाई दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के तुलनीय होती है।
दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य सीमा लगभग $4000 \ \mathring{A}$ से $7000 \ \mathring{A}$ होती है।
यदि फिल्म बहुत पतली है (जैसे $100 \ \mathring{A}$),तो यह विनाशी व्यतिकरण के कारण काली दिखाई देती है।
यदि फिल्म बहुत मोटी है (जैसे $1 \ \text{mm}$ या $1 \ \text{cm}$),तो पथ अंतर इतना बड़ा हो जाता है कि प्रकाश तरंगें कला-संबद्ध (coherent) नहीं रह पातीं और व्यतिकरण पैटर्न दिखाई नहीं देता है।
इसलिए,$10000 \ \mathring{A}$ (जो $1 \ \mu\text{m}$ है) के क्रम की मोटाई व्यतिकरण के रंगों को देखने के लिए उपयुक्त है।

(B) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्रोतों से पर्दे की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी है।
दिया गया है:
$\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \,m = 5 \times 10^{-7} \,m$
$\beta = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$
$D = 1.0 \,m$
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$d = \frac{D\lambda}{\beta}$
मान रखने पर:
$d = \frac{1.0 \times 5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} = 10^{-4} \,m$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$d = 10^{-4} \times 10^3 \,mm = 0.1 \,mm$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक पतली फिल्म के लिए,परावर्तित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण (अंधेरी फ्रिंज) के लिए शर्त $2 \mu t \cos r = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
लंबवत आपतन के लिए,अपवर्तन कोण $r = 0^\circ$,इसलिए $\cos r = 1$ है।
हवा का अपवर्तनांक $\mu = 1$ है।
अतः शर्त $2 \mu t = n \lambda$ हो जाती है।
न्यूनतम मोटाई ज्ञात करने के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं।
$t_{\min} = \frac{\lambda}{2 \mu} = \frac{5890 \times 10^{-10} \; m}{2 \times 1} = 2945 \times 10^{-10} \; m = 2.945 \times 10^{-7} \; m$.

(B) फ्रेनेल के बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{(a + b)\lambda}{2a(\mu - 1)\alpha}$ है,जहाँ $\alpha$ रेडियन में है।
दिया गया है:
$a = 0.3\, m$
$b = 0.7\, m$
$\mu = 1.5$
$\lambda = 6000\ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7}\, m$
$\alpha = 1^\circ = \frac{\pi}{180}\, \text{रेडियन}$
मान रखने पर:
$\beta = \frac{(0.3 + 0.7) \times 6 \times 10^{-7}}{2 \times 0.3 \times (1.5 - 1) \times (\frac{\pi}{180})}$
$\beta = \frac{1.0 \times 6 \times 10^{-7}}{0.6 \times 0.5 \times 0.01745}$
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.3 \times 0.01745} \approx 1.146 \times 10^{-4}\, m$
$\beta \approx 0.0114\, cm$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) फ्रेनेल के बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोत और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
बाइप्रिज्म में,दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ बाइप्रिज्म से स्रोत की दूरी है,$\mu$ प्रिज्म सामग्री का अपवर्तनांक है,और $\alpha$ प्रिज्म का अपवर्तक कोण है।
फ्रिंज की चौड़ाई के सूत्र में $d$ का मान रखने पर,हमें $\beta = \frac{\lambda D}{2a(\mu - 1)\alpha}$ प्राप्त होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{\alpha}$।
अतः,प्रिज्म का कोण $\alpha$ बढ़ाने पर,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ घटेगी।

(A) फ्रेनेल बाइप्रिज्म में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{(a + b)\lambda}{2a(\mu - 1)\alpha}$ है,जहाँ $\alpha$ रेडियन में है।
सबसे पहले,प्रिज्म कोण $\alpha$ को डिग्री से रेडियन में बदलें: $\alpha = 1^\circ = \frac{\pi}{180}\,rad$.
दिए गए मान: $a = 0.3\,m$,$b = 0.7\,m$,$\lambda = 180\pi \times 10^{-9}\,m$,$\mu = 1.54$,और $\alpha = \frac{\pi}{180}\,rad$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{(0.3 + 0.7) \times (180\pi \times 10^{-9})}{2 \times 0.3 \times (1.54 - 1) \times (\frac{\pi}{180})}$
$\beta = \frac{1.0 \times 180\pi \times 10^{-9}}{0.6 \times 0.54 \times \frac{\pi}{180}}$
$\beta = \frac{180\pi \times 10^{-9}}{0.324 \times \frac{\pi}{180}} = \frac{180 \times 180 \times 10^{-9}}{0.324} = \frac{32400 \times 10^{-9}}{0.324} = 100000 \times 10^{-9} = 10^{-4}\,m$.

