Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(D) व्यतिकरण प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
जब कक्ष हवा से भरा होता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{air} = \frac{\lambda_0}{\mu_{air}}$ होती है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है और $\mu_{air} \approx 1.0003$ है।
जब कक्ष को निर्वातित किया जाता है,तो अपवर्तनांक $\mu_{vac} = 1$ हो जाता है।
चूंकि $\mu_{vac} < \mu_{air}$,निर्वात में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हवा की तुलना में अधिक हो जाती है $(\lambda_{vac} > \lambda_{air})$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए जब कक्ष को निर्वातित किया जाता है तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ बढ़ जाती है।

(A) यंग का डबल-स्लिट प्रयोग प्रकाश के व्यतिकरण (interference) की घटना को प्रदर्शित करता है।
व्यतिकरण तरंगों का एक विशिष्ट गुण है,जहाँ दो या दो से अधिक तरंगें अध्यारोपित होकर अधिक,कम या समान आयाम की परिणामी तरंग बनाती हैं।
चूंकि यंग के प्रयोग में व्यतिकरण पैटर्न देखे जाते हैं,यह प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान करता है कि प्रकाश एक तरंग के रूप में व्यवहार करता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
दिया गया है:
- तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5 \times 10^{-7} \, m$
- स्लिटों के बीच की दूरी $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
- पर्दे की दूरी $D = 2 \, m$
मान रखने पर:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2}{10^{-3}} \, m$
$\beta = 10 \times 10^{-4} \, m = 10^{-3} \, m$
चूंकि $10^{-3} \, m = 1 \, mm$,इसलिए चमकीली रेखाओं के बीच की दूरी $1 \, mm$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट पृथक्करण है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \frac{1}{d}$ है।
यदि स्लिट पृथक्करण $d$ को $3$ गुना कर दिया जाए (अर्थात $d' = 3d$),तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{1}{3} \beta$ होगा।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल चौड़ाई की $1/3$ गुना हो जाती है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
चूंकि प्रायोगिक सेटअप ($D$ और $d$) अपरिवर्तित रहता है,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
अतः,$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
दिया गया है: $\beta_1 = 1.0 \ mm$,$\lambda_1 = 5000 \ \mathring{A}$,और $\lambda_2 = 6000 \ \mathring{A}$.
मान रखने पर: $\beta_2 = \beta_1 \times \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 1.0 \times \frac{6000}{5000} = 1.2 \ mm$.
इस प्रकार,नई फ्रिंज की चौड़ाई $1.2 \ mm$ होगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
$\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$
$D = 25 \, cm = 0.25 \, m$
$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 0.25}{10^{-3}}$
$\beta = 6 \times 10^{-4} \times 0.25 = 1.5 \times 10^{-4} \, m$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$\beta = 1.5 \times 10^{-4} \times 10^2 \, cm = 0.015 \, cm$.

(C) बिंदु $X$ पर पहुँचने वाली दो तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x$ इस प्रकार है:
$\Delta x = |QX - PX| = |(n + 2)\lambda - n\lambda| = 2\lambda$.
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त $\Delta x = m\lambda$ है,जहाँ $m = 0, 1, 2, ...$ है।
यहाँ,$\Delta x = 2\lambda$,जो $m = 2$ के अनुरूप है।
चूँकि केंद्रीय फ्रिंज $(m = 0)$ केंद्र पर है,$m = 1$ प्रथम दीप्त फ्रिंज को और $m = 2$ द्वितीय दीप्त फ्रिंज को दर्शाता है।
अतः,$X$ पर द्वितीय दीप्त फ्रिंज बनेगी।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,व्यतिकरण प्रतिरूप दो कला-संबद्ध स्रोतों (दो झिरियों) से आने वाली प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण से बनता है।
यदि एक झिरी को बंद कर दिया जाता है,तो व्यतिकरण की शर्त पूरी नहीं होती है क्योंकि प्रकाश का केवल एक ही स्रोत शेष रहता है।
परिणामस्वरूप,व्यतिकरण प्रतिरूप गायब हो जाता है।
इसके बजाय,शेष खुली झिरी से प्रकाश का विवर्तन होता है,जिसके परिणामस्वरूप पर्दे पर एकल-झिरी विवर्तन प्रतिरूप दिखाई देता है।
इसलिए,कोई व्यतिकरण प्रतिरूप मौजूद नहीं होगा।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
यहाँ दिया गया है कि नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और नई दूरी $D' = 2D$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ इस प्रकार होगी: $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(d/2)} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल मान की चार गुनी हो जाएगी।

