Variations in YDSE (Young's Double Slit Experiment) Questions in Gujarati

(D) ધારો કે દરેક સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે. પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ છે અને અપ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0})^2 = 0$ છે.
જ્યારે એક સ્લિટની આગળ કાચની પ્લેટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્લિટની તીવ્રતા $I_1 = I_0/2$ થાય છે. બીજી સ્લિટની તીવ્રતા $I_2 = I_0$ રહે છે.
નવી મહત્તમ તીવ્રતા $I'_{max} = (\sqrt{I_0/2} + \sqrt{I_0})^2 = I_0(1/\sqrt{2} + 1)^2 \approx 2.91I_0$ છે.
નવી ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I'_{min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0/2})^2 = I_0(1 - 1/\sqrt{2})^2 \approx 0.086I_0$ છે.
અહીં $I'_{min} \neq 0$ હોવાથી,અપ્રકાશિત શલાકાઓ હવે સંપૂર્ણપણે અંધારી રહેતી નથી અને તેમની પાસે મર્યાદિત તીવ્રતા હોય છે,અને પ્રકાશિત શલાકાઓ મૂળ કિસ્સાની સરખામણીમાં ઝાંખી બને છે.

(A) જ્યારે એક તરંગના માર્ગમાં $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી શીટ મૂકવામાં આવે ત્યારે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત મહત્તમમાં થતું સ્થાનાંતર આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{\text{d}}$ હોવાથી,ફ્રિન્જની સંખ્યાના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતર $n = \frac{\Delta x}{\beta} = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ થાય.
આપેલ છે: $\mu = 1.5$,$t = 2 \times 10^{-6} \ m$,અને $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = 2$.
તેથી,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત મહત્તમ $2$ ફ્રિન્જ ઉપરની તરફ ખસશે.

(B) પારદર્શક પ્લેટ દાખલ કરવાને કારણે વ્યતિકરણ ભાતમાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$.
અહીં,$\mu = 1.5$,$t = 2.5 \times 10^{-5} \, m$,$D = 100 \, cm = 1 \, m$,અને $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{(1.5 - 1) \times 2.5 \times 10^{-5} \times 1}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x = \frac{0.5 \times 2.5 \times 10^{-5}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
$x = 2.5 \, cm$.

(A) સમાન સ્લિટ પહોળાઈ ધરાવતા પ્રમાણભૂત યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં, બંને સ્લિટમાંથી આવતા તરંગોના કંપવિસ્તાર સમાન હોય છે, ધારો કે $a$. મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} \propto (a + a)^2 = 4a^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} \propto (a - a)^2 = 0$ હોય છે.
જ્યારે એક સ્લિટની પહોળાઈ બીજી કરતા બમણી કરવામાં આવે, ત્યારે તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા વધે છે। તીવ્રતા $I \propto \text{પહોળાઈ}$ હોવાથી, જો પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ હોય, તો બીજી સ્લિટની પહોળાઈ $2w$ થાય. કંપવિસ્તારનો સંબંધ $A_2 = \sqrt{2} A_1$ છે. જો $A_1 = a$ લઈએ, તો $A_2 = a\sqrt{2}$ થાય.
નવી મહત્તમ તીવ્રતા $I'_{max} \propto (a + a\sqrt{2})^2 = a^2(1 + \sqrt{2})^2 \approx 5.83a^2$ થાય, જે $4a^2$ કરતા વધારે છે.
નવી ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I'_{min} \propto (a\sqrt{2} - a)^2 = a^2(\sqrt{2} - 1)^2 \approx 0.17a^2$ થાય, જે $0$ કરતા વધારે છે.
આમ, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બંનેની તીવ્રતા વધે છે.

(B) જ્યારે પ્રકાશ $t$ જાડાઈના શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનો પ્રકાશીય પથ $t$ હોય છે.
જ્યારે તે જ પ્રકાશ $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પારદર્શક પ્લેટમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનો પ્રકાશીય પથ $\mu t$ થાય છે.
પ્રકાશીય પથમાં થતો ફેરફાર એ આ બે મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે.
પ્રકાશીય પથમાં ફેરફાર $= \mu t - t = (\mu - 1)t$.
તેથી,પથ તફાવત $(\mu - 1)t$ જેટલો બદલાય છે.

(C) પાતળી ફિલ્મ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta$ ના સંદર્ભમાં મધ્યસ્થ અધિકતમનું સ્થાનાંતર $n = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6} \, m}{500 \times 10^{-9} \, m} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = 2$.
કારણ કે પાતળી ફિલ્મ ઉપરના કિરણના માર્ગમાં મૂકવામાં આવી છે,તેથી ઉપરના કિરણનો ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ વધે છે,જેના કારણે મધ્યસ્થ અધિકતમ ઉપરના કિરણ તરફ એટલે કે ઉપરની તરફ ખસે છે.

(B) ફ્રિન્જનું પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $(y)$ શોધવાનું સૂત્ર: $y = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$, જ્યાં $\beta$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ, $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ, $\mu$ એ વક્રીભવનાંક અને $t$ એ પ્લેટની જાડાઈ છે.
આપેલ કિંમતો: $\beta = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$, $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$, $\mu = 1.5$, અને $t = 0.06 \, mm = 0.06 \times 10^{-3} \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{10^{-3}}{600 \times 10^{-9}} (1.5 - 1) \times 0.06 \times 10^{-3}$
$y = \frac{10^{-3}}{600 \times 10^{-9}} (0.5) \times 0.06 \times 10^{-3}$
$y = \frac{0.03 \times 10^{-6}}{600 \times 10^{-9}} = \frac{0.03}{600} \times 10^3 = \frac{30}{600} = 0.05 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $0.05 \, m = 5 \, cm$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પારદર્શક શીટને કારણે મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સ્થાનાંતર $n$ શલાકાની પહોળાઈ જેટલું છે,જ્યાં $n = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto t$ (ધારી લઈએ કે $\mu$ અને $\lambda$ અચળ છે).
તેથી,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{n_2}{n_1}$.
આપેલ છે કે $n_1 = 30$ માટે $t_1 = 4.8 \, mm$,તો $n_2 = 20$ માટે $t_2$ શોધવાનું છે.
$t_2 = \frac{n_2}{n_1} \times t_1 = \frac{20}{30} \times 4.8 \, mm = \frac{2}{3} \times 4.8 \, mm = 3.2 \, mm$.

