Variations in YDSE (Young's Double Slit Experiment) Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक स्लिट से आने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। दीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ है और अदीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0})^2 = 0$ है।
जब एक स्लिट के सामने कांच की प्लेट रखी जाती है,तो उस स्लिट की तीव्रता $I_1 = I_0/2$ हो जाती है। दूसरी स्लिट की तीव्रता $I_2 = I_0$ रहती है।
नई अधिकतम तीव्रता $I'_{max} = (\sqrt{I_0/2} + \sqrt{I_0})^2 = I_0(1/\sqrt{2} + 1)^2 \approx 2.91I_0$ है।
नई न्यूनतम तीव्रता $I'_{min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0/2})^2 = I_0(1 - 1/\sqrt{2})^2 \approx 0.086I_0$ है।
चूंकि $I'_{min} \neq 0$ है,इसलिए अदीप्त फ्रिंज अब पूरी तरह से अंधेरे नहीं रहते हैं और उनमें सीमित तीव्रता होती है,और दीप्त फ्रिंज मूल स्थिति की तुलना में धुंधले हो जाते हैं।

(A) जब व्यतिकरण करने वाली तरंगों में से एक के पथ में $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली शीट रखी जाती है,तो केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$.
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{\text{d}}$ होती है,इसलिए फ्रिंजों की संख्या के रूप में विस्थापन $n = \frac{\Delta x}{\beta} = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ होगा।
दिया गया है: $\mu = 1.5$,$t = 2 \times 10^{-6} \ m$,और $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
मान रखने पर: $n = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = 2$.
अतः,केंद्रीय दीप्त उच्चिष्ठ $2$ फ्रिंज ऊपर की ओर विस्थापित होगा।

(B) पारदर्शी प्लेट डालने के कारण व्यतिकरण पैटर्न में होने वाला विस्थापन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$।
यहाँ,$\mu = 1.5$,$t = 2.5 \times 10^{-5} \, m$,$D = 100 \, cm = 1 \, m$,और $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{(1.5 - 1) \times 2.5 \times 10^{-5} \times 1}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x = \frac{0.5 \times 2.5 \times 10^{-5}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
$x = 2.5 \, cm$।

(A) समान स्लिट चौड़ाई वाले मानक यंग डबल स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में, दोनों स्लिटों से आने वाली तरंगों के आयाम समान होते हैं, मान लीजिए $a$। अधिकतम तीव्रता $I_{max} \propto (a + a)^2 = 4a^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} \propto (a - a)^2 = 0$ होती है।
जब एक स्लिट को दूसरी से दोगुना चौड़ा बनाया जाता है, तो उससे गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता बढ़ जाती है। चूंकि तीव्रता $I \propto \text{चौड़ाई}$, यदि पहली स्लिट की चौड़ाई $w$ है, तो दूसरी की चौड़ाई $2w$ होगी। आयामों का संबंध $A_2 = \sqrt{2} A_1$ है। यदि $A_1 = a$ है, तो $A_2 = a\sqrt{2}$ होगा।
नई अधिकतम तीव्रता $I'_{max} \propto (a + a\sqrt{2})^2 = a^2(1 + \sqrt{2})^2 \approx 5.83a^2$ होगी, जो $4a^2$ से अधिक है।
नई न्यूनतम तीव्रता $I'_{min} \propto (a\sqrt{2} - a)^2 = a^2(\sqrt{2} - 1)^2 \approx 0.17a^2$ होगी, जो $0$ से अधिक है।
अतः, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ दोनों की तीव्रताएँ बढ़ती हैं।

(B) जब प्रकाश $t$ मोटाई के निर्वात (या हवा) से गुजरता है,तो प्रकाशीय पथ $t$ होता है।
जब वही प्रकाश $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पारदर्शी प्लेट से गुजरता है,तो प्रकाशीय पथ $\mu t$ होता है।
प्रकाशीय पथ में परिवर्तन इन दो मानों के बीच का अंतर है।
प्रकाशीय पथ में परिवर्तन $= \mu t - t = (\mu - 1)t$।
अतः,पथ अंतर $(\mu - 1)t$ से बदल जाता है।

(C) पतली फिल्म द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ के संदर्भ में केंद्रीय उच्चिष्ठ का विस्थापन $n = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $n = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6} \, m}{500 \times 10^{-9} \, m} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = 2$.
चूंकि पतली फिल्म ऊपरी किरण के पथ में रखी गई है,इसलिए ऊपरी किरण की ऑप्टिकल पथ लंबाई बढ़ जाती है,जिससे केंद्रीय उच्चिष्ठ ऊपरी किरण की ओर यानी ऊपर की ओर खिसक जाता है।

(B) फ्रिंज का पार्श्व विस्थापन $(y)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $y = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$, जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $\mu$ अपवर्तनांक है, और $t$ प्लेट की मोटाई है।
दिए गए मान हैं: $\beta = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$, $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$, $\mu = 1.5$, और $t = 0.06 \, mm = 0.06 \times 10^{-3} \, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$y = \frac{10^{-3}}{600 \times 10^{-9}} (1.5 - 1) \times 0.06 \times 10^{-3}$
$y = \frac{10^{-3}}{600 \times 10^{-9}} (0.5) \times 0.06 \times 10^{-3}$
$y = \frac{0.03 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = \frac{0.03}{600} \times 10^3 = \frac{30}{600} = 0.05 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.05 \, m = 5 \, cm$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली पारदर्शी शीट के कारण केंद्रीय फ्रिंज में विस्थापन $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यह विस्थापन $n$ फ्रिंज चौड़ाई के बराबर है,जहाँ $n = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $n \propto t$ (यह मानते हुए कि $\mu$ और $\lambda$ स्थिर हैं)।
इसलिए,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{n_2}{n_1}$ होगा।
दिया गया है कि $n_1 = 30$ के लिए $t_1 = 4.8 \, mm$,तो $n_2 = 20$ के लिए $t_2$ ज्ञात करना है।
$t_2 = \frac{n_2}{n_1} \times t_1 = \frac{20}{30} \times 4.8 \, mm = \frac{2}{3} \times 4.8 \, mm = 3.2 \, mm$.