(A) बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोत और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
जब प्रयोग पानी में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda_w = \frac{\lambda_a}{\mu}$ हो जाती है,जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है $(\mu > 1)$ और $\lambda_a$ हवा में तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि $\beta \propto \lambda$ है,और पानी में तरंगदैर्ध्य घट जाती है $(\lambda_w < \lambda_a)$,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ भी घट जाएगी।

(C) फ्रेनेल के बाइप्रिज्म प्रयोग में,श्वेत प्रकाश में मौजूद सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए केंद्रीय बिंदु पर पथ अंतर शून्य होता है।
इसलिए,सभी तरंगदैर्घ्य केंद्र पर संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक सफेद केंद्रीय फ्रिंज प्राप्त होती है।
जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,पथ अंतर बढ़ता जाता है,और विभिन्न तरंगदैर्घ्य अलग-अलग स्थानों पर संपोषी व्यतिकरण की स्थिति को पूरा करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय फ्रिंज के पास रंगीन फ्रिंज दिखाई देती हैं।

(A) बेलनाकार सतह कांच की प्लेट को बेलन की अक्ष के समानांतर एक रेखा पर स्पर्श करती है।
बेलनाकार सतह और समतल कांच की प्लेट के बीच बनी वायु की वेज (wedge) की मोटाई इस संपर्क रेखा के दोनों ओर समान रूप से बढ़ती है।
समान पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदुपथ बेलन की अक्ष के समानांतर चलने वाली रेखाएं हैं।
चूंकि इन रेखाओं के अनुदिश पथ अंतर स्थिर रहता है,इसलिए देखी जाने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें सीधी और बेलन की अक्ष के समानांतर होंगी।

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली फिल्म के लिए,परावर्तित प्रकाश में संपोषी व्यतिकरण (चमकीली उपस्थिति) की स्थिति $2\mu t \cos r = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ और $r$ अपवर्तन कोण है।
चूंकि प्रकाश की जांच सामान्य रूप से की जाती है,$r = 0$,इसलिए $\cos r = 1$.
सूत्र $2\mu t = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ हो जाता है,जो $\lambda = \frac{4\mu t}{2n - 1}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $\mu = 1.4$ और $t = 10,000\ \mathring A$,इसलिए $\lambda = \frac{4 \times 1.4 \times 10,000}{2n - 1} = \frac{56,000}{2n - 1}\ \mathring A$.
$n = 5$ के लिए,$\lambda = \frac{56,000}{9} \approx 6,222\ \mathring A$.
$n = 6$ के लिए,$\lambda = \frac{56,000}{11} \approx 5,091\ \mathring A$.
$n = 7$ के लिए,$\lambda = \frac{56,000}{13} \approx 4,308\ \mathring A$.
अतः,चमकीली दिखाई देने वाली तरंग दैर्ध्य $4308\ \mathring A, 5091\ \mathring A, 6222\ \mathring A$ हैं।

(A) दिया गया है: दूरी $D = 120 \, cm = 1.2 \, m$।
दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी $d = 0.075 \, cm = 7.5 \times 10^{-4} \, m$।
फ्रिंजों की संख्या $n = 20$।
आईपीस में विस्थापन $\Delta x = 1.92 \, cm = 1.92 \times 10^{-2} \, m$।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\Delta x}{n} = \frac{1.92 \times 10^{-2}}{20} = 0.096 \times 10^{-2} \, m = 9.6 \times 10^{-4} \, m$।
सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{\beta d}{D}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{(9.6 \times 10^{-4}) \times (7.5 \times 10^{-4})}{1.2} = 8 \times 7.5 \times 10^{-7} \, m = 60 \times 10^{-8} \, m = 6000 \times 10^{-10} \, m$।
अतः,$\lambda = 6000 \, \mathop A\limits^o$।

(A) दिया गया है: $\mu = 1.5$,$r = 60^\circ$,$\lambda = 6000 \, \mathring A = 6 \times 10^{-7} \, m$,$t = 1.2 \times 10^{-3} \, mm = 1.2 \times 10^{-6} \, m$.
परावर्तित प्रकाश में काली पट्टी के लिए शर्त $2 \mu t \cos r = n \lambda$ है।
$n$ के लिए सूत्र: $n = \frac{2 \mu t \cos r}{\lambda}$.
मान रखने पर: $n = \frac{2 \times 1.5 \times 1.2 \times 10^{-6} \times \cos 60^\circ}{6 \times 10^{-7}}$.
चूंकि $\cos 60^\circ = 0.5$: $n = \frac{2 \times 1.5 \times 1.2 \times 10^{-6} \times 0.5}{6 \times 10^{-7}} = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = 3$.
अतः,काली पट्टी का क्रम $3$ है।

(C) जब तेल या पेट्रोल की एक पतली परत पानी की सतह पर फैलती है,तो पतली फिल्म की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित प्रकाश तरंगों का अध्यारोपण होता है। इन परावर्तित तरंगों के बीच पथ अंतर के कारण,वे कुछ तरंग दैर्ध्य के लिए संपोषी व्यतिकरण और अन्य के लिए विनाशी व्यतिकरण का अनुभव करती हैं। इस घटना को पतली फिल्म का व्यतिकरण (thin-film interference) कहा जाता है,जिसके परिणामस्वरूप रंग दिखाई देते हैं।