(C) मान लीजिए कि स्लिट की चौड़ाई समान है,इसलिए वे समान तीव्रता की तरंगें उत्पन्न करती हैं,मान लीजिए $I'$।
किसी भी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I_R = 4I' \cos^2 \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ प्रेक्षण बिंदु पर तरंगों के बीच का कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\phi = 0^\circ$,इसलिए $I_{\max} = 4I' = I$ ... $(i)$
यदि एक स्लिट को बंद कर दिया जाए,तो उसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता केवल $I'$ होगी,अर्थात $I' = I_o$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें $I = 4I_o$ प्राप्त होता है।

(D) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 9$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = 9$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = 3$ प्राप्त होता है।
आयामों के अनुपात के लिए हल करने पर: $a_1 + a_2 = 3a_1 - 3a_2 \Rightarrow 4a_2 = 2a_1 \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} = 2$।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,इसलिए व्यक्तिगत स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = 2^2 = 4$ है,जिसका अर्थ है $I_1 : I_2 = 4 : 1$।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र है: $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
चूंकि $n$,$D$ और $d$ दोनों स्थितियों के लिए नियत हैं,इसलिए $y_n \propto \lambda$ होगा।
अतः,$4^{th}$ फ्रिंज के लिए दूरियों का अनुपात: $\frac{x(\text{Blue})}{x(\text{Green})} = \frac{\lambda(\text{Blue})}{\lambda(\text{Green})} = \frac{4360}{5460}$ होगा।
चूंकि $4360 < 5460$,इसलिए $x(\text{Blue}) < x(\text{Green})$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
पर्दे की दूरी $D = 1.0 \, m$.
झिरियों के बीच की दूरी $d = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m = 10^{-4} \, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-4}} \, m = 5 \times 10^{-3} \, m$.
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने के लिए $100$ से गुणा करने पर:
$\beta = 5 \times 10^{-3} \times 10^2 \, cm = 0.5 \, cm$.

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ होता है।
इस प्रश्न में,झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी को $L$ (जो $D$ के स्थान पर है) द्वारा दर्शाया गया है,और फ्रिंज की चौड़ाई को $x$ (जो $\beta$ के स्थान पर है) द्वारा दर्शाया गया है।
इन चरों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \frac{L\lambda}{d}$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \frac{xd}{L}$ प्राप्त होता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,स्क्रीन पर केंद्रीय बिंदु तक पहुँचने वाली दो तरंगों के बीच पथ का अंतर शून्य होता है।
चूंकि पथ अंतर $\Delta x = 0$ है,इसलिए कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = 0$ होता है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $\Delta x = n\lambda$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ है।
चूंकि $n = 0$ इस शर्त को पूरा करता है,इसलिए केंद्रीय बिंदु केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) के अनुरूप होता है,जो हमेशा दीप्त होता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
चूंकि $D$ और $d$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ होगा।
दिया गया है कि $\beta = 0.4 \, mm$ और $\mu = 4/3$,अतः $\beta' = \frac{0.4}{4/3} = 0.4 \times \frac{3}{4} = 0.3 \, mm$।

(B) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
यहाँ,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब प्रयोग को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
चूंकि पानी का अपवर्तनांक $(\mu \approx 1.33)$ हवा $(\mu \approx 1.0)$ से अधिक होता है,इसलिए पानी में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ हो जाती है।
चूंकि $\mu > 1$ है,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई $\beta'$,$\beta$ से कम होगी। अतः,फ्रिंज की चौड़ाई घट जाएगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,फ्रिंज की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य के सीधे आनुपातिक होती है।
दिए गए रंगों में,बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्घ्य न्यूनतम $(\lambda_v \approx 400 \ nm)$ होती है और लाल प्रकाश की तरंगदैर्घ्य अधिकतम $(\lambda_r \approx 700 \ nm)$ होती है।
इसलिए,बैंगनी प्रकाश के लिए फ्रिंज की चौड़ाई न्यूनतम होगी।

(C) हवा में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta_{air} = \frac{\lambda D}{d} = 0.6 \, mm$ द्वारा दी जाती है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है, तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप, नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_{medium} = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta_{air}}{\mu}$ होती है।
यहाँ $\beta_{air} = 0.6 \, mm$ और $\mu = 1.5$ दिया गया है, इसलिए:
$\beta_{medium} = \frac{0.6}{1.5} = 0.4 \, mm$।