(A) જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટને એક કિરણના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
મૂળ મધ્યસ્થ અધિકતમની સ્થિતિ પર તીવ્રતા અપરિવર્તિત રહે તે માટે,નવો પથ તફાવત તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
ન્યૂનતમ જાડાઈ $t_{\min}$ શોધવા માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$(\mu - 1)t_{\min} = 1 \cdot \lambda$
આપેલ છે કે $\mu = 1.5$,તેથી:
$(1.5 - 1)t_{\min} = \lambda$
$0.5 t_{\min} = \lambda$
$t_{\min} = \frac{\lambda}{0.5} = 2\lambda$.

(D) $YDSE$ ગોઠવણીમાં,જ્યારે પ્રકાશ $\theta$ ખૂણે આપાત થાય છે,ત્યારે બિંદુ $O$ પર પ્રારંભિક પથ તફાવત $d \sin \theta$ હોય છે (જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે).
જ્યારે સ્લિટ $S_2$ ની સામે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $(\mu - 1)t$ જેટલો વધારાનો પથ તફાવત ઉત્પન્ન કરે છે.
બિંદુ $O$ પર કુલ પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta - (\mu - 1)t$ થાય છે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા ત્યાં રચાય છે જ્યાં કુલ પથ તફાવત શૂન્ય હોય.
$1$. જો $d \sin \theta = (\mu - 1)t$ હોય,તો $O$ પર પથ તફાવત શૂન્ય થાય છે,તેથી મધ્યસ્થ શલાકા $O$ પર મળે છે.
$2$. જો $d \sin \theta > (\mu - 1)t$ હોય,તો પથ તફાવત ધન મળે છે,જેનો અર્થ છે કે મધ્યસ્થ શલાકા $O$ ની ઉપર ખસે છે.
$3$. જો $d \sin \theta < (\mu - 1)t$ હોય,તો પથ તફાવત ઋણ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે મધ્યસ્થ શલાકા $O$ ની નીચે ખસે છે.
આમ,તેનું સ્થાન $\theta$,$t$ અને $\mu$ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.

(C) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પટ્ટી મૂકવાથી થતું ફ્રિન્જ સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{\text{d}}$ હોવાથી,આપણે સ્થાનાંતરને ફ્રિન્જની સંખ્યા $n$ ના સ્વરૂપમાં $\Delta x = n\beta$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $n\beta = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$.
$\beta = \frac{\lambda D}{\text{d}}$ મૂકતા,આપણને $n \left( \frac{\lambda D}{\text{d}} \right) = \frac{D}{\text{d}}(\mu - 1)t$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $n\lambda = (\mu - 1)t$ થાય છે.
અહીં $n = 7$,$\lambda = 600 \, nm$,અને $\mu = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $7 \times 600 = (1.5 - 1)t$.
$4200 = 0.5 \times t$.
$t = \frac{4200}{0.5} = 8400 \, nm$.

(A) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટને કારણે શલાકા ભાતમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t = \frac{\beta}{\lambda}(\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્લિટોને સમાન જાડાઈ $t$ પરંતુ અલગ-અલગ વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.4$ અને $\mu_2 = 1.7$ ધરાવતી પ્લેટો વડે ઢાંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ સ્થાનાંતર:
$\Delta x = \Delta x_2 - \Delta x_1 = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - 1)t - \frac{\beta}{\lambda}(\mu_1 - 1)t$
$\Delta x = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$
આપેલ છે કે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા પાંચમી પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાને સ્થાનાંતરિત થાય છે,તેથી $\Delta x = 5\beta$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$5\beta = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$
$t = \frac{5\lambda}{\mu_2 - \mu_1}$
કિંમતો મૂકતા $\lambda = 4800 \times 10^{-10} \ m$,$\mu_2 = 1.7$,અને $\mu_1 = 1.4$:
$t = \frac{5 \times 4800 \times 10^{-10}}{1.7 - 1.4} = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.3} = 80000 \times 10^{-10} \ m = 8 \times 10^{-6} \ m = 8 \ \mu m$.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં થતું સ્થાનાંતર $(\Delta y)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta y = \frac{D}{d} t(\mu - 1)$
આપેલ કિંમતો:
$D = 100 \, cm = 1 \, m$
$d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$
$t = 2.5 \times 10^{-5} \, m$
$\mu = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta y = \frac{1}{0.5 \times 10^{-3}} \times (2.5 \times 10^{-5}) \times (1.5 - 1)$
$\Delta y = \frac{2.5 \times 10^{-5} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}}$
$\Delta y = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
$cm$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta y = 2.5 \times 10^{-2} \times 100 \, cm = 2.5 \, cm$.