(A) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को एक किरण के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
मूल केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति पर तीव्रता अपरिवर्तित रहने के लिए,नया पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
न्यूनतम मोटाई $t_{\min}$ ज्ञात करने के लिए,हम $n = 1$ रखते हैं:
$(\mu - 1)t_{\min} = 1 \cdot \lambda$
दिया गया है $\mu = 1.5$,इसलिए:
$(1.5 - 1)t_{\min} = \lambda$
$0.5 t_{\min} = \lambda$
$t_{\min} = \frac{\lambda}{0.5} = 2\lambda$.

(D) $YDSE$ व्यवस्था में,जब प्रकाश $\theta$ कोण पर आपतित होता है,तो बिंदु $O$ पर प्रारंभिक पथ अंतर $d \sin \theta$ होता है (जहाँ $d$ स्लिट पृथक्करण है)।
जब स्लिट $S_2$ के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट रखी जाती है,तो यह $(\mu - 1)t$ का अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न करती है।
बिंदु $O$ पर कुल पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta - (\mu - 1)t$ हो जाता है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज वहां बनती है जहाँ कुल पथ अंतर शून्य होता है।
$1$. यदि $d \sin \theta = (\mu - 1)t$ है,तो $O$ पर पथ अंतर शून्य है,इसलिए केंद्रीय फ्रिंज $O$ पर प्राप्त होती है।
$2$. यदि $d \sin \theta > (\mu - 1)t$ है,तो पथ अंतर धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि केंद्रीय फ्रिंज $O$ के ऊपर स्थानांतरित हो जाती है।
$3$. यदि $d \sin \theta < (\mu - 1)t$ है,तो पथ अंतर ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि केंद्रीय फ्रिंज $O$ के नीचे स्थानांतरित हो जाती है।
अतः,स्थिति $\theta$,$t$ और $\mu$ के मानों पर निर्भर करती है।

(C) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की पट्टी के कारण फ्रिंज विस्थापन $\Delta x = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{\text{d}}$ है,हम विस्थापन को फ्रिंजों की संख्या $n$ के रूप में $\Delta x = n\beta$ लिख सकते हैं।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $n\beta = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$.
$\beta = \frac{\lambda D}{\text{d}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n \left( \frac{\lambda D}{\text{d}} \right) = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $n\lambda = (\mu - 1)t$ हो जाता है।
यहाँ $n = 7$,$\lambda = 600 \, nm$,और $\mu = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $7 \times 600 = (1.5 - 1)t$.
$4200 = 0.5 \times t$.
$t = \frac{4200}{0.5} = 8400 \, nm$.

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट के कारण फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t = \frac{\beta}{\lambda}(\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
जब दोनों स्लिट्स को समान मोटाई $t$ लेकिन अलग-अलग अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.4$ और $\mu_2 = 1.7$ वाली प्लेटों से ढका जाता है,तो कुल विस्थापन:
$\Delta x = \Delta x_2 - \Delta x_1 = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - 1)t - \frac{\beta}{\lambda}(\mu_1 - 1)t$
$\Delta x = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$
यह दिया गया है कि केंद्रीय दीप्त फ्रिंज पांचवीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति पर स्थानांतरित हो जाती है,इसलिए $\Delta x = 5\beta$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$5\beta = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$
$t = \frac{5\lambda}{\mu_2 - \mu_1}$
मान रखने पर $\lambda = 4800 \times 10^{-10} \ m$,$\mu_2 = 1.7$,और $\mu_1 = 1.4$:
$t = \frac{5 \times 4800 \times 10^{-10}}{1.7 - 1.4} = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.3} = 80000 \times 10^{-10} \ m = 8 \times 10^{-6} \ m = 8 \ \mu m$.

(B) व्यतिकरण पैटर्न में विस्थापन $(\Delta y)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta y = \frac{D}{d} t(\mu - 1)$
दिए गए मान:
$D = 100 \, cm = 1 \, m$
$d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$
$t = 2.5 \times 10^{-5} \, m$
$\mu = 1.5$
मान रखने पर:
$\Delta y = \frac{1}{0.5 \times 10^{-3}} \times (2.5 \times 10^{-5}) \times (1.5 - 1)$
$\Delta y = \frac{2.5 \times 10^{-5} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}}$
$\Delta y = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
$cm$ में बदलने पर:
$\Delta y = 2.5 \times 10^{-2} \times 100 \, cm = 2.5 \, cm$.