(C) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $I_1/I_2 = w_1/w_2 = 4/9$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,जहाँ $a$ आयाम है,इसलिए $a_1/a_2 = \sqrt{I_1/I_2} = \sqrt{4/9} = 2/3$ होगा।
मान लीजिए $a_1 = 2k$ और $a_2 = 3k$ है।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(2k + 3k)^2}{(2k - 3k)^2} = \frac{(5k)^2}{(-k)^2} = \frac{25k^2}{k^2} = 25/1$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $25:1$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
यहाँ,$\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-8} \ cm = 6 \times 10^{-5} \ cm$ है।
पर्दे की स्लिट्स से दूरी $D = 40 \ cm$ है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = 0.012 \ cm$ है।
स्लिट्स के बीच की दूरी $d$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$d = \frac{\lambda D}{\beta} = \frac{6 \times 10^{-5} \ cm \times 40 \ cm}{0.012 \ cm}$।
$d = \frac{240 \times 10^{-5}}{0.012} \ cm = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{1.2 \times 10^{-2}} \ cm = 2 \times 10^{-1} \ cm = 0.2 \ cm$।
अतः,स्लिट्स के बीच की दूरी $0.2 \ cm$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है,और $d$ स्लिट पृथक्करण है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई समान है,$\beta_1 = \beta_2$,इसलिए $\frac{\beta_1}{\beta_2} = 1$ है।
हमें अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{1}$ दिए गए हैं।
सूत्र $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \left(\frac{D_1}{D_2}\right) \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right) \left(\frac{d_2}{d_1}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 = \left(\frac{D_1}{D_2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)$.
$1 = \left(\frac{D_1}{D_2}\right) \times \frac{1}{4}$.
इसलिए,$\frac{D_1}{D_2} = \frac{4}{1}$ है।

(B) व्यतिकरण प्रयोग में,दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों (उच्चिष्ठों) या दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों (निम्निष्ठों) के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई कहा जाता है,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र संपोषी व्यतिकरण के लिए पथ अंतर की शर्त से प्राप्त होता है,जो $\Delta x = n\lambda = \frac{yd}{D}$ है।
क्रमागत उच्चिष्ठों के लिए,दूरी $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ पर्दे और स्लिट्स के बीच की दूरी है,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
चूंकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{red})$ पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{yellow})$ से अधिक होती है,इसलिए पीले प्रकाश को लाल प्रकाश से बदलने पर फ्रिंज की चौड़ाई बढ़ जाएगी।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
प्रारंभिक मान दिए गए हैं: $\beta_1 = 1 \times 10^{-4} \ m$,$\lambda_1 = 6.4 \times 10^{-7} \ m$.
नए पैरामीटर: $D_2 = 2D_1$,$d_2 = \frac{d_1}{2}$,$\lambda_2 = 4.0 \times 10^{-7} \ m$.
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \frac{D_2}{D_1} \times \frac{d_1}{d_2}$.
मान रखने पर: $\frac{\beta_2}{1 \times 10^{-4}} = \left( \frac{4.0 \times 10^{-7}}{6.4 \times 10^{-7}} \right) \times \left( \frac{2D_1}{D_1} \right) \times \left( \frac{d_1}{d_1/2} \right)$.
$\frac{\beta_2}{1 \times 10^{-4}} = \left( \frac{4.0}{6.4} \right) \times 2 \times 2 = \frac{16}{6.4} = 2.5$.
अतः,$\beta_2 = 2.5 \times 10^{-4} \ m$.

(D) व्यतिकरण प्रतिरूप देखे जाने के लिए,दोनों प्रकाश तरंगों का कला-संबद्ध (coherent) होना और उनकी आवृत्ति तथा तरंगदैर्घ्य का समान होना आवश्यक है।
चूंकि नीला फिल्टर और पीला फिल्टर अलग-अलग तरंगदैर्घ्य का प्रकाश संचारित करते हैं,इसलिए दोनों झिरियों से निकलने वाली तरंगों की आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य अलग-अलग होगी।
अतः,स्थायी व्यतिकरण के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है,और पर्दे पर कोई स्थायी व्यतिकरण प्रतिरूप नहीं बनेगा।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और स्रोतों के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्रोतों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि फ्रिंज की चौड़ाई दूरी $D$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto D$।
दिया गया है कि प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = 2w$ है जब दूरी $D_1 = D$ है।
यदि दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो $D_2 = 2D$ होगा।
अतः नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \beta_1 \times \frac{D_2}{D_1} = 2w \times \frac{2D}{D} = 4w$ होगी।
इसलिए,फ्रिंज की चौड़ाई $4w$ हो जाएगी।