(A) સામાન્ય યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,સ્લિટ્સ પડદાને સમાંતર હોય છે,જેના પરિણામે સુરેખ શલાકાઓ મળે છે. જોકે,આ વિશિષ્ટ ગોઠવણીમાં,બે સુસમ્બદ્ધ ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ ને પડદાને લંબ રેખા પર મૂકવામાં આવ્યા છે. આ ભૂમિતિમાં અચળ પથ તફાવત $\Delta x = |S_1P - S_2P| = n\lambda$ (સહાયક વ્યતિકરણ માટે) અથવા $(n + 1/2)\lambda$ (વિનાશક વ્યતિકરણ માટે) ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુગણ હાઇપરબોલોઇડ્સ (hyperboloids of revolution) બનાવે છે. જ્યારે આ હાઇપરબોલોઇડ્સ ઉદગમોની અક્ષને લંબ રૂપે મૂકેલા સપાટ પડદાને છેદે છે,ત્યારે મળતી વ્યતિકરણ ભાત સમકેન્દ્રીય વર્તુળોની બનેલી હોય છે.

(D) આપેલ ગોઠવણીમાં,બે સુસંબદ્ધ ઉદ્દગમો $S_1$ અને $S_2$ ને પડદાને લંબ અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
આ ગોઠવણી એક જ અક્ષ પર આવેલા બે બિંદુઓમાંથી ઉદ્દભવતા ગોલીય તરંગોના વ્યતિકરણને દર્શાવે છે.
આ ભૂમિતિમાં અચળ પથ તફાવત $\Delta x = |S_1P - S_2P| = n\lambda$ (સહાયક વ્યતિકરણ માટે) અથવા $(n + 1/2)\lambda$ (વિનાશક વ્યતિકરણ માટે) ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુગણ $S_1$ અને $S_2$ ને જોડતી અક્ષ પર કેન્દ્રિત વર્તૂળો બનાવે છે.
પડદો આ અક્ષને લંબ હોવાથી,અચળ પથ તફાવત ધરાવતી આ સપાટીઓનું પડદા સાથેનું છેદન સમકેન્દ્રી વર્તૂળો તરીકે મળે છે.

(D) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = 1.45$,ખસેલી શલાકાની સંખ્યા $n = 5$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 5890 \, \mathring{A} = 5890 \times 10^{-10} \, m$.
મધ્યસ્થ શલાકાનું સ્થાનાંતર શોધવાનું સૂત્ર: $x = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
અહીં,સ્થાનાંતર $x = 5\beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5\beta = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
બંને બાજુથી $\beta$ ઉડાડતા: $5 = \frac{(\mu - 1) t}{\lambda}$.
જાડાઈ $t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $t = \frac{5 \lambda}{\mu - 1}$.
$t = \frac{5 \times 5890 \times 10^{-10}}{1.45 - 1} = \frac{29450 \times 10^{-10}}{0.45}$.
$t = 6.544 \times 10^{-6} \, m \approx 6.55 \times 10^{-6} \, m$.

(B) યંગના બે સ્લિટના પ્રયોગમાં જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી તકતી મૂકવામાં આવે ત્યારે કેન્દ્રીય શલાકાનું સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{D}{d} (\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
ખસેલી શલાકાની સંખ્યા $n = \frac{\Delta x}{\beta} = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે: $\mu = 1.5$,$t = 2 \ \mu m = 2 \times 10^{-6} \ m$,અને $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = 2$.
તેથી,કેન્દ્રીય શલાકા $2$ શલાકા જેટલી ખસશે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto w)$.
જો એક સ્લિટની પહોળાઈ $w$ અને બીજી સ્લિટની પહોળાઈ $2w$ હોય,તો તેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ વચ્ચેનો સંબંધ $a_2 = \sqrt{2} a_1$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} \propto (a_1 + a_2)^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} \propto (a_2 - a_1)^2$ મળે.
અહીં $a_1 \neq a_2$ હોવાથી,ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ શૂન્ય થશે નહીં; તે શૂન્યતર (non-zero) રહેશે.
વળી,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ એ સમાન પહોળાઈવાળી સ્લિટોના કિસ્સા કરતા વધી જશે.
તેથી,પ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતા વધશે અને અપ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતા શૂન્યતર થશે.

(C) કેન્દ્રીય બિંદુ $C$ માટે,ગ્લાસ સ્લેબ વગર પથ તફાવત $0$ છે.
$\delta$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા ગ્લાસ સ્લેબની હાજરીમાં,$(\mu - 1)\delta$ જેટલો વધારાનો પથ તફાવત ઉદ્ભવે છે.
બિંદુ $C$ પર ન્યૂનતમ તીવ્રતા (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત અડધી તરંગલંબાઈનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$(\mu - 1)\delta = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
$\delta$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$\delta = \frac{(2n - 1)\lambda}{2(\mu - 1)}$

(A) $t$ જાડાઈ અને $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{(n-1)tD}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સ્લિટો સમાન જાડાઈ $t$ ની પ્લેટો દ્વારા ઢંકાયેલી હોવાથી,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકામાં થતું કુલ સ્થાનાંતર:
$\Delta x_{net} = |\Delta x_2 - \Delta x_1| = \left| \frac{(n_2-1)tD}{d} - \frac{(n_1-1)tD}{d} \right| = \frac{(n_2 - n_1)tD}{d}$.
આ સ્થાનાંતર પાંચમી પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન જેટલું હોવાથી,$\Delta x_{net} = 5 \frac{\lambda D}{d}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{(n_2 - n_1)tD}{d} = \frac{5 \lambda D}{d}$.
$t = \frac{5 \lambda}{n_2 - n_1}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 4800 \times 10^{-10} \, m$,$n_1 = 1.4$,$n_2 = 1.7$.
$t = \frac{5 \times 4800 \times 10^{-10}}{1.7 - 1.4} = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.3} = 80000 \times 10^{-10} \, m = 8 \times 10^{-6} \, m = 8 \, \mu m$.