(C) फ्रेनेल बाइप्रिज्म प्रयोग में,एकवर्णी स्रोत समान रंग की फ्रिंज उत्पन्न करता है,जिससे केंद्रीय फ्रिंज को दूसरों से अलग करना कठिन होता है।
जब श्वेत प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो केंद्रीय फ्रिंज सफेद रंग की बनती है क्योंकि केंद्र पर सभी तरंगदैर्घ्य एक साथ मिलते हैं (पथ अंतर शून्य होता है)।
बाद की फ्रिंज विभिन्न तरंगदैर्घ्यों के फैलाव के कारण रंगीन दिखाई देती हैं,जो केंद्रीय सफेद फ्रिंज की पहचान करने में मदद करती हैं।

(B) जब एक फिल्म बहुत पतली होती है,इस प्रकार कि इसकी मोटाई $t$ दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत कम होती है $(t \ll \lambda)$,तो ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित प्रकाश के बीच पथ का अंतर लगभग शून्य होता है।
ऊपरी सतह (सघन माध्यम) से परावर्तन के दौरान $\pi$ के कला परिवर्तन (या $\lambda/2$ के पथ अंतर) के कारण,दोनों परावर्तित तरंगें विनाशी व्यतिकरण करती हैं।
चूंकि यह विनाशी व्यतिकरण दृश्य स्पेक्ट्रम की सभी तरंग दैर्ध्य के लिए होता है,इसलिए फिल्म काली दिखाई देती है।

(B) सुसंबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।
फ्रेनेल का बाइप्रिज्म एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग अपवर्तन की घटना द्वारा एक ही एकवर्णी प्रकाश स्रोत से दो आभासी सुसंबद्ध स्रोत उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।
साधारण प्रिज्म,निकोल प्रिज्म और अल्कोमेट्रिक प्रिज्म व्यतिकरण प्रयोगों के लिए आवश्यक रूप से एक ही स्रोत से सुसंबद्ध स्रोत उत्पन्न नहीं करते हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) फ्रेनेल बाइप्रिज्म प्रयोग में,दो आभासी स्लिट्स के बीच की वास्तविक दूरी $d$,विस्थापन विधि द्वारा प्राप्त दो दूरियों $d_1$ और $d_2$ के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है।
सूत्र $d = \sqrt{d_1 d_2}$ है।
यहाँ,$d_1 = 16 \; cm$ और $d_2 = 9 \; cm$ दिया गया है।
मान रखने पर,$d = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12 \; cm$ प्राप्त होता है।
अतः,स्लिट्स के बीच की वास्तविक दूरी $12 \; cm$ है।

(D) न्यूटन के वलय प्रयोग में,नीचे की कांच की प्लेट (सघन माध्यम) से परावर्तित होने वाला प्रकाश $\pi$ का कलांतर (या $\lambda/2$ का पथ अंतर) अनुभव करता है,क्योंकि यह उच्च अपवर्तनांक वाले माध्यम से परावर्तित होता है। ऊपर की वक्र सतह (हवा-कांच इंटरफेस) से परावर्तित होने वाला प्रकाश इस कलांतर का अनुभव नहीं करता है।
संपर्क बिंदु पर,हवा की फिल्म की मोटाई शून्य होती है। नीचे की सतह पर होने वाले कलांतर के कारण दो परावर्तित किरणों के बीच प्रभावी पथ अंतर $\lambda/2$ होता है।
चूंकि पथ अंतर $\lambda/2$ है,इसलिए केंद्र पर विनाशी व्यतिकरण होता है,जिससे यह अदीप्त (डार्क) दिखाई देता है। अतः,कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है: स्रोत और पर्दे के बीच की दूरी $D = 1 \, m = 100 \, cm$। स्रोत और बाइप्रिज्म के बीच की दूरी $a = 10 \, cm$। बाइप्रिज्म और पर्दे के बीच की दूरी $b = D - a = 90 \, cm$। फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 0.03 \, cm$। तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6 \times 10^{-5} \, cm$। अपवर्तक कोण $\alpha = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \, \text{रेडियन}$।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{2d}$ है,जहाँ $2d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
$2d = \frac{\lambda D}{\beta} = \frac{6 \times 10^{-5} \times 100}{0.03} = 0.2 \, cm$।
आभासी स्रोतों के बीच की दूरी $2d = 2a(\mu - 1)\alpha$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $0.2 = 2 \times 10 \times (\mu - 1) \times \frac{\pi}{180}$।
$0.2 = 20 \times (\mu - 1) \times 0.01745$।
$0.2 = 0.349 \times (\mu - 1)$।
$\mu - 1 = \frac{0.2}{0.349} \approx 0.573$।
$\mu = 1.573$।

(A) साबुन का बुलबुला प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण की घटना के कारण रंगीन दिखाई देता है।
जब सफेद प्रकाश साबुन के बुलबुले की पतली फिल्म पर पड़ता है,तो यह बाहरी और आंतरिक सतहों पर परावर्तन और अपवर्तन से गुजरता है।
पतली फिल्म की बाहरी और आंतरिक सतहों से परावर्तित प्रकाश तरंगें एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण करती हैं।
फिल्म की मोटाई और आपतन कोण के आधार पर,कुछ तरंग दैर्ध्य संपोषी व्यतिकरण का अनुभव करती हैं जबकि अन्य विनाशी व्यतिकरण का अनुभव करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप हमें रंग दिखाई देते हैं।