(A) मानक यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में,स्लिट्स पर्दे के समानांतर होती हैं,जिसके परिणामस्वरूप सीधी रेखा वाली फ्रिंजें प्राप्त होती हैं। हालाँकि,इस विशिष्ट विन्यास में,दो कला-सम्बद्ध स्रोत $S_1$ और $S_2$ को पर्दे के लंबवत एक रेखा पर रखा गया है। इस ज्यामिति में स्थिर पथ अंतर $\Delta x = |S_1P - S_2P| = n\lambda$ (संपोषी व्यतिकरण के लिए) या $(n + 1/2)\lambda$ (विनाशी व्यतिकरण के लिए) वाले बिंदुओं का बिंदुपथ हाइपरबोलोइड्स (hyperboloids of revolution) बनाता है। जब ये हाइपरबोलोइड्स स्रोतों की अक्ष के लंबवत रखे गए एक समतल पर्दे को काटते हैं,तो प्राप्त व्यतिकरण पैटर्न संकेंद्रित वृत्तों से बना होता है।

(D) दी गई व्यवस्था में,दो सुसंगत स्रोत $S_1$ और $S_2$ को पर्दे के लंबवत अक्ष पर रखा गया है।
यह विन्यास एक ही अक्ष पर स्थित दो बिंदुओं से उत्पन्न होने वाली गोलीय तरंगों के व्यतिकरण को दर्शाता है।
इस ज्यामिति में,स्थिर पथ अंतर $\Delta x = |S_1P - S_2P| = n\lambda$ (संपोषी व्यतिकरण के लिए) या $(n + 1/2)\lambda$ (विनाशी व्यतिकरण के लिए) वाले बिंदुओं का बिंदुपथ $S_1$ और $S_2$ को जोड़ने वाली अक्ष पर केंद्रित वृत्त बनाता है।
चूंकि पर्दा इस अक्ष के लंबवत है,इसलिए स्थिर पथ अंतर वाली इन सतहों का पर्दे के साथ प्रतिच्छेदन संकेंद्रित वृत्तों के रूप में प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = 1.45$,विस्थापित फ्रिंजों की संख्या $n = 5$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5890 \, \mathring{A} = 5890 \times 10^{-10} \, m$.
केंद्रीय फ्रिंज का विस्थापन सूत्र: $x = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
यहाँ,विस्थापन $x = 5\beta$ है।
मान रखने पर: $5\beta = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
दोनों तरफ से $\beta$ को हटाने पर: $5 = \frac{(\mu - 1) t}{\lambda}$.
मोटाई $t$ के लिए सूत्र: $t = \frac{5 \lambda}{\mu - 1}$.
$t = \frac{5 \times 5890 \times 10^{-10}}{1.45 - 1} = \frac{29450 \times 10^{-10}}{0.45}$.
$t = 6.544 \times 10^{-6} \, m \approx 6.55 \times 10^{-6} \, m$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली फिल्म रखी जाती है,तो केंद्रीय फ्रिंज का विस्थापन $\Delta x = \frac{D}{d} (\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होती है।
विस्थापित फ्रिंजों की संख्या $n = \frac{\Delta x}{\beta} = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ है।
दिया गया है: $\mu = 1.5$,$t = 2 \ \mu m = 2 \times 10^{-6} \ m$,और $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$.
मान रखने पर: $n = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = 2$.
अतः,केंद्रीय फ्रिंज $2$ फ्रिंजों के बराबर विस्थापित होगी।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के समानुपाती होती है $(I \propto w)$।
यदि एक स्लिट की चौड़ाई $w$ और दूसरी की $2w$ है,तो उनके आयाम $a_1$ और $a_2$ का संबंध $a_2 = \sqrt{2} a_1$ होगा।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} \propto (a_1 + a_2)^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} \propto (a_2 - a_1)^2$ होती है।
चूंकि $a_1 \neq a_2$,इसलिए न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ शून्य नहीं होगी; यह अशून्य (non-zero) होगी।
साथ ही,अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ समान चौड़ाई वाले स्लिटों की तुलना में बढ़ जाएगी।
अतः,दीप्त फ्रिंजों की तीव्रता बढ़ेगी और अदीप्त फ्रिंजों की तीव्रता अशून्य हो जाएगी।

(C) केंद्रीय बिंदु $C$ के लिए,कांच की स्लैब के बिना पथ अंतर $0$ है।
$\delta$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की स्लैब की उपस्थिति में,$(\mu - 1)\delta$ का अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न होता है।
बिंदु $C$ पर न्यूनतम तीव्रता (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर अर्ध-तरंगदैर्ध्य का विषम गुणज होना चाहिए:
$(\mu - 1)\delta = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
$\delta$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\delta = \frac{(2n - 1)\lambda}{2(\mu - 1)}$

(A) $t$ मोटाई और $n$ अपवर्तनांक वाली प्लेट द्वारा उत्पन्न विस्थापन $\Delta x = \frac{(n-1)tD}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों स्लिट्स समान मोटाई $t$ की प्लेटों से ढकी हुई हैं,इसलिए केंद्रीय दीप्त फ्रिंज में कुल विस्थापन:
$\Delta x_{net} = |\Delta x_2 - \Delta x_1| = \left| \frac{(n_2-1)tD}{d} - \frac{(n_1-1)tD}{d} \right| = \frac{(n_2 - n_1)tD}{d}$.
यह दिया गया है कि यह विस्थापन पांचवीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति के बराबर है,इसलिए $\Delta x_{net} = 5 \frac{\lambda D}{d}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{(n_2 - n_1)tD}{d} = \frac{5 \lambda D}{d}$.
$t = \frac{5 \lambda}{n_2 - n_1}$.
दिए गए मान रखने पर: $\lambda = 4800 \times 10^{-10} \, m$,$n_1 = 1.4$,$n_2 = 1.7$.
$t = \frac{5 \times 4800 \times 10^{-10}}{1.7 - 1.4} = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.3} = 80000 \times 10^{-10} \, m = 8 \times 10^{-6} \, m = 8 \, \mu m$.