(A) કાચની પ્લેટ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = t(\mu - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રીય શલાકા પ્રથમ પ્રકાશિત શલાકાની સ્થિતિ પર સ્થાનાંતરિત થાય તે માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલો હોવો જોઈએ.
$\Delta x = \lambda$ લેતા,આપણને મળે છે $t(\mu - 1) = \lambda$.
$\mu = 1.5$ મૂકતા,$t(1.5 - 1) = \lambda$.
$t(0.5) = \lambda$.
$t = \frac{\lambda}{0.5} = 2\lambda$.
તેથી,કાચની પ્લેટની ન્યૂનતમ જાડાઈ $2\lambda$ છે.

(A) જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતો પારદર્શક સ્લેબ વ્યતિકરણ રચતા કિરણો પૈકી એકના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = t(\mu - 1)$ છે.
કેન્દ્રીય શલાકાનું સ્થાન બદલાતું ન હોવાથી,પ્રથમ સ્લેબ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત બીજા સ્લેબ દ્વારા ઉદ્ભવતા પથ તફાવત જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $t_1 = 1.2 \, \mu m$,$\mu_1 = 1.5$ અને $t_2 = t$,$\mu_2 = 2.5$.
પથ તફાવતોને સરખાવતા:
$t_1(\mu_1 - 1) = t_2(\mu_2 - 1)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1.2 \times (1.5 - 1) = t \times (2.5 - 1)$
$1.2 \times 0.5 = t \times 1.5$
$0.6 = 1.5t$
$t = \frac{0.6}{1.5} = \frac{6}{15} = 0.4 \, \mu m$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
જ્યારે સાધનને $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ થાય છે.
પરિણામે,નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{nd} = \frac{\beta}{n}$ થશે.
અહીં $\beta = 0.4 \, mm$ અને $n = 4/3$ આપેલ છે,તેથી:
$\beta' = \frac{0.4}{4/3} = 0.4 \times \frac{3}{4} = 0.3 \, mm$.

(B) શલાકાઓની ભાતમાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$
આપેલ છે:
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$
જાડાઈ $t = 2.5 \times 10^{-5} \, m$
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$
પડદાનું અંતર $D = 100 \, cm = 1 \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{(1.5 - 1) \times (2.5 \times 10^{-5}) \times 1}{0.5 \times 10^{-3}}$
$\Delta x = \frac{0.5 \times 2.5 \times 10^{-5}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$\Delta x = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
$\Delta x = 2.5 \, cm$

(B) જ્યારે $\mu$ વક્રીભવનાંક અને $t$ જાડાઈ ધરાવતી પારદર્શક પ્લેટને વ્યતિકરણ રચતા બે કિરણોમાંથી એકના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનો પથ તફાવત ઉદ્દભવે છે.
પ્લેટમાં પ્રકાશીય પથની લંબાઈ $\mu t$ છે,જ્યારે તેટલા જ અંતર માટે હવામાં પથની લંબાઈ $t$ છે.
તેથી,ઉદ્દભવતો વધારાનો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ થાય છે.
યંગના ડબલ સ્લિટના પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ શલાકાથી $y$ અંતરે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે.
પથ તફાવતના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(\mu - 1)t = \frac{yd}{D}$
શલાકાનું સ્થાનાંતર $y$ શોધતા:
$y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$

(A) મધ્યમાન પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda} \beta$,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે: $\mu = 1.5$,$t = 2 \times 10^{-6} \ m$,$\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{સ્થાનાંતર} = \frac{(1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} \beta$
$\text{સ્થાનાંતર} = \frac{0.5 \times 2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} \beta$
$\text{સ્થાનાંતર} = \frac{1 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} \beta = \frac{10}{5} \beta = 2 \beta$.
તેથી,મધ્યમાન પ્રકાશિત શલાકા $2$ શલાકા-અંતર જેટલું ખસશે.

(A) તકતીની જાડાઈ $t$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ ને કારણે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t = \frac{\beta}{\lambda}(\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્લિટને ઢાંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ સ્થાનાંતર $\Delta x_{net} = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$ થાય.
અહીં મધ્યસ્થ શલાકા પાંચમી પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાને ખસે છે,તેથી કુલ સ્થાનાંતર $5\beta$ થાય.
તેથી,$5\beta = \frac{\beta}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$.
$5 = \frac{1}{\lambda}(\mu_2 - \mu_1)t$.
$t = \frac{5\lambda}{\mu_2 - \mu_1} = \frac{5 \times 4800 \times 10^{-10} \, m}{1.8 - 1.5} = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.3} \, m$.
$t = 80000 \times 10^{-10} \, m = 8 \times 10^{-6} \, m = 8 \, \mu m$.

(D) ધારો કે આપાત તીવ્રતા $I$ છે.
બિંદુ $A$ પર,$25\%$ પરાવર્તિત થાય છે,તેથી કિરણ $AB$ ની તીવ્રતા $I_1 = 0.25I = I/4$ છે.
પારગમિત તીવ્રતા $0.75I = 3I/4$ છે.
બિંદુ $C$ પર,આપાત પ્રકાશના $25\%$ પરાવર્તિત થાય છે,તેથી પરાવર્તિત કિરણની તીવ્રતા $(3I/4) \times 0.25 = 3I/16$ છે.
બિંદુ $A'$ પર,આ પ્રકાશના $75\%$ પારગમિત થઈને કિરણ $A'B'$ બનાવે છે,તેથી તીવ્રતા $I_2 = (3I/16) \times 0.75 = 9I/64$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_2/I_1 = (9I/64) / (I/4) = 9/16$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
${I_{\max }}/{I_{\min }} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{I_2/I_1}}{1 - \sqrt{I_2/I_1}} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
${I_{\max }}/{I_{\min }} = \left( \frac{1 + \sqrt{9/16}}{1 - \sqrt{9/16}} \right)^2 = \left( \frac{1 + 3/4}{1 - 3/4} \right)^2 = \left( \frac{7/4}{1/4} \right)^2 = (7)^2 = 49/1$.