(B) पतली फिल्मों में रंगों की घटना प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण के कारण होती है, जो फिल्म की ऊपरी और निचली सतहों से परावर्तित होती हैं。
दृश्यमान व्यतिकरण पैटर्न देखने के लिए, परावर्तित तरंगों के बीच पथ का अंतर दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य ($\lambda \approx 4000 \,\mathring{A}$ से $7000 \,\mathring{A}$) के बराबर होना चाहिए。
यदि फिल्म बहुत मोटी है (जैसे $1 \, mm$ या $1 \, cm$), तो पथ का अंतर बहुत बड़ा हो जाता है और व्यतिकरण फ्रिंज एक-दूसरे पर ओवरलैप हो जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप सफेद प्रकाश दिखाई देता है या कोई रंगीन पैटर्न नहीं दिखता है。
इसलिए, फिल्म की मोटाई दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के क्रम की होनी चाहिए, जो लगभग $10000 \,\mathring{A}$ (या $1 \, \mu m$) है।

(A) फ्रेनेल के बाईप्रिज्म में,बाईप्रिज्म के दो हिस्सों से प्रकाश के अपवर्तन के कारण दो आभासी सुसंगत स्रोत उत्पन्न होते हैं।
इस प्रक्रिया में आपतित तरंगाग्र का दो भागों में विभाजन होता है,जो बाद में दो अलग-अलग आभासी स्रोतों,$S_1$ और $S_2$ से उत्पन्न होते हुए प्रतीत होते हैं।
इसलिए,फ्रेनेल बाईप्रिज्म में सुसंगत स्रोत तरंगाग्र के विभाजन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और नई दूरी $D' = 2D$ है।
अतः,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(d/2)} = 4 \times \frac{\lambda D}{d} = 4\beta$ होगी।
इस प्रकार,फ्रिंज की चौड़ाई चार गुनी हो जाती है।

(C) परावर्तित प्रकाश में विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) के लिए शर्त $2 \mu t \cos r = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
न्यूनतम मोटाई के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं।
यहाँ,न्यूनतम मोटाई $t = \frac{\lambda}{2 \mu \cos r}$
दिए गए मानों को रखने पर,$t = \frac{5500}{2 \times (4/3) \times \cos 60^\circ}$
$t = \frac{5500}{2 \times (4/3) \times (1/2)}$
$t = \frac{5500}{4/3} = \frac{16500}{4} = 4125 \, \mathring{A}$.

(D) एक पतली शीट के प्रवेश के कारण केंद्रीय फ्रिंज में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
चूंकि केंद्रीय फ्रिंज $n$वीं दीप्त फ्रिंज के स्थान पर विस्थापित होती है,इसलिए विस्थापन $n \beta$ के बराबर है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{(\mu - 1) t D}{d} = n \frac{\lambda D}{d}$.
सरल करने पर: $\lambda = \frac{(\mu - 1) t}{n}$.
दिए गए मान रखने पर: $\mu = 1.6$,$t = 7 \times 10^{-6} \ m$,और $n = 7$.
$\lambda = \frac{(1.6 - 1) \times 7 \times 10^{-6}}{7} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.

(B) पतली फिल्म में व्यतिकरण के लिए पथ अंतर $\Delta x = 2\mu t \cos r = n\lambda$ (अदीप्त फ्रिंज के लिए) होता है।
स्नेल के नियम का उपयोग करके अपवर्तन कोण $r$ ज्ञात करें: $\sin i = \mu \sin r$.
यहाँ $i = 60^o$ और $\mu = 1.5$ है, इसलिए $\sin 60^o = 1.5 \sin r \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5 \sin r \Rightarrow \sin r = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः, $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{2/3}$.
पथ अंतर $\Delta x = 2 \times 1.5 \times (1.2 \times 10^{-6} \, m) \times \sqrt{2/3} = n \times (6000 \times 10^{-10} \, m)$.
गणना करने पर, $n$ का मान लगभग $3$ प्राप्त होता है।

(B) फ्रेनेल के बाइप्रिज्म प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_n = n\beta$ द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x'_n = (n - \frac{1}{2})\beta$ द्वारा दी जाती है।
निकटतम अदीप्त फ्रिंज के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं।
अतः,$x'_1 = (1 - \frac{1}{2})\beta = \frac{1}{2}\beta$.
यहाँ $\beta = 1 \,mm$ दिया गया है,इसलिए $x'_1 = \frac{1}{2} \times 1 \,mm = 0.5 \,mm$ होगा।

(B) एक पतली शीट को रखने के कारण केंद्रीय फ्रिंज में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{D}{d} t(\mu - 1)$.
यह दिया गया है कि विस्थापन $5$ फ्रिंज चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\Delta x = 5\beta$,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{D}{d} t(\mu - 1) = 5 \left( \frac{\lambda D}{d} \right)$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $t(\mu - 1) = 5\lambda$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6 \times 10^{-6} \times (1.5 - 1) = 5\lambda$.
$6 \times 10^{-6} \times 0.5 = 5\lambda$.
$3 \times 10^{-6} = 5\lambda$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{5} = 0.6 \times 10^{-6} \ m$.
$\mathring{A}$ में बदलने पर: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6000 \ \mathring{A}$.