(A) द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि $\theta \propto \lambda$,कोणीय चौड़ाई $\theta$ को $10\%$ बढ़ाने के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को भी $10\%$ बढ़ाना होगा।
तरंगदैर्ध्य में आवश्यक परिवर्तन $\Delta\lambda = \lambda$ का $10\% = \frac{10}{100} \times 5890 \ \mathring{A} = 589 \ \mathring{A}$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य में $589 \ \mathring{A}$ की वृद्धि करना आवश्यक है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, यदि प्रत्येक झिरी से प्रकाश की तीव्रता $I$ है, तो केंद्रीय फ्रिंज पर परिणामी तीव्रता $I_0 = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos(0) = 4I$ द्वारा दी जाती है।

जब एक झिरी को बंद कर दिया जाता है, तो प्रकाश का केवल एक ही स्रोत शेष रहता है।

एकल झिरी के कारण उसी बिंदु पर तीव्रता केवल $I$ होती है।

चूंकि $I_0 = 4I$, इसलिए $I = I_0 / 4$ है।

अतः, केंद्रीय बिंदु पर तीव्रता $I_0 / 4$ हो जाएगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
फ्रिंज की चौड़ाई समान रहने के लिए,अनुपात $\frac{\lambda D}{d}$ को स्थिर रहना चाहिए।
यदि $d$ और $D$ दोनों को दोगुना कर दिया जाए,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ होगी: $\beta' = \frac{\lambda (2D)}{(2d)} = \frac{\lambda D}{d} = \beta$।
अतः,जब $d$ और $D$ दोनों को दोगुना किया जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई अपरिवर्तित रहती है।

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र है: $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
यहाँ,$n = 3$,$\lambda = 6000\ \mathring A = 6000 \times 10^{-10}\ m$,$D = 1.0\ m$,और $d = 0.5\ mm = 0.5 \times 10^{-3}\ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x_3 = \frac{3 \times 6000 \times 10^{-10} \times 1.0}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{18000 \times 10^{-10}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x_3 = 36000 \times 10^{-7}\ m = 3.6 \times 10^{-3}\ m = 3.6\ mm$.
अतः,दूरी $3.6\ mm$ है।

(D) दी गई प्रायोगिक व्यवस्था के लिए दृश्य क्षेत्र की कुल चौड़ाई $W$ स्थिर रहती है।
$\lambda$ तरंगदैर्ध्य की $n$ फ्रिंजों के लिए,चौड़ाई $W = n \times \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
अतः,$W = n \times \frac{D\lambda}{d}$.
चूँकि $W$,$D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ होगा।
दिया गया है $n_1 = 62$,$\lambda_1 = 5893 \ \mathring{A}$,और $\lambda_2 = 4358 \ \mathring{A}$.
मान रखने पर: $62 \times 5893 = n_2 \times 4358$.
$n_2 = \frac{62 \times 5893}{4358} \approx 83.83$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$n_2 = 84$ प्राप्त होता है।

(B) कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $\theta \propto \lambda$ है।
जब प्रणाली को पानी में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda_w = \frac{\lambda_a}{\mu_w}$ हो जाती है,जहाँ $\mu_w$ पानी का अपवर्तनांक है।
चूंकि $\theta \propto \lambda$,नई कोणीय चौड़ाई $\theta_w = \frac{\theta_a}{\mu_w}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\theta_a = 0.20^o$ और $\mu_w = \frac{4}{3}$,इसलिए $\theta_w = \frac{0.20}{4/3} = 0.20 \times \frac{3}{4} = 0.15^o$।

(A) $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
स्लिट पृथक्करण $d = 1 \,mm = 1 \times 10^{-3} \,m$.
पर्दे तक की दूरी $D = 1 \,m$.
$10^{th}$ फ्रिंज की स्थिति $x_{10} = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$.
फ्रिंज का क्रम $n = 10$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$5 \times 10^{-3} = \frac{10 \times \lambda \times 1}{1 \times 10^{-3}}$
$\lambda = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{10} = 5 \times 10^{-7} \,m$.
$\mathring A$ में परिवर्तित करने पर:
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \, \mathring A = 5000 \, \mathring A$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वीं दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति का सूत्र $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
$\lambda = 5000\;\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\;m = 5 \times 10^{-7}\;m$
$d = 0.2\;mm = 0.2 \times 10^{-3}\;m = 2 \times 10^{-4}\;m$
$D = 200\;cm = 2\;m$
तीसरे उच्चिष्ठ के लिए, $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x_3 = \frac{3 \times (5 \times 10^{-7}\;m) \times (2\;m)}{2 \times 10^{-4}\;m}$
$x_3 = \frac{30 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}}\;m = 15 \times 10^{-3}\;m = 1.5 \times 10^{-2}\;m = 1.5\;cm$.
अतः, तीसरा उच्चिष्ठ $x = 1.5\;cm$ पर होगा।

