Fresnel distance, Diffraction through circular slit, concept of Airy Disc, Rayleigh Criterion of Resolution , Fraunhofer diffraction Questions in Hindi

(B) फ्रॉनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली गहरी अवशोषण रेखाएं हैं।
जब सूर्य के फोटोस्फीयर से उत्सर्जित निरंतर प्रकाश क्रोमोस्फीयर नामक ठंडी बाहरी परत से होकर गुजरता है,तो प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य क्रोमोस्फीयर में मौजूद परमाणुओं द्वारा अवशोषित कर ली जाती हैं।
प्रकाश के इस चयनात्मक अवशोषण के परिणामस्वरूप सूर्य के निरंतर स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं दिखाई देती हैं,जिन्हें फ्रॉनहोफर रेखाएं कहा जाता है।

(C) फ्रॉनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली गहरी अवशोषण रेखाएं हैं।
ये रेखाएं तब उत्पन्न होती हैं जब सूर्य के गर्म प्रकाशमंडल द्वारा उत्सर्जित निरंतर स्पेक्ट्रम सूर्य के वर्णमंडल में मौजूद तत्वों की ठंडी गैसों और वाष्प से होकर गुजरता है।
जैसे ही प्रकाश इन ठंडी वाष्पों से गुजरता है,इन तत्वों के विशिष्ट अवशोषण स्पेक्ट्रम के अनुरूप विशिष्ट तरंग दैर्ध्य अवशोषित हो जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप गहरी रेखाएं बनती हैं जिन्हें फ्रॉनहोफर रेखाएं कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) फ्रॉनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाती हैं।
ये रेखाएं तब बनती हैं जब सूर्य की ठंडी बाहरी परतों (वर्णमंडल) में मौजूद परमाणु,गर्म आंतरिक परतों (प्रकाशमंडल) द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं।
चूंकि ये परमाणु विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं,इसलिए वे सूर्य के निरंतर स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं उत्पन्न करते हैं।
अतः,फ्रॉनहोफर स्पेक्ट्रम एक रेखीय अवशोषण स्पेक्ट्रम है।

(A) एकल स्लिट पर फ्रौनहोफर विवर्तन के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d$ स्लिट की चौड़ाई है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $\theta$ विवर्तन कोण है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,हम $n = 1$ रखते हैं।
दिए गए मान $\lambda = 550 \,nm = 550 \times 10^{-9} \,m$ और $d = 0.55 \,mm = 0.55 \times 10^{-3} \,m$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 550 \times 10^{-9}}{0.55 \times 10^{-3}}$.
$\sin \theta = \frac{550 \times 10^{-9}}{550 \times 10^{-6}} = 10^{-3}$.
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin \theta \approx \theta$.
अतः,$\theta = 0.001 \,rad$.

(B) एक गोलाकार डिस्क द्वारा विवर्तन (पॉइसन स्पॉट) के मामले में,केंद्र पर तीव्रता डिस्क द्वारा अवरुद्ध हाफ-पीरियड ज़ोन $(HPZ)$ की संख्या पर निर्भर करती है।
अवरुद्ध $HPZ$ की संख्या $n = \frac{A}{\pi \lambda d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ डिस्क का क्षेत्रफल है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,और $d$ डिस्क और स्क्रीन के बीच की दूरी है।
चूंकि $A, \pi,$ और $\lambda$ स्थिरांक हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{d}$ होता है।
जब दूरी $d$ कम की जाती है,तो अवरुद्ध $HPZ$ $(n)$ की संख्या बढ़ जाती है।
जैसे-जैसे अधिक $HPZ$ अवरुद्ध होते हैं,केंद्र पर विनाशी व्यतिकरण बढ़ता है,जिससे केंद्रीय चमकीले धब्बे की तीव्रता कम हो जाती है।

(D) चौड़ाई की एक एकल स्लिट के लिए,फ्रॉनहोफर विवर्तन में $n^{th}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए पथ अंतर की शर्त इस प्रकार है:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए,हम $n = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) फ्रौनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली गहरी अवशोषण रेखाएं हैं।
ये रेखाएं इसलिए बनती हैं क्योंकि सूर्य के क्रोमोस्फीयर में मौजूद ठंडी गैसें,उसके नीचे स्थित गर्म फोटोस्फीयर द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की विशिष्ट तरंगदैर्ध्य को अवशोषित कर लेती हैं।
इसलिए,वे सूर्य के क्रोमोस्फीयर में मौजूद तत्वों द्वारा कुछ तरंगदैर्ध्य के अवशोषण को दर्शाती हैं।

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \, m$.
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.2 \, mm = 0.2 \times 10^{-3} \, m$.
पर्दे की दूरी $D = 2 \, m$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $W = D \times (2\theta) = \frac{2\lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $W = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 2}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$W = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.2 \times 10^{-3}} = \frac{2.4 \times 10^{-6}}{0.2 \times 10^{-3}} = 12 \times 10^{-3} \, m = 12 \, mm$.