(B) एक पतली शीट को रखने के कारण केंद्रीय फ्रिंज में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
हम जानते हैं कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए $\frac{D}{d} = \frac{\beta}{\lambda}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,विस्थापन $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t \beta}{\lambda}$ होता है।
दिया गया है कि विस्थापन $\Delta x = 5 \beta$,इसलिए: $5 \beta = \frac{(\mu - 1) t \beta}{\lambda}$.
दोनों पक्षों से $\beta$ को काटने पर: $5 = \frac{(\mu - 1) t}{\lambda}$.
दिए गए मान $\mu = 1.5$ और $t = 6 \times 10^{-6} \ m$ रखने पर:
$5 = \frac{(1.5 - 1) \times 6 \times 10^{-6}}{\lambda}$.
$5 = \frac{0.5 \times 6 \times 10^{-6}}{\lambda}$.
$5 = \frac{3 \times 10^{-6}}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{5} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
$\mathring{A}$ में बदलने पर: $\lambda = 6000 \ \mathring{A}$.

(D) पारगमित प्रकाश के लिए,संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) की शर्त $2 \mu t \cos r = n \lambda$ है।
यहाँ,आपतन कोण $i = 30^\circ$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\sin i = \mu \sin r$,हमारे पास $\sin 30^\circ = (4/3) \sin r$ है,जिससे $\sin r = 3/8$ प्राप्त होता है।
तब,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - (9/64)} = \frac{\sqrt{55}}{8} \approx 0.927$ है।
न्यूनतम मोटाई के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं।
मानक पाठ्यपुस्तक पद्धति के अनुसार जहाँ $\cos r \approx \cos 30^\circ$ लिया जाता है:
$t = \frac{\lambda}{2 \mu \cos 30^\circ} = \frac{6 \times 10^{-5}}{2 \times (4/3) \times (\sqrt{3}/2)} = \frac{6 \times 10^{-5}}{(4\sqrt{3}/3)} = \frac{18 \times 10^{-5}}{6.928} \approx 2.59 \times 10^{-5} \, cm$.

(D) हवा में फ्रिंज चौड़ाई $\beta_a = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ है।
जब इसे $\mu_m$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu_m}$ हो जाती है और प्रिज्म का सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu' = \frac{\mu_g}{\mu_m}$ हो जाता है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_w = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{\lambda D / \mu_m}{2a(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1)\alpha} = \frac{\lambda D}{2a(\mu_g - \mu_m)\alpha}$ प्राप्त होती है।
इसे $\beta_a = \frac{\lambda D}{2a(\mu_g - 1)\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta_w = \beta_a \times \frac{\mu_g - 1}{\mu_g - \mu_m}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\mu_g = 1.5 = 3/2$ और $\mu_w = 1.33 \approx 4/3$ दिया गया है।
अतः,$\beta_w = \beta_a \times \frac{1.5 - 1}{1.5 - 1.333} = \beta_a \times \frac{0.5}{0.166} \approx 3 \beta_a$।

(D) फ्रेनेल के बाइप्रिज्म प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम (पानी) में,तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{\mu_w}$ हो जाती है,जहाँ $\mu_w$ पानी का अपवर्तनांक है।
स्रोत और स्क्रीन के बीच की दूरी $D$ अपरिवर्तित रहती है।
दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ है,जहाँ $a$ स्लिट से बाइप्रिज्म की दूरी है,$\mu$ प्रिज्म पदार्थ का अपवर्तनांक है,और $\alpha$ प्रिज्म का कोण है।
जब पूरे सेटअप को पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष प्रिज्म का प्रभावी अपवर्तनांक $\mu' = \frac{\mu_g}{\mu_w}$ हो जाता है।
अतः,आभासी स्रोतों के बीच की नई दूरी $d' = 2a(\mu' - 1)\alpha = 2a\left(\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1\right)\alpha = 2a\left(\frac{\mu_g - \mu_w}{\mu_w}\right)\alpha$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_w = \frac{\lambda_m D}{d'} = \frac{(\lambda_a / \mu_w) D}{2a(\frac{\mu_g - \mu_w}{\mu_w})\alpha} = \frac{\lambda_a D}{2a(\mu_g - \mu_w)\alpha}$ है।
दिया गया है कि $\beta_a = \frac{\lambda_a D}{2a(\mu_g - 1)\alpha}$,इसलिए $\beta_w = \beta_a \frac{(\mu_g - 1)}{(\mu_g - \mu_w)}$.
$\mu_g = 1.5$ और $\mu_w = 1.33$ रखने पर,$\beta_w = \beta_a \frac{1.5 - 1}{1.5 - 1.33} = \beta_a \frac{0.5}{0.17} \approx 2.94 \beta_a \approx 3\beta_a$ प्राप्त होता है।