(A) कांच की प्लेट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = t(\mu - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्रीय फ्रिंज के पहली दीप्त फ्रिंज की स्थिति पर स्थानांतरित होने के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होना चाहिए।
$\Delta x = \lambda$ रखने पर,हमें $t(\mu - 1) = \lambda$ प्राप्त होता है।
$\mu = 1.5$ रखने पर,$t(1.5 - 1) = \lambda$ प्राप्त होता है।
$t(0.5) = \lambda$.
$t = \frac{\lambda}{0.5} = 2\lambda$.
अतः,कांच की प्लेट की न्यूनतम मोटाई $2\lambda$ है।

(A) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पारदर्शी स्लैब को व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = t(\mu - 1)$ होता है।
केंद्रीय फ्रिंज की स्थिति अपरिवर्तित रहने के लिए,पहली स्लैब द्वारा उत्पन्न पथ अंतर दूसरी स्लैब द्वारा उत्पन्न पथ अंतर के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $t_1 = 1.2 \, \mu m$,$\mu_1 = 1.5$ और $t_2 = t$,$\mu_2 = 2.5$ है।
पथ अंतरों को बराबर करने पर:
$t_1(\mu_1 - 1) = t_2(\mu_2 - 1)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1.2 \times (1.5 - 1) = t \times (2.5 - 1)$
$1.2 \times 0.5 = t \times 1.5$
$0.6 = 1.5t$
$t = \frac{0.6}{1.5} = \frac{6}{15} = 0.4 \, \mu m$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
जब उपकरण को $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{nd} = \frac{\beta}{n}$ होगा।
यहाँ $\beta = 0.4 \, mm$ और $n = 4/3$ दिया गया है,इसलिए:
$\beta' = \frac{0.4}{4/3} = 0.4 \times \frac{3}{4} = 0.3 \, mm$.

(B) फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$
दिया गया है:
अपवर्तनांक $\mu = 1.5$
मोटाई $t = 2.5 \times 10^{-5} \, m$
स्लिट के बीच की दूरी $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$
पर्दे की दूरी $D = 100 \, cm = 1 \, m$
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{(1.5 - 1) \times (2.5 \times 10^{-5}) \times 1}{0.5 \times 10^{-3}}$
$\Delta x = \frac{0.5 \times 2.5 \times 10^{-5}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$\Delta x = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
$\Delta x = 2.5 \, cm$

(B) जब $\mu$ अपवर्तनांक और $t$ मोटाई की एक पारदर्शी शीट को व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के मार्ग में रखा जाता है,तो एक अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न होता है।
शीट में प्रकाशीय पथ की लंबाई $\mu t$ है,जबकि उतनी ही दूरी के लिए हवा में पथ की लंबाई $t$ है।
इसलिए,उत्पन्न अतिरिक्त पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय स्थिति से $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है और $D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है।
पथ अंतर के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(\mu - 1)t = \frac{yd}{D}$
विस्थापन $y$ के लिए हल करने पर:
$y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$

(A) केंद्रीय दीप्त फ्रिंज का विस्थापन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda} \beta$,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
दिया गया है: $\mu = 1.5$,$t = 2 \times 10^{-6} \ m$,$\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$.
मान रखने पर:
$\text{विस्थापन} = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} \beta$
$\text{विस्थापन} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} \beta$
$\text{विस्थापन} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} \beta = \frac{10}{5} \beta = 2 \beta$.
अतः,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज $2$ फ्रिंज-चौड़ाई से विस्थापित होगा।

(A) मोटाई $t$ और अपवर्तनांक $\mu$ की प्लेट के कारण केंद्रीय दीप्त फ्रिंज का विस्थापन $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t = \frac{\beta}{\lambda}(\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
जब दोनों स्लिट्स को ढका जाता है,तो कुल विस्थापन $\Delta x_{net} = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$ होता है।
यहाँ केंद्रीय फ्रिंज पांचवीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति पर स्थानांतरित होती है,इसलिए कुल विस्थापन $5\beta$ है।
अतः,$5\beta = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$.
$5 = \frac{1}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$.
$t = \frac{5\lambda}{\mu_2 - \mu_1} = \frac{5 \times 4800 \times 10^{-10} \, m}{1.8 - 1.5} = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.3} \, m$.
$t = 80000 \times 10^{-10} \, m = 8 \times 10^{-6} \, m = 8 \, \mu m$.

(D) माना आपतित तीव्रता $I$ है।
बिंदु $A$ पर,$25\%$ परावर्तित होता है,इसलिए किरण $AB$ की तीव्रता $I_1 = 0.25I = I/4$ है।
पारगमित तीव्रता $0.75I = 3I/4$ है।
बिंदु $C$ पर,आपतित प्रकाश का $25\%$ परावर्तित होता है,इसलिए परावर्तित किरण की तीव्रता $(3I/4) \times 0.25 = 3I/16$ है।
बिंदु $A'$ पर,इस प्रकाश का $75\%$ पारगमित होकर किरण $A'B'$ बनाता है,इसलिए तीव्रता $I_2 = (3I/16) \times 0.75 = 9I/64$ है।
तीव्रता का अनुपात $I_2/I_1 = (9I/64) / (I/4) = 9/16$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
${I_{\max }}/{I_{\min }} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{I_2/I_1}}{1 - \sqrt{I_2/I_1}} \right)^2$.
मान रखने पर:
${I_{\max }}/{I_{\min }} = \left( \frac{1 + \sqrt{9/16}}{1 - \sqrt{9/16}} \right)^2 = \left( \frac{1 + 3/4}{1 - 3/4} \right)^2 = \left( \frac{7/4}{1/4} \right)^2 = (7)^2 = 49/1$.