(D) केंद्रीय फ्रिंज से $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र है:
$x_n = \frac{(2n - 1) \lambda D}{2d}$
दूसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n = 2)$:
$x_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$
दिया गया है: $x_2 = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$,$D = 1 \, m$,और $d = 0.90 \, mm = 0.9 \times 10^{-3} \, m$.
मान रखने पर:
$1 \times 10^{-3} = \frac{3 \times \lambda \times 1}{2 \times 0.9 \times 10^{-3}}$
$1 \times 10^{-3} = \frac{3 \lambda}{1.8 \times 10^{-3}}$
$3 \lambda = 1.8 \times 10^{-6}$
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m = 6 \times 10^{-5} \, cm$.

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
यहाँ, $\beta = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$, $\lambda = 4 \times 10^{-7} \, m$, और $d = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$4 \times 10^{-3} = \frac{(4 \times 10^{-7}) \times D}{0.1 \times 10^{-3}}$
$D = \frac{(4 \times 10^{-3}) \times (0.1 \times 10^{-3})}{4 \times 10^{-7}}$
$D = \frac{0.4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = 0.1 \times 10^1 = 1 \, m$।
अतः, पर्दे और झिरी के बीच की दूरी $1 \, m$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = 0.06 \ cm = 0.06 \times 10^{-2} \ m = 6 \times 10^{-4} \ m$ है।
स्रोतों के बीच की दूरी $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ है।
पर्दे और स्रोत के बीच की दूरी $D = 1 \ m$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$6 \times 10^{-4} = \frac{\lambda \times 1}{10^{-3}}$
$\lambda = 6 \times 10^{-4} \times 10^{-3} \ m$
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \ m$
इसे $\mathring{A}$ में बदलने के लिए,हम $10^{10}$ से गुणा करते हैं:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6000 \ \mathring{A}$.

(B) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक माइका शीट को व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के पथ में रखा जाता है,तो एक अतिरिक्त प्रकाशीय पथ अंतर उत्पन्न होता है।
उत्पन्न प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
मान लीजिए कि फ्रिंज पैटर्न स्क्रीन पर $y$ दूरी से विस्थापित होता है। स्क्रीन पर $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है और $D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है।
पथ अंतर के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$(\mu - 1)t = \frac{yd}{D}$
$y$ के लिए हल करने पर:
$y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$
अतः,फ्रिंज पैटर्न $\frac{D}{d}(\mu - 1)t$ की दूरी से विस्थापित होगा। इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(D) व्यतिकरण पैटर्न की कुल चौड़ाई $(W)$ दिए गए प्रयोगात्मक सेटअप के लिए स्थिर रहती है।
पैटर्न की चौड़ाई $W = n_1 \beta_1 = n_2 \beta_2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है।
अतः, $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है: $n_1 = 92$, $\lambda_1 = 5898 \ \text{\AA}$, और $\lambda_2 = 5461 \ \text{\AA}$.
मान रखने पर: $92 \times 5898 = n_2 \times 5461$.
$n_2 = \frac{92 \times 5898}{5461} \approx 99.37$.
चूंकि फ्रिंजों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए $n_2 = 99$ प्राप्त होता है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण फ्रिंज दो कला-संबद्ध स्रोतों से आने वाली प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण के कारण बनती हैं।
स्पष्ट व्यतिकरण फ्रिंज के लिए,प्रकाश स्रोत का एकवर्णी (एक ही तरंगदैर्ध्य वाला) होना आवश्यक है।
टॉर्च सफेद प्रकाश उत्सर्जित करती है,जिसमें कई अलग-अलग तरंगदैर्ध्य का एक सतत स्पेक्ट्रम होता है।
प्रत्येक तरंगदैर्ध्य अपनी अलग फ्रिंज चौड़ाई के साथ अपना व्यतिकरण पैटर्न बनाती है।
ये पैटर्न एक-दूसरे पर इस तरह से अध्यारोपित होते हैं कि विभिन्न रंगों की चमकीली और काली फ्रिंज एक-दूसरे के प्रभाव को समाप्त कर देती हैं,जिसके परिणामस्वरूप पर्दे पर केवल सामान्य रोशनी दिखाई देती है।
इसलिए,कोई भी स्पष्ट व्यतिकरण फ्रिंज दिखाई नहीं देगी।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,व्यतिकरण पैटर्न दो झिरियों से निकलने वाली कला-संबद्ध (coherent) प्रकाश तरंगों के अध्यारोपण के कारण बनता है।
जब व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के मार्ग में एक पतली धातु की प्लेट रखी जाती है,तो यह उस किरण को पूरी तरह से अवरुद्ध कर देती है।
चूंकि व्यतिकरण के लिए दो कला-संबद्ध तरंगों के अध्यारोपण की आवश्यकता होती है,इसलिए एक किरण को अवरुद्ध करने से तरंगों का अध्यारोपण नहीं हो पाता है।
दो तरंगों के अध्यारोपण के बिना,कोई व्यतिकरण पैटर्न नहीं बन सकता है,और इसलिए,फ्रिंज गायब हो जाते हैं।