(B) જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી માઈકાની શીટને સ્લિટ $S_1$ ની સામે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $S_1$ માંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણનો ઓપ્ટિકલ પથ વધે છે.
માઈકાની શીટમાં ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $\mu t$ છે,જ્યારે હવામાં તે $t$ હોત.
તેથી,ઉમેરાયેલ વધારાનો ઓપ્ટિકલ પથ $\Delta x = \mu t - t = (\mu - 1)t$ છે.
શરૂઆતમાં,બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત $\Delta_0 = S_1P - S_2P$ છે.
શીટ મૂક્યા પછી,નવો પથ તફાવત $\Delta' = (S_1P + (\mu - 1)t) - S_2P = (S_1P - S_2P) + (\mu - 1)t$ થાય છે.
આમ,પથ તફાવત $(\mu - 1)t$ જેટલો વધે છે.

(C) બિંદુ $O$ આગળ પથ તફાવત $\Delta = (SS_2 + S_2O) - (SS_1 + S_1O)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે સ્લિટ્સ $S_1$ અને $S_2$ એ $S$ થી સમાન અંતરે નથી,તેથી $O$ આગળ પથ તફાવત શૂન્ય હોવો જરૂરી નથી.
જો પથ તફાવત $\Delta = n\lambda$ (જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$) હોય,તો $O$ આગળ વ્યતિકરણ સહાયક હશે,જેના પરિણામે પ્રકાશિત શલાકા મળશે.
જો પથ તફાવત $\Delta = (n - 1/2)\lambda$ (જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$) હોય,તો $O$ આગળ વ્યતિકરણ વિનાશક હશે,જેના પરિણામે અપ્રકાશિત શલાકા મળશે.
તેથી,$O$ આગળની શલાકાનો પ્રકાર પથ તફાવત પર આધાર રાખે છે,જે $S_1$ અને $S_2$ ની સાપેક્ષમાં $S$ ના સ્થાન પર આધારિત છે.

(A) કાચની પ્લેટ દાખલ કરવાને કારણે વ્યતિકરણ ભાતમાં થતું સ્થાનાંતર (શલાકાની સંખ્યા $n$) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = (\mu - 1)t = n \lambda$.
અહીં,$\mu = 1.5$ વક્રીભવનાંક છે,$t = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m$ જાડાઈ છે,અને $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$ તરંગલંબાઇ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1.5 - 1) \times (0.1 \times 10^{-3}) = n \times (500 \times 10^{-9})$.
$0.5 \times 10^{-4} = n \times 5 \times 10^{-7}$.
$n = \frac{0.5 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{0.5}{5} \times 10^3 = 0.1 \times 1000 = 100$.
આમ,ખસેલી શલાકાઓની સંખ્યા $100$ છે.

(D) મધ્યસ્થ સફેદ ટપકું એવા બિંદુએ રચાય છે જ્યાં બે સ્લિટમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત શૂન્ય હોય.
ધારો કે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. બિંદુ $O$ એ પડદા પર સ્લિટના મધ્યબિંદુનું પ્રક્ષેપણ છે.
ધારો કે ઉપરની સ્લિટ અક્ષથી $y_1 = 2d/3$ અંતરે છે અને નીચેની સ્લિટ અક્ષથી $y_2 = d - 2d/3 = d/3$ અંતરે છે.
ધારો કે સફેદ ટપકું પડદા પર $O$ થી $y$ અંતરે છે.
પડદા પરના બિંદુ $y$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x = S_2P - S_1P \approx \frac{d y}{D}$ છે.
જો કે,આપાત પ્રકાશ અમુક ખૂણે હોવાથી,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta + \frac{d y}{D} = 0$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,મધ્યસ્થ અધિકતમ ત્યાં રચાય છે જ્યાં ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ સમાન હોય. મધ્યસ્થ અધિકતમનું સ્થાન કેન્દ્ર $O$ થી $y = \frac{2d/3 - d/3}{2} = d/6$ મળે છે.
આમ,$O$ થી સફેદ ટપકાનું અંતર $d/6$ છે.

(A) બિંદુ $O$ પર પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{2d/3}{d} = \frac{2}{3}$.
આમ,પથ તફાવત $\Delta x = d \cdot \frac{2}{3} = \frac{2d}{3}$ છે.
બિંદુ $O$ મહત્તમ હોવા માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $\Delta x = n \lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
તેથી,$\frac{2d}{3} = n \lambda$,જે આપે છે $\lambda = \frac{2d}{3n}$.
$n=1$ માટે,$\lambda = \frac{2d}{3}$.
$n=2$ માટે,$\lambda = \frac{d}{3}$.
$n=3$ માટે,$\lambda = \frac{2d}{9}$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,આપણે જોઈએ છીએ કે કયું મૂલ્ય $\lambda = \frac{2d}{3n}$ ના સ્વરૂપમાં બંધબેસતું નથી. વિકલ્પ $A$: $\frac{d^2}{3D}$ એ અહીં માન્ય તરંગલંબાઈ નથી કારણ કે તે $D$ પર આધાર રાખે છે,જ્યારે આ ગોઠવણીમાં પથ તફાવત $D$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
જ્યારે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેની જગ્યામાં $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે,ત્યારે માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
તેથી,નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થાય.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu > 1$ હોવાથી,શલાકાની પહોળાઈ $\beta'$ ઘટે છે.
સ્થળાંતરની વાત કરીએ તો,બંને સ્લિટમાંથી પડદાના કેન્દ્ર સુધી પહોંચતા તરંગો માટે પથ તફાવતમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવાથી મધ્યસ્થ શલાકા માટે પથ તફાવત શૂન્ય જ રહે છે. તેથી,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા ખસતી નથી.