(B) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक अभ्रक (mica) शीट को स्लिट $S_1$ के सामने रखा जाता है,तो $S_1$ से गुजरने वाली प्रकाश किरण की ऑप्टिकल पथ लंबाई बढ़ जाती है।
अभ्रक शीट में ऑप्टिकल पथ लंबाई $\mu t$ है,जबकि हवा में यह $t$ होती।
इसलिए,अतिरिक्त ऑप्टिकल पथ जो जुड़ता है वह $\Delta x = \mu t - t = (\mu - 1)t$ है।
प्रारंभ में,बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta_0 = S_1P - S_2P$ है।
शीट रखने के बाद,नया पथ अंतर $\Delta' = (S_1P + (\mu - 1)t) - S_2P = (S_1P - S_2P) + (\mu - 1)t$ हो जाता है।
इस प्रकार,पथ अंतर $(\mu - 1)t$ से बढ़ जाता है।

(C) बिंदु $O$ पर पथ अंतर $\Delta = (SS_2 + S_2O) - (SS_1 + S_1O)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि स्लिट्स $S_1$ और $S_2$,$S$ से समान दूरी पर नहीं हैं,इसलिए $O$ पर पथ अंतर आवश्यक रूप से शून्य नहीं है।
यदि पथ अंतर $\Delta = n\lambda$ (जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$) है,तो $O$ पर व्यतिकरण संपोषी होगा,जिसके परिणामस्वरूप एक चमकीली फ्रिंज प्राप्त होगी।
यदि पथ अंतर $\Delta = (n - 1/2)\lambda$ (जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$) है,तो $O$ पर व्यतिकरण विनाशी होगा,जिसके परिणामस्वरूप एक काली फ्रिंज प्राप्त होगी।
इसलिए,$O$ पर फ्रिंज की प्रकृति पथ अंतर पर निर्भर करती है,जो $S_1$ और $S_2$ के सापेक्ष $S$ की स्थिति पर निर्भर करता है।

(A) कांच की प्लेट डालने के कारण व्यतिकरण पैटर्न में विस्थापन (फ्रिंजों की संख्या $n$) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = (\mu - 1)t = n \lambda$.
यहाँ,$\mu = 1.5$ अपवर्तनांक है,$t = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m$ मोटाई है,और $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$ तरंगदैर्ध्य है।
मान रखने पर:
$(1.5 - 1) \times (0.1 \times 10^{-3}) = n \times (500 \times 10^{-9})$.
$0.5 \times 10^{-4} = n \times 5 \times 10^{-7}$.
$n = \frac{0.5 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{0.5}{5} \times 10^3 = 0.1 \times 1000 = 100$.
अतः,विस्थापित फ्रिंजों की संख्या $100$ है।

(D) केंद्रीय सफेद धब्बा उस बिंदु पर बनता है जहाँ दोनों स्लिट्स से आने वाली तरंगों के बीच का पथ अंतर शून्य होता है।
मान लीजिए स्लिट्स $S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी $d$ है। बिंदु $O$ स्क्रीन पर स्लिट्स के मध्य बिंदु का प्रक्षेप है।
मान लीजिए ऊपरी स्लिट अक्ष से $y_1 = 2d/3$ की दूरी पर है और निचली स्लिट अक्ष से $y_2 = d - 2d/3 = d/3$ की दूरी पर है।
मान लीजिए सफेद धब्बा स्क्रीन पर $O$ से $y$ दूरी पर है।
स्क्रीन पर बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = S_2P - S_1P \approx \frac{d y}{D}$ है।
हालाँकि,चूंकि आपतित प्रकाश एक कोण पर है,इसलिए पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta + \frac{d y}{D} = 0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,केंद्रीय उच्चिष्ठ वहां बनता है जहां ऑप्टिकल पथ की लंबाई समान होती है। केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति केंद्र $O$ से $y = \frac{2d/3 - d/3}{2} = d/6$ होती है।
अतः,$O$ से सफेद धब्बे की दूरी $d/6$ है।

(A) बिंदु $O$ पर पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{2d/3}{d} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,पथ अंतर $\Delta x = d \cdot \frac{2}{3} = \frac{2d}{3}$ है।
बिंदु $O$ के उच्चिष्ठ होने के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,इसलिए $\Delta x = n \lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
इसलिए,$\frac{2d}{3} = n \lambda$,जिससे $\lambda = \frac{2d}{3n}$ प्राप्त होता है।
$n=1$ के लिए,$\lambda = \frac{2d}{3}$।
$n=2$ के लिए,$\lambda = \frac{d}{3}$।
$n=3$ के लिए,$\lambda = \frac{2d}{9}$।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,हम देखते हैं कि कौन सा मान $\lambda = \frac{2d}{3n}$ के रूप में फिट नहीं होता है। विकल्प $A$: $\frac{d^2}{3D}$ यहाँ एक मान्य तरंगदैर्ध्य नहीं है क्योंकि यह $D$ पर निर्भर करता है,जबकि इस विन्यास में पथ अंतर $D$ से स्वतंत्र है।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
जब स्लिट और पर्दे के बीच के स्थान में $\mu$ अपवर्तनांक वाला माध्यम भर दिया जाता है,तो माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ होती है।
चूंकि पानी का अपवर्तनांक $\mu > 1$ है,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई $\beta'$ घट जाती है।
शिफ्ट के संबंध में,दोनों स्लिटों से पर्दे के केंद्र तक जाने वाली तरंगों के लिए पथ अंतर में परिवर्तन समान होता है,इसलिए केंद्रीय फ्रिंज के लिए पथ अंतर शून्य ही रहता है। अतः,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज शिफ्ट नहीं होती है।