(B) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_n = \frac{n D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $n = 3$,$D = 1.4 \,m$,$d = 0.28 \,mm = 0.28 \times 10^{-3} \,m$,और $x_3 = 0.9 \,cm = 0.9 \times 10^{-2} \,m$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.9 \times 10^{-2} = \frac{3 \times 1.4 \times \lambda}{0.28 \times 10^{-3}}$
$\lambda = \frac{0.9 \times 10^{-2} \times 0.28 \times 10^{-3}}{3 \times 1.4}$
$\lambda = \frac{0.252 \times 10^{-5}}{4.2} = 0.06 \times 10^{-5} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
$\mathring{A}$ में परिवर्तित करने पर: $\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^{10} \, \mathring{A} = 6000 \, \mathring{A}$.

(A) दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ कहा जाता है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है:
$\lambda = 6000 \,\mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
$D = 1 \,m$
$d = 0.6 \,mm = 0.6 \times 10^{-3} \,m$
मान रखने पर:
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 1}{0.6 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{6}{0.6} \times 10^{-7+3}$
$\beta = 10 \times 10^{-4} \,m = 10^{-3} \,m$
$\beta = 1 \,mm$.

(D) संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथ अंतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
प्रथम उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x = 1 \times 6320 \ \mathring{A} = 6320 \ \mathring{A}$ होता है।
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\phi$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
प्रथम उच्चिष्ठ के लिए,$\Delta x = \lambda$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi \ \text{radian}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली कांच की प्लेट को किसी एक किरण के पथ में रखा जाता है,तो एक अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न होता है।
यह पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
इस अतिरिक्त पथ अंतर के कारण,पूरा व्यतिकरण पैटर्न $y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ की दूरी से उस तरफ विस्थापित हो जाता है जिस तरफ कांच की प्लेट रखी गई है।
हालाँकि,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ केवल तरंग दैर्ध्य $\lambda$,स्लिट्स के बीच की दूरी $d$,और पर्दे तक की दूरी $D$ पर निर्भर करती है।
चूंकि ये पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्थिर रहती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
संबंध $\beta \propto \lambda$ से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,यदि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ भी बढ़ती है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
दिया गया है:
- तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
- स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$.
- स्लिट्स से पर्दे की दूरी $D = 2 \, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 2}{4 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{12 \times 10^{-7}}{4 \times 10^{-3}}$
$\beta = 3 \times 10^{-4} \, m$
मीटर को मिलीमीटर में बदलने पर:
$\beta = 3 \times 10^{-4} \times 10^3 \, mm = 0.3 \, mm$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और झिरियों के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों झिरियों के बीच की दूरी है।
संबंध $\beta \propto \lambda$ से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है।
दिए गए रंगों में,लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है और नीले रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे कम है,इसलिए नीले प्रकाश के लिए फ्रिंज की चौड़ाई सबसे कम होगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
यह दिया गया है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ स्थिर रहती है,इसलिए $\frac{\lambda D}{d} = \text{स्थिरांक}$.
यदि स्लिट पृथक्करण $d$ को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाए,तो नई दूरी $D'$ मान लें।
तब,$\frac{\lambda D}{d} = \frac{\lambda D'}{2d}$.
$D'$ के लिए हल करने पर,हमें $D' = 2D$ प्राप्त होता है।
अतः,स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी को दोगुना किया जाना चाहिए।