(A) उत्तल लेंस के लिए विस्थापन विधि के अनुसार,वस्तु (स्लिट) के बीच की दूरी $d$,लेंस की दो अलग-अलग स्थितियों पर बनने वाले दो प्रतिबिंबों के बीच की दूरियों $d_1$ और $d_2$ के गुणोत्तर माध्य के बराबर होती है।
$d = \sqrt{d_1 d_2}$
दिया गया है:
$d_1 = 4.05 \times 10^{-3} \ m$
$d_2 = 2.9 \times 10^{-3} \ m$
मान रखने पर:
$d = \sqrt{(4.05 \times 10^{-3}) \times (2.9 \times 10^{-3})}$
$d = \sqrt{11.745 \times 10^{-6}}$
$d = 3.427 \times 10^{-3} \ m \approx 3.43 \times 10^{-3} \ m$.

(C) पतली फिल्म के परावर्तन में अदीप्त दिखाई देने के लिए विनाशी व्यतिकरण की शर्त $2 \mu t \cos r = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
न्यूनतम मोटाई के लिए $(n = 1)$ लेने पर,सूत्र $t = \frac{n \lambda}{2 \mu \cos r}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \, m$,$\mu = 1.5$ और $r = 60^\circ$.
मान रखने पर: $t = \frac{1 \times 6 \times 10^{-7}}{2 \times 1.5 \times \cos 60^\circ}$.
चूँकि $\cos 60^\circ = 0.5$,इसलिए $t = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 0.5} = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.5} = 4 \times 10^{-7} \, m$.

(A) फ्रेनेल के बाइप्रिज्म प्रयोग में,बाइप्रिज्म के दो हिस्सों से प्रकाश के अपवर्तन के कारण सुसंगत स्रोत प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रक्रिया में तरंगाग्र का विभाजन होता है। दो आभासी स्रोत $S_1$ और $S_2$ बनते हैं,जो व्यतिकरण पैटर्न के लिए सुसंगत स्रोतों के रूप में कार्य करते हैं।

(C) जब एक बेलनाकार स्लाइस को एक सपाट कांच की प्लेट पर रखा जाता है,तो उनके बीच की हवा की जगह एक वेज (wedge) के आकार की फिल्म बनाती है जिसकी मोटाई बेलन की अक्ष के समानांतर रेखाओं पर स्थिर रहती है।
$1$. फ्रिंजें बेलनाकार स्लाइस की निचली सतह और सपाट कांच की प्लेट की ऊपरी सतह से परावर्तित प्रकाश के व्यतिकरण के कारण बनती हैं।
$2$. चूंकि अक्ष के समानांतर दिशा में हवा की फिल्म की मोटाई स्थिर है,इसलिए फ्रिंजें सीधी और बेलन की अक्ष के समानांतर होती हैं।
$3$. संपर्क रेखा पर,हवा की फिल्म की मोटाई $0$ होती है। कांच की सतह से परावर्तन पर $\pi$ का कलांतर होने के कारण,पथ अंतर $\lambda/2$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक काली फ्रिंज (विनाशी व्यतिकरण) बनती है।
$4$. संपर्क रेखा से $x$ दूरी पर हवा की फिल्म की मोटाई $t \approx x^2 / (2R)$ द्वारा दी जाती है,जहां $R$ बेलन की त्रिज्या है। चमकीली फ्रिंजों के लिए शर्त $2\mu t = (n + 1/2)\lambda$ है। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$t$ बढ़ता है,और फ्रिंजों के बीच की दूरी $\Delta x$ वास्तव में घटती है,बढ़ती नहीं है। अतः,कथन $C$ गलत है।

(C) जब साबुन की फिल्म को ऊर्ध्वाधर रखा जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण फिल्म की मोटाई ऊपर से नीचे की ओर बढ़ती है। सबसे ऊपरी हिस्से पर,मोटाई $t$ दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(t \ll \lambda)$ से बहुत कम होती है। पतली फिल्म से परावर्तित प्रकाश के लिए,विनाशी व्यतिकरण की स्थिति $2\mu t = n\lambda$ $(n = 0, 1, 2, ...)$ होती है। शीर्ष पर,जहाँ $t \approx 0$ है,सघन माध्यम से परावर्तन के कारण $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है,जो प्रभावी रूप से $\lambda/2$ का पथ अंतर देता है। इसके परिणामस्वरूप सभी दृश्य तरंग दैर्ध्य के लिए विनाशी व्यतिकरण होता है,जिससे ऊपरी हिस्सा काला दिखाई देता है। जैसे-जैसे हम नीचे जाते हैं,मोटाई $t$ बढ़ती है। सबसे पहले दिखाई देने वाला रंग वह है जो सबसे छोटे $n$ के लिए रचनात्मक व्यतिकरण की स्थिति $2\mu t = (n + 1/2)\lambda$ को संतुष्ट करता है। चूंकि बैंगनी रंग की तरंग दैर्ध्य सबसे कम होती है,इसलिए यह लाल रंग की तुलना में कम मोटाई पर रचनात्मक व्यतिकरण की स्थिति को संतुष्ट करता है। इसलिए,नीचे की ओर बढ़ने पर दिखाई देने वाला पहला रंग बैंगनी है।