(A) तिरछे आपतन के कारण बिंदु $O$ पर पथ अंतर $\Delta x_0 = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ और $\theta = 30^o$ दिया गया है।
$\Delta x_0 = (10^{-3} \ m) \sin(30^o) = 10^{-3} \times 0.5 = 5 \times 10^{-4} \ m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
तरंगदैर्ध्य के संदर्भ में पथ अंतर $\Delta x_0 / \lambda = (5 \times 10^{-4}) / (5 \times 10^{-7}) = 1000$ है।
चूंकि पथ अंतर $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज $(1000 \lambda)$ है,इसलिए $O$ पर संपोषी व्यतिकरण होता है।
परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi) = I_o + I_o + 2\sqrt{I_o I_o} \cos(0) = 4I_o$ है।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है। चूंकि $\lambda$,$D$,और $d$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ स्थिर रहती है।
जब स्रोत $S$ को ऊपरी स्लिट $S_1$ के करीब ले जाया जाता है,तो $S$ से $S_1$ तक की पथ लंबाई $S$ से $S_2$ तक की पथ लंबाई से छोटी हो जाती है। स्क्रीन पर शून्य पथ अंतर बनाए रखने के लिए,स्क्रीन पर बिंदु को $S_1$ की तुलना में $S_2$ के करीब होना चाहिए। इसका मतलब है कि केंद्रीय चमकीली फ्रिंज (जहाँ पथ अंतर शून्य है) नीचे की ओर खिसक जाती है। परिणामस्वरूप,पूरा फ्रिंज पैटर्न नीचे की ओर खिसक जाता है।

(A) बिंदु $O$ पर पथ अंतर एक मार्ग में स्लैब के रखे जाने के कारण होता है।
निर्वात में पथ की लंबाई $L$ मान लें। ऑप्टिकल पथ लंबाई को $n \times \text{ज्यामितीय पथ}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
स्लैब वाले पथ के लिए, ऑप्टिकल पथ $OP_1 = (L - t) n_2 + t n_3$ है।
स्लैब के बिना पथ के लिए, ऑप्टिकल पथ $OP_2 = L n_2$ है।
पथ अंतर $\Delta x = |OP_1 - OP_2| = |(L - t) n_2 + t n_3 - L n_2| = |t(n_3 - n_2)|$ है।
यह पथ अंतर $n_2$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में है। कलांतर प्राप्त करने के लिए, हम माध्यम $n_2$ में तरंगदैर्ध्य का उपयोग करते हैं, जो $\lambda_2 = \frac{\lambda_{vacuum}}{n_2}$ है।
चूंकि $\lambda_1$ माध्यम $n_1$ में तरंगदैर्ध्य है, इसलिए $\lambda_{vacuum} = n_1 \lambda_1$ है।
अतः, $\lambda_2 = \frac{n_1 \lambda_1}{n_2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda_2} \Delta x = \frac{2\pi}{(n_1 \lambda_1 / n_2)} |t(n_3 - n_2)| = \frac{2\pi n_2}{n_1 \lambda_1} (n_3 - n_2) t$ (यदि $n_3 > n_2$ हो)।
हालाँकि, विकल्पों की जाँच करने पर, निर्वात तरंगदैर्ध्य के संदर्भ में पथ अंतर का मानक व्युत्पन्न $\Delta x = t(n_3 - n_2)$ है। कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda_{vac}} \Delta x = \frac{2\pi}{n_1 \lambda_1} (n_3 - n_2) t$ होता है।

(C) दो पतली शीटों के कारण केंद्र $O$ पर पथ अंतर इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta x = |(\mu_1 - 1)t - (\mu_2 - 1)t| = |\mu_1 - \mu_2| t$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta x = |1.52 - 1.40| \times 10.4 \, \mu m = 0.12 \times 10.4 \times 10^{-6} \, m = 1.248 \times 10^{-6} \, m = 1248 \, nm$
$O$ पर उच्चिष्ठ होने के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = n \lambda \implies \lambda = \frac{1248 \, nm}{n}$
$n=1$ के लिए,$\lambda_1 = 1248 \, nm$ (सीमा से बाहर)
$n=2$ के लिए,$\lambda_2 = 624 \, nm$ (सीमा के भीतर)
$n=3$ के लिए,$\lambda_3 = 416 \, nm$ (सीमा के भीतर)
$n=4$ के लिए,$\lambda_4 = 312 \, nm$ (सीमा से बाहर)
अतः,$624 \, nm$ और $416 \, nm$ तरंगदैर्ध्य $O$ पर उच्चिष्ठ बनाएंगी।

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में,केंद्रीय उच्चिष्ठ का विस्थापन $\Delta x = d \sin \theta \approx d \theta$ (छोटे $\theta$ के लिए) द्वारा दिया जाता है।
जब दोनों स्लिटों को समान मोटाई $t = 0.5 \ mm$ और अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.8$ तथा $\mu_2 = \mu$ वाली प्लेटों से ढका जाता है,तो कुल पथ अंतर $\Delta x = (\mu_1 - 1)t - (\mu_2 - 1)t = (\mu_1 - \mu_2)t$ होता है।
दिया गया विस्थापन $\theta = 6^o = 6 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{30} \text{ रेडियन}$.
संबंध $d \theta = (\mu_1 - \mu_2)t$ का उपयोग करने पर,$\mu_1 - \mu_2 = \frac{d \theta}{t}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $1.8 - \mu = \frac{1.0 \times 10^{-3} \times (\pi/30)}{0.5 \times 10^{-3}} = 2 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \approx 0.209$.
अतः,$\mu = 1.8 - 0.209 = 1.591 \approx 1.6$.