(B) एकल स्लिट फ्रॉनहोफर विवर्तन पैटर्न में प्रथम निम्निष्ठ (first minimum) के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है। प्रथम निम्निष्ठ के लिए $n = 1$ लेने पर,$\sin \theta = \frac{\lambda}{a}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,स्लिट की चौड़ाई $a = 12 \times 10^{-5} \text{ cm} = 12 \times 10^{-7} \text{ m}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ है।
मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{12 \times 10^{-7}} = \frac{6}{12} = 0.5$.
चूँकि $\sin \theta = 0.5$,इसलिए अर्ध-कोणीय चौड़ाई $\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$ होगी।

(C) $n^{th}$ फ्रेनेल ज़ोन की त्रिज्या का सूत्र $r_n = \sqrt{n b \lambda}$ है,जहाँ $b$ छिद्र से पर्दे की दूरी है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य ${\lambda _1}$ के लिए $4^{th}$ ज़ोन की त्रिज्या,तरंगदैर्ध्य ${\lambda _2}$ के लिए $5^{th}$ ज़ोन की त्रिज्या के बराबर है,इसलिए:
$r_4 = \sqrt{4 b \lambda_1}$
$r_5 = \sqrt{5 b \lambda_2}$
चूंकि $r_4 = r_5$,हम व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\sqrt{4 b \lambda_1} = \sqrt{5 b \lambda_2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4 b \lambda_1 = 5 b \lambda_2$
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर (जहाँ $b \neq 0$):
$4 \lambda_1 = 5 \lambda_2$
अतः,अनुपात है:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{5}{4}$

(B) रेले मानदंड (Rayleigh criterion) के अनुसार,दो बिंदु स्रोतों को 'जस्ट रिजॉल्व्ड' तब कहा जाता है जब एक स्रोत के विवर्तन पैटर्न का केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum),दूसरे स्रोत के विवर्तन पैटर्न के प्रथम निम्निष्ठ (first minimum) पर पड़ता है।
इस स्थिति में,परिणामी तीव्रता वक्र दो केंद्रीय उच्चिष्ठों के बीच एक स्पष्ट गिरावट (dip) दिखाता है,जो अधिकतम तीव्रता का लगभग $80\%$ होता है।
दिए गए चित्रों को देखने पर:
- चित्र $A$ दो स्रोतों को दर्शाता है जो अच्छी तरह से अलग (resolved) हैं।
- चित्र $B$ उस स्थिति को दर्शाता है जहाँ एक का केंद्रीय उच्चिष्ठ दूसरे के प्रथम निम्निष्ठ पर संपाती होता है,जो 'जस्ट रिजॉल्व्ड' की परिभाषा है।
- चित्र $C$ में स्रोत रेले सीमा से अधिक करीब हैं (unresolved)।
- चित्र $D$ में स्रोत बहुत करीब हैं,जो एक एकल स्रोत के रूप में दिखाई देते हैं (unresolved)।
इसलिए,सही निरूपण चित्र $B$ है।

(C) फ्रॉनहोफर विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र है: $\omega_{\theta} = \frac{2\lambda}{a}$।
दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 6 \times 10^{-7} \, \text{m}$।
स्लिट की चौड़ाई $a = 12 \times 10^{-5} \, \text{cm} = 12 \times 10^{-7} \, \text{m}$।
मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega_{\theta} = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \, \text{m}}{12 \times 10^{-7} \, \text{m}}$।
$\omega_{\theta} = \frac{12 \times 10^{-7}}{12 \times 10^{-7}} = 1 \, \text{rad}$।
अतः,कोणीय चौड़ाई $1 \, \text{rad}$ होगी।

(B) फ्रेनेल दूरी $(z_F)$ वह दूरी है जिसके लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है। यह सूत्र द्वारा दी जाती है: $z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
दिया गया है:
एपर्चर की चौड़ाई $(a)$ = $4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$.
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ = $500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
मान रखने पर:
$z_F = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{500 \times 10^{-9}}$
$z_F = \frac{16 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}}$
$z_F = \frac{16}{5} \times 10^1 = 3.2 \times 10 = 32 \, m$.