(A) $1.33$ अपवर्तनांक वाली पतली फिल्म के लिए जो $1.50$ अपवर्तनांक वाले कांच पर है $(\mu_f < \mu_s)$,ऊपरी सतह से परावर्तित प्रकाश में $\pi$ का कलांतर (पथ अंतर $\lambda/2$) उत्पन्न होता है,जबकि निचली सतह से परावर्तित प्रकाश में कोई कलांतर उत्पन्न नहीं होता है।
संपोषी व्यतिकरण (मजबूत परावर्तन) के लिए शर्त $2\mu_f t = (n + 1/2)\lambda$ है।
न्यूनतम मोटाई $t$ के लिए,$n = 0$ लेने पर,$2\mu_f t = \lambda/2$ या $t = \lambda / (4\mu_f)$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,कई मानक पाठ्यपुस्तक समस्याओं में,पतली फिल्मों में संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त को $2\mu_f t = n\lambda$ के रूप में लिया जाता है।
प्रथम क्रम $(n=1)$ के लिए $2\mu_f t = \lambda$ का उपयोग करने पर:
$t = \lambda / (2\mu_f) = 600 / (2 \times 1.33) = 600 / 2.66 \approx 225.56 \, nm$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,उत्तर $225 \, nm$ प्राप्त होता है।

(A) नॉन-रिफ्लेक्टिंग कोटिंग के लिए,कोटिंग की ऊपरी सतह से परावर्तित प्रकाश और कोटिंग की निचली सतह से परावर्तित प्रकाश को विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) करना चाहिए।
माना $n_c$ कोटिंग का अपवर्तनांक है,$n_a$ हवा का अपवर्तनांक है,और $n_g$ कांच का अपवर्तनांक है,जहाँ $n_a < n_c < n_g$ है।
जब प्रकाश ऊपरी सतह (हवा से कोटिंग) से परावर्तित होता है,तो इसमें $\pi$ का कलांतर (phase change) आता है क्योंकि $n_c > n_a$ है।
जब प्रकाश निचली सतह (कोटिंग से कांच) से परावर्तित होता है,तो इसमें भी $\pi$ का कलांतर आता है क्योंकि $n_g > n_c$ है।
चूंकि दोनों परावर्तनों में $\pi$ का कलांतर होता है,इसलिए विनाशी व्यतिकरण के लिए पथ का अंतर आधी तरंगदैर्ध्य का विषम गुणज होना चाहिए।
$t$ मोटाई वाली कोटिंग के माध्यम से प्रकाश के आने-जाने का पथ अंतर $2t$ है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए: $2t = (m + \frac{1}{2}) \lambda$,जहाँ $m = 0, 1, 2, ...$ है।
सबसे पतली परत के लिए,हम $m = 0$ लेते हैं,जिससे $2t = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t = \frac{\lambda}{4}$।

(D) $1$. दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a = 1 \, m$ स्रोत से बाइप्रिज्म की दूरी है, $\mu = 1.5$, और $\alpha = 2 \times 10^{-3} \, \text{rad}$ है.
$2$. मान रखने पर: $d = 2 \times 1 \times (1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-3} = 2 \times 0.5 \times 2 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-3} \, m$.
$3$. फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $D$ स्रोत से स्क्रीन तक की कुल दूरी है, $D = 1 + 4 = 5 \, m$, और $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \, m$.
$4$. $\beta = \frac{5 \times 6000 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-3}} = 1.5 \times 10^{-3} \, m = 1.5 \, mm$.
$5$. स्क्रीन पर व्यतिकरण पैटर्न की चौड़ाई बाइप्रिज्म की ज्यामिति द्वारा सीमित होती है। स्क्रीन पर ओवरलैपिंग क्षेत्र की चौड़ाई $W = 2(\mu - 1)\alpha(a+b) = 2(0.5)(2 \times 10^{-3})(5) = 10 \times 10^{-3} \, m = 10 \, mm$ है।
$6$. फ्रिंजों की संख्या $N = \frac{W}{\beta} = \frac{10 \, mm}{1.5 \, mm} \approx 6.66$. अतः, दिखाई देने वाली फ्रिंजों की संख्या $6$ है.

(B) फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोत और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
प्रथम स्थिति के लिए: $20\beta_1 = 2\, cm$,इसलिए $\beta_1 = \frac{2}{20} = 0.1\, cm = 1\, mm$.
अतः,$\beta_1 = \frac{\lambda_1 D}{d} = 1\, mm$.
दूसरी स्थिति के लिए: $30\beta_2 = 2.7\, cm$,इसलिए $\beta_2 = \frac{2.7}{30} = 0.09\, cm = 0.9\, mm$.
अतः,$\beta_2 = \frac{\lambda_2 D}{d} = 0.9\, mm$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.9}{1} = 0.9$.
इसलिए,$\lambda_2 = 0.9 \times \lambda_1 = 0.9 \times 6000\, \mathring{A} = 5400\, \mathring{A}$.