(C) माना माइका शीट की मोटाई $t$ है। शीट द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
यहाँ $\mu = 3/2$ दिया गया है,अतः पथ अंतर $\Delta x = (3/2 - 1)t = t/2$ होगा।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{t}{2} = \frac{\pi t}{\lambda}$ होगा।
परिणामी तीव्रता $I_R = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_R = I_{max}/2$ दिया गया है,इसलिए $I_{max}/2 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\cos^2(\phi/2) = 1/2$,अतः $\cos(\phi/2) = 1/\sqrt{2}$ होगा।
इस प्रकार,$\phi/2 = \pi/4$,जिससे $\phi = \pi/2$ प्राप्त होता है।
$\phi$ का मान रखने पर,हमें $\frac{\pi t}{\lambda} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $t = \lambda/2$ आता है।

(B) मान लीजिए स्लिट्स $S_1$ और $S_2$ हैं। केंद्र से $y$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर पथ अंतर इस प्रकार है:
$\Delta x = (S_2P + (\mu - 1)2t) - (S_1P + (2\mu - 1)t)$
$\Delta x = (S_2P - S_1P) + (2\mu t - 2t - 2\mu t + t)$
$\Delta x = \frac{yd}{D} - t$
केंद्रीय उच्चिष्ठ के लिए,पथ अंतर शून्य होना चाहिए:
$\frac{yd}{D} - t = 0$
$y = \frac{tD}{d}$
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ $S_1$ स्लिट की ओर $\frac{tD}{d}$ दूरी पर विस्थापित हो जाता है।

(D) पतली फिल्म डालने से स्लिट $A$ से आने वाले प्रकाश के पथ में $t(\mu - 1)$ के बराबर वृद्धि होती है।
इसकी भरपाई करने के लिए,केंद्रीय उच्चिष्ठ उस स्लिट की ओर विस्थापित होता है जिसके सामने फिल्म रखी गई है,जो कि स्लिट $A$ है।
स्क्रीन पर किसी बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
नए केंद्रीय उच्चिष्ठ पर,पथ अंतर शून्य होना चाहिए,इसलिए $\frac{y d}{D} - t(\mu - 1) = 0$।
अतः,विस्थापन $y = \frac{D}{d} t(\mu - 1)$।
चूंकि फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,हम $\frac{D}{d} = \frac{\beta}{\lambda}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इस प्रकार,विस्थापन $y = t(\mu - 1) \frac{\beta}{\lambda}$ जो $A$ की ओर होगा।

(D) फिल्मों द्वारा केंद्रीय स्थिति पर उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x$ इस प्रकार है:
$\Delta x = (\mu_A - 1)t_A - (\mu_B - 1)t_B$
इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$\Delta x = \mu_A t_A - t_A - \mu_B t_B + t_B$
दी गई शर्त $\mu_A t_A = \mu_B t_B$ के अनुसार,$\mu_A t_A$ और $\mu_B t_B$ पद कट जाएंगे:
$\Delta x = t_B - t_A$
यदि $t_A = t_B$ है,तो $\Delta x = 0$ होगा,और केंद्रीय उच्चिष्ठ विस्थापित नहीं होगा।
हालाँकि,यदि $t_A \neq t_B$ है,तो पथ अंतर शून्य नहीं होगा,जिससे विस्थापन होगा।
विशेष रूप से,यदि $t_B > t_A$ है,तो $\Delta x > 0$ होगा,और विस्थापन $A$ की ओर होगा।
यदि $t_B < t_A$ है,तो $\Delta x < 0$ होगा,और विस्थापन $B$ की ओर होगा।

(A) स्थिति $1$: जब स्लिट समान चौड़ाई की होती हैं,यदि प्रत्येक स्लिट से प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है,तो:
$I_{\max} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} = 4I_0$
$I_{\min} = I_0 + I_0 - 2\sqrt{I_0 I_0} = 0$
स्थिति $2$: जब एक स्लिट दूसरी स्लिट से दोगुनी चौड़ी होती है,तो उस स्लिट से तीव्रता $2I_0$ हो जाती है। अब तीव्रताएँ $I_1 = 2I_0$ और $I_2 = I_0$ हैं।
$I_{\text{newmax}} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = 2I_0 + I_0 + 2\sqrt{2I_0^2} = 3I_0 + 2\sqrt{2}I_0 \approx 5.83I_0$
$I_{\text{newmin}} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = 2I_0 + I_0 - 2\sqrt{2I_0^2} = 3I_0 - 2\sqrt{2}I_0 \approx 0.17I_0$
दोनों स्थितियों की तुलना करने पर,उच्चिष्ठ की तीव्रता बढ़ जाती है ($4I_0$ से $5.83I_0$) और निम्निष्ठ की तीव्रता भी बढ़ जाती है ($0$ से $0.17I_0$).