(B) Fraunhofer विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूँकि $\theta \propto \lambda$,हमारे पास अनुपात $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ है।
यह दिया गया है कि कोणीय चौड़ाई $30 \% $ कम हो जाती है,इसलिए नई कोणीय चौड़ाई $\theta_2 = \theta_0 - 0.30\theta_0 = 0.70\theta_0$ है।
मान रखने पर: $\frac{0.70\theta_0}{\theta_0} = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$0.70 = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$\lambda_2 = 0.70 \times 6000 \; \mathring{A} = 4200 \; \mathring{A}$.

(18 M) फ्रेनेल दूरी $(z_{F})$ वह दूरी है जिसके लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है। यह $z_{F} = \frac{a^{2}}{\lambda}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ एपर्चर की चौड़ाई है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $a = 3\; mm = 3 \times 10^{-3}\; m$ और $\lambda = 500\; nm = 5 \times 10^{-7}\; m$.
मान रखने पर:
$z_{F} = \frac{(3 \times 10^{-3})^{2}}{5 \times 10^{-7}}$
$z_{F} = \frac{9 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}}$
$z_{F} = 1.8 \times 10^{1} = 18\; m$.
अतः,$18\; m$ तक की दूरी के लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है।

(40 M) फ्रेनेल दूरी $(Z_{F})$ वह दूरी है जिसके लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है।
यह निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$Z_{F} = \frac{a^{2}}{\lambda}$
जहाँ:
द्वारक की चौड़ाई,$a = 4 \; mm = 4 \times 10^{-3} \; m$
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \; nm = 400 \times 10^{-9} \; m$
मान रखने पर:
$Z_{F} = \frac{(4 \times 10^{-3})^{2}}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_{F} = \frac{16 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_{F} = \frac{16}{400} \times 10^{3} = 0.04 \times 1000 = 40 \; m$
अतः,वह दूरी जिसके लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है,$40 \; m$ है।

(C) दो टावरों के बीच की दूरी $D = 40 \, km = 40,000 \, m$ है। पहाड़ी मध्य बिंदु पर स्थित है,इसलिए किसी भी टावर से पहाड़ी की दूरी $Z_F = D/2 = 20,000 \, m$ है।
रेडियो तरंगों के विवर्तन के उल्लेखनीय प्रभावों के बिना टावरों के बीच यात्रा करने के लिए,फ्रेनेल दूरी $Z_F$ बाधा तक की दूरी के बराबर होनी चाहिए। फ्रेनेल दूरी के लिए शर्त $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ एपर्चर का आकार (या क्लीयरेंस ऊंचाई) है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
यहाँ,क्लीयरेंस ऊंचाई $a = 50 \, m$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{a^2}{Z_F}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(50 \, m)^2}{20,000 \, m} = \frac{2500}{20,000} \, m = 0.125 \, m$.
तरंगदैर्ध्य को सेंटीमीटर में बदलने पर:
$\lambda = 0.125 \, m \times 100 \, cm/m = 12.5 \, cm$.
अतः,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $12.5 \, cm$ है।

(N/A) फ्रॉनहोफर विवर्तन में,पर्दे पर प्रकाश की तीव्रता बनाम विवर्तन कोण $\theta$ का ग्राफ चित्र में दर्शाया गया है।
ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maxima) की तीव्रता सबसे अधिक होती है।
$(i)$ सभी निम्निष्ठों (minima) पर प्रकाश की तीव्रता शून्य होती है।
$(ii)$ विवर्तन कोण बढ़ने के साथ द्वितीयक उच्चिष्ठों की तीव्रता घटती जाती है। अतः,जैसे-जैसे क्रम बढ़ता है,तीव्रता घटती है और उच्चिष्ठों की चौड़ाई भी कम होती जाती है।
$(iii)$ जैसे अनुपात $\frac{\lambda}{a}$ छोटा होता है,विवर्तन प्रभाव कम होता है और यदि यह बड़ा होता है,तो विवर्तन प्रभाव अधिक होता है।