(A) ત્રાંસા આપાતનને કારણે બિંદુ $O$ પર પથ તફાવત $\Delta x_0 = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ અને $\theta = 30^o$ આપેલ છે.
$\Delta x_0 = (10^{-3} \ m) \sin(30^o) = 10^{-3} \times 0.5 = 5 \times 10^{-4} \ m$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
તરંગલંબાઇના સંદર્ભમાં પથ તફાવત $\Delta x_0 / \lambda = (5 \times 10^{-4}) / (5 \times 10^{-7}) = 1000$ છે.
પથ તફાવત એ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક $(1000 \lambda)$ હોવાથી,$O$ પર સહાયક વ્યતિકરણ રચાય છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi) = I_o + I_o + 2\sqrt{I_o I_o} \cos(0) = 4I_o$ થાય છે.

(D) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે. કારણ કે $\lambda$,$D$,અને $d$ બદલાતા નથી,તેથી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ અચળ રહે છે.
જ્યારે ઉદગમ $S$ ને ઉપરની સ્લિટ $S_1$ ની નજીક ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે $S$ થી $S_1$ સુધીનો પથ લંબાઈ $S$ થી $S_2$ સુધીની પથ લંબાઈ કરતા ટૂંકી બને છે. પડદા પર શૂન્ય પથ તફાવત જાળવી રાખવા માટે,પડદા પરનું બિંદુ $S_1$ કરતા $S_2$ ની નજીક હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત ફ્રિન્જ (જ્યાં પથ તફાવત શૂન્ય છે) નીચેની તરફ ખસે છે. પરિણામે,સમગ્ર ફ્રિન્જ પેટર્ન નીચેની તરફ ખસે છે.

(A) બિંદુ $O$ પર પથ તફાવત એક માર્ગમાં સ્લેબ મૂકવાને કારણે ઉદ્ભવે છે।
શૂન્યાવકાશમાં પથ લંબાઈ $L$ ધારો। ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $n \times \text{ભૌમિતિક પથ}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે।
સ્લેબવાળા માર્ગ માટે, ઓપ્ટિકલ પથ $OP_1 = (L - t) n_2 + t n_3$ છે।
સ્લેબ વગરના માર્ગ માટે, ઓપ્ટિકલ પથ $OP_2 = L n_2$ છે।
પથ તફાવત $\Delta x = |OP_1 - OP_2| = |(L - t) n_2 + t n_3 - L n_2| = |t(n_3 - n_2)|$।
આ પથ તફાવત $n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં છે। કળા તફાવત મેળવવા માટે, આપણે માધ્યમ $n_2$ માં તરંગલંબાઇનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે $\lambda_2 = \frac{\lambda_{vacuum}}{n_2}$ છે।
અહીં $\lambda_1$ એ માધ્યમ $n_1$ માં તરંગલંબાઇ છે, તેથી $\lambda_{vacuum} = n_1 \lambda_1$।
આમ, $\lambda_2 = \frac{n_1 \lambda_1}{n_2}$।
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda_2} \Delta x = \frac{2\pi}{(n_1 \lambda_1 / n_2)} |t(n_3 - n_2)| = \frac{2\pi n_2}{n_1 \lambda_1} (n_3 - n_2) t$ (જો $n_3 > n_2$ હોય)।
જો કે, વિકલ્પો તપાસતા, શૂન્યાવકાશ તરંગલંબાઇના સંદર્ભમાં પથ તફાવતનું પ્રમાણિત સૂત્ર $\Delta x = t(n_3 - n_2)$ છે। કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda_{vac}} \Delta x = \frac{2\pi}{n_1 \lambda_1} (n_3 - n_2) t$ થાય છે।

(C) બે પાતળી શીટ્સને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર પથ તફાવત નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta x = |(\mu_1 - 1)t - (\mu_2 - 1)t| = |\mu_1 - \mu_2| t$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = |1.52 - 1.40| \times 10.4 \, \mu m = 0.12 \times 10.4 \times 10^{-6} \, m = 1.248 \times 10^{-6} \, m = 1248 \, nm$
$O$ પર મહત્તમ તીવ્રતા માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = n \lambda \implies \lambda = \frac{1248 \, nm}{n}$
$n=1$ માટે,$\lambda_1 = 1248 \, nm$ (રેન્જની બહાર)
$n=2$ માટે,$\lambda_2 = 624 \, nm$ (રેન્જની અંદર)
$n=3$ માટે,$\lambda_3 = 416 \, nm$ (રેન્જની અંદર)
$n=4$ માટે,$\lambda_4 = 312 \, nm$ (રેન્જની બહાર)
આમ,$624 \, nm$ અને $416 \, nm$ તરંગલંબાઈ $O$ પર મહત્તમ તીવ્રતા બનાવશે.