(D) कांच की स्लैब डालने के कारण, स्लैब से गुजरने वाला प्रकाश एक सघन माध्यम में यात्रा करने के कारण अतिरिक्त पथ अंतर का अनुभव करता है। केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maxima) बनने के लिए, उस बिंदु पर कुल पथ अंतर शून्य होना चाहिए। परिणामस्वरूप, स्लैब से आने वाले प्रकाश को खुली स्लिट से आने वाले प्रकाश की तुलना में कम ज्यामितीय दूरी तय करनी पड़ती है ताकि ऑप्टिकल पथ अंतर की भरपाई हो सके। इसके कारण पूरा फ्रिंज पैटर्न ढकी हुई स्लिट की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है। उच्चिष्ठ की तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ है। चूंकि एक स्लिट दूसरी स्लिट की तुलना में आधी तीव्रता का संचरण करती है $(I_1 < I_2)$, इसलिए दीप्त फ्रिंज मूल स्थिति की तुलना में कम चमकीली हो जाती हैं।
इसी प्रकार, निम्निष्ठ की तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ है। चूंकि $I_1 \neq I_2$, इसलिए $I_{min} > 0$, जिसका अर्थ है कि अदीप्त फ्रिंज अब पूरी तरह से काली नहीं रहती हैं और अधिक चमकीली हो जाती हैं।
अंत में, फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $D$, $\lambda$, और $d$ अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्थिर रहती है।

(A) व्यवस्था की ज्यामिति से,माइका शीट के बिना बिंदु $O$ पर पथ अंतर $\Delta x = SS_2 - SS_1$ है। यह देखते हुए कि स्रोत $S$,$S_1$ से $d$ दूरी पर है और ज्यामिति का तात्पर्य है कि $SS_2 = \sqrt{2}d$,पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{2}d - d = d(\sqrt{2} - 1)$ है।
$O$ पर केंद्रीय फ्रिंज बनाने के लिए,पथ अंतर शून्य होना चाहिए। $S_1$ के सामने $t$ मोटाई और $\mu = 1.5$ अपवर्तनांक वाली माइका शीट पेश करने से $(\mu - 1)t$ का अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न होता है।
कुल पथ अंतर को शून्य पर सेट करने पर: $(\mu - 1)t = \Delta x$.
मान रखने पर: $(1.5 - 1)t = d(\sqrt{2} - 1)$.
$0.5t = d(\sqrt{2} - 1)$.
$t = 2d(\sqrt{2} - 1)$.
अतः,शीट की मोटाई $S_1$ के सामने $2(\sqrt{2} - 1)d$ है।

(D) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली फिल्म के कारण फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$.
फ्रिंजों की संख्या $N$ के संदर्भ में विस्थापन $\Delta x = N \beta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $N \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = (\mu - 1)t \left( \frac{D}{d} \right)$.
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $N = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$.
दिए गए ग्राफ से,जब $\mu = 2.00$ है,तो विस्थापित फ्रिंजों की संख्या $N = 40$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $40 = \frac{(2.00 - 1)t}{600 \times 10^{-9} \ m}$.
$40 = \frac{1 \times t}{600 \times 10^{-9}}$.
$t = 40 \times 600 \times 10^{-9} \ m = 24000 \times 10^{-9} \ m = 24 \times 10^{-6} \ m = 24 \ \mu m$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) स्लैब द्वारा उत्पन्न ऑप्टिकल पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
दिया गया है कि $\mu = 1.5$ और $t = d/4$,इसलिए पथ अंतर $\Delta x = (1.5 - 1) \times (d/4) = 0.5 \times (d/4) = d/8$ है।
स्क्रीन पर $y$ स्थिति पर केंद्रीय उच्चिष्ठ बनने के लिए,उस बिंदु पर पथ अंतर शून्य होना चाहिए।
बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x_{net} = \frac{yd}{D} - \Delta x = 0$ है।
इसलिए,$\frac{yd}{D} = \frac{d}{8}$।
$y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = D/8 = 0.125\ D$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्लैब को $AS_2$ के पथ में रखा गया है,$S_2$ से गुजरने वाला प्रकाश विलंबित हो जाता है,जिससे केंद्रीय उच्चिष्ठ स्लैब की ओर यानी $O$ के नीचे की ओर स्थानांतरित हो जाता है।

(D) स्लिट तल के अभिलंब के साथ $\theta$ कोण पर आपतित और $\phi$ कोण पर विवर्तित प्रकाश के लिए,दो स्लिट्स से आने वाली किरणों के बीच पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta + d \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है।
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
इसलिए,$d(\sin \theta + \sin \phi) = m\lambda$,जहाँ $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin \phi + \sin \theta = m \frac{\lambda}{d}$ प्राप्त होता है।

(B) इस विन्यास में,पर्दे पर बिंदु $P$ पर दोनों स्लिट्स से आने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x = d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = 3 \lambda$ स्लिट्स के बीच की दूरी है और $\theta$ स्लिट्स की अक्ष के साथ कोण है।
उच्चिष्ठ (maxima) के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए: $\Delta x = n \lambda$.
चूंकि हम न्यूनतम दूरी $x$ ज्ञात करना चाहते हैं,हम पहले संभावित उच्चिष्ठ पर विचार करते हैं,जो $n = 1$ के अनुरूप है।
अतः,$1 \cdot \lambda = 3 \lambda \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{3}$.
व्यवस्था की ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{D}{\sqrt{D^2 + x^2}}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{D}{\sqrt{D^2 + x^2}} = \frac{1}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{D^2}{D^2 + x^2} = \frac{1}{9} \Rightarrow 9 D^2 = D^2 + x^2$.
$x^2 = 8 D^2 \Rightarrow x = \sqrt{8} D$.