(N/A) आकार के एक द्वारक (aperture) पर समानांतर किरणें आपतित होने पर,विवर्तित प्रकाश $\theta$ कोण पर फैलता है,जहाँ कोणीय चौड़ाई $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ होती है।
$z$ दूरी तय करने पर,विवर्तन के कारण बीम की चौड़ाई $w = z \theta = \frac{z \lambda}{a}$ हो जाती है।
फ्रेनेल दूरी $z_F$ वह दूरी है जहाँ विवर्तन के कारण होने वाला फैलाव द्वारक के आकार $a$ के बराबर हो जाता है।
$a = \frac{z_F \lambda}{a}$ रखने पर,हमें $z_F = \frac{a^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
जब दूरी $z \ll z_F$ होती है,तो विवर्तन के कारण होने वाला फैलाव द्वारक के आकार की तुलना में नगण्य होता है और प्रकाश सीधी रेखा में गमन करता है,जो किरण प्रकाशिकी के अनुरूप है।
जब दूरी $z > z_F$ होती है,तो विवर्तन के कारण होने वाला फैलाव किरण प्रकाशिकी के फैलाव से अधिक प्रभावी हो जाता है। अतः,किरण प्रकाशिकी केवल तभी मान्य है जब तरंगदैर्ध्य $\lambda \to 0$ हो या दूरी $z \ll z_F$ हो।

(A) टेलीस्कोप और माइक्रोस्कोप जैसे ऑप्टिकल उपकरणों की विभेदन सीमा मौलिक रूप से $Diffraction$ (विवर्तन) की घटना के कारण होती है।
जब प्रकाश एक गोलाकार छिद्र (जैसे टेलीस्कोप या माइक्रोस्कोप का ऑब्जेक्टिव लेंस) से गुजरता है,तो प्रकाश की तरंग प्रकृति के कारण यह एक सटीक बिंदु छवि नहीं बनाता है।
इसके बजाय,यह एक विवर्तन पैटर्न बनाता है जिसमें केंद्र में एक चमकदार बिंदु (एरी डिस्क) होता है,जिसके चारों ओर संकेंद्रित अंधेरे और चमकदार छल्ले होते हैं।
रेले के मानदंड के अनुसार,दो बिंदु वस्तुएं तभी अलग-अलग दिखाई देती हैं जब एक के विवर्तन पैटर्न का केंद्रीय अधिकतम दूसरे के विवर्तन पैटर्न के पहले न्यूनतम के साथ मेल खाता है।
इसलिए,विवर्तन इन उपकरणों की विभेदन क्षमता पर अंतिम सीमा निर्धारित करता है।

(N/A) फ्रेनेल दूरी को एक स्लिट या एपर्चर से उस दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ विवर्तन (diffraction) के कारण प्रकाश का फैलाव एपर्चर के आकार के बराबर हो जाता है।
इस दूरी के बाद,किरण प्रकाशिकी का सन्निकटन (प्रकाश का सरल रेखीय संचरण) मान्य नहीं रहता है,और विवर्तन के प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं।
यह किरण प्रकाशिकी की वैधता के लिए एक सीमा के रूप में कार्य करता है।
फ्रेनेल दूरी $(z_F)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$z_F = \frac{a^2}{\lambda}$
जहाँ:
$a$ = एपर्चर का आकार या स्लिट की चौड़ाई
$\lambda$ = उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य

(A) दिया गया है: छात्र की गति $v = 5.4 \,km/h = 5.4 \times \frac{5}{18} \,m/s = 1.5 \,m/s$.
रास्ते से पाइप के मुख की दूरी $D = 8 \,m$.
पाइप का व्यास $d = 0.45 \,m$.
ध्वनि की आवृत्ति $f = 1280 \,Hz$.
ध्वनि की गति $v_s = 320 \,m/s$.
सबसे पहले,ध्वनि की तरंग दैर्ध्य ज्ञात करें: $\lambda = \frac{v_s}{f} = \frac{320}{1280} = 0.25 \,m$.
पाइप के गोलाकार मुख पर ध्वनि तरंगों का विवर्तन प्रथम निम्निष्ठ (minima) के लिए शर्त का पालन करता है: $\sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}$.
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maxima) के केंद्र से प्रथम निम्निष्ठ तक की दूरी है।
$y = 1.22 \frac{\lambda}{d} D = 1.22 \times \frac{0.25}{0.45} \times 8 = 1.22 \times \frac{1}{1.8} \times 8 \approx 5.42 \,m$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $2y = 2 \times 5.42 = 10.84 \,m$ है।
वह समय $T$ जिसके लिए ध्वनि सुनाई देती है,वह इस चौड़ाई को पार करने में लगा समय है: $T = \frac{2y}{v} = \frac{10.84}{1.5} \approx 7.23 \,s$.
यह मान $6-12$ सेकंड की सीमा में आता है।