(A) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,મધ્યસ્થ અધિકતમનું સ્થાનાંતર $\Delta x = d \sin \theta \approx d \theta$ (નાના $\theta$ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્લિટોને સમાન જાડાઈ $t = 0.5 \ mm$ અને વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.8$ તથા $\mu_2 = \mu$ ધરાવતી પ્લેટોથી ઢાંકવામાં આવે,ત્યારે ચોખ્ખો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu_1 - 1)t - (\mu_2 - 1)t = (\mu_1 - \mu_2)t$ થાય.
આપેલ સ્થાનાંતર $\theta = 6^o = 6 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{30} \text{ રેડિયન}$.
સંબંધ $d \theta = (\mu_1 - \mu_2)t$ નો ઉપયોગ કરતા,$\mu_1 - \mu_2 = \frac{d \theta}{t}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $1.8 - \mu = \frac{1.0 \times 10^{-3} \times (\pi/30)}{0.5 \times 10^{-3}} = 2 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \approx 0.209$.
આમ,$\mu = 1.8 - 0.209 = 1.591 \approx 1.6$.

(C) ધારો કે માઈકા શીટની જાડાઈ $t$ છે. શીટ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
અહીં $\mu = 3/2$ આપેલ છે,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = (3/2 - 1)t = t/2$ થશે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{t}{2} = \frac{\pi t}{\lambda}$ થશે.
પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_R = I_{max}/2$ આપેલ છે,તેથી $I_{max}/2 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ થશે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos^2(\phi/2) = 1/2$,તેથી $\cos(\phi/2) = 1/\sqrt{2}$ થશે.
આમ,$\phi/2 = \pi/4$,જે $\phi = \pi/2$ આપે છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\pi t}{\lambda} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $t = \lambda/2$ થાય છે.

(B) ધારો કે સ્લિટ્સ $S_1$ અને $S_2$ છે. કેન્દ્રથી $y$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = (S_2P + (\mu - 1)2t) - (S_1P + (2\mu - 1)t)$
$\Delta x = (S_2P - S_1P) + (2\mu t - 2t - 2\mu t + t)$
$\Delta x = \frac{yd}{D} - t$
મધ્યસ્થ અધિકતમ માટે,પથ તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{yd}{D} - t = 0$
$y = \frac{tD}{d}$
આમ,મધ્યસ્થ અધિકતમ $S_1$ સ્લિટ તરફ $\frac{tD}{d}$ અંતરે સ્થાનાંતરિત થાય છે.

(D) પાતળી ફિલ્મ મૂકવાથી સ્લિટ $A$ માંથી આવતા પ્રકાશના પથમાં $t(\mu - 1)$ જેટલો વધારો થાય છે.
આને સરભર કરવા માટે,મધ્યસ્થ અધિકતમ તે સ્લિટ તરફ ખસે છે જેની સામે ફિલ્મ મૂકવામાં આવી છે,એટલે કે સ્લિટ $A$ તરફ.
સ્ક્રીન પરના કોઈ બિંદુ $y$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવા મધ્યસ્થ અધિકતમ પર,પથ તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{y d}{D} - t(\mu - 1) = 0$.
તેથી,સ્થાનાંતર $y = \frac{D}{d} t(\mu - 1)$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,આપણે $\frac{D}{d} = \frac{\beta}{\lambda}$ મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,સ્થાનાંતર $y = t(\mu - 1) \frac{\beta}{\lambda}$ એ $A$ તરફ થશે.

(D) ફિલ્મ દ્વારા મધ્યસ્થ સ્થાને ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = (\mu_A - 1)t_A - (\mu_B - 1)t_B$
આ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta x = \mu_A t_A - t_A - \mu_B t_B + t_B$
શરત $\mu_A t_A = \mu_B t_B$ આપેલ હોવાથી,$\mu_A t_A$ અને $\mu_B t_B$ પદો રદ થશે:
$\Delta x = t_B - t_A$
જો $t_A = t_B$ હોય,તો $\Delta x = 0$ થાય,અને મધ્યસ્થ અધિકતમ ખસશે નહીં.
જોકે,જો $t_A \neq t_B$ હોય,તો પથ તફાવત શૂન્ય ન હોવાથી સ્થાનાંતર થશે.
ચોક્કસ રીતે,જો $t_B > t_A$ હોય,તો $\Delta x > 0$ થાય,અને સ્થાનાંતર $A$ તરફ થશે.
જો $t_B < t_A$ હોય,તો $\Delta x < 0$ થાય,અને સ્થાનાંતર $B$ તરફ થશે.

(A) કિસ્સો $1$: જ્યારે સ્લિટ સમાન પહોળાઈની હોય,જો દરેક સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ હોય,તો:
$I_{\max} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} = 4I_0$
$I_{\min} = I_0 + I_0 - 2\sqrt{I_0 I_0} = 0$
કિસ્સો $2$: જ્યારે એક સ્લિટ બીજી સ્લિટ કરતા બમણી પહોળી હોય,ત્યારે તે સ્લિટમાંથી આવતી તીવ્રતા $2I_0$ થાય છે. હવે તીવ્રતાઓ $I_1 = 2I_0$ અને $I_2 = I_0$ છે.
$I_{\text{newmax}} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = 2I_0 + I_0 + 2\sqrt{2I_0^2} = 3I_0 + 2\sqrt{2}I_0 \approx 5.83I_0$
$I_{\text{newmin}} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = 2I_0 + I_0 - 2\sqrt{2I_0^2} = 3I_0 - 2\sqrt{2}I_0 \approx 0.17I_0$
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા,મહત્તમની તીવ્રતા વધે છે ($4I_0$ થી $5.83I_0$) અને ન્યૂનતમની તીવ્રતા પણ વધે છે ($0$ થી $0.17I_0$).