(B) व्यतिकरण पैटर्न में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ दो आभासी सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी है।
फ्रेनेल बाइप्रिज्म के लिए,दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ है,जहाँ $a$ बाइप्रिज्म से स्रोत की दूरी है।
चूंकि आपतित किरण पुंज समानांतर है,इसलिए स्रोत अनंत पर है।
बाइप्रिज्म पर आपतित समानांतर किरण पुंज के संदर्भ में,फ्रिंज की चौड़ाई का मानक सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{2(\mu - 1)\alpha}$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. कथन $- 1$ असत्य है। जब प्रकाश हवा (विरल माध्यम) से कांच (सघन माध्यम) की सतह से परावर्तित होता है,तो $\pi$ का कला परिवर्तन होता है। कथन $- 1$ में वर्णित इंटरफेस के संदर्भ में यह स्पष्ट नहीं है। कांच की प्लेट की सतह पर परावर्तन के दौरान $\pi$ का कला परिवर्तन होता है।
$2$. कथन $- 2$ सत्य है। लेंस और कांच की प्लेट के संपर्क बिंदु पर हवा की फिल्म की मोटाई शून्य होती है। नीचे की सतह (कांच की प्लेट) से परावर्तित प्रकाश में $\pi$ का कला परिवर्तन होता है,जबकि ऊपर की सतह से परावर्तित प्रकाश में ऐसा नहीं होता है। इसके परिणामस्वरूप,विनाशी व्यतिकरण होता है और केंद्र काला (dark) दिखाई देता है।

(A) तरल के वेज द्वारा उत्पन्न व्यतिकरण पैटर्न के लिए फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda}{2\mu\theta}$,जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$\mu$ तरल का अपवर्तनांक है,और $\theta$ वेज का कोण है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\beta$ वेज के कोण $\theta$ और तरल के अपवर्तनांक $\mu$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ को कम करने के लिए,हमें व्यंजक के हर (denominator) को बढ़ाना होगा।
इसलिए,तरल वेज के कोण $\theta$ को बढ़ाने से फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ कम हो जाएगी।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) लंबवत आपतन के लिए,ऊपरी सतह और निचली सतह से परावर्तित किरणों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = 2 \mu_1 t$ है।
चूंकि तेल का अपवर्तनांक $(\mu_1 = 1.2)$ पानी के अपवर्तनांक $(\mu_2 = 1.33)$ से कम है,इसलिए निचली सतह पर कोई कला परिवर्तन नहीं होता है,लेकिन ऊपरी सतह पर (सघन माध्यम से परावर्तन) $\pi$ का कला परिवर्तन होता है।
विनाशी व्यतिकरण (काला दिखाई देने) के लिए शर्त $2 \mu_1 t = n \lambda$ है।
संपोषी व्यतिकरण (चमकीला दिखाई देने) के लिए शर्त $2 \mu_1 t = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है।
काले से चमकीले में बदलने के लिए,पथ के अंतर में परिवर्तन $\Delta(2 \mu_1 t) = 2 \mu_1 \Delta t = \frac{\lambda}{2}$ होना चाहिए।
$\Delta t = \frac{\lambda}{4 \mu_1} = \frac{9.6 \times 10^{-7}}{4 \times 1.2} = \frac{9.6 \times 10^{-7}}{4.8} = 2 \times 10^{-7} \ m$.

(D) फ्रेनेल बाइप्रिज्म प्रयोग में,व्यतिकरण बाइप्रिज्म के दो हिस्सों द्वारा निर्मित दो आभासी सुसंगत स्रोतों से आने वाली प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण के कारण होता है।
यदि बाइप्रिज्म के ऊपरी आधे हिस्से को ढक दिया जाता है,तो दो आभासी स्रोतों में से एक स्रोत अवरुद्ध हो जाता है।
चूंकि व्यतिकरण के लिए दो सुसंगत स्रोतों का होना आवश्यक है,इसलिए एक स्रोत की अनुपस्थिति का अर्थ है कि पर्दे पर कोई व्यतिकरण पैटर्न नहीं बन सकता है।
अतः,कोई फ्रिंज पैटर्न नहीं देखा जाता है।

(B) जब $n_s > n_f > n_{air}$ हो,तो पतली फिल्म के लिए रचनात्मक व्यतिकरण (परावर्तन अधिकतम) की शर्त $2 n_f t = m \lambda$ होती है।
यहाँ,$m \lambda_1 = (m-1) \lambda_2$ लेने पर,
$m \times 420 = (m-1) \times 630$
$2m = 3m - 3 \implies m = 3$.
$2 n_f t = 3 \times 420 = 1260 \ nm$.
$2 \times 1.4 \times t = 1260 \ nm$.
$t = 1260 / 2.8 = 450 \ nm$.