(C) फ्रौनहोफर विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और पर्दा स्लिट से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर होते हैं।
चूंकि स्रोत अनंत दूरी पर है,इसलिए स्लिट पर आपतित तरंगाग्र एक समतल तरंगाग्र होता है।
अतः,सही शर्त यह है कि आपतित तरंगाग्र समतल होना चाहिए।

(B) चौड़ाई की एक स्लिट के कारण फ्रॉनहोफर विवर्तन में,$n$-वें निम्निष्ठ की कोणीय स्थिति $\sin \theta = \frac{n \lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है। छोटे कोणों के लिए,$\theta \approx \frac{n \lambda}{a}$ होता है।
द्वितीयक उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\Delta \theta = \frac{\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda = 6328 \times 10^{-10} \ m$ और $a = 0.2 \times 10^{-3} \ m$.
$\Delta \theta = \frac{6328 \times 10^{-10}}{0.2 \times 10^{-3}} \ rad = 3.164 \times 10^{-3} \ rad$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180^{\circ}}{\pi}$ से गुणा करें:
$\Delta \theta = 3.164 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.18^{\circ}$.

(A) फ्रॉनहोफर विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{d}$ है।
प्रश्न के अनुसार,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई की दोगुनी है,इसलिए $w = 2d$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{2 \lambda D}{d} = 2d$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{\lambda D}{d} = d$ प्राप्त होता है।
$D$ के लिए हल करने पर,हमें $D = \frac{d^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है।

(C) फ्रॉनहोफर विवर्तन के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है। छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y_n}{D}$,जहाँ $y_n$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी है।
अतः,$y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $a = 0.2 \ mm = 2 \times 10^{-4} \ m$,$D = 2 \ m$,और $2y_1 = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
मान रखने पर: $10^{-2} = \frac{2 \times \lambda \times 2}{2 \times 10^{-4}}$.
$10^{-2} = \frac{4 \lambda}{2 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^4 \lambda$.
$\lambda = \frac{10^{-2}}{2 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-6} \ m = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5000 \ Å$.

(D) दिया गया है: स्लिट की चौड़ाई $a = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$,पर्दे की दूरी $D = 1.5 \ m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4500 \ Å = 4500 \times 10^{-10} \ m$.
फ्रॉनहोफर विवर्तन के लिए,$n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है। छोटे $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
अतः,$a \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda \implies y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से प्रथम निम्निष्ठ $(n=1)$ की दूरी $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $2y_1 = \frac{2 \times 4500 \times 10^{-10} \times 1.5}{0.3 \times 10^{-3}}$.
$2y_1 = \frac{13500 \times 10^{-10}}{0.3 \times 10^{-3}} = 45000 \times 10^{-7} \ m = 4.5 \times 10^{-3} \ m = 4.5 \ mm$.

(C) फ्रॉनहोफर विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र है: $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\theta \propto \lambda$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 6000 Å$ है और प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\theta_1$ है।
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda_2$ किया जाता है,तो कोणीय चौड़ाई $\theta_2 = \theta_1 - 0.20 \theta_1 = 0.80 \theta_1$ हो जाती है।
समानुपातिकता $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{0.80 \theta_1}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$0.80 = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$\lambda_2 = 0.80 \times 6000 Å = 4800 Å$.

(C) दिया गया है: स्लिट की चौड़ाई $a = 0.2 \, mm = 0.2 \times 10^{-3} \, m$.
स्क्रीन की दूरी $D = 2 \, m$.
तरंग दैर्ध्य $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
छोटे $\theta$ के लिए, $\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
अतः, $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर पहले निम्निष्ठ के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई है, जो $w = y_1 - (-y_1) = 2 y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $w = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \, m) \times (2 \, m)}{0.2 \times 10^{-3} \, m} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0.2 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^{-4} \, m = 10^{-2} \, m$.