(D) કાચની સ્લેબ દાખલ કરવાને કારણે, સ્લેબમાંથી પસાર થતો પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાં મુસાફરી કરવાને કારણે વધારાનો પથ તફાવત અનુભવે છે। મધ્યસ્થ અધિકતમ (central maxima) રચવા માટે, તે બિંદુએ કુલ પથ તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ। પરિણામે, સ્લેબમાંથી આવતા પ્રકાશે ખુલ્લી સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશની તુલનામાં ઓછું ભૌમિતિક અંતર કાપવું પડે છે જેથી ઓપ્ટિકલ પથ તફાવત સરભર થઈ શકે। આના કારણે સમગ્ર ફ્રિન્જ પેટર્ન ઢંકાયેલી સ્લિટ તરફ ખસે છે।
વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। અધિકતમ તીવ્રતા $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ છે। કારણ કે એક સ્લિટ બીજી સ્લિટ કરતા અડધી તીવ્રતાનું પ્રસારણ કરે છે $(I_1 < I_2)$, તેથી પ્રકાશિત ફ્રિન્જ મૂળ સ્થિતિની સરખામણીમાં ઓછી પ્રકાશિત બને છે।
તે જ રીતે, ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ છે। કારણ કે $I_1 \neq I_2$, તેથી $I_{min} > 0$, જેનો અર્થ છે કે અંધારી ફ્રિન્જ હવે સંપૂર્ણપણે અંધારી રહેતી નથી અને વધુ પ્રકાશિત બને છે।
અંતે, ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। $D$, $\lambda$, અને $d$ બદલાતા ન હોવાથી, ફ્રિન્જની પહોળાઈ અચળ રહે છે।

(A) આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,માઈકા શીટ વગર બિંદુ $O$ પર પથ તફાવત $\Delta x = SS_2 - SS_1$ છે. આપેલ છે કે ઉદ્ગમ $S$ એ $S_1$ થી $d$ અંતરે છે અને ભૂમિતિ મુજબ $SS_2 = \sqrt{2}d$ થાય છે,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{2}d - d = d(\sqrt{2} - 1)$ છે.
$O$ પર મધ્યસ્થ શલાકા મેળવવા માટે,પથ તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ. $S_1$ ની સામે $t$ જાડાઈ અને $\mu = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી માઈકા શીટ દાખલ કરવાથી $(\mu - 1)t$ જેટલો વધારાનો પથ તફાવત ઉદભવે છે.
કુલ પથ તફાવત શૂન્ય લેતા: $(\mu - 1)t = \Delta x$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.5 - 1)t = d(\sqrt{2} - 1)$.
$0.5t = d(\sqrt{2} - 1)$.
$t = 2d(\sqrt{2} - 1)$.
આમ,શીટની જાડાઈ $S_1$ ની સામે $2(\sqrt{2} - 1)d$ હોવી જોઈએ.

(D) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી ફિલ્મ મૂકવાથી ફ્રિન્જ પેટર્નમાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$.
ફ્રિન્જની સંખ્યા $N$ ના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતર $\Delta x = N \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $N \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = (\mu - 1)t \left( \frac{D}{d} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે છે $N = \frac{(\mu - 1)t}{\lambda}$.
આપેલ આલેખ પરથી,જ્યારે $\mu = 2.00$ હોય,ત્યારે સ્થાનાંતરિત ફ્રિન્જની સંખ્યા $N = 40$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $40 = \frac{(2.00 - 1)t}{600 \times 10^{-9} \ m}$.
$40 = \frac{1 \times t}{600 \times 10^{-9}}$.
$t = 40 \times 600 \times 10^{-9} \ m = 24000 \times 10^{-9} \ m = 24 \times 10^{-6} \ m = 24 \ \mu m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સ્લેબ દ્વારા દાખલ કરવામાં આવેલ ઓપ્ટિકલ પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.5$ અને $t = d/4$,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = (1.5 - 1) \times (d/4) = 0.5 \times (d/4) = d/8$ થાય.
પડદા પર $y$ સ્થાન પર મધ્યસ્થ અધિકતમ રચાય તે માટે,તે બિંદુએ પથ તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ.
બિંદુ $y$ પર પથ તફાવત $\Delta x_{net} = \frac{yd}{D} - \Delta x = 0$ છે.
તેથી,$\frac{yd}{D} = \frac{d}{8}$.
$y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $y = D/8 = 0.125\ D$ મળે છે.
સ્લેબ $AS_2$ ના માર્ગમાં મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,$S_2$ માંથી પસાર થતો પ્રકાશ વિલંબિત થાય છે,જેના કારણે મધ્યસ્થ અધિકતમ સ્લેબની બાજુ તરફ એટલે કે $O$ ની નીચે તરફ ખસે છે.

(D) સ્લિટના સમતલના લંબ સાથે $\theta$ ખૂણે આપાત થતા અને $\phi$ ખૂણે વિવર્તિત થતા પ્રકાશ માટે,બે સ્લિટમાંથી આવતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta + d \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી,$d(\sin \theta + \sin \phi) = m\lambda$,જ્યાં $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sin \phi + \sin \theta = m \frac{\lambda}{d}$ મળે છે.

(B) આ ગોઠવણીમાં,પડદા પરના બિંદુ $P$ આગળ બે સ્લિટ્સમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = d \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = 3 \lambda$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે અને $\theta$ એ સ્લિટ્સની અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ (maxima) માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = n \lambda$.
આપણે લઘુત્તમ અંતર $x$ શોધવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે પ્રથમ શક્ય મહત્તમ લઈએ છીએ,જે $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,$1 \cdot \lambda = 3 \lambda \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{3}$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{D}{\sqrt{D^2 + x^2}}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{D}{\sqrt{D^2 + x^2}} = \frac{1}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{D^2}{D^2 + x^2} = \frac{1}{9} \Rightarrow 9 D^2 = D^2 + x^2$.
$x^2 = 8 D^2 \Rightarrow x = \sqrt{8} D$.