(C) केंद्रीय उच्चिष्ठ से पहले निम्निष्ठ की दूरी $y_{1d} = \frac{\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\lambda = 5500 \ Å = 5500 \times 10^{-10} \ m$,$D = 2 \ m$,और $a = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर दो निम्निष्ठों के बीच की दूरी $2 y_{1d} = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $2 y_{1d} = \frac{2 \times 5500 \times 10^{-10} \times 2}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{22000 \times 10^{-10}}{0.5 \times 10^{-3}} = 44000 \times 10^{-7} \ m = 4.4 \times 10^{-3} \ m = 4.4 \ mm$.

(B) फ्रेनेल दूरी $(Z_F)$ वह दूरी है जिसके लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है। यह सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
दिया गया है:
द्वारक,$a = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$.
तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \,nm = 400 \times 10^{-9} \,m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$Z_F = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_F = \frac{16 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = 4 \times 10^1 = 40 \,m$.
अतः,$40 \,m$ की दूरी के लिए किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है।

(B) प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ के लिए,शर्त $a \sin \theta = n\lambda$ है। $n=1$ के लिए,$a \sin \theta = \lambda$ होता है।
दिया गया है कि $\theta = 30^{\circ}$,इसलिए $a = \frac{\lambda}{\sin 30^{\circ}} = 2\lambda$ प्राप्त होता है।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ के लिए,शर्त $a \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$ है।
समीकरण में $a = 2\lambda$ का मान रखने पर:
$2\lambda \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3\lambda}{2 \times 2\lambda} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\theta' = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $x_n = \frac{(2n+1) \lambda D}{2a}$ है,जहाँ $n$ द्वितीयक उच्चिष्ठ का क्रम है।
लाल प्रकाश $(\lambda_1 = 6500 Å)$ के दूसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=2)$ के लिए: $x_2 = \frac{(2(2)+1) \lambda_1 D}{2a} = \frac{5 \lambda_1 D}{2a}$.
अज्ञात तरंगदैर्ध्य $(\lambda_2)$ के तीसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=3)$ के लिए: $x_3 = \frac{(2(3)+1) \lambda_2 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
चूंकि उच्चिष्ठ संपाती हैं,$x_2 = x_3$,जिसका अर्थ है $\frac{5 \lambda_1 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
सरल करने पर,हमें $5 \lambda_1 = 7 \lambda_2$ प्राप्त होता है।
$\lambda_1 = 6500 Å$ रखने पर,$5 \times 6500 = 7 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{32500}{7} Å \approx 4642.8 Å$.

(B) फ्रौनहोफर विवर्तन पैटर्न में,द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त इस प्रकार दी जाती है:
$\theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2a}$
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं:
$\theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2a} = \frac{3 \lambda}{2a}$
$D$ दूरी पर स्थित पर्दे पर केंद्रीय उच्चिष्ठ से द्वितीयक उच्चिष्ठ की दूरी $x = D \tan \theta$ द्वारा दी जाती है। छोटे कोणों के लिए,$\tan \theta \approx \theta$ लेने पर:
$x = D \theta = D \left( \frac{3 \lambda}{2a} \right) = \frac{3 D \lambda}{2a}$

(A) फ्रेनेल दूरी $(z_F)$ वह दूरी है जहाँ तक किरण प्रकाशिकी एक अच्छा सन्निकटन है। यह सूत्र द्वारा दी जाती है:
$z_F = \frac{a^2}{\lambda}$
जहाँ $a$ द्वारक का आकार है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है:
द्वारक $a = 5 \times 10^{-3} \ m$
फ्रेनेल दूरी $z_F = 50 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$50 = \frac{(5 \times 10^{-3})^2}{\lambda}$
$50 = \frac{25 \times 10^{-6}}{\lambda}$
$\lambda = \frac{25 \times 10^{-6}}{50}$
$\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \ m$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$
एंगस्ट्रॉम $(\text{Å})$ में बदलने पर:
$1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ m$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \text{Å} = 5000 \ \text{Å}$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) फ्रेनेल दूरी $(z_F)$ वह दूरी है जिस पर किरण प्रकाशिकी $a$ आकार के द्वारक और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए एक अच्छा सन्निकटन है। यह सूत्र द्वारा दी जाती है: $z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
दिया गया है:
द्वारक $a = 0.3 \ cm = 0.3 \times 10^{-2} \ m = 3 \times 10^{-3} \ m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \ Å = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$z_F = \frac{(3 \times 10^{-3})^2}{6 \times 10^{-7}}$
$z_F = \frac{9 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}}$
$z_F = 1.5 \times 10^1 = 15 \ m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) फ्रेनेल दूरी $(Z_F)$ का सूत्र $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$ है, जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
दिया गया है:
स्लिट की चौड़ाई $a = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$
तरंगदैर्घ्य $\lambda = 4000 \, Å = 4 \times 10^{-7} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z_F = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = 10 \, m$
अतः, फ्रेनेल दूरी $10 \, m$ है।

(B) फ्रेनेल विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और स्क्रीन अवरोध या एपर्चर से सीमित दूरी पर होते हैं। किरणों को समानांतर बनाने के लिए किसी लेंस की आवश्यकता नहीं होती है। स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर परिणामी विवर्तन पैटर्न तरंग के विभिन्न हाफ-पीरियड ज़ोन से उत्पन्न तरंगों के अध्यारोपण द्वारा निर्धारित होता है। किसी विशिष्ट बिंदु पर तीव्रता उस बिंदु पर अध्यारोपित होने वाले हाफ-पीरियड ज़ोन की संख्या पर निर्भर करती है,क्योंकि ये ज़ोन संपोषी या विनाशी व्यतिकरण कर सकते हैं।

(C) फ्रॉनहोफर विवर्तन तब होता है जब प्रकाश का स्रोत और स्क्रीन अवरोध या द्वारक से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर होते हैं।
व्यावहारिक रूप से,यह तब प्राप्त होता है जब फ्रेनेल दूरी $z_F = \frac{b^2}{\lambda}$ अवरोध और स्क्रीन के बीच की दूरी $L$ से बहुत कम होती है।
इसलिए,स्थिति $L \gg \frac{b^2}{\lambda}$ है,जिसे $\frac{b^2}{L \lambda} \ll 1$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

(A) कथन $A$ सत्य है: फ्रेनेल विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और पर्दा विवर्तन करने वाले छिद्र या अवरोध से सीमित दूरी पर होते हैं। यह फ्रौनहोफर विवर्तन के विपरीत है,जहाँ दोनों अनंत दूरी पर होते हैं।
कथन $B$ सत्य है: एक्स-रे विवर्तन (विवर्तन का एक रूप) एक मानक तकनीक है जिसका उपयोग $DNA$ जैसे न्यूक्लिक एसिड की हेलिकल संरचना सहित जटिल जैविक अणुओं की आणविक संरचना निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सही हैं।

(B) किरण प्रकाशिकी सन्निकटन फ्रेनेल दूरी $(z_f)$ तक मान्य होता है, जिसे उस दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ विवर्तन के कारण पुंज का फैलाव छिद्र के आकार के बराबर हो जाता है।
इसका सूत्र है: $z_f = \frac{a^2}{\lambda}$।
दिए गए मान: फ्रेनेल दूरी $z_f = 5 \,m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 800 \,nm = 800 \times 10^{-9} \,m$।
स्लिट की चौड़ाई $a$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $a = \sqrt{z_f \cdot \lambda}$।
मान रखने पर: $a = \sqrt{5 \times 800 \times 10^{-9} \,m^2}$।
$a = \sqrt{4000 \times 10^{-9} \,m^2} = \sqrt{4 \times 10^{-6} \,m^2}$।
$a = 2 \times 10^{-3} \,m = 2 \,mm$।

(B) Fraunhofer विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और पर्दा विवर्तनकारी छिद्र या अवरोध से प्रभावी रूप से अनंत दूरी पर होते हैं।
यह सुनिश्चित करता है कि छिद्र पर आपतित तरंगाग्र समतल तरंगाग्र हों,और पर्दे तक पहुँचने वाली विवर्तित किरणें एक-दूसरे के समानांतर हों।
इसलिए,विवर्तनकारी तत्व के सापेक्ष स्रोत और पर्दा दोनों का अनंत पर होना आवश्यक है।

(C) फ्रौनहोफर विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और पर्दा प्रभावी रूप से छिद्र (स्लिट) से अनंत दूरी पर होते हैं।
इसका अर्थ है कि स्लिट पर आपतित तरंगाग्र समतल तरंगाग्र होते हैं,जिसका अर्थ है कि आपतित किरण पुंज को समानांतर होना चाहिए।
यह स्थिति व्यावहारिक रूप से प्रकाश स्रोत को एक अभिसारी लेंस के फोकस पर रखकर,या स्रोत को स्लिट से अनंत दूरी पर रखकर प्राप्त की जाती है।
इसलिए,सही स्थिति यह है कि स्रोत अनंत पर है और आपतित किरण पुंज समानांतर है।